8.2 非齐次方程
),(2 txfuau xxtt ??
),(2 txfuau xxt ??
波动方程
振动方程
(1) 傅立叶级数法
例 1
tlxAuau xxtt ?? s inc o s2 ?? 0),( 0??xx txu 0),( ??lxx txu
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???
解,
lx?cos源项 恰好满足边界条件，故可设解为
???? 0 c o s)(),( n n l xntTtxu ?
带入泛定方程
tlxAl xntTl antT
n nn
???? s i nc o sc o s)]()()(''[
0
2 ????
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lxn?cos
同次项 tAtT
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带入初始条件 ?? ?
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n nn n l
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)1(0)()()('' 2 ??? ntTl antT nn ?解方程 必须知道 Tn 的初始条件
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得解 ttT 000 )( ?? ??
l atnan ll atntT nnn ????? s inc o s)( ??
tAtTlatT ?? s in)()()('' 121 ?? 的解是齐次方程的 通解 和非齐次方程度 特解 的和。
通解,latallat ????? s i nc o s 11 ?
特解,)s ins in()/( 1
22 tl
alatlaaAl ??????? ??
]s ins in)([)/( 1)('' 22221 tlalatlalaaAltT ????????? ???? ]s ins in[)/( 222 tlatl alaA ??????? ????
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并不是普遍地方法。
(2) 冲量定理法 （波动方程） ),(2 txfuau
xxtt ?? 0),( 0??xtxu 0),( ??lxtxu
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???
a,解的分解
III uuu ??
02 ?? xxIttI uau
0),( 0??xI txu 0),( ??lxI txu
)(0 xu tI ??? ).(0 xu ttI ???
),(2 txfuau xxIIttII ??
0),( 0??xII txu 0),( ??lxII txu
00 ??tIIu 00 ??ttIIu
这是普通道具有齐次边界条件的
齐次方程
初始值零点非齐次方程，可用
冲量定理法
b,物理思想
时刻 t 单位长弦受力 ),(),( txftxF ??
C,解 02 ?? xxtt vav 0),( 0??xtxv 0),( ??lxtxv
00 ????tv ),(0 txfv tt ????
?? tII dtxvtxu
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数学检验,
边界条件,0);,(),(
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0);,(),(
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初始条件
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0
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积分号下的求导公式,
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齐次方程
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ttxvdtxvttxu tt ttt ???? ? ?? ),();,(
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ttxvdtxv tt tt ?? ? ??
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),();,(
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txfdtxvt tt ?? ? ??
),(0
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txfdt ?? ? ? ),( txf?
)),(( 0 txfv tt ????
例 1
tlxAuau xxtt ?? s inc o s2 ?? 0),( 0??xx txu 0),( ??lxx txu
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???
解 02 ?? xxtt vav 0),( 0??xx txv 0),( ??lxx txv
00 ????tv ),(s i nc o s0 txflxAv tt ???? ???
由边界条件,??
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n n l
xntTtxv ???
带入泛定方程,
0c o s])(''[
0
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xnTl anT ??
0)('' 2 ?? Tl anT n ?
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l xnltanBltanABAtxv n nn ????????? c o s))(s in)()(c o s)(();,( 100 ?
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带入初始条件,0
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nnnI
??? ?? ??
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初值 确定叠加系数,;s in)(2
0
????? dlnlA ln ??,s in)(2
0
?????? dlnanB ln ??
),(),(),( txutxutxu III ??
由初始条件决定的
由外力决定的
(2) 冲量定理法 （输运方程） ),(2 txfuau
xxt ?? 0),( 0??xtxu 0),( ??lxx txu
00 ??tu 为简单计
解 02 ?? xxtt vav 0),( 0??xtxv 0),( ??lxtxv
),(0 txfv t ????
?? t dtxvtxu
0
);,(),( ??
例 3 tAuau xxt ?sin2 ?? 0),( 0??xtxu 0),( ??lxx txu
00 ??tu
解 02 ?? xxtt vav 0),( 0??xtxv 0),( ??lxx txv
??? sin0 Av t ???;2 )12(s i n]4 )()12(e x p [);,( 2 222
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