10.1例题
1,证明整数,有 nm?
0)(11 ??? dxxPx nm
证明,
l
n
n
m
nn
m x
dx
dx
n
dxxPx )1(
!2
1)( 21
1
1
1
?? ??
??
])1()1([!2 1 21
11
1
11
1
2
1
1
l
n
n
ml
n
n
m
n xdx
dxmx
dx
dx
n ???? ?
?
?
?
??
?
?
l
n
n
m
n xdx
dx
n
m )1(
!2
2
1
11
1
1 ???
?
?
?
??
?
0)1(
!2
!)1( 1
1
2
1
1
???? ???
??
l
mn
mn
n
m x
dx
d
n
m
2,内半径 a 而外半径 2a 的均匀球壳,内、外表面温
度分别为 0 和 u0 。 求球壳内的稳定温度分布。
解,完全球对称,温度分布与 无关。拉普拉斯
方程写作
??,
0)(1 22 ?drdurdrdr
0)2(,0)( uauau ??
这是常微分方程边值问题,通解为
1??? DrCu
带入边界条件
0)( 1 ??? ?DaCau 1??? DaC
011 )2()2( uraDDaau ???? ?? 02 auD ??
)1(2 0
r
auu ??
3,半径 a 的导体球壳,在 处用一绝缘细环将
球壳分为两部分。球壳上电势为 a??
??
?
??
???
)(0
)0(),(
??
??
a
aUau
球球壳内部电势。
解:,0??u
r
)( c o s),(
0
?? l
l
l
l PrAru ?
?
?
?
球壳内
)( c o s),(
0
?? l
l
l
l PaAau ?
?
?
?
??? dPUlaA lall s i n)( c o s2 12 0???
dxxPUl la )(2 )12( 1c o s???
由于递推关系,
]''[12 1 11 ?? ??? lll PPlP
dxxPxPUaA ll
a
l
l )](')('[2 11
1
c o s ??
?? ? 1c o s11 )]()([2 all xPxPU ?? ??
)]( c o s)( c o s[2 11 axPaPU ll ?? ??
0?l
0?l
)c o s1(2s i n2
00
aUdUA a ??? ? ??
)( c o s)]( c o s)( c o s[2)c o s1(2),(
1
11 ?? l
l
l
l
ll Pa
raxPaPUaUru ??
?
?? ????