第十二章 格林函数
12.1 泊松方程的格林函数法
有源问题
定解=通解+边界条件
求通解=积分
?
定解=积分+边界条件
( 格林函数 法)
1,源问题
例 静电场
( ')r? r rr
'rr
'rr? rr 处静电场
0
1 ( ')( ) '
4'
rr d r
rr
??
??? ????
rrr
rr
a.无界空间
( ')r? r rr
'rr
'rr?
b.有界空间
???????
??????????
边界上可能出现感应电荷
rr 处静电场是源电荷与感应电荷
的电势之和。
感应电荷是源电荷的结果。
计算变成

0
( ')1 ( ')( ) [ ' ']
4 ' '
g rrr d r d r
r r r r
???
???? ????? ???
rrr r r
r r r r
( ')r? r 计算感应电荷,然后
是否能一次解决
定解=通解+边界条件
求通解=积分
?
定解=积分+边界条件
( 格林函数 法)
2,格林公式
第一格林公式,区域 T,边界 ?
T
?
设 和 在 T 中具有连续二阶导数,
在 上有连续一阶导数。由 高斯定理
)(ru? )(rv?
?
Sdvu ?????
?
()
T
u v d V? ? ? ? ????
TT
u v d V u v d V? ? ?? ? ???? ???
感应电荷 是 边界 问题
第二格林公式,
u d Vvu d VvSduv
TT
???????? ????????
?
?
交换 和, )(ru? )(rv?
与上式相减
dVuvvuSduvvu
T
)()( ???????? ?????
?
?

dVuvvudSnuvnvu
T
)()( ????????? ?????
?
?
n?
法向导数
3,边值问题 泊松方程 )(rfu ???
边界条件
)(][ ????? ? ??? unu )(?? 定义在 ?
0,0 ?? ?? 第 一 类边界条件
0,0 ?? ?? 第 二 类边界条件
0,0 ?? ?? 第 三 类边界条件
泊松方程与第一类边界条件,构成 第一边值问题 (狄里希利问题 )
泊松方程与第二类边界条件,构成 第二边值问题 (诺依曼问题 )
泊松方程与第三类边界条件,构成 第三边值问题
4,泊松方程的 基本积分公式
点源 泊松方程
)(),( 00 rrrrv ???? ??? ? 单位 负 电荷在 0r?
T
?
0r?
??
?K
0
x
y
z dVrruv f d V
dVvuuv
TT
T
??????
???
???
???
)(
)(
0
??
?
)( 0rr ???? 奇异,不能化为
面积分。在 T 中挖掉半
径,在 的小球 。
小球边界 。 0r?
? ?K
??
边界条件无法带入积分之中!
?????
???? ?
??
?
?????
??
dSnvunuvdVvuuv
KT
)()(
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
??
?
dSnvunuvdSnvunuv )()(
在, 。 ?KT? 0)( 0 ?? rr ??? dVvf
KT
???
?
?
?
0??
)(ru? )(rv?和 连续。
dVvfdVvf
TKT
?????? ?
? ?
????
??
???????
??
??? dnudSnuv 2)4 1( ??
?
?????
?
?
? d
n
u
4
??
?
?????
?
?
? d
n
u
4 n
u
?
??? ? 0?
????
??
???????
??
? dSrrudSn
vu )]
4
1([ ??
?
???
?
? drru
2
2
1
4
1 )( 0ru??
.]
),(
)(
)(
),([
)(),()(
0
0
00
??
???
? ?
?
?
?
?
?
??
dS
n
rrv
ru
n
ru
rrv
dVrfrrvru
T
??
?
?
??
????
这样,边界条件进入积分之中!泊松方程的 基本积分公式。
解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分,由源项对区域的
积分(右第一项),和边值得积分(右第二项)给出。
0r?)(ru? )( 0ru?
格林函数,
将冲量定理法扩展到空间坐标
00(,) (,) ( ) ( ),
tlf x t f x t d d
?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???
对两端固定的弦
2 ( ) ( ) ;tt x xG a G x t? ? ? ?? ? ? ?
0 0;x x lGG????
00 0.t t tGG????
2 0tt xxG a G??
0 0;x x lGG????
000,( ),t t tG G x?? ??? ? ? ?? ? ?
问题变成
00(,) (,) (,,),
tlu x t f G x t d d
?? ? ? ? ? ???? ??
.]),()()(),([
)(),()(
0
0
00
??
???
? ?
??
?
??
??
dS
n
rrvru
n
rurrv
dVrfrrvru
T ??
????
????
5,边值问题的 格林函数 还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
)(),( 00 rrrrv ???? ??? ?
0),( 0 ??rrv ??
? ),(),( 00 rrGrrv ???? ?
第一边值问题 (狄里希利问题 ) )(??
? ?u
.),()()(),()( 000 ?????
? ?
??? dS
n
rrGrdVrfrrGru
T
???????
?
第三边值问题
)(][ ????? ? ??? unu
第一边值问
题格林函数
)(),( 00 rrrrv ???? ??? ?
? ),(),( 00 rrGrrv ???? ?
第三边值问
题格林函数
0][ ???? ?vnv ??
??? Gunu ???? ?][G
?
0][ ???? ?GnG ??u
?
?? GnGunuG ?????? ?][
.),()(1)(),()( 000 ?????
?
?? dSrrGrdVrfrrGru
T
??????? ?
?
)( 0rr ???? 在 0r?,在物理上是不合理的。考虑它是偶函数,
)(),( 00 rrrrv ???? ??? ? 具有同一个解,可作变换,0rr ???
.),()()(),()( 000000 ?????
? ?
??? dS
n
rrGrdVrfrrGru
T
???????
?
.),()(1)(),()( 000000 ?????
?
?? dSrrGrdVrfrrGru
T
??????? ?
?
12.2 电像法求格林函数
)(),( 00 rrrrv ???? ??? ?
0),( 0 ??rrv ??
? ),(),( 00 rrGrrv ???? ?
第一边值问
题格林函数
0r?
r? 导体球内有一个点电荷,导体接
地。求球内电势。
电荷的存在,在导体上感应了电荷。
球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。
0??
将感应电荷的电势由一
, 电像电荷, 的电势表示
o )(00 rM?
)(rM?
)(11rM?
p 如右图,当导体外 M
1 处有电荷
时,镜像电荷
将在球内 M0 处。
1
2
0 r
ar ?
1
04 r
aq???q04??
现在,问题反过来,在 r0 处有电荷
-ε 0,求 r1,和镜像电荷。
0
1
04 ??? ??? r
aq 14
1
?raq?
1
2
0 r
ar ?
0
2
1 r
ar ?
?
0
0
1
2
0
04 r
a
r
a
aq ???? ??
),(),( 00 rrGrrv ???? ?
02
0
2
00 4
1
4
1
r
r
arr
a
rr ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
)( 02
0
2
1 rr
ar ?? ?
例 1
??
?
?
???
? ),(
)(0
??fu
aru
ar
球内 第一边值问题
02
0
2
00
0
4
1
4
1),(
r
r
arr
a
rr
rrG
?
?
?
??
??
?
?
?
??
?
? 2
00
20 c o s2
11
rrrrrr ???? ???
在球面上
arrrrr
rr
rrn ?? ??
???
??
?
2/32
00
2
0 )c o s2(
c o s22
2
1]1[
?
???
arrn ?? ?
????
2/32
00
2 )c o s2(
c o s
rara
aa
??
???
?
?
2
0
4
0
2
2
02
0
2
c o s2
11
r
a
r
arrr
r
ar ??
?
? ????
2/32
00
22
2
0
3
0
02
0
2 )c o s2(
c o s]1[
raraa
arr
r
r
arn ??
???
?
?
?
? ?
?
?
?
?
2/32
00
22
2
0
3
0
0
2/32
00
20 )c o s2(
c o s
4
1
)c o s2(
c o s
4
1)],([
raraa
arr
r
a
rara
aarrG
n ??
??
??
??
?
?
? ?
?
??
?
?
??
)]c o s(1c o s[)c o s2( 14 1 2030
0
02/32
00
2 ???? arrarrarara ??????
2/32
00
2
2
0
2
)c o s2(4
1
raraa
ra
??
??
??
.),()()(),()( 000000 ?????
? ?
??? dS
n
rrGrdVrfrrGru
T
???????
?
0)( ?rf ?
.s i n)c o s2(4 1),( 00022/32
000
2
2
0
2
??
? ??
?? ???
???? ddararaa
raf
.s i n)c o s2(),(4 0002/32
000
2
2
0
2
??
? ??
?? ???
???? ddrara
rafa
例 2
??
?
?
???
? ),(
)0(0
yxfu
zu
ar
半空间 第一边值问题

),,( 0000 zyxM
),,( 1111 zyxM
),,( zyxM
按电磁学思维模式,
应当引入 镜像电荷
表示平面( z=0)上
的感应电荷。
计算 格林函数,
镜像电荷的作用为使
平面( z=0)上的电势
为零。显然,这个电荷
位于相对于平面( z=0)
对称的几何点,且有
相反的电量 。
),,(),,( 00011111 zyxMzyxM ??
2/12020202/12020200 ])()()[(
1
4
1
])()()[(
1
4
1),(
zzyyxxzzyyxxrrG ????????????? ??
??
000 )],([)],([ ?? ?
???
?
?
zrrGzrrGn
????
2/3202020 02/3202020 0 ])()()[(
0
4
1
])()()[(
0
4
1
zzyyxx
z
zzyyxx
z
?????
??
?????
???
??
法线方向与 z轴方向相反
2/3202020 0 ])()()[(2
1
zzyyxx
z
?????? ?
.),()()(),(),( 000000 ?????
? ?
??? dS
n
rrGrdVrfrrGyxu
T
??????
?
.])()()[( 1),(2 002/32
0
2
0
2
0
0 ??
? ?????
? dydxzzyyxxyxfz?