第5章 线性方程组的迭代解法
一、考核知识点：
向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，严格对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。
二、考核要求：
1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。
2．了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。
3．熟练掌握雅可比迭代法，了解其收敛性。
4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性。
三、重、难点分析
例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。
解 ，
证明
证明 因为
所以
例3 已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数。
解 ，，
例4 已知方程组
（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式
（2）证明当时，雅可比迭代法收敛
（3）取,，求出。
解 （1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：
（2）当时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
（3）取，
由迭代公式计算得
， ，
， ，
则 =（， ，）
例5 用高斯——塞德尔迭代法解方程组
（1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛
（2）写出高斯——塞德尔法迭代公式
（3）取，求出
解 （1）因为A为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛。
（2）对，从第个方程解出，得高斯——塞德尔法迭代公式为
（3） ， ，
， ，
则=（， ，）
