第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程的定解问题
7.1 数学物理方程的导出
一、基本思路 1.受力分析
x
x
0
A x gf s???
2,牛顿定律
fxm ??
3.振动方程
A xgxm s????? 0?? x
m
Agx s???
1.目标,建立描述物理过程的微分方程。
2.操作：物理过程由物理量的变化描述 → 选取 物理量,
物理量的 微分 表示它的变化；
物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定
律等）
→ 建立 微分方程 。
1.均匀弦的微小 横 振动
),(),( txutxy ?
),( txu
x x
y
xx ??
),( ttxxu ????
?
变
化
),(),( ttxxuttxxy ?????????
二、几种基本的方程
A.弦 的横振动
)(xu
x
0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
B.无穷小的一段弦 B
C.受力分析和运动方程
弦的原长 xs ??? 现长 xuxs ??????? 22 )()('
弦长的变化产生回到原位置的 张力
)(xu
x
0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
0c o sc o s 1122 ?? ?? TT沿 x-方向,不出现平移
dxdxds ?? 2)(
?
dxm ??
弦长
质量密度
B段的质量
沿垂直于 x-轴方向
tttt mumydt
ydmf ???
2
2
ttudxTT )(s i ns i n 1122 ??? ??
0c o sc o s 1122 ?? ?? TT
ttudxTT )(s i ns i n 1122 ??? ??
小振动,.1co s,1co s,0,0
2121 ???? ????
xxx ux
u ?
?
???
11 t a ns i n ??
22s i n t a n x x xu?? ????
012 ?? TT
ttxxdxxx udxuTuT )(12 ????
ttxxdxxx udxuTuT )(12 ????
tt
xxdxxx u
dx
uu
T ??
??
0?? ttxx uTu ?
?/2 Ta ?
02 ?? xxtt uau波动方程。
波速
x at? 1t
x x t a t
? ? ? ???
? ? ? ?
01 22 ?? tttt uaau
a
D.受迫振动
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力
为零。在受到与 弦垂直方向的周期力 的作用时，弦运
动为 受迫振动 。
设单位长度上弦受力,则 dx 受力
为 。
),( txF
?/),(),( txFtxf ?
ttxxdxxx udxdxtxFuTuT )(),(12 ?????
最后得 受迫振动 方程
),(2 txfuau xxtt ??
2.均匀杆的 纵 振动
A.杆的弹性力学基本力学方程,胡克定律
L
dLYSf ?
Y：杨氏模量，单位面积上的应力。
L
S
dL
f?
杆中选 L=dx 长一段
时刻 t,x 一端 位移 u,x+dx 一
端位移 u+du。
duuduudL ???? )(
xY S udx
duYSf ??
杆的伸长
L
S
dL
f?
B.运动方程
x dxx?
x
u dxu?
duuduudL ???? )(
xY S udx
duYSf ??
更长的 dx，两端的
相对伸长和应力将
不同，杆受力
dxY S uY S uY S ufff xxxdxxxdxx ????? ??
牛顿定律,
ttuSdxf )(??
即 02 ??
xxtt uau ?/2 Ya ? 为波速
补充 连续性方程
连续分布的某种 物理量,
如介质：建立座标 密度,单位容积中物理量的多少
),,,( tzyxu
流强度,单位时间通过单位面积
的该物理量（ v 为 流速 ）
vuq ???
单位时间沿 x- 方向 净流入量
x
y
z
),,( zyx
),,( dzzdyydxx ???
dx
dy
dz
xq?
dxxq ??
d x d y d zxqd y d zqq xdxx ??????? ? )(
单位时间净流入量
等于由密度增加的量
d x d y d ztu???
二者相等得 连续性方程
d x d y d ztud x d y d zxq ??????
0)( ?????? xuvxtu 表示物质的总量守恒
x
y
z
),,( zyx
),,( dzzdyydxx ???
dx
dy
dz
xq?
dxxq??
3.流体力学 与 声学 方程
A.连续介质性质,
当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传
播振动的 连续介质 。在其中取一个小的立方体，可以
定义介质在此的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起
密度的疏密变化。
例如，在 静止 的介质中，介质的速度为零，并且有
压强 和密度 。当 振动出现时,介质中各处有介
质的振动速度 v,振动的传播速度－ 声速 ；显然,
v<<声速,并且设 密度的相对变化 s 为
0P 0?
0
0
?
?? ??s
B.拉普拉斯假定
欧拉方程 （流体动力学方程）
fpvvv t ???? ??????? ?1)(
连续性方程 0)( ????? vt ???
物态方程
声传播为 绝热过程,
?? ?? ?? ? 00pp
)(?fp ?
过程方程
C.方程 s,v 小量,f=0
pv t ???
0
1
?
?
0?
?t
ts ? 0)( 0 ?????? vv tt
?? ???? 0??? vs t ?
)1()1()( 00
0
000 spsppppp ??
??? ???? ??????? ??
pv t ???
0
1
?
? )1(0 spp ??? ? spv
t ???
0
0
?
??
spv t ???
0
0
?
?? 0??? vs t ? ? 022 ??? sas tt
0
02
?
?pa ?
4,真空 电磁波 方程
电磁学的 麦克斯韦方程 （微分形式）
t
t
DjH
B
BE
D
???
?
??
?
????
???
????
???
,0
,
,?
真空时,EDHBj ?????
00,,0,0 ??? ????
t
t
EH
H
HE
E
??
?
??
?
0
0
,0
,
,0
?
?
???
???
????
???
ttt EH
??
0????
000 ?????? ttEE ?? ??
,0 tHE ?? ???????? ?
BABAABABBA ????????? )()()()()( ????????????????
EEEEEE ?????? )()()()()()( ?????????????????????????
0)(2 ????? EaE tt ??
0)(2 ????? HaH tt ??
EBA ??? ???,
5,扩散 方程
A,扩散现象
系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现 物质从高浓度处
到低浓度处的转移,叫 扩散 。
B.菲克定律
dx
x
)(xu )( dxxu ?
浓度梯度, u?
扩散流强度,单位时间通过单位面
积的物质的量
q?
uDq ????
0)( ?????? xuvxtu vuq
???C,扩散方程
0)()( ???????????????????? xuDxtuxqtuuvxtu xx
D 均匀
0222 ?????? x uatu
三维 0)()()( ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
z
uD
zy
uD
yx
uD
xt
u 0)(2 ?????
?
? ua
t
u
Da ?2
连续性方程
带入菲克定律
建立微分方程的两类方法
1,直接从方程出发
麦克斯韦方程 0)(2 ????? EaE tt ??
0)(2 ????? HaH tt ??
菲克定律 +连续性方程 =扩散 方程
0)(2 ??????? uatu
欧拉方程 （流体动力学方程） fpvvv
t
???? ???????
?
1)(
连续性方程 0)( ????? vt ??? 绝热过程 ?? ?? ?? ?
00pp
022 ??? sas tt
均匀杆的 纵 振动
x dxx?
x
u dxu?
xY S udx
duYSf ?? ttuSdxf )(??
02 ?? xxtt uau
2,从分析物理对象出发
均匀弦的微小 横 振动
tttt mumydt
ydmf ???
2
2
02 ?? xxtt uau
)(xu
x0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
6.热传导 方程
热传导, 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。
1u
x?
2u
q?
热力学问题 。
热力学第一定律, dUdWdQ ??
U
W
Q 热力学过程交换的热量
热力学过程外界对系统做
的功
系统的内能
热传导过程 dW=0,dUdQ ?
系统传导的 热量 就是 内能的改变。
),,,( tzyxu 系统的 温度
热流强度,单位时间通过单位面积的热量。
能量守恒，满足连续性方程
热流强度,单位时间通过单位面积的热量。
傅立叶定律, ukq ???? k 热传导系数
建立热传导与扩散间的对比
浓度－温度 扩散流强度－热流强度
斐克定律－傅立叶定律
＋连续性方程＝热传导方程
02
2
2 ?
?
??
?
?
x
ua
t
u一维,ka ?2
三维
0)()()( ?????????????????? zuDzyuDyxuDxtu
0)(2 ??????? uatu
它们形式完全相同，通称为 扩散方程。
7.稳定 分布
扩散方程 的解一般 含时 ),,,( tzyxu
不含时的解满足方程
0)(2 ??????? uatu
uu ?????? 0)(
此为 拉普拉斯方程 。即稳定的浓度分布和温度分布，
其浓度和温度满足拉普拉斯方程。
8.真空 静电场
高斯定理 ? ???
S V
dVSdD ???
?? ??
VV
dVdVE ??
0
1?
ED ?? 0??
??
0
1?? E?
真空还有 0??
又 VE ????
0??E?
最后,0??V
9.薛定谔方程
Vuumui t ??? 2
2?
?
扩散类方程
7.2 定解条件
一、常微分方程定解问题回顾
对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的
代数方程。解这个代数方程，得导数。由积分，从导
数得出原函数。 常微分方程求解就是积分 。
积分过程会出现积分常数。 常微分方程定解问题就是
确定积分常数 。
通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如 初
值 （ u(t=0)）确定积分常数。从而 定解 。
积分一次，出现一个积分常数；求解 二阶 常微分方程出
现 两个 积分常数。
二、数学物理方程的定解问题
1,初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积
分常数。 复杂！
t＝ 0,初始条件 。
x,y,z＝ 0,l, 边界条件
自变量特定值,
),,(),,,( 0 zyxtzyxu t ???初始“位移”
初始“速度” ),,(),,,( 0 zyxtzyxu tt ???
T的一次方程，只需要初始位移
T的二次方程还需要初始速度 。
注, 和 是空间座标的函数，在系
统的 任何位置 都是确定的！
),,( zyx? ),,( zyx?
例如 t=0,)()0,( xtxu ???
hx ?)(?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1)(
lx
ll
xl
h
lx
l
x
h
x?
x
u
1lx?
lx?0?x
h
x
hl ?)( 1?
特定的 时间,
变化的空间。
2.边界条件 以一维情况为例 特定的 空间,
变化的时间。
边界 划分 系统 和 外界 。系统和外界之间的不同的关系，
决定了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定
值的函数与函数的导数两项。不同的边界条件决定了
这两项的不同的组合，故可能出现 几类 边界条件。
A.第 一 类边界条件
只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。
如, a.两端固定 的弦振动 0),( 0 ??xtxu 0),( ?? lxtxu和
如上图
b.细杆 热传导
0?x lx?
0),( utxu lx ??
或随时间变化的温度 )(),( tftxu
lx ??
恒温
c.扩散 恒定浓度，或随时间变化的浓度。
B.第 二 类边界条件
第 一 类边界条件的基本形式,),,,(),,,(
000,,000 tzyxftzyxu zyx ?边界
速度确定。
a.细杆的纵振动 。当端点“自由”，即无应力。
根据胡克定律，杆的 相对伸长也为零, 0),( ?? lxx txu
b.细杆热传导 。端点绝热,热流强度为零,
由傅立叶定律,
0),( ?? lxx txu
C.第 三 类边界条件
位移和速度的组合
a.细杆热传导 。端点“自由”冷却。
牛顿冷却定律,)( Tuhq ?? T 为环境温度。
nq
u T
根据傅立叶定律，在 x=l 处,
)( Tuhku lxlxn ??? ??
负 x方向
0?x
lx?
n? n?
正 x方向
)( Tuhku lxlxn ?? ??
THuu lxx ?? ?)(
THuu lxx ?? ?)(
在 x=0 处
xn kuq ??
xn kuq ?
b.细杆纵振动 。端点与固定点 弹性连接 。应力为弹性力
胡克定律,
xY S uf ?
弹性力,kuf ?
则在端点
xY S uku ?
0)( ?? ? lxxukYSu
一般表达式,),,,()(
000,,000 tzyxfHuu zyxx ??
这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，
需根据具体情况制定之。
xlx ?
k
3.衔接条件
系统中可能出现物理性质急剧变化的点－ 跃变点 。
如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这
一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。
但在跃变点,某些物理量仍然可以是连续的,这就构
成 衔接条件 。
衔接条件更加依赖于具体的物理情况。
横向力 作用于 点。 )(tF 0x
弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。
)(tF例
u
x
0x
0x
)0()0( 00 ??? xuxu
又，横向力应与张力平衡,
0s i ns i n)( 21 ??? ?? TTtF
这两个 等式 就是 衔接条件 。
求解数学物理方程
方法,
行波法
驻波法
积分变换
格林函数法
7.4 达朗贝尔公式 定解问题
（一）波动方程的 达朗贝尔公式
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat
将 和 看作如同数
－ 算子，可以加减乘除,
t?
?
x?
?
0),())(( ??????????? txuxatxat
x
t
atx?atx?
A.坐标变换
行波法
因式分解
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat 0),())(( ??????????? txuxatxat
当 a=1 沿 x 和 t
求导，变成沿对角线
求导。
变换,
)(21 ?? ??x )(21 ?? ?? at
atx ??? atx ???
x
t
0?? atx
0?? atx
x
x
t
t
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
???
x
x
t
t
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
???
xta ?
??
?
??
2
1
2
1 )(
2
1
xata ?
??
?
??
xta ?
??
?
???
2
1
2
1 )(
2
1
xata ?
??
?
???
0),(4),())((
2
2 ?
??
???
?
??
?
?
?
??
?
? ??
?? uatxuxatxat
0),(
2
??? ? ???? u即
)(21 ?? ??x )(21 ?? ?? at
atx ??? atx ???
0),(
2
??? ? ???? u
B.通解
对 积分,?
)(),( ?? ftxu ??? 积分常数依赖于
?
再积分,)()()()(
212 ????? fffdfu ???? ?
)()( 21 atxfatxf ????
为两个 待定函数 的和。
?
?
?
?
??
tT
atxX
坐标变换,TXtx,,?
新、旧坐标 时间同,
新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标,
在旧坐标中以速度 d 沿正向运动。
atx?
f1 (x+at) 保持形状不变,
以速度 d 运动 沿 x 轴 反 方向运动 。
12( ) ( )u f x a t f x a t? ? ? ?
意义
函数 f2(x-at) 保持形状不变,
以速度 d 运动 沿 x 轴 正 方向运动 。
C.定解 达朗贝尔公式
确定 待定函数 的形式 无限长，即无边界条件。
设初始条件
)(0 xu t ??? )(0 xu tt ???
)( ????? x
)()()( 21 xxfxf ???
)()(')(' 21 xxafxaf ???
)()()(1)()( 020121
0
xfxfdaxfxf
x
x
???? ? ???
12( ) ( )u f x a t f x a t? ? ? ?
)()()( 21 xxfxf ???
)()()(1)()( 020121
0
xfxfdaxfxf
x
x
???? ? ???
)]()([21)(1)(21)( 02011
0
xfxfdaxxf
x
x
???? ? ????
)]()([21)(1)(21)( 02012
0
xfxfdaxxf
x
x
???? ? ????
)]()([
2
1)(
2
1)(
2
1)(
02011
0
xfxfd
a
atxatxf
atx
x
?????? ?
?
????
)]()([21)(1)(21)( 02012
0
xfxfdaatxatxf
atx
x
?????? ?
?
????
????? d
a
atxatxtxu
atx
atx
)(
2
1)]()([
2
1),( ??
?
?????
)()( 21 atxfatxfu ????
)]()([
2
1
)(
1
)(
2
1
)]()([
2
1
)(
2
1
)(
2
1
0201
0201
0
0
xfxfd
a
atx
xfxfd
a
atx
atx
x
atx
x
?????
??????
?
?
?
?
????
????
???????? dadaatxatx
atx
x
atx
x
)(1)(2 1)(21)(21
00
??
??
??????
????? d
a
atxatxtxu
atx
atx
)(
2
1)]()([
2
1),( ??
?
?????
行波
)(0 xu t ??? )(0 xu tx ???
一半
一半
0
0
1 1 1( ) ( ) ( )
2 2 2
x a t x a t
x a t x a t
d d d
a a a
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??? ? ?
例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
21
2
21
12
1
0
21
1
12
1
0
,,0
2
,2
2
,2
)(
xxorxx
xx
xx
xx
xx
u
xx
xx
xx
xx
u
x?
0)( ?x?
)(x?
x
1x 2x
2 21
xx ?
0u
)(x?
x
1x 2x
2 21
xx ?
0u
x
0u
)(21 x?
x
),( txu
1x 2x
x
)]()([21),( atxatxtxu ???? ??
例
?
?
?
??
??
?
xxxx
xxx
x
21
210
,0
)(
?
?
0)( ?x?
解,
????????? dadadatxu
atxatxatx
atx
???
?
??
?
??
?
?
??? )(2 1)(2 1)(2 1),(
1x 2x
x
()x?
0?
??? dax
x?
??
?? )(21)(
设
??? dax
x?
??
?? )(21)(
1xx? ???? dadax
xx ??
????
??? 021)(21)(
21 xxx ??
2xx ?
]10[2 1)(2 1)(
1
1
0 ?????? ddadax
x
x
xx
??? ????
????
]010[2 1)(2 1)(
2
2
1
1
0 ??????? dddadax
x
x
x
x
xx
???? ?????
????
0?
)(2 10 xxa ?? ?
)(2 120 xxa ?? ?
1x 2x
x
)(x?
0?
1x 2x
x
)(x?
0?
1x
2x
x
0?
)(x??
????????? dadadatxu atxatxatx
atx
??? ?
??
?
??
?
?
??? )(2 1)(2 1)(2 1),(
从 达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初
始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始
条件的，额外的形式来。
而这种演化又受到边界条件的限制。
这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程
度解时的重要性。
????? d
a
atxatxtxu
atx
atx
)(
2
1)]()([
2
1),( ??
?
?????
（二） 端点的反射
一个端点固定
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为
)(0 xu t ??? )(0 xu tx ???
边界条件 0
0 ??xu
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。
????? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ?
?
?
?????
????? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ?
?
?
?????
axt /? 上式中后两项无意义。
必须将 u(x,t) 延拓到
0),0( ?tu
作 奇延拓, )()( xx ??? )()( xx ???
?
?
?
???
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
?
?
?
???
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
x
0x?
?? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ???????? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
?
?
?
?
?
)/()(
2
1
)]()([
2
1
)/()(
2
1
)]()([
2
1
),(
axtd
a
atxatx
axtd
a
atxatx
txu atx
xat
atx
atx
?????
?????
atxatx ??? atx?对称点
axt /? axt /?axt /?
延拓
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
?
?
?
?
?
)/()(
2
1
)]()([
2
1
)/()(
2
1
)]()([
2
1
),(
axtd
a
atxatx
axtd
a
atxatx
txu atx
xat
atx
atx
?????
?????
??????
??????
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
axt
atx
atx
atx
atxatx
atx
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)/(
0
0
0
0
????
??????
??
???
?
?
?
??
?
)()(2 1)(2 1)()(2 1)(2 1
0
0
0
)(0
???????????? dadadada
xat
atx
atx
atx
????
?
?
??
?
??????
半波损失
0)( ?x?
一个端点自由
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为 )(0 xu t ??? )(
0 xu tx ???
边界条件 00 ??xxu 应该是 偶延拓
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
?? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ???????? ?
?
?
偶延拓
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
?? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ???????? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
??
?
??
?
?
)/()(
2
1
)(
2
1
)]()([
2
1
)/()(
2
1
)]()([
2
1
),(
00
axtd
a
d
a
xatatx
axtd
a
atxatx
txu xatatx
atx
atx
????????
?????
)()(
2
1
)(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)/(
00
0
)(0
0
0
0
0
????????????
????????????
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
axt
xatatx
atx
atx
atx
atx
atx
atxatx
atx
????
?????
??
??
?
?
?
?
??
?
??????
?????????
无半波损失
（三） 跃变点的反射
无限长杆,x<0,x>0 两部分的杨氏模量和密度分
别为 。 x=0 是跃变点。 IIIIII YY ??,,,
设有行波 从区域 I 向 x=0 点
运动。到 x=0 产生 反射 和 透射 。
)/(),( Iaxtftxu ??
取此波在 t=0 时刻抵达 x=0,
??
?
?
?
???
???
? )0()(
)0(,0
0
2
x
a
xtfu
xuau
It
I
I
xx
I
tt
??
???
???
???
?? )0(0,0
)0(,0
00
2
xuu
xuau
t
II
tt
II
II
xx
II
tt 0?x
IIIIY ?,
IIY ?,
)/( Iaxtf ?
)( IIaxth ?
X
)( Iaxtg ?
衔接条件
?
?
?
?
?
??
??
,
,
00
00
x
II
x
II
x
I
x
I
x
II
x
I
uYuY
uu
区域 I 中的行波,)0(),()(),( ????? x
a
xtg
a
xtftxu
II
I
0?t 0)( ?
Ia
xg ? )0(,0)( ?? ??g
区域 II 中，只有 透射波
)0()(),( ??? xa xthtxu IIII
0?t 0)(',0)( ???? IIII a xha xh ? )0(0)(',0)( ??? ??? hh
衔接条件
)0()('1)](')('[1
),()()(
?
??
?
?
?
????
??
tthY
a
tgtfY
a
thtgtf
II
II
I
I
)0()(')]()([ ),()()( ?
??
?
??
?? t
thYatgtfYa
thtgtf
IIIIII
)0(
)()(
)(
2
)(
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
f
YaYa
YaYa
g
f
YaYa
Ya
h
IIIIII
IIIIII
IIIIII
III
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
)()(
2
)(0
)(
IIIIIIIIII
III
II
II
a
x
t
a
x
tf
YaYa
Ya
a
x
t
a
x
th
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
)()(
)(0
)(
IIIIIIII
IIIIII
I
I
a
x
t
a
x
tf
YaYa
YaYa
a
x
t
a
x
tg
12
22
?
?
?
?
?
IIIIII
III
IIIIII
IIIIII
YaYa
Ya
YaYa
YaYa又
2
IIIIII
IIIIII
YaYa
YaYa
?
?
22
IIIIII
III
YaYa
Ya
?
反射系数
透射系数
习题 7.4.1
)()]()([
2
1
)]()([
2
1
)('
2
1
)]()([
2
1
),(
atxatxatxatxatx
da
a
atxatxtxu
atx
atx
??????????
????? ?
?
?
?????
?????
解,
习题 7.4.6
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为
)(0 xu t ???
和 )(
0 xu tx ???
边界条件 tYSAu xx ?s in0 ??
第七章 数学物理方程的定解问题
7.1 数学物理方程的导出
一、基本思路 1.受力分析
x
x
0
A x gf s???
2,牛顿定律
fxm ??
3.振动方程
A xgxm s????? 0?? x
m
Agx s???
1.目标,建立描述物理过程的微分方程。
2.操作：物理过程由物理量的变化描述 → 选取 物理量,
物理量的 微分 表示它的变化；
物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定
律等）
→ 建立 微分方程 。
1.均匀弦的微小 横 振动
),(),( txutxy ?
),( txu
x x
y
xx ??
),( ttxxu ????
?
变
化
),(),( ttxxuttxxy ?????????
二、几种基本的方程
A.弦 的横振动
)(xu
x
0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
B.无穷小的一段弦 B
C.受力分析和运动方程
弦的原长 xs ??? 现长 xuxs ??????? 22 )()('
弦长的变化产生回到原位置的 张力
)(xu
x
0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
0c o sc o s 1122 ?? ?? TT沿 x-方向,不出现平移
dxdxds ?? 2)(
?
dxm ??
弦长
质量密度
B段的质量
沿垂直于 x-轴方向
tttt mumydt
ydmf ???
2
2
ttudxTT )(s i ns i n 1122 ??? ??
0c o sc o s 1122 ?? ?? TT
ttudxTT )(s i ns i n 1122 ??? ??
小振动,.1co s,1co s,0,0
2121 ???? ????
xxx ux
u ?
?
???
11 t a ns i n ??
22s i n t a n x x xu?? ????
012 ?? TT
ttxxdxxx udxuTuT )(12 ????
ttxxdxxx udxuTuT )(12 ????
tt
xxdxxx u
dx
uu
T ??
??
0?? ttxx uTu ?
?/2 Ta ?
02 ?? xxtt uau波动方程。
波速
x at? 1t
x x t a t
? ? ? ???
? ? ? ?
01 22 ?? tttt uaau
a
D.受迫振动
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力
为零。在受到与 弦垂直方向的周期力 的作用时，弦运
动为 受迫振动 。
设单位长度上弦受力,则 dx 受力
为 。
),( txF
?/),(),( txFtxf ?
ttxxdxxx udxdxtxFuTuT )(),(12 ?????
最后得 受迫振动 方程
),(2 txfuau xxtt ??
2.均匀杆的 纵 振动
A.杆的弹性力学基本力学方程,胡克定律
L
dLYSf ?
Y：杨氏模量，单位面积上的应力。
L
S
dL
f?
杆中选 L=dx 长一段
时刻 t,x 一端 位移 u,x+dx 一
端位移 u+du。
duuduudL ???? )(
xY S udx
duYSf ??
杆的伸长
L
S
dL
f?
B.运动方程
x dxx?
x
u dxu?
duuduudL ???? )(
xY S udx
duYSf ??
更长的 dx，两端的
相对伸长和应力将
不同，杆受力
dxY S uY S uY S ufff xxxdxxxdxx ????? ??
牛顿定律,
ttuSdxf )(??
即 02 ??
xxtt uau ?/2 Ya ? 为波速
补充 连续性方程
连续分布的某种 物理量,
如介质：建立座标 密度,单位容积中物理量的多少
),,,( tzyxu
流强度,单位时间通过单位面积
的该物理量（ v 为 流速 ）
vuq ???
单位时间沿 x- 方向 净流入量
x
y
z
),,( zyx
),,( dzzdyydxx ???
dx
dy
dz
xq?
dxxq ??
d x d y d zxqd y d zqq xdxx ??????? ? )(
单位时间净流入量
等于由密度增加的量
d x d y d ztu???
二者相等得 连续性方程
d x d y d ztud x d y d zxq ??????
0)( ?????? xuvxtu 表示物质的总量守恒
x
y
z
),,( zyx
),,( dzzdyydxx ???
dx
dy
dz
xq?
dxxq??
3.流体力学 与 声学 方程
A.连续介质性质,
当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传
播振动的 连续介质 。在其中取一个小的立方体，可以
定义介质在此的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起
密度的疏密变化。
例如，在 静止 的介质中，介质的速度为零，并且有
压强 和密度 。当 振动出现时,介质中各处有介
质的振动速度 v,振动的传播速度－ 声速 ；显然,
v<<声速,并且设 密度的相对变化 s 为
0P 0?
0
0
?
?? ??s
B.拉普拉斯假定
欧拉方程 （流体动力学方程）
fpvvv t ???? ??????? ?1)(
连续性方程 0)( ????? vt ???
物态方程
声传播为 绝热过程,
?? ?? ?? ? 00pp
)(?fp ?
过程方程
C.方程 s,v 小量,f=0
pv t ???
0
1
?
?
0?
?t
ts ? 0)( 0 ?????? vv tt
?? ???? 0??? vs t ?
)1()1()( 00
0
000 spsppppp ??
??? ???? ??????? ??
pv t ???
0
1
?
? )1(0 spp ??? ? spv
t ???
0
0
?
??
spv t ???
0
0
?
?? 0??? vs t ? ? 022 ??? sas tt
0
02
?
?pa ?
4,真空 电磁波 方程
电磁学的 麦克斯韦方程 （微分形式）
t
t
DjH
B
BE
D
???
?
??
?
????
???
????
???
,0
,
,?
真空时,EDHBj ?????
00,,0,0 ??? ????
t
t
EH
H
HE
E
??
?
??
?
0
0
,0
,
,0
?
?
???
???
????
???
ttt EH
??
0????
000 ?????? ttEE ?? ??
,0 tHE ?? ???????? ?
BABAABABBA ????????? )()()()()( ????????????????
EEEEEE ?????? )()()()()()( ?????????????????????????
0)(2 ????? EaE tt ??
0)(2 ????? HaH tt ??
EBA ??? ???,
5,扩散 方程
A,扩散现象
系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现 物质从高浓度处
到低浓度处的转移,叫 扩散 。
B.菲克定律
dx
x
)(xu )( dxxu ?
浓度梯度, u?
扩散流强度,单位时间通过单位面
积的物质的量
q?
uDq ????
0)( ?????? xuvxtu vuq
???C,扩散方程
0)()( ???????????????????? xuDxtuxqtuuvxtu xx
D 均匀
0222 ?????? x uatu
三维 0)()()( ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
z
uD
zy
uD
yx
uD
xt
u 0)(2 ?????
?
? ua
t
u
Da ?2
连续性方程
带入菲克定律
建立微分方程的两类方法
1,直接从方程出发
麦克斯韦方程 0)(2 ????? EaE tt ??
0)(2 ????? HaH tt ??
菲克定律 +连续性方程 =扩散 方程
0)(2 ??????? uatu
欧拉方程 （流体动力学方程） fpvvv
t
???? ???????
?
1)(
连续性方程 0)( ????? vt ??? 绝热过程 ?? ?? ?? ?
00pp
022 ??? sas tt
均匀杆的 纵 振动
x dxx?
x
u dxu?
xY S udx
duYSf ?? ttuSdxf )(??
02 ?? xxtt uau
2,从分析物理对象出发
均匀弦的微小 横 振动
tttt mumydt
ydmf ???
2
2
02 ?? xxtt uau
)(xu
x0
A
B
C
x
)(xu
xx ??
uu ??
1T
1?
2T
2?
6.热传导 方程
热传导, 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。
1u
x?
2u
q?
热力学问题 。
热力学第一定律, dUdWdQ ??
U
W
Q 热力学过程交换的热量
热力学过程外界对系统做
的功
系统的内能
热传导过程 dW=0,dUdQ ?
系统传导的 热量 就是 内能的改变。
),,,( tzyxu 系统的 温度
热流强度,单位时间通过单位面积的热量。
能量守恒，满足连续性方程
热流强度,单位时间通过单位面积的热量。
傅立叶定律, ukq ???? k 热传导系数
建立热传导与扩散间的对比
浓度－温度 扩散流强度－热流强度
斐克定律－傅立叶定律
＋连续性方程＝热传导方程
02
2
2 ?
?
??
?
?
x
ua
t
u一维,ka ?2
三维
0)()()( ?????????????????? zuDzyuDyxuDxtu
0)(2 ??????? uatu
它们形式完全相同，通称为 扩散方程。
7.稳定 分布
扩散方程 的解一般 含时 ),,,( tzyxu
不含时的解满足方程
0)(2 ??????? uatu
uu ?????? 0)(
此为 拉普拉斯方程 。即稳定的浓度分布和温度分布，
其浓度和温度满足拉普拉斯方程。
8.真空 静电场
高斯定理 ? ???
S V
dVSdD ???
?? ??
VV
dVdVE ??
0
1?
ED ?? 0??
??
0
1?? E?
真空还有 0??
又 VE ????
0??E?
最后,0??V
9.薛定谔方程
Vuumui t ??? 2
2?
?
扩散类方程
7.2 定解条件
一、常微分方程定解问题回顾
对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的
代数方程。解这个代数方程，得导数。由积分，从导
数得出原函数。 常微分方程求解就是积分 。
积分过程会出现积分常数。 常微分方程定解问题就是
确定积分常数 。
通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如 初
值 （ u(t=0)）确定积分常数。从而 定解 。
积分一次，出现一个积分常数；求解 二阶 常微分方程出
现 两个 积分常数。
二、数学物理方程的定解问题
1,初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积
分常数。 复杂！
t＝ 0,初始条件 。
x,y,z＝ 0,l, 边界条件
自变量特定值,
),,(),,,( 0 zyxtzyxu t ???初始“位移”
初始“速度” ),,(),,,( 0 zyxtzyxu tt ???
T的一次方程，只需要初始位移
T的二次方程还需要初始速度 。
注, 和 是空间座标的函数，在系
统的 任何位置 都是确定的！
),,( zyx? ),,( zyx?
例如 t=0,)()0,( xtxu ???
hx ?)(?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1)(
lx
ll
xl
h
lx
l
x
h
x?
x
u
1lx?
lx?0?x
h
x
hl ?)( 1?
特定的 时间,
变化的空间。
2.边界条件 以一维情况为例 特定的 空间,
变化的时间。
边界 划分 系统 和 外界 。系统和外界之间的不同的关系，
决定了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定
值的函数与函数的导数两项。不同的边界条件决定了
这两项的不同的组合，故可能出现 几类 边界条件。
A.第 一 类边界条件
只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。
如, a.两端固定 的弦振动 0),( 0 ??xtxu 0),( ?? lxtxu和
如上图
b.细杆 热传导
0?x lx?
0),( utxu lx ??
或随时间变化的温度 )(),( tftxu
lx ??
恒温
c.扩散 恒定浓度，或随时间变化的浓度。
B.第 二 类边界条件
第 一 类边界条件的基本形式,),,,(),,,(
000,,000 tzyxftzyxu zyx ?边界
速度确定。
a.细杆的纵振动 。当端点“自由”，即无应力。
根据胡克定律，杆的 相对伸长也为零, 0),( ?? lxx txu
b.细杆热传导 。端点绝热,热流强度为零,
由傅立叶定律,
0),( ?? lxx txu
C.第 三 类边界条件
位移和速度的组合
a.细杆热传导 。端点“自由”冷却。
牛顿冷却定律,)( Tuhq ?? T 为环境温度。
nq
u T
根据傅立叶定律，在 x=l 处,
)( Tuhku lxlxn ??? ??
负 x方向
0?x
lx?
n? n?
正 x方向
)( Tuhku lxlxn ?? ??
THuu lxx ?? ?)(
THuu lxx ?? ?)(
在 x=0 处
xn kuq ??
xn kuq ?
b.细杆纵振动 。端点与固定点 弹性连接 。应力为弹性力
胡克定律,
xY S uf ?
弹性力,kuf ?
则在端点
xY S uku ?
0)( ?? ? lxxukYSu
一般表达式,),,,()(
000,,000 tzyxfHuu zyxx ??
这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，
需根据具体情况制定之。
xlx ?
k
3.衔接条件
系统中可能出现物理性质急剧变化的点－ 跃变点 。
如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这
一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。
但在跃变点,某些物理量仍然可以是连续的,这就构
成 衔接条件 。
衔接条件更加依赖于具体的物理情况。
横向力 作用于 点。 )(tF 0x
弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。
)(tF例
u
x
0x
0x
)0()0( 00 ??? xuxu
又，横向力应与张力平衡,
0s i ns i n)( 21 ??? ?? TTtF
这两个 等式 就是 衔接条件 。
求解数学物理方程
方法,
行波法
驻波法
积分变换
格林函数法
7.4 达朗贝尔公式 定解问题
（一）波动方程的 达朗贝尔公式
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat
将 和 看作如同数
－ 算子，可以加减乘除,
t?
?
x?
?
0),())(( ??????????? txuxatxat
x
t
atx?atx?
A.坐标变换
行波法
因式分解
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat 0),())(( ??????????? txuxatxat
当 a=1 沿 x 和 t
求导，变成沿对角线
求导。
变换,
)(21 ?? ??x )(21 ?? ?? at
atx ??? atx ???
x
t
0?? atx
0?? atx
x
x
t
t
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
???
x
x
t
t
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
???
xta ?
??
?
??
2
1
2
1 )(
2
1
xata ?
??
?
??
xta ?
??
?
???
2
1
2
1 )(
2
1
xata ?
??
?
???
0),(4),())((
2
2 ?
??
???
?
??
?
?
?
??
?
? ??
?? uatxuxatxat
0),(
2
??? ? ???? u即
)(21 ?? ??x )(21 ?? ?? at
atx ??? atx ???
0),(
2
??? ? ???? u
B.通解
对 积分,?
)(),( ?? ftxu ??? 积分常数依赖于
?
再积分,)()()()(
212 ????? fffdfu ???? ?
)()( 21 atxfatxf ????
为两个 待定函数 的和。
?
?
?
?
??
tT
atxX
坐标变换,TXtx,,?
新、旧坐标 时间同,
新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标,
在旧坐标中以速度 d 沿正向运动。
atx?
f1 (x+at) 保持形状不变,
以速度 d 运动 沿 x 轴 反 方向运动 。
12( ) ( )u f x a t f x a t? ? ? ?
意义
函数 f2(x-at) 保持形状不变,
以速度 d 运动 沿 x 轴 正 方向运动 。
C.定解 达朗贝尔公式
确定 待定函数 的形式 无限长，即无边界条件。
设初始条件
)(0 xu t ??? )(0 xu tt ???
)( ????? x
)()()( 21 xxfxf ???
)()(')(' 21 xxafxaf ???
)()()(1)()( 020121
0
xfxfdaxfxf
x
x
???? ? ???
12( ) ( )u f x a t f x a t? ? ? ?
)()()( 21 xxfxf ???
)()()(1)()( 020121
0
xfxfdaxfxf
x
x
???? ? ???
)]()([21)(1)(21)( 02011
0
xfxfdaxxf
x
x
???? ? ????
)]()([21)(1)(21)( 02012
0
xfxfdaxxf
x
x
???? ? ????
)]()([
2
1)(
2
1)(
2
1)(
02011
0
xfxfd
a
atxatxf
atx
x
?????? ?
?
????
)]()([21)(1)(21)( 02012
0
xfxfdaatxatxf
atx
x
?????? ?
?
????
????? d
a
atxatxtxu
atx
atx
)(
2
1)]()([
2
1),( ??
?
?????
)()( 21 atxfatxfu ????
)]()([
2
1
)(
1
)(
2
1
)]()([
2
1
)(
2
1
)(
2
1
0201
0201
0
0
xfxfd
a
atx
xfxfd
a
atx
atx
x
atx
x
?????
??????
?
?
?
?
????
????
???????? dadaatxatx
atx
x
atx
x
)(1)(2 1)(21)(21
00
??
??
??????
????? d
a
atxatxtxu
atx
atx
)(
2
1)]()([
2
1),( ??
?
?????
行波
)(0 xu t ??? )(0 xu tx ???
一半
一半
0
0
1 1 1( ) ( ) ( )
2 2 2
x a t x a t
x a t x a t
d d d
a a a
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??? ? ?
例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
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2
21
12
1
0
21
1
12
1
0
,,0
2
,2
2
,2
)(
xxorxx
xx
xx
xx
xx
u
xx
xx
xx
xx
u
x?
0)( ?x?
)(x?
x
1x 2x
2 21
xx ?
0u
)(x?
x
1x 2x
2 21
xx ?
0u
x
0u
)(21 x?
x
),( txu
1x 2x
x
)]()([21),( atxatxtxu ???? ??
例
?
?
?
??
??
?
xxxx
xxx
x
21
210
,0
)(
?
?
0)( ?x?
解,
????????? dadadatxu
atxatxatx
atx
???
?
??
?
??
?
?
??? )(2 1)(2 1)(2 1),(
1x 2x
x
()x?
0?
??? dax
x?
??
?? )(21)(
设
??? dax
x?
??
?? )(21)(
1xx? ???? dadax
xx ??
????
??? 021)(21)(
21 xxx ??
2xx ?
]10[2 1)(2 1)(
1
1
0 ?????? ddadax
x
x
xx
??? ????
????
]010[2 1)(2 1)(
2
2
1
1
0 ??????? dddadax
x
x
x
x
xx
???? ?????
????
0?
)(2 10 xxa ?? ?
)(2 120 xxa ?? ?
1x 2x
x
)(x?
0?
1x 2x
x
)(x?
0?
1x
2x
x
0?
)(x??
????????? dadadatxu atxatxatx
atx
??? ?
??
?
??
?
?
??? )(2 1)(2 1)(2 1),(
从 达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初
始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始
条件的，额外的形式来。
而这种演化又受到边界条件的限制。
这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程
度解时的重要性。
????? d
a
atxatxtxu
atx
atx
)(
2
1)]()([
2
1),( ??
?
?????
（二） 端点的反射
一个端点固定
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为
)(0 xu t ??? )(0 xu tx ???
边界条件 0
0 ??xu
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。
????? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ?
?
?
?????
????? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ?
?
?
?????
axt /? 上式中后两项无意义。
必须将 u(x,t) 延拓到
0),0( ?tu
作 奇延拓, )()( xx ??? )()( xx ???
?
?
?
???
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
?
?
?
???
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
x
0x?
?? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ???????? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
?
?
?
?
?
)/()(
2
1
)]()([
2
1
)/()(
2
1
)]()([
2
1
),(
axtd
a
atxatx
axtd
a
atxatx
txu atx
xat
atx
atx
?????
?????
atxatx ??? atx?对称点
axt /? axt /?axt /?
延拓
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
?
?
?
?
?
)/()(
2
1
)]()([
2
1
)/()(
2
1
)]()([
2
1
),(
axtd
a
atxatx
axtd
a
atxatx
txu atx
xat
atx
atx
?????
?????
??????
??????
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
axt
atx
atx
atx
atxatx
atx
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)/(
0
0
0
0
????
??????
??
???
?
?
?
??
?
)()(2 1)(2 1)()(2 1)(2 1
0
0
0
)(0
???????????? dadadada
xat
atx
atx
atx
????
?
?
??
?
??????
半波损失
0)( ?x?
一个端点自由
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为 )(0 xu t ??? )(
0 xu tx ???
边界条件 00 ??xxu 应该是 偶延拓
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
?? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ???????? ?
?
?
偶延拓
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
??
?
??
???
)0()(
)0()()(
xx
xxx
?
?
?? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ???????? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
??
?
??
?
?
)/()(
2
1
)(
2
1
)]()([
2
1
)/()(
2
1
)]()([
2
1
),(
00
axtd
a
d
a
xatatx
axtd
a
atxatx
txu xatatx
atx
atx
????????
?????
)()(
2
1
)(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)/(
00
0
)(0
0
0
0
0
????????????
????????????
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
axt
xatatx
atx
atx
atx
atx
atx
atxatx
atx
????
?????
??
??
?
?
?
?
??
?
??????
?????????
无半波损失
（三） 跃变点的反射
无限长杆,x<0,x>0 两部分的杨氏模量和密度分
别为 。 x=0 是跃变点。 IIIIII YY ??,,,
设有行波 从区域 I 向 x=0 点
运动。到 x=0 产生 反射 和 透射 。
)/(),( Iaxtftxu ??
取此波在 t=0 时刻抵达 x=0,
??
?
?
?
???
???
? )0()(
)0(,0
0
2
x
a
xtfu
xuau
It
I
I
xx
I
tt
??
???
???
???
?? )0(0,0
)0(,0
00
2
xuu
xuau
t
II
tt
II
II
xx
II
tt 0?x
IIIIY ?,
IIY ?,
)/( Iaxtf ?
)( IIaxth ?
X
)( Iaxtg ?
衔接条件
?
?
?
?
?
??
??
,
,
00
00
x
II
x
II
x
I
x
I
x
II
x
I
uYuY
uu
区域 I 中的行波,)0(),()(),( ????? x
a
xtg
a
xtftxu
II
I
0?t 0)( ?
Ia
xg ? )0(,0)( ?? ??g
区域 II 中，只有 透射波
)0()(),( ??? xa xthtxu IIII
0?t 0)(',0)( ???? IIII a xha xh ? )0(0)(',0)( ??? ??? hh
衔接条件
)0()('1)](')('[1
),()()(
?
??
?
?
?
????
??
tthY
a
tgtfY
a
thtgtf
II
II
I
I
)0()(')]()([ ),()()( ?
??
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?? t
thYatgtfYa
thtgtf
IIIIII
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)()(
)(
2
)(
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?
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?
?
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f
YaYa
YaYa
g
f
YaYa
Ya
h
IIIIII
IIIIII
IIIIII
III
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?
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??
?
?
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?
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??
)()(
2
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)(
IIIIIIIIII
III
II
II
a
x
t
a
x
tf
YaYa
Ya
a
x
t
a
x
th
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)(0
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IIIIIIII
IIIIII
I
I
a
x
t
a
x
tf
YaYa
YaYa
a
x
t
a
x
tg
12
22
?
?
?
?
?
IIIIII
III
IIIIII
IIIIII
YaYa
Ya
YaYa
YaYa又
2
IIIIII
IIIIII
YaYa
YaYa
?
?
22
IIIIII
III
YaYa
Ya
?
反射系数
透射系数
习题 7.4.1
)()]()([
2
1
)]()([
2
1
)('
2
1
)]()([
2
1
),(
atxatxatxatxatx
da
a
atxatxtxu
atx
atx
??????????
????? ?
?
?
?????
?????
解,
习题 7.4.6
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为
)(0 xu t ???
和 )(
0 xu tx ???
边界条件 tYSAu xx ?s in0 ??
