第十一章 柱函数
11.1 三类柱函数
0)1(1 2222 ???? RxmdxdRxdx Rd
1,贝塞耳方程
贝塞耳方程,
虚宗量贝塞耳方程,0)1(1
2
2
2
2 ???? R
x
m
dx
dR
xdx
Rd
0)]1([)( 222 ???? RllrkdrdRrdrd
球贝塞耳方程,
2.三类柱函数
(1) 阶贝塞耳方程 ?
0)( 22222 ???? RxdxdRxdx Rdx ?
???m 整数或半奇数
k
k
k x
kkxJ
2
0
)2()1(! 1)1()( ??
? ???
?? ? ?? ?
?? ????
0
1)( dxtex xt
其中 Γ-函数定义为
它有递推关系,)()1( xxx ????
当 x 为 正整数 !)1( xx ???
另一个解
k
k
k x
kkxJ
2
0
)2()1(! 1)1()( ???
?
? ?????? ? ?? ?
km
k
mm x
kmkxJ
2
0
)2()!(! 1)1()( ??
? ?
?? ?
通解,)()()(
21 xJcxJcxy ?? ???
(2) m 阶贝塞耳方程
阶 贝塞耳函数 ?
?? 阶 贝塞耳函数
??? )0(
???? )( m
只能从 开始。 km?
km
mk
km x
kmkxJ
2)
2()1(!
1)1()( ???
?
? ?????? ? lm
l
ml x
lml
2
0
)2()1()!( 1)1( ??
?
?
????? ?
mkl ??
lm
l
ml x
lml
2
0
)2(!)!( 1)1( ??
?
?
??? ?
)(xJ m?
lm
l
lm x
mll
2
0
)2()!(! 1)1()1( ??
? ?
??? ? )()1( xJmm??
)()()( 21 xJcxJcxy mm ??? 不再是通解。 )(xJm)(xJ m? 与 相互不独立。
(3) 诺依曼函数
??
?? ??
? s i n
)(c o s)()( xJxJxN ???
)(xJ? )(xJ??它与 和 都相互独立。
阶贝塞耳方程的通解 又可以 写作 ?
)()()( 21 xNcxJcxy mm ??
)()()( 21 xNcxJcxy ?? ??
m 阶贝塞耳方程的通解 只能 写作
)()2( ln2)( xJCxxN mm ?? ?
(4) 第一种和第二种 汉克尔函数
??
?
??
??
)()()(
)()()(
)2(
)1(
xiNxJxH
xiNxJxH
???
???
阶贝塞耳方程的通解 又可以 写作 ?
)()()( )2(2)1(1 xHCxHCxy ?? ??
(5) 第一类柱函数:贝塞耳函数
第二类柱函数:诺依曼函数
第三类柱函数:汉克尔函数
2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图 50 JJ ?
3,和 的行为 0?x ??x
0?x,0,10 ???? ??? JJJ
)0.(,0 ??????? ??NN
??x
需专门计算
)4/()1( 2 ???
? ?
??? xie
xH
)4/()2( 2 ???
? ?
???? xie
xH
)4/c o s (2 ????? ??? xxJ
)4/s i n (2 ????? ??? xxN
都有限!
4,递推公式
kk
k
k x
kkdx
d
x
xJ
dx
d 22
0
)21()1(! 1)1())(( ??
? ???
?? ? ??? ? 122
1
)21()1(! 2)1( ??
? ???
?? ? kk
k
k x
kk
k ?
?
1212
0
1 )
2
1(
)2()!1(
1)1( ????
?
?
????
??? ? ll
l
l x
ll
l ?
?
1??lk
ll
l
l x
llx
2121
0
)21()11(! 1)1(1 ?????
? ????
??? ? ??? ??? x xJ )(1???
)()]([ 1 xJxxJxdxd ?? ????
对 ??, m 诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。 写作 )(xZ?
???? x
xZ
x
xZ
dx
d )(])([ 1???
)()]([ 1 xZxxZxdxd ?? ????
1/' ???? ??? ? ZxZZ
1/' ??? ??? ? ZxZZ
'211 ??? ZZZ ?? ??
0/2 11 ??? ?? ??? ? ZxZZ
5.虚宗量贝塞耳方程
阶虚宗量贝塞耳方程 ?
0)( 22222 ???? RxdxdRxdx Rdx ?
ix??
0)( 22222 ???? RddRd Rd ??????
kk
k
k x
kk
iJ 22
0
)2()1(!)1()( ???
? ???
?? ? ??? ?? kk
k
x
kk
ii 22
0
)2()1(! ???
? ???
? ? ??? ?
k
k
x
kkixJixI
2
0
)2()1(! 1)()( ??
?
?
????? ?
????
?
定义,
k
k
x
kkiJ
2
0
)2()1(! 1)( ???
?
??
???? ?
???
??
k
k
x
kkixJixI
2
0
)2()1(! 1)()( ??
?
?? ????? ? ???? ?
通解,)()()(
2211 xICxICxy ??
m 阶虚宗量贝塞耳方程
0)( 22222 ???? RmddRd Rd ?????
km
k
mmm
x
kkixJixI
2
0
)2()1(! 1)()( ??
?
?
????? ? ?
)()()1()()1()()( xIxIiiixJiixJixI mmmmmmmmmmm ?????? ??
另一个独立解需要另外研究。
0?x,0,10 ?? mII
??x,,0 ??mII
0?? ax,0,0 ?mII
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
60 II ?

?
11.2 贝塞耳方程 描写沿 的变化,边界条件确定在 柱面 上。 ?
a??
0)( 222
2
2 ???? Rmx
dx
dRx
dx
Rdx
)()()( ??? mm JxJR ??
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
0)(1 2
2
2
2
???? RmddRd Rd ?????
???x 0)1(1 2222 ???? RxmdxdRxdx Rd
1,本征值问题 m 已定,须定 n?
?
a??
A,柱面的第一类齐次边界条件,0)( ?? aR ?
)()()( ??? mm JxJR ??
)(mnx ?,2,1?n
对于不同的 n,有
)()( mnmn xa ?? 2)()( )(
a
x mnm
n ??
的离散本征值
0][
2
2
2
??? RRmd Rddxd ?????
2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
零点
B,第二类齐次边界条件,0)(' ?? aR ?
仅有贝塞耳函数具有这种性质,两个零点之间必有极值。 0??
同样,)(mnx ?,2,1?n 为贝塞耳函数的 导数 的零点序列,则本征值为
2)()( )( ax mnmn ??
m=0 的情况,
0100
)(])([
x
xZ
x
xZ
dx
d ??
即,
)()(' )1(1)0(0 nn xJxJ ??
C,第二类齐次边界条件,0)(')( ?? aJHaJ mm ???
2)()( )( ax mnmn ?? 将是上上述方程度解。
2,正交关系
贝塞耳方程是施图姆-刘维尔本征值方程,0][ 2
2
2 ??? RRm
d
Rd
dx
d m
n ?????
故它有正交关系
)(0)()( )(0 )( lndJJ mlmmnm ??? ???????
3,模
对 三个不同 的本征值序列成立。
三个不同 的本征值序列,有 三个不同的模 。
???? dJN a mnmmn ?? 0 2)(2)( )]([][ x d xxJx mm
n ?
? 00 2)( )]([1? 20 2)( 0 )]([2 1 dxxJx mm
n ?
? ?
dxxJxJxxJx x mmm
n
xm
mn ???
00
0
2
)(0
22
)( )(')(
1)]([
2
1
??
0)(''' 222 ???? mmm JmxxJJx 或
mmmm JmxJJxJx 222 ''' ???
同一个 方程的 三个不同的
施图姆-刘维尔本征值问题。
dxxJJmxJJxxJxN x mmmmm
n
xm
mn
mn ? ???? 00
0
22
)(0
22
)(
2)( )(')'''(1)]([2 1][ ??
m
x
m
x
mmm
x
mmmm dJJmdxJxJJxdxJJmxJJx ??? ????? 000 020 20 22 ')'''(')'''(
00 02
2
0
2 ][2')'''( xmx mmm JmdxJxJJx ??? ?
??? ??? 000 0 20 20 2 '')'(')'''( x mmx mx mmm dJJxdxJxdxJxJJx ?? ?? 00 0 220 2 '(21)'( x mx m JdxdxJx
dxJxdxJxJx x mx mxm ?? ??? 000 0 20 2022 )'()'()'(21
00 02)(0222)(2)( )]('[2 1)]()[(2 1][ xmm
n
xm
mn
mn xxJxJmxN ?? ???
A,第一类齐次边界条件,0)( )( ?aJ m
nm ? 2)(22)( )]('[
2][ aJ
aN m
nmmn ??
1/' ???? ??? ? ZxZZ

2)(122)( )]([2][ aJaN mnmmn ???
B,第二类齐次边界条件,
0)(' )( ?aJ mnm ?
2
)(
222)( )]()[(
2
1][ xJmaN
mm
n
m
n ???
C,第三类齐次边界条件,
0)(')( )()()( ?? aJHaJ mnmmnmnm ???
2)(
)(
2
)(
222)( )]()[(
2
1][ aJ
H
amaN m
nmm
n
m
n
m
n ??? ???
4,广义傅立叶级数
)()(
1
??? mnm
n
n Jff ?
?
?
?
指定 的 m,
次序 由 n给出。
?????? dJfNf mnmm
n
n )()(][
1 0
02)( ??
权 ?
几个有用的公式,
,1 CJxdxJx mmmm ??? ????
,01 CJdxJ ????
,1 CJxdxJx mmmm ????
由递推公式
傅立叶 -贝塞耳积分 ??0? 的情况
?????? dJFf m )()()( 0? ??
?????? dJfF m )()()( 0? ??
例 1 利用递推公式求积分
)()]([ 1 xJxxJxdxd ?? ???? ? dxxJxxJx xx )()]([ 100 00 ??? ????
)]([)( 120030 00 xxJdxdxxJx xx ?? ? dxxJxxJx xx )(2)( 120013 00 ???
00 022013 )(2)( xx xJxxJx ?? )(2)( 022013 xJxxJx ??
例 2
)( )0(0
1
0 ?? n
n
n Juu ?
?
?
?
方程指定了为
第一类边界条件 20)0(1202)0( )]([2][ ??? nn JN ?
??????? dJuJu n
x
n
n )()]([
2 )0(
0
0
02
0
)0(
1
2
0
0?
? )())(()()]([ 2
0
)0(
0
)0(
0
)0(
0
0
2
)0(
0
2)0(
1
2
0
0
0 ?
?????
?
?
?
nnn
nn
xdxxJ
xxJ
u ??
x d xxJxJx u
x
nn
)()]([ 2 0
0
2)0(
1
)0(
0
0??
0012)0(
1)0(
0 ])([)]([ 2 x
nn
xxJxJx u? )(2 )0(1)0( 0 nn xJx u?
)()(2
0
)0(
0)0(
1
)0(
0
1
0 ??n
nnn
xJ
xJx
uu ??
?
?
或者
)()(21
0
)0(
0)0(
1
)0(
1
??n
nnn
xJ
xJx?
?
?
?
单位一!
例 4
0?
)(2 ?f
)(1 ?f
0)( 0 ???u0??u 轴对称 0?m
))((0 zz BeAeJu ???? ???
1,0?? zBAu 000 ??
2,0)()(' )0(1)0(0 ?? nn xJxJ0??
L
))(( )0()0()0(0
1
00
z
n
z
nn
n
nn eBeAJzBAu ???? ?
?
?
???? ?
))(()( )0(0
1
01 nnn
n
BAJAf ??? ??
?
???
))(()( )0()0()0(0
1
002
L
n
L
nn
n
nn eBeAJLBAf ????? ?
?
?
???? ?
2)(
00
2
00
22
)(
222)( )]([
2
1)]()[(
2
1][ n
mmmn
m
n xJxJm
maN ?
? ???? ??????
? dxJf
xJf
n
inin )()()]([
2
0
)(0
002)(
0020
0??
100 fA ? 2000 fLBA ?? L ffB 10200 ??
nnn BAf ??1
LnLnn nn eBeAf )0()0(2 ?? ???
LL
n
L
n
n
nn
n
ee
fefA
)0()0(
)0(
21
??
?
?
?
?
??
LL
n
L
n
n
nn
n
ee
fefB
)0()0(
)0(
21
??
?
??
??
例 5 方程如 P.179,习题 5 (圆锥改为方锥)
dxSuxYuSdx xtt )()( ???? LxhS ??
0)(12 ???? xtt xuxxau 0),( ?tlu x 0)0,(),()0,( ?? xuxfxu t
1,分离变量 XTu?
0)'''('' 2 ??? xXXxTaXT ????? XxxXXTTaT '''''''2
0'' 22 ?? TakT 0''' 222 ??? XxkxXXx 0)(' ?lX
2,贝塞耳方程 0''' 222 ??? XxkxXXx 零阶贝塞耳方程 )(
0 kxJX ?
0)(' ?lX
0)(')(')(' 10 ??? klJklJlX lxk nn )1(?
为方程
解为
)(1 kxJ 的第一个零点为 00?k 0''
0 ?T tBAT 000 ??
)(]s i nc o s[),( )1(0)1()1(
100
xlxJtl axBtl axAtBAtxu nnnnn
n
???? ??
?
3,初始条件定解
)()( )1(0
10
xfxlxJAA nn
n
?? ??
?
0)( )1(0)1(0
10
?? ??
?
xlxJl axBB nn
n
0?nB
dxxflA l?? 020 )(2
dxxlxJxfxJlA nl
n
n )()()]([
2 )0(
002)0(
02 ?
?
)(c o s),( )1(0)1(
10
xlxtJl axAAtxu nnn
n?
?
?
??