1.4 离散时间系统与差分方程
T[·]
离散时间系统
x (n) y(n)
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列 x(n)映射成
输出序列 y(n)的唯一性变换或运算 。 它的输入是一个序列, 输
出也是一个序列, 其 本质是将输入序列转变成输出序列的一个
运算 。
y(n)= T[x(n)]
对 T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统 。 离散时间系
统中最重要, 最常用的是, 线性, 时不变系统, 。
T[, ]
1,线性系统 （ 满足迭加原理的系统 ）
若系统的输入为 x1（ n） 和 x2（ n） 时, 输出分
别为 y1（ n） 和 y2（ n）,
即 y1（ n） =T[x1（ n） ],y2（ n） =T[x2（ n） ]
如果系统输入为 ax1（ n） +bx2（ n） 时, 输出
为 ay1（ n） +by2（ n）,
其中 a,b为任意常数, 则该系统为线性系统 。 所
以, 线性系统的条件为
T[ax1（ n） +bx2（ n） ]=aT[x1（ n） ]+bT[x2（ n） ]
=ay1（ n） +by2（ n）
线性系统对信号的处理可应用迭加定理 。
例, 设一系统的输入输出关系为
y[n]=x2[n]
试判断系统是否为线性？
解：输入信号 x [n]产生的输出信号 T{x [n]}为
T{x[n]}=x2[n]
输入信号 ax [n]产生的输出信号 T{ax [n]}为
T{ax[n]}= a2x2[n]
除了 a=0,1情况, T{ax [n]}? aT{x [n]}。 故系统不满
足线性系统的的定义, 所以系统是非线性系统 。
2,时不变系统
如果 T[x（ n） ]=y（ n），
则 T[x（ n-n0） ]=y（ n-n0）
（ n0为任意整数）
即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为,LTI
3,线性时不变系统
线性时不变系统 —— 既满足迭加原理又具有时不变性的系统 。 线性时不
变系统可以用单位脉冲响应来表示 。
我们知道, 任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和
如令 h（ n） 为系统对单位脉冲序列的响应,
h（ n） =T[δ（ n） ]
则系统对任一输入序列 x（ n） 的响应为
??
???
??
m
mnmxnx )()()( ?
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nxTny
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由于系统是线性的, 满足迭加定理
? ???
???
??
m
mnTmxny )()()( ?
又由于系统是时不变的, 对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位 。
注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示
? ? )()( mnhmnT ????
因此
该式表明：对任何线性时不变系统, 可完全通过其单位脉冲响应 h（ n） 来
表示 。 这个公式和模拟系统的卷积是类似的, 称为离散卷积, 或线性卷积 。
卷积过程,
① 对 h（ m） 绕纵轴折叠, 得 h（ -m） ；
② 对 h（ -m） 移位得 h（ n-m） ；
③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加, 得离散卷积结果 y（ n） 。
??
???
???
m
nhnxmnhmxny )(*)()()()(
令 m′=n-m,做变量代换, 则卷积公式变为
因此, x(m)与 h(n-m)的位置可对调 。 （ 即
输入为 x（ n）, 单位脉冲响应为 h（ n） 的线
性时不变系统与输入为 h（ n）, 单位脉冲响
应为 x（ n） 的线性时不变系统具有同样的输
出 ）
离散卷积也称为, 线性卷积, 或, 直接卷
积,, 以区别其他种类的卷积 。
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???
?
???
?????
m m
nxnhmhmnxmnhmxny )(*)()()()()()(
4,系统的稳定性与因果性
线性和时不变两个约束条件定义了一类
可用卷积和表示的系统 。 稳定性和因果性
也是很重要的限制 。
稳定系统：对于每一个有界输入产生一
个有界输出的系统为稳定系统 。
当且仅当
(充要条件 )
时, 该线性时不变系统是稳定的 。
??
???
???
k
khs )(
因果系统,系统的输出 y（ n） 只取决于当
前以及过去的输入, 即 x（ n）, x（ n-1）,
x（ n-2） …… 。
非因果系统：如果系统的输出 y（ n） 取决
于 x（ n+1）, x（ n+2）, …, 即系统的输出
取决于未来的输入, 则是非因果系统, 也即
不现实的系统, （ 不可实现 ）
因果系统的充要条件,h（ n） ≡0,n〈 0（
可从 y（ n） =x（ n） *h（ n） 导出 ）
例,分析单位脉冲响应为 h（ n） =anu（ n） 的线性时
不变系统的因果性和稳定性 。
既然, n〈 时, h（ n） =0,系统是因果的
如果 |a|<1,则
如 |a|≥1,则 s → ∞,级数发散 。
故系统仅在 |a|〈 1时才是稳定的 。
?? ?
???
?
???
??
m
k
k
akhs |||)(|
||1
1
as ??
稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统 。 这种
系统的单位脉冲响应既是单边的, 又是绝对可积的, 即
这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的, 这种系统
是最主要的系统 。
?
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nh
n
nnh
nh
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0)(
)(
5,差分方程 —— 描述系统 输入输出之间的运算关系
一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来
表达 。 而对于离散时间系统, 由于其变量 n是离散整型
变量, 故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间
的运算关系 。
其 N阶线性常系数差分方程的一般形式：
其中 ai,bi都是常数 。
离散系统差分方程表示法有两个主要用途：
① 由差分方程得到系统结构；
② 求解系统的瞬态响应；
? ?
? ?
????
N
i
N
i
ii inybinxany
0 1
)()()(
例：用途一，由一阶差分方程画网络结构
y（ n） =ay（ n-1） +x（ n）
由此得到它的网络结构如图
T
a
网络结构
)(nx ()yn
用途二
在给定输入和给定初始条件下, 用递推的方法求系统瞬态解
例, 一阶差分方程系统：
其输入为
解,① 初始条件为 y（ n） =0,n〈 0
n=0以的前的输出已由初始条件给定, 瞬态解从 n=0求起, 由差分方程
,初始条件和输入, 得：
依次递推
┆
,稳定、因果系统
)1(21)(5.1)( ??? nynxny
??
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?
???
00
01)()(
n
nnnx ?
5.1)1(21)0(5.1)0( ???? yxy
75.0)0(21)1(5.1)1( ??? yxy
3 7 5.0215.1)0(21)2(5.1)2(
2
??????????? yxy
)(215.1)()( nunhny
n
?????????
② 输入相同, 但初始条件改为 n〉 0,y（ n） =0
将上述差分方程
改写成 y（ n-1） =2[ y（ n） -1.5x（ n） ]
此时 y（ 0） =2[ y（ 1） -1.5x(1) ]=0
依此类推, 得到
② 非因果, 不稳定系统
①, ② 两式所表示的两个不同的单位脉冲响应, 虽满足同一差分方程, 但由
于初始条件不同, 它们代表不同的系统, 也即用差分方程描述系统时, 只有
附加必要的制约条件, 才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系 。
)1(21)(5.1)( ????????? nynxny
? ? 1215.1)0(5.1)0(2)1( ????????????? xyy
? ? 2215.1)1(5.1)1(2)2( ??????????????? xyy
)1(215.1)()( ???????????? nunhny
n
可以利用 M A T L A B 求差分方程的解，此时调用函数 f i l t e r
y =f i l t e r ( a,b,x )
参数 x 为输入向量（序列）,a, b 分别为差分方程系数
a
i
,b
i
构成的向量,y 为输出结果。
例 用 M A T L A B 计算差分方程
)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0
)3(6.0)2(45.0)1(7.0)(
???????
??????
nxnxnxnx
nynynyny
当输入序列为
)()( nnx ??
时的输出结果
400),( ?? nny
。
解 M A T L A B 程序如下：
N=41;
a = [ 0, 8 - 0, 4 4 0, 3 6 0, 2 2 ] ;
b = [ 1 0, 7 - 0, 4 5 - 0, 6 ] ;
x = [ 1 z e r o s ( 1,N - 1 ) ] ;
k = 0, 1, N - 1 ;
y = f i l t e r ( a,b,x ) ;
stem( k,y )
x l a b e l ( ' n ' ) ; y l a b e l ( ' 幅度 ')
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n
幅度
用 MATLAB 计算差分
方程输出
1.5 系统的频率响应与系统函数
一, 定义
在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应 h(n)来表
示一个线性时不变离散系统,
y（ n） =x（ n） *h（ n）
两边取 z变换
Y(z)=X(z)H(z)
则
定义为系统函数
1） 它 是单位脉冲响应的 z变换 。 所以可以用
单位脉冲响应的 z变换来描述线性时不变离散
系统 。
2） 单 位圆上的系统函数就是系统的频率响应
可以证明, 它是单位脉冲响应 h(n)的 DTFT。
)(
)()(
zX
zYzH ?
? ??jez ?
)(
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j
j
j
eX
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因果系统：
单位脉冲响应 h（ n）是因果序列的系统，
其系统函数 H(z)的收敛域包括 ∞点，即
Rx- <|Z|≤∞
稳定系统：
单位脉冲响应 h（ n）满足绝对可和的系统即
???
?
???n
nh )(
稳定系统的 H（ z）必在单位圆上收敛，即 存在。? ?
?jeH
二,几种常用系统
因果稳定系统：
最普遍最重要的一种系统，其系统函数 H（ z）
在从单位圆到 ∞的整个区域收敛。
即 1≤∣ Z|≤∞
H（ z）的 全部极点必在单位圆以内。
三, 差分方程与系统函数
线性时不变离散系统也可用差分方程表示,
考虑 N阶差分方程
两两边取 z变换：
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N
i
M
i
ii inxainyb
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N
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N
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za
zX
zY
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0
0
)(
)(
)(
于是
上式也可用因子的形式来表示
式中 {ci},{di}是 H（ z） 在 z平面上的零点和极点, A
为比例常数 。
整个系统函数可以由它的全部零, 极点来唯一确定 。
用极点和零点表示系统函数的优点是, 它提供
了一种有效的求系统频率响应的几何方法 。
一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为 ? ?
? ?
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1
'11
1
11
()
1
()
1
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MM
ii
ii
NN
ii
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MN
c z z c
H z A A
d z z d
A A z
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系统的频响为,
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' 1
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M
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j i
N
j
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H e A
ed
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在 z平面上,ejω-ci可用一根由零点 ci指向单位圆上 ejω点
的向量 来表示, 而 ejω-di可用极点 di指向 ejω的向量
表示
于是
令
分析上式表明, 频响的模函数由从各零, 极点指向 ejω
点的向量幅度来确定, 而频响的相位函数则由这些向
量的幅角来确定, 当频率 ω由 0~2π时, 这些向量的终点
沿单位圆反时针方向旋转一圈, 由此可估算出整个系
统的频响 。
ic?
id
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?
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N
i
i
N
i
i
j
d
c
AeH
1
1')(
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?
?
? ? ? ? )( ???? jjj eeHeH ?
其基本原理是, 当单位圆上的 ejω 点在极点 d i附近时,
分母向量最短, 出现极小值, 频响在这附近可能出现峰
值, 且极点 di 越靠近单位圆, 极小值越小, 频响出现的
峰值越尖锐, 当 di 处在单位圆上时, 极小值为零, 相应
的频响将出现 ∞,这相当于在该频率处出现无耗 （ Q=∞）
谐振, 当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态 。 对
于现实系统, 这是不希望的 。
对于零点位置, 频响将正好相反, ejω点越接近某零
点 ci, 频响越低, 因此在零点附近, 频响出现谷点, 零
点越接近单位圆, 谷点越接近零, 零点处于单位圆上时
,谷点为零, 即在零点所在频率上出现传输零点, 零点
可以位于单位圆以外, 不受稳定性约束 。
这种几何方法为我们认识零, 极点分布对系统性能的
影响提供了一个直观的概念, 这一概念对系统的分析和
设计都十分重要 。
例 4：
Im[z]
azaz zzH ???,)(
0 * x Re[z]a
)( ?jeH
0 ?2?
?
零点在单位圆上 0,处；极点在,处 。
ω0
。。
例 有限长单位脉冲响应
0<a<1
求其频率响应特性 。
解：
如果 a为正实数, H（ z） 的零点为
这些零点分布在 |z|=a的圆周上, 对圆周进行 M等分, 它的第一个零点 k=0，
恰好与分母上的极点 （ z-a） 抵消, 因此, 整个函数 H（ z） 共有
下 图给出 M=8,0〈 a〈 1时的系统特性, 幅频的峰值出现在 ω=0,因为该处
无零点 （ 被极点对消 ）, 每一零点附近的频率响应均有陷落, 呈现出 M次起
伏, 当 M无限增大时, 波纹趋于平滑, 系统函数趋于书上一阶系统的结果 。
??
? ????
其他0
10)( Mnanh n
)(1
1)(
1
1
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az
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MMM
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MM
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1,,1,0,2 ??? Mkaez kMjk ??
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0)1(
1,,3,2,1)1(
0
2
zM
MkaezM kMjk
均集中在原点处阶极点
个零点 ?
?
上例中的单位脉冲响应是一个有限长序列, 这种系统称为, 有限长单位
脉冲响应系统,, 简写为 FIR系统 。 相应地, 当单位脉冲响应长度无限时,
则称为, 无限长单位脉冲响应系统,, 简写为 IIR系统 。
系统函数的一般成可改写为 （ b0=1）
我们知道有限度序列的 z变换在整个有限 z平面 （ |z|>0） 上收敛, 因此对
于 FIR系统, H（ z） 在有限 z平面上不能有极点 。 如分子, 分母无公共可约
因子, 则 H（ z） 分母中全部系数 bi（ i=1,2,…, N） 必须为零, 故
只要 bi中有一个系数不为零, 在有限 z平面上就会有极点, 这就属于 IIR
系统 。
bi不为零就说明需要将延时的输出序列 y(n-i)反馈回来, 所以, IIR系统的
结构中都带有反馈回路 。 这种带有反馈回路的结构称为, 递归型, 结构,
IIR系统只能采用, 递归型, 结构, 而 FIR系统一般采用非, 递归型, 结构
。 但是, 采用极, 零点抵消的方法, FIR系统也可采用, 递归型, 结构 。
IIR,FIR构成数字滤波器的两大类 。
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?
?
?
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i
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M
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i
i
zb
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zH
1
0
1
)(
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?? M
i
i
i zazH
0
)(
小 结：
?理想采样信号及其频谱特点、采样定理
?Z变换定义,Z变换收敛域,Z变换性质
?逆 Z变换、常用序列 Z变换
?因果稳定系统
?线性时不变系统输入、输出的关系
?系统函数、系统频响及其几何确定方法
T[·]
离散时间系统
x (n) y(n)
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列 x(n)映射成
输出序列 y(n)的唯一性变换或运算 。 它的输入是一个序列, 输
出也是一个序列, 其 本质是将输入序列转变成输出序列的一个
运算 。
y(n)= T[x(n)]
对 T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统 。 离散时间系
统中最重要, 最常用的是, 线性, 时不变系统, 。
T[, ]
1,线性系统 （ 满足迭加原理的系统 ）
若系统的输入为 x1（ n） 和 x2（ n） 时, 输出分
别为 y1（ n） 和 y2（ n）,
即 y1（ n） =T[x1（ n） ],y2（ n） =T[x2（ n） ]
如果系统输入为 ax1（ n） +bx2（ n） 时, 输出
为 ay1（ n） +by2（ n）,
其中 a,b为任意常数, 则该系统为线性系统 。 所
以, 线性系统的条件为
T[ax1（ n） +bx2（ n） ]=aT[x1（ n） ]+bT[x2（ n） ]
=ay1（ n） +by2（ n）
线性系统对信号的处理可应用迭加定理 。
例, 设一系统的输入输出关系为
y[n]=x2[n]
试判断系统是否为线性？
解：输入信号 x [n]产生的输出信号 T{x [n]}为
T{x[n]}=x2[n]
输入信号 ax [n]产生的输出信号 T{ax [n]}为
T{ax[n]}= a2x2[n]
除了 a=0,1情况, T{ax [n]}? aT{x [n]}。 故系统不满
足线性系统的的定义, 所以系统是非线性系统 。
2,时不变系统
如果 T[x（ n） ]=y（ n），
则 T[x（ n-n0） ]=y（ n-n0）
（ n0为任意整数）
即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为,LTI
3,线性时不变系统
线性时不变系统 —— 既满足迭加原理又具有时不变性的系统 。 线性时不
变系统可以用单位脉冲响应来表示 。
我们知道, 任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和
如令 h（ n） 为系统对单位脉冲序列的响应,
h（ n） =T[δ（ n） ]
则系统对任一输入序列 x（ n） 的响应为
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由于系统是线性的, 满足迭加定理
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又由于系统是时不变的, 对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位 。
注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示
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因此
该式表明：对任何线性时不变系统, 可完全通过其单位脉冲响应 h（ n） 来
表示 。 这个公式和模拟系统的卷积是类似的, 称为离散卷积, 或线性卷积 。
卷积过程,
① 对 h（ m） 绕纵轴折叠, 得 h（ -m） ；
② 对 h（ -m） 移位得 h（ n-m） ；
③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加, 得离散卷积结果 y（ n） 。
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因此, x(m)与 h(n-m)的位置可对调 。 （ 即
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性时不变系统与输入为 h（ n）, 单位脉冲响
应为 x（ n） 的线性时不变系统具有同样的输
出 ）
离散卷积也称为, 线性卷积, 或, 直接卷
积,, 以区别其他种类的卷积 。
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4,系统的稳定性与因果性
线性和时不变两个约束条件定义了一类
可用卷积和表示的系统 。 稳定性和因果性
也是很重要的限制 。
稳定系统：对于每一个有界输入产生一
个有界输出的系统为稳定系统 。
当且仅当
(充要条件 )
时, 该线性时不变系统是稳定的 。
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因果系统,系统的输出 y（ n） 只取决于当
前以及过去的输入, 即 x（ n）, x（ n-1）,
x（ n-2） …… 。
非因果系统：如果系统的输出 y（ n） 取决
于 x（ n+1）, x（ n+2）, …, 即系统的输出
取决于未来的输入, 则是非因果系统, 也即
不现实的系统, （ 不可实现 ）
因果系统的充要条件,h（ n） ≡0,n〈 0（
可从 y（ n） =x（ n） *h（ n） 导出 ）
例,分析单位脉冲响应为 h（ n） =anu（ n） 的线性时
不变系统的因果性和稳定性 。
既然, n〈 时, h（ n） =0,系统是因果的
如果 |a|<1,则
如 |a|≥1,则 s → ∞,级数发散 。
故系统仅在 |a|〈 1时才是稳定的 。
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稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统 。 这种
系统的单位脉冲响应既是单边的, 又是绝对可积的, 即
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5,差分方程 —— 描述系统 输入输出之间的运算关系
一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来
表达 。 而对于离散时间系统, 由于其变量 n是离散整型
变量, 故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间
的运算关系 。
其 N阶线性常系数差分方程的一般形式：
其中 ai,bi都是常数 。
离散系统差分方程表示法有两个主要用途：
① 由差分方程得到系统结构；
② 求解系统的瞬态响应；
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N
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例：用途一，由一阶差分方程画网络结构
y（ n） =ay（ n-1） +x（ n）
由此得到它的网络结构如图
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网络结构
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用途二
在给定输入和给定初始条件下, 用递推的方法求系统瞬态解
例, 一阶差分方程系统：
其输入为
解,① 初始条件为 y（ n） =0,n〈 0
n=0以的前的输出已由初始条件给定, 瞬态解从 n=0求起, 由差分方程
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依次递推
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② 输入相同, 但初始条件改为 n〉 0,y（ n） =0
将上述差分方程
改写成 y（ n-1） =2[ y（ n） -1.5x（ n） ]
此时 y（ 0） =2[ y（ 1） -1.5x(1) ]=0
依此类推, 得到
② 非因果, 不稳定系统
①, ② 两式所表示的两个不同的单位脉冲响应, 虽满足同一差分方程, 但由
于初始条件不同, 它们代表不同的系统, 也即用差分方程描述系统时, 只有
附加必要的制约条件, 才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系 。
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)1(215.1)()( ???????????? nunhny
n
可以利用 M A T L A B 求差分方程的解，此时调用函数 f i l t e r
y =f i l t e r ( a,b,x )
参数 x 为输入向量（序列）,a, b 分别为差分方程系数
a
i
,b
i
构成的向量,y 为输出结果。
例 用 M A T L A B 计算差分方程
)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0
)3(6.0)2(45.0)1(7.0)(
???????
??????
nxnxnxnx
nynynyny
当输入序列为
)()( nnx ??
时的输出结果
400),( ?? nny
。
解 M A T L A B 程序如下：
N=41;
a = [ 0, 8 - 0, 4 4 0, 3 6 0, 2 2 ] ;
b = [ 1 0, 7 - 0, 4 5 - 0, 6 ] ;
x = [ 1 z e r o s ( 1,N - 1 ) ] ;
k = 0, 1, N - 1 ;
y = f i l t e r ( a,b,x ) ;
stem( k,y )
x l a b e l ( ' n ' ) ; y l a b e l ( ' 幅度 ')
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n
幅度
用 MATLAB 计算差分
方程输出
1.5 系统的频率响应与系统函数
一, 定义
在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应 h(n)来表
示一个线性时不变离散系统,
y（ n） =x（ n） *h（ n）
两边取 z变换
Y(z)=X(z)H(z)
则
定义为系统函数
1） 它 是单位脉冲响应的 z变换 。 所以可以用
单位脉冲响应的 z变换来描述线性时不变离散
系统 。
2） 单 位圆上的系统函数就是系统的频率响应
可以证明, 它是单位脉冲响应 h(n)的 DTFT。
)(
)()(
zX
zYzH ?
? ??jez ?
)(
)()(
?
?
?
j
j
j
eX
eYeH ?
因果系统：
单位脉冲响应 h（ n）是因果序列的系统，
其系统函数 H(z)的收敛域包括 ∞点，即
Rx- <|Z|≤∞
稳定系统：
单位脉冲响应 h（ n）满足绝对可和的系统即
???
?
???n
nh )(
稳定系统的 H（ z）必在单位圆上收敛，即 存在。? ?
?jeH
二,几种常用系统
因果稳定系统：
最普遍最重要的一种系统，其系统函数 H（ z）
在从单位圆到 ∞的整个区域收敛。
即 1≤∣ Z|≤∞
H（ z）的 全部极点必在单位圆以内。
三, 差分方程与系统函数
线性时不变离散系统也可用差分方程表示,
考虑 N阶差分方程
两两边取 z变换：
? ?
? ?
???
N
i
M
i
ii inxainyb
0 0
)()(
? ?
? ?
?? ?
N
i
M
i
i
i
i
i zXzazYzb
0 0
)()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N
i
i
M
i
i
zd
zc
AzH
1
1
1
1
)1(
)1(
)(
?
?
?
?
?
?
??
N
i
i
i
M
i
i
i
zb
za
zX
zY
zH
0
0
)(
)(
)(
于是
上式也可用因子的形式来表示
式中 {ci},{di}是 H（ z） 在 z平面上的零点和极点, A
为比例常数 。
整个系统函数可以由它的全部零, 极点来唯一确定 。
用极点和零点表示系统函数的优点是, 它提供
了一种有效的求系统频率响应的几何方法 。
一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为 ? ?
? ?
? ?
? ?
1
'11
1
11
()
1
()
1
'
MM
ii
ii
NN
ii
ii
MN
c z z c
H z A A
d z z d
A A z
?
??
?
??
??
??
??
??
?
??
??
系统的频响为,
? ?
? ?
? ?
' 1
1
M
j
i
j i
N
j
i
i
ec
H e A
ed
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在 z平面上,ejω-ci可用一根由零点 ci指向单位圆上 ejω点
的向量 来表示, 而 ejω-di可用极点 di指向 ejω的向量
表示
于是
令
分析上式表明, 频响的模函数由从各零, 极点指向 ejω
点的向量幅度来确定, 而频响的相位函数则由这些向
量的幅角来确定, 当频率 ω由 0~2π时, 这些向量的终点
沿单位圆反时针方向旋转一圈, 由此可估算出整个系
统的频响 。
ic?
id
?
?
?
?
??
N
i
i
N
i
i
j
d
c
AeH
1
1')(
?
?
?
? ? ? ? )( ???? jjj eeHeH ?
其基本原理是, 当单位圆上的 ejω 点在极点 d i附近时,
分母向量最短, 出现极小值, 频响在这附近可能出现峰
值, 且极点 di 越靠近单位圆, 极小值越小, 频响出现的
峰值越尖锐, 当 di 处在单位圆上时, 极小值为零, 相应
的频响将出现 ∞,这相当于在该频率处出现无耗 （ Q=∞）
谐振, 当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态 。 对
于现实系统, 这是不希望的 。
对于零点位置, 频响将正好相反, ejω点越接近某零
点 ci, 频响越低, 因此在零点附近, 频响出现谷点, 零
点越接近单位圆, 谷点越接近零, 零点处于单位圆上时
,谷点为零, 即在零点所在频率上出现传输零点, 零点
可以位于单位圆以外, 不受稳定性约束 。
这种几何方法为我们认识零, 极点分布对系统性能的
影响提供了一个直观的概念, 这一概念对系统的分析和
设计都十分重要 。
例 4：
Im[z]
azaz zzH ???,)(
0 * x Re[z]a
)( ?jeH
0 ?2?
?
零点在单位圆上 0,处；极点在,处 。
ω0
。。
例 有限长单位脉冲响应
0<a<1
求其频率响应特性 。
解：
如果 a为正实数, H（ z） 的零点为
这些零点分布在 |z|=a的圆周上, 对圆周进行 M等分, 它的第一个零点 k=0，
恰好与分母上的极点 （ z-a） 抵消, 因此, 整个函数 H（ z） 共有
下 图给出 M=8,0〈 a〈 1时的系统特性, 幅频的峰值出现在 ω=0,因为该处
无零点 （ 被极点对消 ）, 每一零点附近的频率响应均有陷落, 呈现出 M次起
伏, 当 M无限增大时, 波纹趋于平滑, 系统函数趋于书上一阶系统的结果 。
??
? ????
其他0
10)( Mnanh n
)(1
1)(
1
1
0 1 azz
az
az
zazazH
M
MMM
n
MM
nn
?
??
?
???
?
?
? ?
?
??
1,,1,0,2 ??? Mkaez kMjk ??
??
???
??
????
0)1(
1,,3,2,1)1(
0
2
zM
MkaezM kMjk
均集中在原点处阶极点
个零点 ?
?
上例中的单位脉冲响应是一个有限长序列, 这种系统称为, 有限长单位
脉冲响应系统,, 简写为 FIR系统 。 相应地, 当单位脉冲响应长度无限时,
则称为, 无限长单位脉冲响应系统,, 简写为 IIR系统 。
系统函数的一般成可改写为 （ b0=1）
我们知道有限度序列的 z变换在整个有限 z平面 （ |z|>0） 上收敛, 因此对
于 FIR系统, H（ z） 在有限 z平面上不能有极点 。 如分子, 分母无公共可约
因子, 则 H（ z） 分母中全部系数 bi（ i=1,2,…, N） 必须为零, 故
只要 bi中有一个系数不为零, 在有限 z平面上就会有极点, 这就属于 IIR
系统 。
bi不为零就说明需要将延时的输出序列 y(n-i)反馈回来, 所以, IIR系统的
结构中都带有反馈回路 。 这种带有反馈回路的结构称为, 递归型, 结构,
IIR系统只能采用, 递归型, 结构, 而 FIR系统一般采用非, 递归型, 结构
。 但是, 采用极, 零点抵消的方法, FIR系统也可采用, 递归型, 结构 。
IIR,FIR构成数字滤波器的两大类 。
?
?
?
?
?
?
?
? N
i
i
i
M
i
i
i
zb
za
zH
1
0
1
)(
?
?
?? M
i
i
i zazH
0
)(
小 结：
?理想采样信号及其频谱特点、采样定理
?Z变换定义,Z变换收敛域,Z变换性质
?逆 Z变换、常用序列 Z变换
?因果稳定系统
?线性时不变系统输入、输出的关系
?系统函数、系统频响及其几何确定方法
