第2章 插值与逼近
一、考核知识点
拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方程组。
二、考核要求：
1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。
2．了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。
3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的方法。
三、重、难点分析
例1 已知用线性插值计算，并估计误差。
解 取插值节点x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为
故有
误差为
例2已知函数数值表为
1 2 3
1 3 7
用抛物插值法求近似值。
解 作差商表：
一阶差商
二阶差商
1
1
2
3
2
3
7
4
1
代入牛顿插值多项式得：
故
例3已知的函数表
x
0
1
2
y
8
-7.5
-18
求在[0，2]内的零点近似值。
解 因为yi关于x严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单，
具体作法如下：
先作反函数表
x
8
-7.5
-18
y
0
1
2
将节点x0=8,x1=-7.5，x2=-18及对应函数值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得
于是得f(x)在[0，2]内零点
值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。
例4 已知数表：
1
2
3
3.8
7.2
10
求最小二乘一次式。
解 设最小一次式为，由系数公式得：
于是有法方程组
解法方程组得
所以最小二乘一次式
例5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。
解 令
由
得法方程组
解得
所以最小二乘解为
已知插值基函数，证明 ：当时，
证明：令 ，
则有
因为，所以。
