7.4 达朗贝尔公式 定解问题
（一）波动方程的 达朗贝尔公式
0),()( 22222 ?????? txuxat
将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除,
t??x??
0),())(( ??????????? txuxatxat
当 a=1,相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线
求导。当 a 不为一，则求导的线进行相应的
角度变化。
变换,)(
21 ?? ??x
和 )(
21 ?? ?? at
显然,atx??? atx???
xxtt ???????????? ???
xxtt ???????????? ???
x
t
atx?atx?
xta ?????? 2121 )(21 xata ??????
xta ??????? 2121 )(21 xata ???????
A.坐标变换
行波法
0),(4),())(( 22 ??? ????????????? ???? uatxuxatxat
0),(2 ???? ???? u
即
B.通解
对 积分,? )(),( ?? ftxu ??? 积分常数依赖于 ?
再积分,)()()()(
212 ????? fffdfu ???? ?
或 )()( 21 atxfatxf ????
为两个 待定函数 的和。
??
?
?
??
tT
atxX作坐标变换,TXtx,,?
新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标,即在
旧坐标中以速度 d 运动，而函数 f2(x-at) 保持形状不变,以速度 d 运动 沿 x 轴
正 方向运动 。
atx?
f1 (x+at) 保持形状不变,以速度 d 运动 沿 x 轴 反 方向运动 。
C.定解 达朗贝尔公式
确定 待定函数 的形式 无限长，即无边界条件。
设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ??? )( ????? x
)()()( 21 xxfxf ???
)()(')(' 21 xxafxaf ???
)()()(1)()( 020121
0
xfxfdaxfxf x
x
???? ? ???
)]()([21)(1)(21)( 02011
0
xfxfdaxxf x
x
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2
1)(
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0
xfxfdaxxf x
x
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????? daatxatxtxu atx
atx
)(21)]()([21),( ??
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例
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x
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x
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x
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例
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xxxx
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?? 0)( ?x?
解,
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atx ???
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??? )(21)(21)(21),(
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（二） 端点的反射
一个端点固定
0),()( 22222 ?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ???
边界条件 00 ??xu
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 。 0?x
????? daatxatxtxu atx
atx
)(21)]()([21),( ??
?
?????
axt /? 时，上式中后两项无意义。必须将 u(x,t) 延拓到这个范围。
0),0( ?tu,作 奇延拓, )()( xx ??? )()( xx ???
??
? ??? ??? )0()( )0()()( xx xxx ??
??
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?? daatxatxtxu atx
atx
)(21)]()([21),( ???????? ??
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a
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atx
atx
?????
?????
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)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)/(
0
0
0
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0
0
0
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dadadadadaaxt
xat
atx
atx
atx
atx
atx
atx
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atx
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??????
??????????
半波损失
一个端点自由
0),()( 22222 ?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ???
边界条件 00 ??xxu
应该是 偶延拓
??
? ?? ??? )0()( )0()()( xx xxx ??
??
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?? daatxatxtxu atx
atx
)(21)]()([21),( ???????? ??
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无半波损失
（三） 跃变点的反射
无限长杆,x<0,x>0 两部分的杨氏模量和密度分别为 。 x=0 是
跃变点。
IIIIII YY ??,,,
设有行波 从区域 I 向 x=0 点运动。到 x=0 产生 反射 和
透射 。
)/(),( Iaxtftxu ??
取此波在 t=0 时刻抵达 x=0,
??
???
???
???
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)0(,0
0
2
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It
I
I
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)0(,0
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,
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x
I
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? )0(,0)( ?? ??g
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IIIIY ?,
IIY ?,
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区域 II 中，只有 透射波
)0()(),( ??? xaxthtxu IIII
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衔接条件
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2
IIIIII
IIIIII
YaYa
YaYa
?
?
22
IIIIII
III
YaYa
Ya
?
反射系数
透射系数
从 达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初始条件的演化。方程本身并不
可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。
而这种演化又受到边界条件的限制。
这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程度解时的重要性。
????? daatxatxtxu atx
atx
)(21)]()([21),( ??
?
?????
习题 7.4.1
)()]()([
2
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2
1
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2
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atx
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?????解,
习题 7.4.6
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设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ???
边界条件
tYSAu xx ?sin0 ??
（一）波动方程的 达朗贝尔公式
0),()( 22222 ?????? txuxat
将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除,
t??x??
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当 a=1,相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线
求导。当 a 不为一，则求导的线进行相应的
角度变化。
变换,)(
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显然,atx??? atx???
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xta ??????? 2121 )(21 xata ???????
A.坐标变换
行波法
0),(4),())(( 22 ??? ????????????? ???? uatxuxatxat
0),(2 ???? ???? u
即
B.通解
对 积分,? )(),( ?? ftxu ??? 积分常数依赖于 ?
再积分,)()()()(
212 ????? fffdfu ???? ?
或 )()( 21 atxfatxf ????
为两个 待定函数 的和。
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新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标,即在
旧坐标中以速度 d 运动，而函数 f2(x-at) 保持形状不变,以速度 d 运动 沿 x 轴
正 方向运动 。
atx?
f1 (x+at) 保持形状不变,以速度 d 运动 沿 x 轴 反 方向运动 。
C.定解 达朗贝尔公式
确定 待定函数 的形式 无限长，即无边界条件。
设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ??? )( ????? x
)()()( 21 xxfxf ???
)()(')(' 21 xxafxaf ???
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（二） 端点的反射
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设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ???
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边界条件 00 ??xxu
应该是 偶延拓
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（三） 跃变点的反射
无限长杆,x<0,x>0 两部分的杨氏模量和密度分别为 。 x=0 是
跃变点。
IIIIII YY ??,,,
设有行波 从区域 I 向 x=0 点运动。到 x=0 产生 反射 和
透射 。
)/(),( Iaxtftxu ??
取此波在 t=0 时刻抵达 x=0,
??
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区域 I 中的行波,
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IIIIY ?,
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区域 II 中，只有 透射波
)0()(),( ??? xaxthtxu IIII
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IIII axhaxh ? )0(0)(',0)( ??? ??? hh
衔接条件
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反射系数
透射系数
从 达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初始条件的演化。方程本身并不
可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。
而这种演化又受到边界条件的限制。
这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程度解时的重要性。
????? daatxatxtxu atx
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习题 7.4.1
)()]()([
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习题 7.4.6
0),()( 22222 ?????? txuxat )0( ??? x
设初始条件为 )(0 xu t ??? 和 )(0 xu tx ???
边界条件
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