8.1 分离变量法介绍
（一）分离变量法
（泛定方程）波动方程,02 ?? xxtt uau
边界条件,
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???
0),( 0??xtxu 0),( ??lxtxu
初始条件,
波腹
波节
2.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
-0.5
0.5
1
每一点绕平衡位置振动 )(tT
振幅随位置变化 )(xX
驻波解,)()(),( tTxXtxu ?
对于确定的频率，解是 驻波,
带入波动方程、边界条件,
0'''' 2 ?? TXaXT
0)()0( ?tTX 0)()( ?tTlX即 0)0( ?X 和 0)( ?lX
0''''2 ?? XXTaT 0/)''''( 22 ?? XTaTXaXT ?
这是解的 分离变量
A,
)( )('')( )(''2 xX xXtTa tT ?
Clearly,
x,t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故 比 只能
为一 常数 ！
???? )( )('')( )(''2 xX xXtTa tT
由 分离变量,波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组,;0'' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)( ?lX
B,
(1) 0??
0'' ?? XX ? ? xx eCeCxX ?? ??? ?? 21)(
0)0( ?X ? 021 ??CC
.0)( ?lX ? 0
21 ?? ??? ll eCeC ??
?
??
??
?
021 ??CC;0'' ?? XX ? 的解,
(2) 0??
21)( CxCxX ?? ? 02?C 021 ??ClC ? 021 ??CC
(3) 0?? xCxCxX ?? s inc o s)(
21 ??
0)0( ?X ? 01?C
.0)( ?lX ? 0sin2 ?lC ?
? 非零解 0sin ?l? 2
22
ln???
l xnCxX ?sin)( 2?
2
22
ln???
：本征值
l xnCxX ?sin)( 2?,本征函数;0'' ?? XX ?,本征值方程
C2是 积分常数 。
?3,2,1?n02?C
C,;0'' 2 222 ?? Tl anT ?
,s i nc o s)( latnBlatnAtT ?? ??
A,B 是 积分常数 。
.s i n)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu nnn ??? ?? ?3,2,1?n
.s in)s inc o s(),(
1 l
xnl atnBl atnAtxu
nnn
??? ?? ??
?
D,
)(0 xu t ???由初始条件,),(s in
1
xl xnA n
n
?? ???
? ;s in)(
2
0
????? dlnlA ln ??
).(0 xu tt ??? ).(s in
1
xl xnBl an n
n
??? ???
?
.s in)(2
0
?????? dlnanB ln ??
小结 分离变量,)()(),( tTxXtxu ? 0'''' 2 ?? TXaXT
0)()0( ?tTX 0)()( ?tTlX
.s in)s inc o s(),(
1 l
xnl atnBl atnAtxu
nnn
??? ?? ??
?
边值 确定本征值函数,.s i n)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu
nnn ??? ??
初值 确定叠加系数,;s in)(2
0
????? dlnlA ln ??,s in)(2
0
?????? dlnanB ln ??
注意：边界值等于零（ 齐次边界条件 ）是确定本征函数的 根本 。
（二）例
例 1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。 自由：振动传递给外界
02 ?? xxtt uau
0 l x
0),( ??lxx txu 0),( ??lxx txu
)(0 xu t ??? )()( 0 xxu tt ???
A,)()(),( tTxXtxu ? 0'''' 2 ?? TXaXT
0)()0(' ?tTX 0)()(' ?tTlX
分离变量,;0'' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0(' ?X 和,0)(' ?lX
xCxCxX ?? s inc o s)( 21 ??B.,02 ?C?
0)c o ss in( 21 ??? lClC ???
2
22
ln???
?3,2,1,0?n?
l xnCxX ?cos)( 1?
C,;0'' 2 222 ?? Tl anT ?
,s i nc o s)( latnBlatnAtT nnn ?? ??,c o s)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu nnn ??? ?? ?3,2,1?n
tBAtT 000 )( ?? 0?ntBAtxu 000 ),( ??
.c o s)s i nc o s(),(
100 l
xnl atnBl atnAtBAtxu
nnn
??? ???? ??
?
D,
)(0 xu t ???
由初始条件,
),(s in
10
xl xnAA n
n
?? ?? ??
?
,)(1
0
0 ??? dlA
l??
).(0 xu tt ??? ).(s in
10
xl xnBl antB n
n
??? ?? ??
?
.c o s)(2
0
?????? dlnanB ln ??;c o s)(2
0
????? dlnlA ln ??
,)(1
0
0 ??? dlB
l??
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x
固定
lx?
自由
3 4 5 6 7 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x
自由
lx?
自由
4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x
自由
lx?
固定
2.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
-0.5
0.5
1
0?x
固定
lx?
固定
一、二类边界条件决定的驻波
例 2,
单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。
02 ?? xxtt uau
0),( 0??xtxu 0),( ??lxx txu
求 本征振动 。
不需要初始条件。
A,)()(),( tTxXtxu ?
0'''' 2 ?? TXaXT 0)()0( ?tTX 0)()(' ?tTlX
分离变量,
0)0( ?X 和 0)(' ?lX
???? )( )('')( )(''2 xX xXtTa tT;0'' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)(' ?lX
0 l x
xCxCxX ?? s inc o s)( 21 ??B,
0)0( ?X 和,0)(' ?lX ? 01?C 0cos2 ?lC ?和
2
22
2
22
4
)12()21(
l
k
l
k ??
? ??
?
?
?3,2,1,0?k
l xkCxX 2 )12(sin)( 2 ???
C,;0
4 )12('' 2
222 ??? T
l akT ?
,2 )12(s in2 )12(c o s)( l atkBl atkAtT ?? ????
.2 )12(s i n)2 )12(s i n2 )12(c o s(),( l xkl atkBl atkAtxu kkk ??? ????? ?3,2,1,0?k
K=0：基频。 K>0：谐频
例 3 细杆热传导。初始均匀温度为,保持一端温度不变，另一端有恒定
热流 流入。 0u
0q
0 l x
0q
0u
0u
0222 ?????? xuatu
解,
00),( utxu x ??
第一类边界条件
第二类边界条件 kqtxu lxx /),( 0??
非齐次（ 不为零 ） 边界条件。无法直接根据边界条件确定本征函数。
解 ＝齐次边界条件的 通解 ＋非齐次边界条件的 特解
A,非齐次边界条件的 特解,xkqutxv 00),( ??
齐次边界条件的 通解, ),( txw
),(),(),( txvtxwtxu ??设解,
0)( 22 ????? xxtxxt vavwaw
02 ?? xxt vav
0),0( utv ?
0),('),('),(' 00 ????? kqkqtlvtlutlw
则 0),0(),0(),0( 00 ????? uutvtutw
00 uu t ??
kqtlvx 0),( ?
xkqxkquuvuw ttt 0000000 )( ??????? ???初始条件,
B,分离变量 )()(),( tTxXtxw ? 0''' 2 ?? TXaXT
0)()0( ?tTX 0)()(' ?tTlX;0' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)(' ?lX
l xkCxX 2 )12(sin)( 2 ??? ?3,2,1,0?k;04 )12(' 2 222 ??? Tl akT ?
C,
];4 )12(e x p [)( 2 222l takCtT ????;2 )12(s i n]4 )12(e x p [),( 2 222
0 l
xkl takCtxw
k k
?? ???? ??
?
与上题同
D.*;2 )12(s in)0,( 0
0
xkql xkCxw
k k
???? ??
?
?
???? dlkkqlC lk 2 )12(s in2
0
0 ??? ? ]2 )12([ c o s)12( 4
0
0 lkdkk q l ???? ??? ?
???????? dlkkk qlkkk q ll 2 )12(c o s)12( 42 )12(c o s)12( 4
0
000 ?????? ?
l
kd
kk
lq l
2
)12(s in
)12(
8
022
0 ??? ???? ? llkkk lq 0220 2 )12(s in)12( 8 ??? ???? 2201 )12( 8)1( ???? ? kk lqk
E,;2 )12(s i n]4 )12(e x p [)12( )1(8),( 2 222
0 2
1
2000 l
xk
l
tak
kk
lqx
k
qutxu
k
k ??
?
???
?
???? ??
?
?
“和”是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。
.2s in]4e x p [8),( 2 222000 lxl tak lqxkqutxu ??? ????
例 4
x
y
b
0 a
U
0u 0u
0u
如图，散热片横截面为矩形。温度满足 。求稳定
温度分布。
0uU?
解,稳定分布温度满足拉氏方程,
0?? yyxx uu
边界条件：,
00 uu x ??,0uu ax ??,00 uu y ??,Uu ay ??
从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是
确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界
条件，但可将其一视为初始条件。
令,),(),( 0 yxvuyxu ?? 显然,
0?? yyxx vv
,00??xv,0??axv,00??yv,0uUv ay ???
A,)()(),( yYxXtxv ? 0'''' ?? XYYX
0)()0( ?yYX
分离变量,
0)()( ?yYaX 0)0()( ?YxX 0)()( uUbYxX ??
????? )( )('')( )('' xX xXyY yY ;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)( ?lX;0'' 2 22 ?? YanY ?
l xnCxX ?sin)( 2? ?,2,1?n
B,
]e x p []e x p [)( a ynBa ynAyY ?? ???
2
22
ln???
a xna ynBa ynAyxv nnn ??? s i n]}e x p []e x p [{),( ???
C,
a xna ynBa ynAyxv nnn ??? s i n]}e x p []e x p [{),( 1 ??? ?
?
?
,00??yv ? 0s in}{
1
????
? a
xnBA nn
n
?
.0uUv ay ??? ?,s in]}e x p []e x p [{ 01 uUa xna bnBa bnA nnn ?????
?
?
???
? 0?? nn BA
?
)(
)12(
4])1(1)[(2
c o s)(2s in)(2]e x p []e x p [
00
00
0
0
uU
k
uU
n
a
nuU
n
d
a
nuU
aa
bnB
a
bnA
n
a
a
nn
?
?
?????
??????? ?
??
??
?
?????
])12(s i n h [)12(
)(2
]})12(e x p []{ e x p [)12(
)(4 00
a
bkk
uU
a
bk
a
bnk
uUBA
nn ????? ??
??
????
????
a
xk
a
bkk
a
yk
uUuyxu
k
?
?
?
?
)12(s in
])12(s in h [)12(
])12(s in h [)(4
),(
0
0
0
?
??
?
??? ??
?
例 7,
?
求电场强度
解,建立如右图坐标系,Z-轴沿导线。
导线
z 无限长导线的情况，可将电场看作沿 z 方向不变。
只需要研究 x-y 平面的状态 平面问题 。 ?
导线的存在，如何改变电场？
真空静电势满足拉普拉斯方程,
0),( ?? yxu 或
02222 ?????? yuxu
边界条件
方程
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势 零点,
0222 ??? ayxu a为导线半径
云、地在无穷远处，由定义,可得,uE ????
0),( xEyxu x ?????地, 0E?
无穷远处电场强度。
0),( xEyxu x ?????云,
根据导线的边界条件，本题应取平面极座标,座标原点在导线中心。 ),( ??
011 22222 ????????? ????? uuu 0??au ? ??? co s),( 0Eyxu ????
分离变量 )()(),( ???? ?? Ru
011 22222 ????????? ????? uuu ? 0/''/''' 2 ?????? ?? RRR
0/''/'/''2 ????? RRRR ?? ??? ?????? /''/'/''2 RRRR
0222 ??????? RRR ?????
0'' ???? ?
自然周期边界条件 ),()2,( ????? uu ??
?
?
)()()2()( ????? ???? RR
)()2( ??? ????或
0'' ???? ? ?
??? mBmA mmm s i nc o s)( ???
2m?? ?,2,1,0?m
0222 ??????? RRR ?????
0?m 0
2
22 ?
????? ???? RR ?lnDCR ?? ???? 1,1 22
2 ?
?????? RR
0?m 02
2
22 ??
????? RmRR ????
mm DCR ??? ??
),1()1(222 ?????? ? mmDmmCR mm ????
mDmCR mm ????? ????
0)1()1( 22222 ?????????????? ?? RmmDmCmmDmmCRmRR mmmm ????????
)s inc o s()(ln),(
100
??????? mBmADCDCu mm
m
mmmm ????? ??
?
?
定解 a??
)s inc o s()(ln0
100
?? mBmAaDaCaDC mm
m
mmmm ????? ??
?
?
0ln00 ?? aDC aDC ln00 ?? 0?? ?mmmm aDaC mmm aDC 2???
???
)s inc o s()(ln),(
1
20 ??????? mBmAaaDu mm
m
mmm ???? ??
?
?
?????? c o s)s inc o s(lim 0
1
EmBmA mm
m
m ?????
???
01)1(,0,0 EAmAB mm ?????
??????? c o sc o sln),( 2000 aEEaDu ???
电场强度 uE ????
22
2
00
22
0 ln),( yx xaExEa
yxDu ???????
]ln)[( 22 200220 yx xaExEa yxDyjxiE ??????????? ???
])l n (21)[( 22 200220 yx xaExEyxDyjxiE ??????????? ???
222
20
222
220
22
20
022 022 0 )()( yx xyaEjyx xaEiyx aEiEiyx yDjyx xDi ????????????
??????
2
220
2
22000
0 s i nc o ss i nc o s ? ?? ?? ?? ? aEjaEiDjDiEi
????? ??????
2
220
2
220
200 s i nc o s ? ?? ??? aEjaEiDEiE
????? ?????
??????? c o sc o sln),( 2000 aEEaDu ???
讨论,2 2202 220200 s i nc o s ? ?? ??? aEjaEiDEiE ????? ?????
电场中,第一项 是无导线时的均匀电场。 第二项 为平面上圆型电荷的电场,
即导线所带电荷的影响。 第三项 为导线的影响。
当导线上无电荷时,?
????? c o sc o s),(
2
00 aEEu ???
02
20
0 2 Eia aEiEiE
???? ????A点与 B点的电场为
A
B
C
D
C点电场强度,00 EjEiE ??? ???
02EEC ??
CE?
0),0(),0( 0 ?? tuktTu x
0),(),( 1 ?? tluktlTu x
02 ?? xxtt uau
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???;0'' ?? XX ?;0'' 2 ?? TaT ?
（一）分离变量法
（泛定方程）波动方程,02 ?? xxtt uau
边界条件,
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???
0),( 0??xtxu 0),( ??lxtxu
初始条件,
波腹
波节
2.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
-0.5
0.5
1
每一点绕平衡位置振动 )(tT
振幅随位置变化 )(xX
驻波解,)()(),( tTxXtxu ?
对于确定的频率，解是 驻波,
带入波动方程、边界条件,
0'''' 2 ?? TXaXT
0)()0( ?tTX 0)()( ?tTlX即 0)0( ?X 和 0)( ?lX
0''''2 ?? XXTaT 0/)''''( 22 ?? XTaTXaXT ?
这是解的 分离变量
A,
)( )('')( )(''2 xX xXtTa tT ?
Clearly,
x,t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故 比 只能
为一 常数 ！
???? )( )('')( )(''2 xX xXtTa tT
由 分离变量,波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组,;0'' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)( ?lX
B,
(1) 0??
0'' ?? XX ? ? xx eCeCxX ?? ??? ?? 21)(
0)0( ?X ? 021 ??CC
.0)( ?lX ? 0
21 ?? ??? ll eCeC ??
?
??
??
?
021 ??CC;0'' ?? XX ? 的解,
(2) 0??
21)( CxCxX ?? ? 02?C 021 ??ClC ? 021 ??CC
(3) 0?? xCxCxX ?? s inc o s)(
21 ??
0)0( ?X ? 01?C
.0)( ?lX ? 0sin2 ?lC ?
? 非零解 0sin ?l? 2
22
ln???
l xnCxX ?sin)( 2?
2
22
ln???
：本征值
l xnCxX ?sin)( 2?,本征函数;0'' ?? XX ?,本征值方程
C2是 积分常数 。
?3,2,1?n02?C
C,;0'' 2 222 ?? Tl anT ?
,s i nc o s)( latnBlatnAtT ?? ??
A,B 是 积分常数 。
.s i n)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu nnn ??? ?? ?3,2,1?n
.s in)s inc o s(),(
1 l
xnl atnBl atnAtxu
nnn
??? ?? ??
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D,
)(0 xu t ???由初始条件,),(s in
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xl xnA n
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.s in)(2
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小结 分离变量,)()(),( tTxXtxu ? 0'''' 2 ?? TXaXT
0)()0( ?tTX 0)()( ?tTlX
.s in)s inc o s(),(
1 l
xnl atnBl atnAtxu
nnn
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边值 确定本征值函数,.s i n)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu
nnn ??? ??
初值 确定叠加系数,;s in)(2
0
????? dlnlA ln ??,s in)(2
0
?????? dlnanB ln ??
注意：边界值等于零（ 齐次边界条件 ）是确定本征函数的 根本 。
（二）例
例 1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。 自由：振动传递给外界
02 ?? xxtt uau
0 l x
0),( ??lxx txu 0),( ??lxx txu
)(0 xu t ??? )()( 0 xxu tt ???
A,)()(),( tTxXtxu ? 0'''' 2 ?? TXaXT
0)()0(' ?tTX 0)()(' ?tTlX
分离变量,;0'' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0(' ?X 和,0)(' ?lX
xCxCxX ?? s inc o s)( 21 ??B.,02 ?C?
0)c o ss in( 21 ??? lClC ???
2
22
ln???
?3,2,1,0?n?
l xnCxX ?cos)( 1?
C,;0'' 2 222 ?? Tl anT ?
,s i nc o s)( latnBlatnAtT nnn ?? ??,c o s)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu nnn ??? ?? ?3,2,1?n
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2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x
固定
lx?
自由
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-1
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1
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自由
lx?
自由
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自由
lx?
固定
2.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
-0.5
0.5
1
0?x
固定
lx?
固定
一、二类边界条件决定的驻波
例 2,
单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。
02 ?? xxtt uau
0),( 0??xtxu 0),( ??lxx txu
求 本征振动 。
不需要初始条件。
A,)()(),( tTxXtxu ?
0'''' 2 ?? TXaXT 0)()0( ?tTX 0)()(' ?tTlX
分离变量,
0)0( ?X 和 0)(' ?lX
???? )( )('')( )(''2 xX xXtTa tT;0'' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)(' ?lX
0 l x
xCxCxX ?? s inc o s)( 21 ??B,
0)0( ?X 和,0)(' ?lX ? 01?C 0cos2 ?lC ?和
2
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4
)12()21(
l
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l xkCxX 2 )12(sin)( 2 ???
C,;0
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222 ??? T
l akT ?
,2 )12(s in2 )12(c o s)( l atkBl atkAtT ?? ????
.2 )12(s i n)2 )12(s i n2 )12(c o s(),( l xkl atkBl atkAtxu kkk ??? ????? ?3,2,1,0?k
K=0：基频。 K>0：谐频
例 3 细杆热传导。初始均匀温度为,保持一端温度不变，另一端有恒定
热流 流入。 0u
0q
0 l x
0q
0u
0u
0222 ?????? xuatu
解,
00),( utxu x ??
第一类边界条件
第二类边界条件 kqtxu lxx /),( 0??
非齐次（ 不为零 ） 边界条件。无法直接根据边界条件确定本征函数。
解 ＝齐次边界条件的 通解 ＋非齐次边界条件的 特解
A,非齐次边界条件的 特解,xkqutxv 00),( ??
齐次边界条件的 通解, ),( txw
),(),(),( txvtxwtxu ??设解,
0)( 22 ????? xxtxxt vavwaw
02 ?? xxt vav
0),0( utv ?
0),('),('),(' 00 ????? kqkqtlvtlutlw
则 0),0(),0(),0( 00 ????? uutvtutw
00 uu t ??
kqtlvx 0),( ?
xkqxkquuvuw ttt 0000000 )( ??????? ???初始条件,
B,分离变量 )()(),( tTxXtxw ? 0''' 2 ?? TXaXT
0)()0( ?tTX 0)()(' ?tTlX;0' 2 ?? TaT ?;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)(' ?lX
l xkCxX 2 )12(sin)( 2 ??? ?3,2,1,0?k;04 )12(' 2 222 ??? Tl akT ?
C,
];4 )12(e x p [)( 2 222l takCtT ????;2 )12(s i n]4 )12(e x p [),( 2 222
0 l
xkl takCtxw
k k
?? ???? ??
?
与上题同
D.*;2 )12(s in)0,( 0
0
xkql xkCxw
k k
???? ??
?
?
???? dlkkqlC lk 2 )12(s in2
0
0 ??? ? ]2 )12([ c o s)12( 4
0
0 lkdkk q l ???? ??? ?
???????? dlkkk qlkkk q ll 2 )12(c o s)12( 42 )12(c o s)12( 4
0
000 ?????? ?
l
kd
kk
lq l
2
)12(s in
)12(
8
022
0 ??? ???? ? llkkk lq 0220 2 )12(s in)12( 8 ??? ???? 2201 )12( 8)1( ???? ? kk lqk
E,;2 )12(s i n]4 )12(e x p [)12( )1(8),( 2 222
0 2
1
2000 l
xk
l
tak
kk
lqx
k
qutxu
k
k ??
?
???
?
???? ??
?
?
“和”是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。
.2s in]4e x p [8),( 2 222000 lxl tak lqxkqutxu ??? ????
例 4
x
y
b
0 a
U
0u 0u
0u
如图，散热片横截面为矩形。温度满足 。求稳定
温度分布。
0uU?
解,稳定分布温度满足拉氏方程,
0?? yyxx uu
边界条件：,
00 uu x ??,0uu ax ??,00 uu y ??,Uu ay ??
从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是
确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界
条件，但可将其一视为初始条件。
令,),(),( 0 yxvuyxu ?? 显然,
0?? yyxx vv
,00??xv,0??axv,00??yv,0uUv ay ???
A,)()(),( yYxXtxv ? 0'''' ?? XYYX
0)()0( ?yYX
分离变量,
0)()( ?yYaX 0)0()( ?YxX 0)()( uUbYxX ??
????? )( )('')( )('' xX xXyY yY ;0'' ?? XX ?
0)0( ?X 和,0)( ?lX;0'' 2 22 ?? YanY ?
l xnCxX ?sin)( 2? ?,2,1?n
B,
]e x p []e x p [)( a ynBa ynAyY ?? ???
2
22
ln???
a xna ynBa ynAyxv nnn ??? s i n]}e x p []e x p [{),( ???
C,
a xna ynBa ynAyxv nnn ??? s i n]}e x p []e x p [{),( 1 ??? ?
?
?
,00??yv ? 0s in}{
1
????
? a
xnBA nn
n
?
.0uUv ay ??? ?,s in]}e x p []e x p [{ 01 uUa xna bnBa bnA nnn ?????
?
?
???
? 0?? nn BA
?
)(
)12(
4])1(1)[(2
c o s)(2s in)(2]e x p []e x p [
00
00
0
0
uU
k
uU
n
a
nuU
n
d
a
nuU
aa
bnB
a
bnA
n
a
a
nn
?
?
?????
??????? ?
??
??
?
?????
])12(s i n h [)12(
)(2
]})12(e x p []{ e x p [)12(
)(4 00
a
bkk
uU
a
bk
a
bnk
uUBA
nn ????? ??
??
????
????
a
xk
a
bkk
a
yk
uUuyxu
k
?
?
?
?
)12(s in
])12(s in h [)12(
])12(s in h [)(4
),(
0
0
0
?
??
?
??? ??
?
例 7,
?
求电场强度
解,建立如右图坐标系,Z-轴沿导线。
导线
z 无限长导线的情况，可将电场看作沿 z 方向不变。
只需要研究 x-y 平面的状态 平面问题 。 ?
导线的存在，如何改变电场？
真空静电势满足拉普拉斯方程,
0),( ?? yxu 或
02222 ?????? yuxu
边界条件
方程
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势 零点,
0222 ??? ayxu a为导线半径
云、地在无穷远处，由定义,可得,uE ????
0),( xEyxu x ?????地, 0E?
无穷远处电场强度。
0),( xEyxu x ?????云,
根据导线的边界条件，本题应取平面极座标,座标原点在导线中心。 ),( ??
011 22222 ????????? ????? uuu 0??au ? ??? co s),( 0Eyxu ????
分离变量 )()(),( ???? ?? Ru
011 22222 ????????? ????? uuu ? 0/''/''' 2 ?????? ?? RRR
0/''/'/''2 ????? RRRR ?? ??? ?????? /''/'/''2 RRRR
0222 ??????? RRR ?????
0'' ???? ?
自然周期边界条件 ),()2,( ????? uu ??
?
?
)()()2()( ????? ???? RR
)()2( ??? ????或
0'' ???? ? ?
??? mBmA mmm s i nc o s)( ???
2m?? ?,2,1,0?m
0222 ??????? RRR ?????
0?m 0
2
22 ?
????? ???? RR ?lnDCR ?? ???? 1,1 22
2 ?
?????? RR
0?m 02
2
22 ??
????? RmRR ????
mm DCR ??? ??
),1()1(222 ?????? ? mmDmmCR mm ????
mDmCR mm ????? ????
0)1()1( 22222 ?????????????? ?? RmmDmCmmDmmCRmRR mmmm ????????
)s inc o s()(ln),(
100
??????? mBmADCDCu mm
m
mmmm ????? ??
?
?
定解 a??
)s inc o s()(ln0
100
?? mBmAaDaCaDC mm
m
mmmm ????? ??
?
?
0ln00 ?? aDC aDC ln00 ?? 0?? ?mmmm aDaC mmm aDC 2???
???
)s inc o s()(ln),(
1
20 ??????? mBmAaaDu mm
m
mmm ???? ??
?
?
?????? c o s)s inc o s(lim 0
1
EmBmA mm
m
m ?????
???
01)1(,0,0 EAmAB mm ?????
??????? c o sc o sln),( 2000 aEEaDu ???
电场强度 uE ????
22
2
00
22
0 ln),( yx xaExEa
yxDu ???????
]ln)[( 22 200220 yx xaExEa yxDyjxiE ??????????? ???
])l n (21)[( 22 200220 yx xaExEyxDyjxiE ??????????? ???
222
20
222
220
22
20
022 022 0 )()( yx xyaEjyx xaEiyx aEiEiyx yDjyx xDi ????????????
??????
2
220
2
22000
0 s i nc o ss i nc o s ? ?? ?? ?? ? aEjaEiDjDiEi
????? ??????
2
220
2
220
200 s i nc o s ? ?? ??? aEjaEiDEiE
????? ?????
??????? c o sc o sln),( 2000 aEEaDu ???
讨论,2 2202 220200 s i nc o s ? ?? ??? aEjaEiDEiE ????? ?????
电场中,第一项 是无导线时的均匀电场。 第二项 为平面上圆型电荷的电场,
即导线所带电荷的影响。 第三项 为导线的影响。
当导线上无电荷时,?
????? c o sc o s),(
2
00 aEEu ???
02
20
0 2 Eia aEiEiE
???? ????A点与 B点的电场为
A
B
C
D
C点电场强度,00 EjEiE ??? ???
02EEC ??
CE?
0),0(),0( 0 ?? tuktTu x
0),(),( 1 ?? tluktlTu x
02 ?? xxtt uau
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???;0'' ?? XX ?;0'' 2 ?? TaT ?
