0??u
0s i n1)( s i ns i n1)(1 2222222 ????????????? ?????? ururrurrr
偏微分方程 ? 常微分方程组 ?
?
分离变量
?
本征值问题
广义傅立叶级数
勒让德多项式
贝塞耳函数
( 特殊函数 )
特殊函数 勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式;
贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳,
超几何,汇合超几何等函数。
10.1 轴对称球函数
第十章 球函数
0)1(2)1( 222 ???????? lldxdxdxdx
一、勒让德多项式
1??x 有限 ?,2,1,0?l
kk akk
lklk
kk
llkka
)1)(2(
)1)((
)1)(2(
)1()1(
2 ??
????
??
????
?
设最后一个不为零点系数有 lk?
ll al
lla
)12(2
)1(
2 ??
??
?
2??lk
2)!(2
)!2(
)12(2
)1(
l
l
l
ll
l??
??
1.代数表示
则对
1)(0 ?xP
?co s)(1 ?? xxP
)1c o s3(41)13(21)( 222 ???? ?xxP
?
适当乘本征函
数以常数使得 )!2()!1(2 )!22()1( ?? ??? ll lll
)!2()!(2!
)!22()1(
2 klklk
kla
l
k
kl ??
???
?
kl
l
l
k
k
l xklklk
klxP 2]2/[
0 )!2()!(2!
)!22()1()( ?
? ??
??? ?
勒让德多项式,
]2/[l,小于、等于
l 的最大整数。
0)0(12 ??kP 总有 x 。
!2!
)!2()1()0(
22 kk
kP
k
kk ??
唯一不含 x 的项 kl 2?
)c o s33c o s5(81)35(21)( 33 ?? ???? xxxP
2
( 2 ) !
2 ( !)l l
la
l?
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0.5
1
)11(),( ??? xxP l
)0(),( co s ??? ??lP
2,微分表示(罗德里格斯公式)
l
l
l
ll xdx
d
lxP )1(!2
1)( 2 ??
证,
)(2
0
2
!)!(
!)1(
!2
1)1(
!2
1 kll
k
k
l
l
l xkkl
l
lxl
?
?
? ????
kll
k
l
k x
klkkl
kl 2
0 )!2(!)!(2
)!22()1( ?
?
? ?? ??? #
)(2
0 !)!(2
1)1( kll
k l
k x
kkl
?
?
? ???
2 ( )
0
11( 1 ) ( 1 )
2 ! 2 ( ) ! !
ll l
l k l k
l l l lk
ddxx
l d x d x l k k
?
?
? ? ? ??
2
0
( 2 2 ) ( 2 2 1 ) ( 2 1 )( 1 )
2 ( ) ! !
l k l k
l
k
l k l k l k x
l k k
?
?
? ? ? ? ???
??
L
3.积分表示(施列夫积分)
? ?? ???? C l lllllll dzxzzlixdxdlxP 122 )( )1(!2 12 1)1(!2 1)( ?
由 科西公式
C 绕 z=x 点。 设半径为
12 ?x
C 上
?iexxz 12 ??? ?? dexidz i12 ??
??? ?
?
?
?
dexiex exxlidzxzzli ili
li
lC l
l
l 1)1(
]1)1[(
!2
1
2
1
)(
)1(
!2
1
2
1 2
0 12
22
1
2
?? ????? ? ?? ??
?? ?
?
?
??
dexi
ex
exexxx
i
il
i
ii
1]
12
1)1(12[
2
1 2
0
2
2222
?
?
?????? ?
??
?
?
??
d
ex
exexxx l
i
ii
? ? ??????
0
2
2222
]
12
1)1(12[
2
1
1)1(1 ?P lP )1()1(1 ???
??
?
?? deexx lii? ?????
0
2 )](
2
11[1
??? ? dxix l]c o s1[1 20 ??? ?
??? ? dxixxP ll ]c o s1[1)( 20 ??? ?
?cos?x
????? ? dixP ll ]c o ss i n[ c o s1)( 0 ?? ?
????? ? dixP ll ? ?? 0 c o ss i nc o s1)( ????? ? dl? ?? 0 2/222 ]c o ss i n[ c o s1
???? ? dl? ?? 0 2/22 ]s i n[ c o s1 11 0 ?? ? ?? ? d
即 1)( ?xPl
二,正交关系和模
1)( ?x?
0)()(
1
1
??
?
dxxPxP lk
1,正交关系
一个公式
2,模
dxxPN ll 2
1
1
2 )]([?
?
? ])1([)1()!2 1( 21121
1
2 l
l
l
l
l
l
l xdx
d
dx
dx
dx
ddx
l ??? ?
?
?
?
]})1([)1(])1([)1({)!2 1( 221
11
1
1
1
2
1
1
22 l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l xdx
d
dx
dx
dx
ddxx
dx
dx
dx
d
l ?????? ?
?
?
??
? ?
第一项为零,即
])1([)1()1()!2 1( 221
11
1
122 l
l
l
l
l
l
ll xdx
d
dx
dx
dx
ddx
lN ???? ?
?
?
?
进行 l 次分步积分后
l
l
l
ll
ll xdx
dxdx
lN )1()1()1()!2
1( 2
2
2
2
1
1
22 ???? ?
?
只有最高次幂才不为零,故
lll
ll xxdxl
lN )1()1()1(
)!(2
)!2( 1
1
22
2 ????
再逐次进行分步积分,得
12
22
?? lN l

12
2
?? lN l
三、广义傅立叶级数
定义在区间 的函数 可以展开为广义傅立叶级数 ]1,1[? )(xf
??
?
?
0
),()(
l
ll xPfxf
展开系数为
dxxPxflf ll )()(2 12
1
1
?
?
??
或区间 的函数 展开为 ],0[ ? )(?f
??
?
?
0
),( c o s)(
l
ll Pff ??
系数为
????
?
dPflf ll s in)( c o s)(2 12
0
???
例,在,中将 展开为广义傅立叶级数。 ]1,1[? 432)(
3 ??? xxxf
kl
l
kl
k
kl xklklk klxP 2]2/[
0 )!2()!(2!
)!22()1()1()( ?
? ??
???? ?解,比较
展开式最多含 三阶 勒让德多项式。
1)(0 ?xP xxP ?)(1 )13(
21)( 22 ?? xxP )35(21)( 33 xxxP ??
432)( 3 ??? xxxf 33221100 PfPfPfPf ???? )35(
2
1 3
310 xxfxff ????
3
3310 2
5)
2
3( xfxfff ?????
5
21
5
63
1 ???f
2253 ?f
40 ?f
5
4
3 ?f
323 31 ?? ff
310 5
4
5
214)( PPPxf ???
例 2 xxf ?)(
)(xf
x
dxxPxflf ll )()(2 12
1
1
?
?
??
??
?
?
0
),()(
l
ll xPfxf
])()()([2 12
1
0
0
1
dxxPxdxxPxl ll ?? ????
?
])()()()([2 12
1
0
0
1
dxxPxxdxPxl ll ?? ????? dxxPxPxl ll )]()([
2
12 1
0
???? ?
是奇函数,)(12 xPk? 0
12 ??kf
dxxPxkf kk )(22 14 2
1
0
2 ?
?? dxx
dx
dx
k
k k
k
k
k
22
2
21
0
22 )1()!2(2
14 ??? ?
])1()1([)!2(2 14 2212
121
0
1
0
22
12
12
22 dxxdx
dx
dx
dx
k
k k
k
k
k
k
k
k ???
??
?
?
?
?
?
1
0
22
22
22
22 )1()!2(2
14 k
k
k
k xdx
d
k
k ????
?
?
1
0
2
2
2
0
2
22
22
1
0
22
22
22
)1()1( nn k
k
n
nk
k
k
k
k
k
xCdxdxdxd ?
?
?
?
?
?
?
???

找出 )1(22 ?? kn 项,它在 x=0 才不为零。
1
0
221
2
1
22
22
)1( ????
?
?? kk kkk
k
xCdxd 122 )!22()1( ???? k kk Ck
1
2
1
222 )!22()1()!2(2
14 ?? ???? k
k
k
kk Ckk
kf
? ?? 1
0
0 2
1xdxf
)()!22()!2(2 14)1()(21 21222
1
1
0 xPCkk
kxPx
k
k
kk
k
k ??
?
? ????? ?
例 3
?2c o s,0 0 ??? ? rruu
)( c o s)(),(
0
1 ?? l
l
l
ll
l Pr
BrAru ??
?
???
解,由 轴对称
球内含 0?r 所以
0?lB
)( c o s),(
0
?? l
l
l
l PrAru ?
?
?
?
?2c o s0 ?? rru ? ??? 2
0
00 c o s)( c o s),( ?? ?
?
?
l
l
l
l PrAru
拉普拉斯方程的 轴对称 问题
边界条件与角 无关,可以推断
解也与角 无关。故 ?
?
0?m
边界条件,
1)(0 ?xP )13(21)( 22 ?? xxP 2
02 3
1)(
3
2 xPxP ???
)( c o s31)( c o s32)( c o s 02
0
0 ??? PPPrA l
l
l
l ???
?
?
?
3
1
0 ?A
2
0
2 3
2
rA ?
)( c o s32)( c o s31),( 22
0
2
0 ??? Pr
rPru ??
3
22
02 ?rA
例 4
?cos0u
0?q?
,0??u
)20(c o s00 ??? ???? uu rr
0
2
?
????
u
解,
,c o s/s i n/
//
,s i n
2
?
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
r
u
r
u
yu
r
y
r
u
y
u
ry
偶延拓,
? )
2(c o s00 ??
?? ????
? uu rr
?cos0u?
)( c o s),(
0
?? l
l
l
l PrAru ?
?
?
?
xuxPrAru l
l
l
l 0
0
00 )(),( ?? ?
?
?
?
)()!22()!2(2 14)1()(21 21222
1
1
0 xPCkk
kxPx
k
k
kk
k
k ?
?
?
? ????? ?
xuxPrAru l
l
l
l 0
0
00 )(),( ?? ?
?
?
?
)}()!22()!2(2 14)1()(21{ 21222
1
1
00 xPCkk
kxPu
k
k
kk
k
k ?
?
?
? ????? ?
)()!22()!2(2 14)1(2),( 22
0
2
1
2220
1
10 xP
r
rCk
k
kuuru
kk
k
k
kk
k
k ?
?
?
? ????? ??
例 5 均匀电场中放置介电常数 ε 的球,求介质球 内, 外 的电场。
0E? 0E?
?
解,无穷远处有边界条件,球面处有衔接条件。
取球坐标,z-方向沿 。
0E?
r 轴对称拉普拉斯问题
,0??u
内外分别讨论,然后连接起来。
边界条件,?c o s
0 rEu re ????
衔接条件,
iu
iu
eu
eu
Internal,
External,
00 rrerri uu ?? ?
电势连续,
电位移连续,
00 00 rr
erri ruru ?? ????? ???
)0( ?ru 连续
轴对称拉普拉斯方程度解的一般形式,
)( c o s)(),(
0
1 ?? l
l
l
ll
l Pr
BrAru ??
?
???
球内 有限,),0( ??ru
)( c o s),(
0
?? l
l
l
li PrAru ?
?
?
?
球外无穷远边值,
??? c o s)( c o s),( 0
0
rEPrCru l
l
l
le ??? ?
?
?
01 EC ?? 10 ?? lC l
)( c o sc o s),(
0
100 ??? l
l
l
l
e Pr
DrECru ??
?
????
利用衔接条件,
)( c o sc o s)( c o s
0
1
0
000
0
0 ??? l
l
l
l
l
l
l
l Pr
DrECPrA ?? ?
?
?
?
?
???
)( c o s)1(c o s)( c o s
0
2
0
0
0
1
0 ???? l
l
l
l
l
l
l
l Pr
DlEPrlA ?? ?
?
?
?
?
? ????
00 CA ?
2
0
1
0001 r
DrErA ???
1
0
0 ?? l
ll
l r
DrA
3
0
1
01
2
r
DEA ????
2
0
1
0
)1(
?
? ???
l
ll
l r
DlrlA?
00 CA ?
解得
00 ?D
01 2
3 EA
??? ? 0
3
01 2
1 ErD
?
??
?
?
1,00 ??? lDA ll
??? c o s23),( 00 rEAru i ???
????? c o s121c o s),( 203000 rErrEAru e ?????
球内电场强度,
kEzAru i ?? ???? 00 23),( ??
}{ kzujyuixuuE iiiii ???? ?????????????
02
3 E?
?? ?
0E?
1??
0EEi
?? ?
四、母函数
定义,
??
?
?
0
)( c o s)(
l
ll PzzF ?
叫勒让德多项式的 母函数 。
d
R
r
?
04?? 电荷在单位球的北极。
求球内任一点电势。
2c o s21
11
rrd ??
?
?
它又是拉普拉斯方程度内解,
)( c o s
c o s21
1
02
?
? ll
l
l PrArr ?
?
?
?
??
令 0??
?? ?
?
?
?
???
00
)1(1 1
l
l
ll
l
l
l rAPrAr

??
?
??
01
1
l
lr
r
所以 1?
lA
)( c o s
c o s21
1
02
?
? ll
l Pr
rr ?
?
?
?
??

2c o s21
1
rr ?? ?
是勒让德多项式的母函数。
球外
)( c o sc o s21 1
0
12 ?? l
l
l
l P
r
B
rr ?
?
?
????
11?r
)( c o s
)1(c o s121
1
0
1
2
?
?
l
l
l
l P
r
B
rr
r
?
?
?
??
??
令 0??
?
?
?
?
? 0
11
11
11
l
lrr
r
r
所以
)( c o s1c o s21 1
0
12 ?? l
l
l Prrr ?
?
?
????
半径 R 的球,
)( c o s
c o s2
1
0
122 ?? l
l
l
l
PR r
rrRR ?
?
?
????
)( c o s
c o s2
1
0
122 ?? l
l
l
l
PrR
rrRR ?
?
?
????
例 6
r
?
1r
d 解,利用已知结果。
导体内:等势。
导体外,
无导体时
2
0
2
0
0 c o s2 rrrr
qu
??
?
?
有导体时,设 ),(
0 ?rvuu ??
0??u 0),( ??au接地 0),( ?? ?u
00 ??u
2
0
2
0
0 c o s2),( aarr
qau
??? ??
0),( ?? ?v0??v
2
0
2
0 c o s2
),( aarr qav ???? ??
0),(0 ?? ?u
q
0r
aq?
)( c o s),(
0 1
?? l
l l
l P
r
Brv ??
? ?
?
)( c o s
c o s2
)( c o s
0
1
0
2
0
2
00
1 ??? l
l
l
l
l
l
l
l P
r
aq
aarr
qP
a
B ?? ?
?
?
?
?
? ?????? 1
0
12
?
?
?? l
l
l r
aqB
)( c o s1
c o s2
),( 1
0
1
0
12
2
0
2
0
?
?
? ll
l
l
l
Prraq
aarr
qru
?
?
?
?
??
?
??
?

2
0
2
2
0
2
0
1
0 0
2
0
c o s2)(
)( c o s
1
)(),(
rr
r
a
r
a
q
r
a
P
rr
a
q
r
a
rv l
l
l
l
??
?
????
?
?
?
?
?
??
u
v 是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的 镜像 。
0
2
r
a
0r
aq?
是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。
五、递推公式
)(
21
1
02
xPr
rrx ll
l?
?
?
?
??
两边求导
)()21(
0
1
2/32 xPlrrrx
rx
l
l
l??
?
??
??
?

)()21(
21 0
12
2 xPlrrrxrrx
rx
l
l
l?
?
?
????
??
?
)()21()()(
0
12
0
xPlrrrxxPrrx l
l
l
l
l
l ?? ?
?
??
?
????
两边同幂的系数
)()1()(2)()1()()( 111 xPkxx k PxPkxPxxP kkkkk ??? ??????
0)()()12()()1( 11 ????? ?? xkPxxPkxPk kkk递推公式
)(')(')()12( 11 xPxPxPl lll ?? ???
10.2 连带勒让德函数
)()1( 22 xyx m???
xyxmyx mm 12222 )1(')1(' ??????
yxxmmyxmxyxmyx mmmm 222212212222 )1)(1()1(')1(2'')1('' ??? ??????????
0]1)1([])1[( 222 ???????? xmlldxdxdxd
0]1)1(['2'')1( 222 ?????????? xmllxx
0)1](
1
)1([)1(2')1(2
)1)(1()1(')1(2'')1(
22
2
2
212222
21222222122
??
?
???????
????????
?
??
yx
x
mllyxxmyxx
yxxmmyxmxyxmyx
mmm
mmmm
0)1(2)1)(1()1()1(
1
)1)(1(')1(2')1(2'')1(
212221222222
2
2
222222
1
22
?????????
?
?
????????
??
?
yxxmyxxmmyxmyx
x
m
yxllyxxxyxmyx
mmmm
mmmm
1.函数
设 m是规定的
0)1(2)1)(1(1
)1('2'2'')1(
212212
2
2
12
?????????
?????
?? yxxmyxxmmmyy
x
m
yllxym x yyx
0)1(11)1()1(')1(2'')1( 2222212 ???????????? yxxmyxmxyllxymyx
0)]1()1([')1(2'')1( 12 ???????? ymmllxymyx
0})1(2])1{( )(222 ????? mlll plldxdpxdx pdx
)1()1()2(2)(
2
22 )1(2)1(]})1{( ??? ?????? m
lmlmlml pmmm x ppxdx
pdx
)()1()( 22}2{ mlmlml mpxpdxdpx ?? ?
0})1(22)1(2)1( )()()1()1()1()2(2 ????????? ???? mlmlmlmlmlml pllmpxppmmm x ppx
0)1()1()1(2)1( )()()1()2(2 ???????? ?? mlmlmlml pllpmmxpmpx )()1(
][22 xPxP mlmml ????
是 l 次多项式,求 l+1 次导数后变为零。
lm,,2,1,0 ??
ll PP ?0
2,微分表示
l
l
l
ll xdx
d
lP )1(!2
1 2 ??
l
ml
ml
l
m
m
l xdx
d
l
xP )1(
!2
)1( 222 ???
?
?
m? 情况,
l
ml
ml
l
m
m
l xdx
d
l
xP )1(
!2
)1( 222 ???
?
??
?
0]1)1([])1[( 222 ???????? xmlldxdxdxd
这也是勒让德方程满足自然边界条件的解。二阶微分方程至少有两个独立解,
但满足特定边界条件的解是唯一的,故这两个解只相差一个常数。
l
ml
ml
l
ml
ml
m
l
ml
ml
l
m
l
ml
ml
l
m
m
l
m
l
x
dx
d
x
dx
d
x
x
dx
d
l
x
x
dx
d
l
x
P
P
)1(
)1()1(
)1(
!2
)1(
)1(
!2
)1(
2
22
2
22
2
22
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
同项幂的比应该就是这个常数。例如最高次幂,
mklkl
k
klkl
kml
mll
ml
ml x
mlklk
kllx
klk
l
dx
dx
dx
d ??
?
?
??
?
?
? ?
??
???
??? ??
22
0
22
0
2 )1(
)!()!(!
)!22(!)1(
)!(!
!)1(
最高项,0?k
mlx
ml
kl ?
?
?
)!(
)!22(
)!(
)!(
)1(
)!(
)!22(
)!(
)!22(
)1(2
ml
ml
x
ml
kl
x
ml
kl
x
P
P m
ml
mlmm
m
l
m
l
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3,积分表示
? ???
?
?
???????
C
ml
l
l
m
l
ml
ml
l
m
m
l dzxz
z
i
ml
l
xx
dx
d
l
xP
1
222
2
22
)(
)1(
2
)!(
!2
)1()1(
!2
)1(
?
4,正交关系
0)()(
1
1
??
?
?
dxxPxP mlmk )( lk?
5,模 dxxPN m
l
m
l ?
?
?
?
1
1
22 )]([)(
dxxdxdxdxdlml ml lml mllml mllm ?
?
?
?
?
?
? ??
?
??? 1
1
22
22 )1()1()!(2
1
)!(
)!()1(
多次分步积分,
dxxdxdxdxdlml ml lllllllm ?
?
?
??????
1
1
22
22 )1()1()!(2
1
)!(
)!()1(
dxxPxPml mlN llml ?
?
??
?? 1
1
2 )()(
)!(
)!()(
12
2
)!(
)!(
??
??
lml
ml
6,广义傅立叶级数
)()(
0
xPfxf ml
l
l?
?
?
?
dxxPxfml mllf mll )()()!( )!(2 12
1
1
?
??
???
m是规定的
例 1 ?s i n)1()( 2/121
1 ??? xxP
)3()1( 2/12 xx?? ) ] '13(21[)1()( 22/1212 ??? xxxP ??? 2s i n23c o ss i n3 ??
)(61)()!12( )!12()1()( 1212112 xPxPxP ??????? ?2sin41??
')]'13(21[)1()( 22/2222 ??? xxxP )1(3 2x?? )2c o s1(23s i n3 2 ?? ???
?2sin)( ?xf )(cos31 22 ?P?
例 2
?10 2 )( dxxPl dxxdxdlx llll )1(!2 )1( 222210 ??? ??? dxxdxdxl llll )1()1(!2 1 222210 ??? ???
})1(2)1()1{(!2 1 21
11
0
1
0
2
1
1
2 dxx
dx
dxx
dx
dx
l
l
l
l
l
l
l
l ????? ?
?
?
? ?
})1()1(2)1()1{(!2 1 1021
1
1
0
21
0
2
1
1
2 l
l
l
l
l
l
l
l
l
l xdx
dx
dx
dxx
dx
dx
l ??????? ?
?
?
?
1
0
1
0
2
1
1
1
0
2
1
1
2 )(2})1()1()1{(
!2
1 xxPx
dx
dx
dx
dx
l l
l
l
l
l
l
l
l ?????? ?
?
?
?
1
0
1
0
2
1
1
1
0
2
1
1
2 )(2})1()1()1{(
!2
1 xxPx
dx
dx
dx
dx
l l
l
l
l
l
l
l
l ?????? ?
?
?
?
0
2
1
1
2
1
1
2 })1()1()1{(
!2
12
??
?
?
?
?????? xll
l
l
l
l
l xdx
dx
dx
dx
l
0
)(2
0
1
1
)(2
0
1
1
2 })1()1()1{(
!2
12
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????? ?? xkkl
l
k
k
ll
l
kkll
k
k
ll
l
l xCdx
dxC
dx
dx
l
0
12
1
12
1
2 })1(
)!1(
)!(2)1(
)!1(
)!(2)1{(
!2
12
?
??
??
??
??
?????????? ?? xkkl
l
lk
k
l
kkll
lk
k
ll l
klxC
l
klxCx
l
0
12
1
12
1
2 })1(
)!1(
)!(2)1(
)!1(
)!(2)1{(
!2
12
?
??
??
??
??
?????????? ?? xkkl
l
lk
k
l
kkll
lk
k
ll l
klxC
l
klxCx
l
第一项在,第二项在 不为零。 12 ?? kl 12 ?? kl
})1(
)!1(
)!
2
1(2
)1(
)!1(
)!
2
1(2
{
!2
12 2 12 12 12 1 ???? ?
?
?
??
?
?
??
ll
l
ll
ll l
l
C
l
l
C
l
})1()!22( !2)1()!2( )!1(2{)!12(2 12 11 121212 ?? ??? ???????? nn nnn nn n nCnnCn
12 ?? nl
])!22( !2)!2( )!1(2[!)!1( )!12()!12(2 1)1(2 12 ???? ????? ? n nnnnn nnnn
])!22()!1( 1!)!2( 1[2 1)1(2 2 ?????? nnnnnn
)!1()!22(
1)12()1(
2
1)1(2 2
12 ??
??????
? nn
nn
n
n
])!1()!22( 1)12()1(2 1)1(2[)!12( )!12(2 34
2
12
0
12 ??
?????
??
????
?? nn
nn
mn
umnnf
n
n
n
)(])!1()!22( 1)12()1(2 1)1(2[)!12( )!12(2 34)( 12
0
2
12
0 xP
nn
nn
mn
umnnxf m
n
n n
n
?
?
? ?
? ?? ??????? ????
7,递推公式
由勒让德多项式的递推公式得之。
10.3 球函数
1,球函数
???
?
???
?
?
?
??
?
??
??
?
?
,3,2,1
,,2,1,0
c o s
s i n)( c o s),(
l
lm
m
mPY m
l
m
l ?
????
2.正交关系
???
?
???
?
?
????
kl
nmddYY n
k
S
m
l,0s i n),(),( ???????
3.模
???? ??????????? ? ? ????????????? 20
2
21
1
2
12
2
)!(
)!(
c o s
s ins in)]( c o s[s in)],([
lml
mld
m
mdPddY mm
l
S
m
l
4.球面上的广义傅立叶级数
)( c o s]s i nc o s[),(
0
????? mlml
m
m
l
ml
PmBmAf ? ??
?
?
?
??
例 1
???? co s)( co sco ss i n 11P?1,1 ?? lm
???? s i n)( c o ss i ns i n 11P?
例 2 1co ss i n3),( 22 ?? ????f 注意,?? lm co s,co s
12 2c o s1s in3),( 2 ??? ????f ??? 2c o ss i n231s i n23 22 ???
??? 2c o ss i n23)1c o s3(21 22 ????
??? 2c o s)( c o s21)( c o s21 22PP l ???
例 3 偶极矩的电场中的电势
q?
q?
r?s?
q?
x
y
z
q?
),,( zyx

]
1
)(
1
[
4
),,(
222
222
0
zyx
zysx
q
zyxu
??
?
???
?
??
0?s
2220
1
4),,( zyxx
qszyxu
???
??
??
2
3
2220 )(4 zyx
xqs
??
? ??
2
3
2220
1
)(
c o ss in
4 zyx
rp x
??
? ????
???? c o s)( c o s4 112
0
1 Prp x?
沿 x轴
沿 y轴
???? s i n)( c o s4),,( 112
0
1 P
r
pzyxu y?
沿 z轴
)( c o s4),,( 12
0
1 ??? Prpzyxu z?
m等于零
沿任意方向
)]( c o ss i n)( c o sc o s)( c o s[4 14),,( 111111112
0
2
0
????????? PpPpPprrrPzyxu zyx ?????
??
拉普拉斯方程度的非轴对称解
例 4 球内解 0??u ????? s i nc o ss i n),,( 200 uru ?
)( c o s]s i nc o s[),,(
0
????? mlml
m
m
l
ml
l PmBmArru ? ??
?
?
?
??
????? 2s i ns i n21s i nc o ss i n 2020 uu ? ?? 2s i n)( c o s61 220 Pu?
)( c o s]s inc o s[),,(
0
00 ?????
m
l
m
l
m
m
l
ml
l PmBmArru ? ??
?
?
?
???
20
022 6ruB ? 其余 0?? mlml BA
?? 2s i n)( c o s6 222
0
2
0 P
r
ruu ?
边界条件,
四极矩
p?
p??
q
q
q?
q?
x
y
z
),,( zyx
p?
p??
xs2
)0,0,( 11 xpp ??分量,
电势是两个偶极矩分别
产生的电势的叠加,
]
)(
))((
[
4
),,(
2/3222
2/3222
2
0
1
zyx
x
zysx
sxp
zyxu xx
??
?
???
?
?
??
2
3
2220
1
1
)(4
)(
zyx
xppu x
x
??
? ??
一个 偶极矩的电势,
x
y
z ),,( zyx
p?
p??
xs2
]
)(
))((
[
4
),,(
2/3222
2/3222
2
0
1
zyx
x
zysx
sxp
zyxu xx
??
?
???
?
?
??
x
x s
zyx
x
x
pru
2
2
3
2220
1 ]
)(
[4)( ?
???
??
??
?
02 ?xs
5
22
0
21 3
4 r
xrsp xx ??
?? ]1c o ss in3[14 223
0
21 ?? ???? rsp xx
)]( c o s2c o s)( c o s21[14),,( 2223
0
21 ???
?? PPr
spzyxu xx ??
一般

??
??
??
??
?
??
2c o s)( c o s
2
1
)(
2s in)( c o s
2
1
)(
]c o s)( c o s)(
]s in)( c o s)(
)( c o s)2[(
4
1
),,(
2
22121
2
22121
1
22121
1
22121
22121213
0
Pspsp
Pspsp
Pspsp
Pspsp
Pspspsp
r
zyxu
yyxx
xyyx
yzzy
xzzx
zzyyxx
??
??
??
??
????