第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程的定解问题
7.1 数学物理方程的导出
一、基本思路
1.目标,建立描述物理过程的微分方程。
2.操作：物理过程由物理量的变化描述 → 选取 物理量,
物理量的 微分 表示它的变化；
物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定律等）
→ 建立 微分方程 。
二、几种基本的方程
1.均匀弦的微小 横 振动
x x
),( txu
y
),(),( txutxy ?
xx ??
),( ttxxu ????
?
变化
),(),( ttxxuttxxy ?????????
A.弦 的横振动
)(xu
x
0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
B.无穷小的一段弦 B
C.受力分析和运动方程
弦的原长 xs ???
现长 xuxs ??????? 22 )()('
弦长的变化产生回到原位置的 张力
沿 x-方向，这一段弦 不出现平移 0c o sc o s 1122 ?? ?? TT
弦长,质量密度, B段的质量为 。 dxdxds ?? 2)( ? dxm ??
沿垂直于 x-轴方向
ttudxTT )(s i ns i n 1122 ??? ??
tttt mumydt
ydmf ???
2
2
小振动,.1co s,1co s,0,0 2121 ???? ????
xxx ux
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ttxxdxxx udxuTuT )(12 ????
tt
xxdxxx u
dx
uuT ????
0?? ttxx uTu ?
?/2 Ta ?02 ??
xxtt uau
波动方程。 波速
D.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。 在受到与 弦垂直方向的周期力 的作用时，弦运动为 受迫振动 。
设单位长度上弦受力,则 dx 受力为 。 ),( txF ?/),(),( txFtxf ?
ttxxdxxx udxdxtxFuTuT )(),(12 ?????
最后得 受迫振动 方程
),(2 txfuau xxtt ??
2.均匀杆的 纵 振动
A.杆的弹性力学基本力学方程,胡克定律
L
S
dL
f?
LdLYSf ?
Y：杨氏模量,
单位面积上的应力。
B.运动方程
x
x dxx?
杆中选 L=dx 长一段 时刻 t,x 一端 位移 u,x+dx 一端位移 u+du。
u dxu?
duuduudL ???? )(
xY S udxduYSf ??
杆的伸长
当取更长的 dx，两端的相对伸长和
应力将不同，杆受力
dxY S uY S uY S ufff xxxdxxxdxx ????? ??
又,牛顿定律,
ttuSdxf )(??
即 02 ??
xxtt uau
?/2 Ya ? 为波速
补充 连续性方程 连续分布的某种 物理量,如介质：建立座标
x
y
z
),,( zyx
),,( dzzdyydxx ???
dx
dy
dz
密度,单位容积中物理量的多少
),,,( tzyxu
流强度,单位时间通过单位面积
的该物理量（ v 为 流速 ）
vuq ???
单位时间沿 x- 方向 净流入量
xq?
dxxq ??
d x d y d zxqd y d zqq xdxx ??????? ? )(
单位时间净流入量等于由密度增加的量 dxdydz
tu???
二者相等得 连续性方程
d x d y d ztud x d y d zxq ??????
0)( ?????? xuvxtu 表示物质的总量守恒
3.流体力学 与 声学 方程
A.连续介质性质,当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动 的 连续介质 。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此
的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起密度的疏密变化。
例如，在 静止 的介质中，介质的速度为零，并且有压强 和密度 。
当 振动出现时,介质中各处有介质的振动速度 v,振动的传播速度－ 声速 ；
显然,v<<声速,并且设 密度的相对变化 s 为
0P 0?
0
0? ?? ??s
B.拉普拉斯假定
欧拉方程 （流体动力学方程） fpvvv
t
???? ???????
?1)(
连续性方程 0)( ???
?? vt ???
物态方程
声传播为 绝热过程,
?? ?? ?? ? 00pp
)(?fp?
过程方程
C.方程 s,v 小量,f=0
pv t ???
0
1
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4,真空 电磁波 方程
电磁学的 麦克斯韦方程 （微分形式）
t
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5,扩散 方程
A,扩散现象
系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现 物质从高浓度处到低浓度处的转移,叫 扩散 。
B.菲克定律
dx
x
)(xu )( dxxu ?
浓度梯度, u?
扩散流强度,单位时间通过单位面积的物质的量 q?
uDq ????
0)( ?????? xuvxtu vuq ???
C,扩散方程
0)()( ???????????????????? xuDxtuxqtuuvxtu xx
D 均匀
0222 ?????? xuatu
三维 0)()()( ?????????????????? zuDzyuDyxuDxtu 0)(2 ??????? uatu
Da ?2
连续性方程
带入菲克定律
6.热传导 方程
热传导, 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。
1u
x?
2u
q?
热力学问题 。
热力学第一定律, dUdWdQ ??
U
W
Q 热力学过程交换的热量
热力学过程外界对系统做的功
系统的内能
热传导过程 dW=0,dUdQ?
系统传导的 热量 就是 内能的改变。
能量守恒，满足连续性方程 ),,,( tzyxu
系统的 温度
q?热流强度,单位时间通过单位面积的热量。
傅立叶定律, ukq ???? k 热传导系数
建立热传导与扩散间的对比
浓度－温度 扩散流强度－热流强度 斐克定律－傅立叶定律
＋连续性方程＝热传导方程
0222 ?????? xuatu一维,ka ?2
三维 0)()()( ?????????????????? zuDzyuDyxuDxtu0)(2 ??????? uatu
它们形式完全相同，通称为 扩散方程。
7.稳定 分布
扩散方程 的解一般 含时 ),,,( tzyxu
不含时的解满足方程
0)(2 ??????? uatu
uu ?????? 0)(
此为 拉普拉斯方程 。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足
拉普拉斯方程。
8.真空 静电场
高斯定理 ? ???
S V
dVSdD ???
?? ?? VV dVdVE ?? 01?
ED ?? 0??
??
0
1??E?
真空还有 0??
又 VE ????
0??E?
最后,0??V
9.薛定谔方程 Vuu
mui t ??? 2
2?? 扩散类方程
7.2 定解条件
一、常微分方程定解问题回顾
对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的代数方程。解这个代数
方程，得导数。由积分，从导数得出原函数。 常微分方程求解就是积分 。
积分过程会出现积分常数。 常微分方程定解问题就是确定积分常数 。
通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如 初值 （ u(t=0)）确定积分
常数。从而 定解 。
二、数学物理方程的定解问题
积分一次，出现一个积分常数；求解 二阶 常微分方程出现 两个 积分常数。
1,初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积分常数。 复杂！
t＝ 0,初始条件 。 x,y,z＝ 0,l, 边界条件 自变量特定值,
),,(),,,( 0 zyxtzyxu t ???初始“位移”
初始“速度” ),,(),,,( 0 zyxtzyxu tt ???
T的一次方程，只需要初始位移
T的二次方程还需要初始速度。
注, 和 是空间座标的函数，在系统的 任何位置 都是确定的！ ),,( zyx? ),,( zyx?
例如
x
u
1lx?
lx?0?x
h
t=0,)()0,( xtxu ???
hx ?)(?
?
?
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?
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?
?
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1
1
1
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lx
ll
xlh
lx
l
xh
x?
x
hl ?)( 1?
2.边界条件 以一维情况为例
特定的 时间,
变化的空间。
特定的 空间,
变化的时间。
边界 划分 系统 和 外界 。系统和外界之间的不同的关系，决定
了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定值的函数与
函数的导数两项。不同的边界条件决定了这两项的不同的组
合，故可能出现 几类 边界条件。
A.第 一 类边界条件 只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。
如, a.两端固定 的弦振动 0),( 0??xtxu 0),( ??lxtxu和 如上图
b.细杆 热传导
0?x lx?
0),( utxu lx ??
或随时间变化的
温度 )(),( tftxu lx ??
恒温
c.扩散 恒定浓度，或随时间变化的浓度。
B.第 二 类边界条件
第 一 类边界条件的基本形式,),,,(),,,(
000,,000 tzyxftzyxu zyx ?边界
速度确定。
a.细杆的纵振动 。当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的 相对伸长也为零,
0),( ??lxx txu
b.细杆热传导 。端点绝热,热流强度为零,由傅立叶定律,
0),( ??lxx txu
C.第 三 类边界条件
位移和速度的组合
a.细杆热传导 。端点“自由”冷却。
牛顿冷却定律,)( Tuhq ?? T 为环境温度。
nq
u T
根据傅立叶定律，在 x=l 处,
)( Tuhku lxlxn ??? ??
0?x lx?
负 x方向
n? n?
正 x方向
)( Tuhku lxlxn ?? ??
THuu lxx ?? ?)(
THuu lxx ?? ?)(
在 x=0 处
xn kuq ??
xn kuq ?
b.细杆纵振动 。端点与固定点 弹性连接 。应力为弹性力
胡克定律,
xYSuf ?
弹性力,kuf ?
则在端点 xYSuku?
0)( ?? ? lxxukYSu
一般表达式,),,,()(
000,,000 tzyxfHuu zyxx ??
这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，需根据具体情况制定之。
3.衔接条件
xlx?
k
系统中可能出现物理性质急剧变化的点－ 跃变点 。如两节具有不同的杨氏模量的
细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在
跃变点,某些物理量仍然可以是连续的,这就构成 衔接条件 。
衔接条件更加依赖于具体的物理情况。
例
u
x
0x
横向力 作用于 点。 )(tF
)(tF
0x
弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。 0x
)0()0( 00 ??? xuxu
又，横向力应与张力平衡,
0s i ns i n)( 21 ??? ?? TTtF
这两个 等式 就是 衔接条件 。
第七章 数学物理方程的定解问题
7.1 数学物理方程的导出
一、基本思路
1.目标,建立描述物理过程的微分方程。
2.操作：物理过程由物理量的变化描述 → 选取 物理量,
物理量的 微分 表示它的变化；
物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定律等）
→ 建立 微分方程 。
二、几种基本的方程
1.均匀弦的微小 横 振动
x x
),( txu
y
),(),( txutxy ?
xx ??
),( ttxxu ????
?
变化
),(),( ttxxuttxxy ?????????
A.弦 的横振动
)(xu
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A
B
C
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1T
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2T
2?
B.无穷小的一段弦 B
C.受力分析和运动方程
弦的原长 xs ???
现长 xuxs ??????? 22 )()('
弦长的变化产生回到原位置的 张力
沿 x-方向，这一段弦 不出现平移 0c o sc o s 1122 ?? ?? TT
弦长,质量密度, B段的质量为 。 dxdxds ?? 2)( ? dxm ??
沿垂直于 x-轴方向
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波动方程。 波速
D.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。 在受到与 弦垂直方向的周期力 的作用时，弦运动为 受迫振动 。
设单位长度上弦受力,则 dx 受力为 。 ),( txF ?/),(),( txFtxf ?
ttxxdxxx udxdxtxFuTuT )(),(12 ?????
最后得 受迫振动 方程
),(2 txfuau xxtt ??
2.均匀杆的 纵 振动
A.杆的弹性力学基本力学方程,胡克定律
L
S
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LdLYSf ?
Y：杨氏模量,
单位面积上的应力。
B.运动方程
x
x dxx?
杆中选 L=dx 长一段 时刻 t,x 一端 位移 u,x+dx 一端位移 u+du。
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杆的伸长
当取更长的 dx，两端的相对伸长和
应力将不同，杆受力
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又,牛顿定律,
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即 02 ??
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补充 连续性方程 连续分布的某种 物理量,如介质：建立座标
x
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密度,单位容积中物理量的多少
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单位时间沿 x- 方向 净流入量
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d x d y d zxqd y d zqq xdxx ??????? ? )(
单位时间净流入量等于由密度增加的量 dxdydz
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二者相等得 连续性方程
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0)( ?????? xuvxtu 表示物质的总量守恒
3.流体力学 与 声学 方程
A.连续介质性质,当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动 的 连续介质 。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此
的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起密度的疏密变化。
例如，在 静止 的介质中，介质的速度为零，并且有压强 和密度 。
当 振动出现时,介质中各处有介质的振动速度 v,振动的传播速度－ 声速 ；
显然,v<<声速,并且设 密度的相对变化 s 为
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B.拉普拉斯假定
欧拉方程 （流体动力学方程） fpvvv
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物态方程
声传播为 绝热过程,
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过程方程
C.方程 s,v 小量,f=0
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4,真空 电磁波 方程
电磁学的 麦克斯韦方程 （微分形式）
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5,扩散 方程
A,扩散现象
系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现 物质从高浓度处到低浓度处的转移,叫 扩散 。
B.菲克定律
dx
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)(xu )( dxxu ?
浓度梯度, u?
扩散流强度,单位时间通过单位面积的物质的量 q?
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C,扩散方程
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连续性方程
带入菲克定律
6.热传导 方程
热传导, 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。
1u
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2u
q?
热力学问题 。
热力学第一定律, dUdWdQ ??
U
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Q 热力学过程交换的热量
热力学过程外界对系统做的功
系统的内能
热传导过程 dW=0,dUdQ?
系统传导的 热量 就是 内能的改变。
能量守恒，满足连续性方程 ),,,( tzyxu
系统的 温度
q?热流强度,单位时间通过单位面积的热量。
傅立叶定律, ukq ???? k 热传导系数
建立热传导与扩散间的对比
浓度－温度 扩散流强度－热流强度 斐克定律－傅立叶定律
＋连续性方程＝热传导方程
0222 ?????? xuatu一维,ka ?2
三维 0)()()( ?????????????????? zuDzyuDyxuDxtu0)(2 ??????? uatu
它们形式完全相同，通称为 扩散方程。
7.稳定 分布
扩散方程 的解一般 含时 ),,,( tzyxu
不含时的解满足方程
0)(2 ??????? uatu
uu ?????? 0)(
此为 拉普拉斯方程 。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足
拉普拉斯方程。
8.真空 静电场
高斯定理 ? ???
S V
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真空还有 0??
又 VE ????
0??E?
最后,0??V
9.薛定谔方程 Vuu
mui t ??? 2
2?? 扩散类方程
7.2 定解条件
一、常微分方程定解问题回顾
对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的代数方程。解这个代数
方程，得导数。由积分，从导数得出原函数。 常微分方程求解就是积分 。
积分过程会出现积分常数。 常微分方程定解问题就是确定积分常数 。
通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如 初值 （ u(t=0)）确定积分
常数。从而 定解 。
二、数学物理方程的定解问题
积分一次，出现一个积分常数；求解 二阶 常微分方程出现 两个 积分常数。
1,初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积分常数。 复杂！
t＝ 0,初始条件 。 x,y,z＝ 0,l, 边界条件 自变量特定值,
),,(),,,( 0 zyxtzyxu t ???初始“位移”
初始“速度” ),,(),,,( 0 zyxtzyxu tt ???
T的一次方程，只需要初始位移
T的二次方程还需要初始速度。
注, 和 是空间座标的函数，在系统的 任何位置 都是确定的！ ),,( zyx? ),,( zyx?
例如
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2.边界条件 以一维情况为例
特定的 时间,
变化的空间。
特定的 空间,
变化的时间。
边界 划分 系统 和 外界 。系统和外界之间的不同的关系，决定
了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定值的函数与
函数的导数两项。不同的边界条件决定了这两项的不同的组
合，故可能出现 几类 边界条件。
A.第 一 类边界条件 只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。
如, a.两端固定 的弦振动 0),( 0??xtxu 0),( ??lxtxu和 如上图
b.细杆 热传导
0?x lx?
0),( utxu lx ??
或随时间变化的
温度 )(),( tftxu lx ??
恒温
c.扩散 恒定浓度，或随时间变化的浓度。
B.第 二 类边界条件
第 一 类边界条件的基本形式,),,,(),,,(
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速度确定。
a.细杆的纵振动 。当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的 相对伸长也为零,
0),( ??lxx txu
b.细杆热传导 。端点绝热,热流强度为零,由傅立叶定律,
0),( ??lxx txu
C.第 三 类边界条件
位移和速度的组合
a.细杆热传导 。端点“自由”冷却。
牛顿冷却定律,)( Tuhq ?? T 为环境温度。
nq
u T
根据傅立叶定律，在 x=l 处,
)( Tuhku lxlxn ??? ??
0?x lx?
负 x方向
n? n?
正 x方向
)( Tuhku lxlxn ?? ??
THuu lxx ?? ?)(
THuu lxx ?? ?)(
在 x=0 处
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xn kuq ?
b.细杆纵振动 。端点与固定点 弹性连接 。应力为弹性力
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则在端点 xYSuku?
0)( ?? ? lxxukYSu
一般表达式,),,,()(
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这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，需根据具体情况制定之。
3.衔接条件
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系统中可能出现物理性质急剧变化的点－ 跃变点 。如两节具有不同的杨氏模量的
细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在
跃变点,某些物理量仍然可以是连续的,这就构成 衔接条件 。
衔接条件更加依赖于具体的物理情况。
例
u
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0x
横向力 作用于 点。 )(tF
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弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。 0x
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又，横向力应与张力平衡,
0s i ns i n)( 21 ??? ?? TTtF
这两个 等式 就是 衔接条件 。
