二, 双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混
淆, 这是从 S平面到 Z平面的标准变换 z＝ esT的多值对应
关系导致的,为了克服这一缺点, 设想变换分为两步：
第一步：将整个 S平面压缩到 S1平面的一条横带里；
第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个 Z平
面上去 。
由此建立 S平面与 Z平面一一对应的单值关系, 消除
多值性, 也就消除了混淆现象 。
s平面 s1平面 z平面
双线性变换法的映射关系
为了将 S平面的 jΩ轴压缩到 S1平面 jΩ1轴上的－ π/T
到 π/T 一段上, 可通过以下的正切变换实现：
????? 0
)2(tg 1 TΩcΩ ??
这里 C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定 C，
可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特
性在不同频率点 有对应关系。
经过这样的频率变换,当 Ω由 时,
Ω1由 -π/T经过０变化到 π/T,即 S平面的整个 jΩ轴被
压缩到 S1平面的 2π/T 一段 。
通常取 C=2/T,
)2/(2 ?tgT??
Ts
Ts
e
ecTscs
1
1
1
1)
2
(th 1 ?
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考虑 z = ejω,
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j
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(tg
2
2c o s
)2/s i n (2
1
12
?
?
?
?
?
再将 S1 平面通过标准变换关系映射到 Z平面，即令
将这一关系解析扩展至整个 S平面，则得到
S平面到 S1
最后得 S平面与 Z
双线性换法的主要优点是 S平面与 Z平面一一单值对应,
S平面的虚轴 (整个 jΩ)对应于 Z平面 单位圆的一周, S平面的
Ω=0处对应于 Z平面的 ω=0处, 对应即数字滤波器的频率响应
终 止于折叠频率处, 所以双线性变换不存在混迭效应 。
??
??
??
????
z
z
T
s
sT
sTz
)/(
)/(
???
????
现在我们看看, 这一变换是否符合我们一开始提
出的由模拟滤波器设计数字滤波器时, 从 S平面到 Z平
① 当 时, 得：?jez ?
????
?
??
?
??
?
??
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jjtgTeeTs j
j
???
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2
2
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12
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22
22
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22
1
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22
1
22
1
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TT
TT
z
T
j
T
T
j
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z
?
?
?
?
0?? 1||,0;1|| ??? zz 时?
0??对单位圆,即 S平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆。
时
②
即 s左半平面映射在单位圆内, s右半平面映射在单位圆外,
因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后, 所得到的数字滤波
器也是稳定的 。 如图 1。
图 双线性变换的频率非线性关系
小结
1) 与脉冲响应不变法相比, 双线性变换的主要优点,S平
面与 Z平面是单值的一一对应关系 （ 靠频率的严重非线性关系得
到的 ）, 即整个 jΩ轴单值的对应于单位圆一周,
可见, ω和 Ω为非线性关系, 如图 2。
???????? 22 ?tgT
图 2 双线性变换的频率非线性关系
由图中看到，在零频率附近,Ω～ ω接近于线性关系,Ω进
一步增加时,ω增长变得缓慢,(ω终止于折叠
频率处 )，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率
?? ????,时
2)双线性变换缺点,Ω与 ω成非线性关系, 导致：
a,数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸
变, (使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上
发生畸变 )。
例如, 一个模拟微分器, 它的幅 度与频率是直线关系,
但通过双线性变换后, 就不可能得到数字微分器
bk t gjHeH
bkjH
tg
j ????
????
?? 2
)()(
)(
2
?
?
?
b,线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为
非线性相位。
c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性
变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
虽然双线性变换有这 样的缺点，但它目前仍是使
用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大
多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高
通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减
为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为 ∞
的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，
虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分
段常数的特性。
例如，一个考尔型的模拟滤波器 Ha(s)，双线性
变换后，得到的 H(z)在通带与阻带内都仍保持与原
模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、
过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等
临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率
点的畸变可以通过预畸来加以校正。
预畸变：
即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变, 然后通过双线
性变换后正好映射到所需要的频率上 。
利用关系式：
将所要设计的数字滤波器临界频率点, 变换成对应的模拟
域频率, 利用此 设计模拟滤波器, 再通过双线性变换,
即可得到所需的数字滤波器, 其临界频率正是 。 如图所示
。
?
?
??
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???
2
2 i
i tgT
?
i?
i? i?
i?
双线性变换时频率的预畸
３ )计算 H(Z)
双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单 。 由于 s
与 z之间的简单代数关系, 所以从模拟传递函数可直接通过代数
置换得到数字滤波器的传递函数 。
置换过程,
??
?
?
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jHjHeH a
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T
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j
这些都比脉冲响应不变法的部分分式
分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器
的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变
法较好，而其他情况下，对于 IIR的设计
，大多采用双线性变换。
§ 3.2 常用模拟低通滤波器特性
为了方便学习数字滤波器, 先讨论几种常用的模拟低通滤波
器设计方法, 高通, 带通, 带阻等模拟滤波器可利用变量变换
方法, 由低通滤波器变换得到 。
模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数
Ha(s),使其逼近某个理想滤波器特性 。
因果系统中
式中 ha(t)为系统的冲激响应, 是实函数 。
∴
不难看出
? ? ???? 0 )()( dtethjH tjaa
? ?? ? ????? 0 s i nc o s)()( dttjtthjH aa
)()( ???? ? jHjH aa
定义振幅平方函数
式中 Ha(s)— 模拟滤波器 系统函数
Ha(jΩ)— 滤波器的频率响应
|Ha(jΩ)|— 滤波器的幅频响应
又 S=jΩ,Ω2=-S2
∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ
)1()()()()()(
)()()()(
2
22
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jsaaaa
aaa
sHsHjHjHA
jHjHjHA
问题：由 A(-S2)→ Ha(S)
对于给定的 A(-S2),先在 S复平面上标出 A(-S2)的极
点和零点, 由 (1)式知, A(-S2)的极点和零点总是, 成对
出现,, 且对称于 S平面的实轴和虚轴, 选用 A(-S2)的
对称极, 零点的任一半作为 Ha(s)的极, 零点, 则可得
到 Ha(s)。
为了保证 Ha(s)的稳定性, 应选用 A(-S2)在 S左半平面
的极点作为 Ha(s)的极点, 零点可选用任一半 。
N
c
a
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22
1
1
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N为滤波器阶数,如图 1
其幅度平方函数：
特点：具有通带内最大平坦的振幅特性, 且随 f↗, 幅频特
性 单调 ↘ 。
三种模拟低通滤波器的设计：
1）巴特沃兹滤波器 (Butterworth 滤波器 ) (巴特沃兹逼近 )
图 1 巴特沃兹滤波器 振幅平方函数
通带, 使信号通过的频带
阻带：抑制噪声通过的频带
过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围
Ωc,通带边界频率 。
过渡带为零,
阻带 |H(jΩ)|=0
通带内幅度 |H(jΩ)|=const.，
H(jΩ)的相位是线性的 。
理想滤波器
图 1中, N增加, 通带和阻带的近似性越好, 过渡带越陡 。
通带内, 分母 Ω/Ωc<1,( Ω/Ωc)2N,1,A(Ω2)→ 1。
过渡带和阻带, Ω/Ωc>1,( Ω/Ωc)2N, 1,Ω增加, A(Ω2)
快速减小 。
Ω =Ω c,，,幅度衰减,相当
于 3dB衰减点。 2
1
)0(
)( 2 ??
A
A c
2
1
2
1)( 2 ??A
振幅 平方函数的极点：
令分母为零，得
可见,Butterworth滤波器 的振幅平方函数有 2N个极点
，它们均匀对称地分布在 |S|=Ωc的圆周上。
例：为 N=3阶 BF振幅平方函数的极点分布，如图。
N
c
aa
j
S
SHSH
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1
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c
N
P jS ???
图 2 三阶 A(-S2)的极点分布
考虑到系统的稳定性, 知 DF的系统函数是由 S平面左半部分
的极点 （ SP3,SP4,SP5） 组成的, 它们分别为：
系统函数为：
令, 得归一化的三阶 BF：
如果要还原的话, 则有
?? 32
54
3
2
3,,
j
cpcp
j
cp eSSeS
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3
ppp
c
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122
1)(
23 ???? SSSsH a
1)/(2)/(2)/(
1)(
23 ???????
ccc
a ssssH
2） 切比雪夫 （ chebyshev） 滤波器 (切比雪夫多项式逼近 )
特点：误差值在规定的频段上等幅变化 。
巴特沃兹 滤波器 在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶
次一定，则在靠近截止 频率 处，幅度下降很多，或者说，
为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（ N）很高，为了克
服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的 。
切比雪夫 滤波器 的 在通带范围内是等幅起伏的，
所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹 滤波器 要小。可根据
需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波
动范围小于 1db。
c?
2)( ?jH
2)( ?jH
振幅平方函数为
)(1
1
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22
22
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N
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xxN
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1)(,1
xVxx
xVx
N
N时
— 有效通带截止频率
— 与通带波纹有关的参量,大,波纹大。
0 < <1
VN（ x） — N阶切比雪夫多项式，定义为
如图 1,通带内 变化范围 1~
Ω＞ Ωc, 随 Ω/Ωc ↗, → 0 (迅速趋于零 )
当 Ω =0时，
N为偶数，, min,
N为奇数，, max，
)
2
(c o s1
1
)]0a r c c o s (c o s [1
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22
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0)2(c o s 2 ???N
21
1
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1???
c
2a )( ?jH
2a )( ?jH
切比雪夫滤波器的振幅平方特性
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2
m i n
m a x
1
1
1
lg20
)(
)(
lg20
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jH
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a
)1l g (10 2?? ?? 110 1.02 ?? ??
)(dB?
2
2 1)(,
AjH ar ????? 时
给定通带波纹值分贝数 后，可求 。
有关参数的确定,
a、通带截止频率 Ωc,预先给定
b、通带波纹为
c、阶数 N— 由阻带的边界条件确定。（, A事先给
定）
2
22
1
1
1
A
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N
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2
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AjH ar ????? 时
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)c o s hc o s h ()(,1
2
cr
N
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Aar
N
xN a rxVx
??
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??
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得
时
3,椭圆滤波器 （ 考尔滤波器 ）
特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的, 对于给定
的阶数和给定的波纹要求, 椭圆滤波器能获得较其它滤波器更
窄的过渡带宽, 就这点而言, 椭圆滤波器是最优的 。
其振幅平方函数为
RN（ Ω,L） — 雅可比椭圆函数
L— 表示波纹性质的参量
),(1
1)()(
22
22
LRjHA Na ?????? ?
N=5,的特性曲线
可见, 在归一化通带内 （ -1≤Ω≤1）, 在 （ 0,1）
间振荡, 而超过 ΩL后, 在 间振荡 。
这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量 。
),(25 LR ?
?~2L
),(25 LR ?
),(25 LR ?
下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数
椭圆滤波器的振幅平方函数
图中 ε和 A的定义 同切比雪夫滤波器
Ωr Ωr
当 Ωc,Ωr,ε和 A确定后, 阶次 N的确定方法为：
?
?
?
?
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)1()(
1
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2
1
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1
2
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kKkK
N
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k
k
rc
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确定参量
确定参数
2/1222/12
1
0 )1()1(
)( tkt dtkK ??? ?
式中
为第一类完全椭圆积分
上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和
设计方法, 设计时按照指标要求, 合理选用 。
一般, 相同指标下, 椭圆滤波器阶次最低, 切比雪
夫次之, 巴特沃兹最高, 参数的灵敏度则恰恰相反 。
以上讨论了由 A （ Ω2 ） → Ha (s),下 面 讨 论 由
Ha(s)→H(Z) 的变换设计法 。
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混
淆, 这是从 S平面到 Z平面的标准变换 z＝ esT的多值对应
关系导致的,为了克服这一缺点, 设想变换分为两步：
第一步：将整个 S平面压缩到 S1平面的一条横带里；
第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个 Z平
面上去 。
由此建立 S平面与 Z平面一一对应的单值关系, 消除
多值性, 也就消除了混淆现象 。
s平面 s1平面 z平面
双线性变换法的映射关系
为了将 S平面的 jΩ轴压缩到 S1平面 jΩ1轴上的－ π/T
到 π/T 一段上, 可通过以下的正切变换实现：
????? 0
)2(tg 1 TΩcΩ ??
这里 C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定 C，
可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特
性在不同频率点 有对应关系。
经过这样的频率变换,当 Ω由 时,
Ω1由 -π/T经过０变化到 π/T,即 S平面的整个 jΩ轴被
压缩到 S1平面的 2π/T 一段 。
通常取 C=2/T,
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再将 S1 平面通过标准变换关系映射到 Z平面，即令
将这一关系解析扩展至整个 S平面，则得到
S平面到 S1
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双线性换法的主要优点是 S平面与 Z平面一一单值对应,
S平面的虚轴 (整个 jΩ)对应于 Z平面 单位圆的一周, S平面的
Ω=0处对应于 Z平面的 ω=0处, 对应即数字滤波器的频率响应
终 止于折叠频率处, 所以双线性变换不存在混迭效应 。
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现在我们看看, 这一变换是否符合我们一开始提
出的由模拟滤波器设计数字滤波器时, 从 S平面到 Z平
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0??对单位圆,即 S平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆。
时
②
即 s左半平面映射在单位圆内, s右半平面映射在单位圆外,
因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后, 所得到的数字滤波
器也是稳定的 。 如图 1。
图 双线性变换的频率非线性关系
小结
1) 与脉冲响应不变法相比, 双线性变换的主要优点,S平
面与 Z平面是单值的一一对应关系 （ 靠频率的严重非线性关系得
到的 ）, 即整个 jΩ轴单值的对应于单位圆一周,
可见, ω和 Ω为非线性关系, 如图 2。
???????? 22 ?tgT
图 2 双线性变换的频率非线性关系
由图中看到，在零频率附近,Ω～ ω接近于线性关系,Ω进
一步增加时,ω增长变得缓慢,(ω终止于折叠
频率处 )，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率
?? ????,时
2)双线性变换缺点,Ω与 ω成非线性关系, 导致：
a,数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸
变, (使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上
发生畸变 )。
例如, 一个模拟微分器, 它的幅 度与频率是直线关系,
但通过双线性变换后, 就不可能得到数字微分器
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非线性相位。
c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性
变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
虽然双线性变换有这 样的缺点，但它目前仍是使
用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大
多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高
通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减
为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为 ∞
的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，
虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分
段常数的特性。
例如，一个考尔型的模拟滤波器 Ha(s)，双线性
变换后，得到的 H(z)在通带与阻带内都仍保持与原
模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、
过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等
临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率
点的畸变可以通过预畸来加以校正。
预畸变：
即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变, 然后通过双线
性变换后正好映射到所需要的频率上 。
利用关系式：
将所要设计的数字滤波器临界频率点, 变换成对应的模拟
域频率, 利用此 设计模拟滤波器, 再通过双线性变换,
即可得到所需的数字滤波器, 其临界频率正是 。 如图所示
。
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双线性变换时频率的预畸
３ )计算 H(Z)
双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单 。 由于 s
与 z之间的简单代数关系, 所以从模拟传递函数可直接通过代数
置换得到数字滤波器的传递函数 。
置换过程,
??
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这些都比脉冲响应不变法的部分分式
分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器
的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变
法较好，而其他情况下，对于 IIR的设计
，大多采用双线性变换。
§ 3.2 常用模拟低通滤波器特性
为了方便学习数字滤波器, 先讨论几种常用的模拟低通滤波
器设计方法, 高通, 带通, 带阻等模拟滤波器可利用变量变换
方法, 由低通滤波器变换得到 。
模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数
Ha(s),使其逼近某个理想滤波器特性 。
因果系统中
式中 ha(t)为系统的冲激响应, 是实函数 。
∴
不难看出
? ? ???? 0 )()( dtethjH tjaa
? ?? ? ????? 0 s i nc o s)()( dttjtthjH aa
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定义振幅平方函数
式中 Ha(s)— 模拟滤波器 系统函数
Ha(jΩ)— 滤波器的频率响应
|Ha(jΩ)|— 滤波器的幅频响应
又 S=jΩ,Ω2=-S2
∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ
)1()()()()()(
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问题：由 A(-S2)→ Ha(S)
对于给定的 A(-S2),先在 S复平面上标出 A(-S2)的极
点和零点, 由 (1)式知, A(-S2)的极点和零点总是, 成对
出现,, 且对称于 S平面的实轴和虚轴, 选用 A(-S2)的
对称极, 零点的任一半作为 Ha(s)的极, 零点, 则可得
到 Ha(s)。
为了保证 Ha(s)的稳定性, 应选用 A(-S2)在 S左半平面
的极点作为 Ha(s)的极点, 零点可选用任一半 。
N
c
a
j
j
jHA 2
22
1
1
)()(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
????
)( 2?A
N为滤波器阶数,如图 1
其幅度平方函数：
特点：具有通带内最大平坦的振幅特性, 且随 f↗, 幅频特
性 单调 ↘ 。
三种模拟低通滤波器的设计：
1）巴特沃兹滤波器 (Butterworth 滤波器 ) (巴特沃兹逼近 )
图 1 巴特沃兹滤波器 振幅平方函数
通带, 使信号通过的频带
阻带：抑制噪声通过的频带
过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围
Ωc,通带边界频率 。
过渡带为零,
阻带 |H(jΩ)|=0
通带内幅度 |H(jΩ)|=const.，
H(jΩ)的相位是线性的 。
理想滤波器
图 1中, N增加, 通带和阻带的近似性越好, 过渡带越陡 。
通带内, 分母 Ω/Ωc<1,( Ω/Ωc)2N,1,A(Ω2)→ 1。
过渡带和阻带, Ω/Ωc>1,( Ω/Ωc)2N, 1,Ω增加, A(Ω2)
快速减小 。
Ω =Ω c,，,幅度衰减,相当
于 3dB衰减点。 2
1
)0(
)( 2 ??
A
A c
2
1
2
1)( 2 ??A
振幅 平方函数的极点：
令分母为零，得
可见,Butterworth滤波器 的振幅平方函数有 2N个极点
，它们均匀对称地分布在 |S|=Ωc的圆周上。
例：为 N=3阶 BF振幅平方函数的极点分布，如图。
N
c
aa
j
S
SHSH
2)(1
1
)()(
?
?
???
)()1( 2
1
c
N
P jS ???
图 2 三阶 A(-S2)的极点分布
考虑到系统的稳定性, 知 DF的系统函数是由 S平面左半部分
的极点 （ SP3,SP4,SP5） 组成的, 它们分别为：
系统函数为：
令, 得归一化的三阶 BF：
如果要还原的话, 则有
?? 32
54
3
2
3,,
j
cpcp
j
cp eSSeS
????????
))()(()( 543
3
ppp
c
a SSSSSSsH ???
??
1??c
122
1)(
23 ???? SSSsH a
1)/(2)/(2)/(
1)(
23 ???????
ccc
a ssssH
2） 切比雪夫 （ chebyshev） 滤波器 (切比雪夫多项式逼近 )
特点：误差值在规定的频段上等幅变化 。
巴特沃兹 滤波器 在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶
次一定，则在靠近截止 频率 处，幅度下降很多，或者说，
为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（ N）很高，为了克
服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的 。
切比雪夫 滤波器 的 在通带范围内是等幅起伏的，
所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹 滤波器 要小。可根据
需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波
动范围小于 1db。
c?
2)( ?jH
2)( ?jH
振幅平方函数为
)(1
1
)()(
22
22
c
N
a
V
jHA
?
?
?
????
?
c?
?
? ?
??
???
?
?
? ?
?
1)c o s hc o s h (
1)c o sc o s (
)( 1
1
xxN
xxN
xV N
???
??
)(,,1
1)(,1
xVxx
xVx
N
N时
— 有效通带截止频率
— 与通带波纹有关的参量,大,波纹大。
0 < <1
VN（ x） — N阶切比雪夫多项式，定义为
如图 1,通带内 变化范围 1~
Ω＞ Ωc, 随 Ω/Ωc ↗, → 0 (迅速趋于零 )
当 Ω =0时，
N为偶数，, min,
N为奇数，, max，
)
2
(c o s1
1
)]0a r c c o s (c o s [1
1)(
22
2
2
0 ?
?? ??
?
?
?? ??
NN
jH a
2
2
0 1
1)(
???? ??jH a
1)( 02 ?? ??jH a
1)2(c o s 2 ???N
0)2(c o s 2 ???N
21
1
??
1???
c
2a )( ?jH
2a )( ?jH
切比雪夫滤波器的振幅平方特性
?
2
m i n
m a x
1
1
1
lg20
)(
)(
lg20
?
?
?
?
?
?
?
jH
jH
a
a
)1l g (10 2?? ?? 110 1.02 ?? ??
)(dB?
2
2 1)(,
AjH ar ????? 时
给定通带波纹值分贝数 后，可求 。
有关参数的确定,
a、通带截止频率 Ωc,预先给定
b、通带波纹为
c、阶数 N— 由阻带的边界条件确定。（, A事先给
定）
2
22
1
1
1
A
V
c
r
N
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ?
r?
2
2 1)(,
AjH ar ????? 时
)/c o s h (
/1c o s h (
)c o s hc o s h ()(,1
2
cr
N
ar
Aar
N
xN a rxVx
??
?
?
??
?
得
时
3,椭圆滤波器 （ 考尔滤波器 ）
特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的, 对于给定
的阶数和给定的波纹要求, 椭圆滤波器能获得较其它滤波器更
窄的过渡带宽, 就这点而言, 椭圆滤波器是最优的 。
其振幅平方函数为
RN（ Ω,L） — 雅可比椭圆函数
L— 表示波纹性质的参量
),(1
1)()(
22
22
LRjHA Na ?????? ?
N=5,的特性曲线
可见, 在归一化通带内 （ -1≤Ω≤1）, 在 （ 0,1）
间振荡, 而超过 ΩL后, 在 间振荡 。
这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量 。
),(25 LR ?
?~2L
),(25 LR ?
),(25 LR ?
下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数
椭圆滤波器的振幅平方函数
图中 ε和 A的定义 同切比雪夫滤波器
Ωr Ωr
当 Ωc,Ωr,ε和 A确定后, 阶次 N的确定方法为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)1()(
)1()(
1
/
2
1
2
1
2
1
kKkK
kKkK
N
A
k
k
rc
?
确定参量
确定参数
2/1222/12
1
0 )1()1(
)( tkt dtkK ??? ?
式中
为第一类完全椭圆积分
上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和
设计方法, 设计时按照指标要求, 合理选用 。
一般, 相同指标下, 椭圆滤波器阶次最低, 切比雪
夫次之, 巴特沃兹最高, 参数的灵敏度则恰恰相反 。
以上讨论了由 A （ Ω2 ） → Ha (s),下 面 讨 论 由
Ha(s)→H(Z) 的变换设计法 。
