8.4 泊松方程
22()u a b x y? ? ? ?
(,,)u f x y z??
无 时间变量－不能用冲量定理法
非齐次方程
特解法
(,,) (,,) (,,)u x y z v x y z w x y z??
设定 待求
(,,) 0w x y z?? 拉普拉斯方程
例
(,,) (,,)v x y z f x y z??
0uc??? ?
0???
圆域
2 2 4 4 2 4(,) ( ) ( ) c o s 2
4 1 2 4 1 2
a b a bv x y x y x y ? ? ?? ? ? ? ? ?
(,) 0w x y??
0
24
00 c os 24 12
abwc
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00
1
(,) l n ( )( c o s s i n )mmm m m m
m
w C D C D A m B m? ? ? ? ? ? ?? ?
?
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0 0 0
1
(,) ( c o s s i n )m mm
m
w C A m B m? ? ? ? ??
?
? ? ??
24
00 c os 24 12
abc ? ? ?? ? ? 2
004
aCc ???
0
1
(,) ( c o s s i n )m mm
m
w C A m B m? ? ? ? ??
?
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边界条件
0
1
( c o s s i n )m mm
m
A m B m? ? ??
?
?? 4
0 c os 212
b ????
2m?
24
0 2 0c os 2 c os 212
bA? ? ? ??? 2
2012
bA ???
2 2 2
00(,) c os 24 12
abwc? ? ? ? ? ?? ? ?
(,) (,) (,)u v w? ? ? ? ? ???
2 4 2 2 2
00c o s 2 c o s 24 1 2 4 1 2
a b a bc? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
2 2 2 2 2
00( ) ( ) c os 24 12
abc ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
2xx yyuu? ? ?
0 0xu ? ?
例
0xau ? ? 0 0yu ? ? 0ybu ? ?
(,) ( )v x y x a x??
2xx yyvv? ? ?
0xx yyww??
0 0xw ? ? 0xaw ? ? 0 ()yw x a x? ?? ()ybw x a x? ??
1
(,) { e x p [ ] e x p [ ] } s i nnn
n
n y n y n xw x y A B
a a a
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?
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0 ()yw x a x? ?? ()ybw x a x? ??
1
(,0 ) { } s i n ( )nn
n
nxw x A B x a x
a
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1
(,) { e x p [ ] e x p [ ] } s i n ( )nn
n
n b n b n xw x b A B x a x
a a a
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,nnAB 的联立代数方程
1
( ) s i nn
n
nxx a x C
a
??
?
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n n nA B C??
e x p [ ] e x p [ ]n n nn b n bA B Caa??? ? ?
n n nA B C??
e x p [ ] e x p [ ]n n nn b n bA B Caa??? ? ?
n n nB C A??
e xp[ ] ( ) e xp[ ]n n n nn b n bA C A Caa??? ? ? ?
[ e x p ( ) e x p ( ) ] [ 1 e x p ( ) ]nnn b n b n bACa a a? ? ?? ? ? ? ?
1 e x p ( )
e x p ( ) e x p ( )
nn
nb
aAC
n b n b
aa
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??
??
?
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n n nB C A??
1 e x p ( ) e x p ( ) 1
[ 1 ]
e x p ( ) e x p ( ) e x p ( ) e x p ( )
nn
n b n b
aaCC
n b n b n b n b
a a a a
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1
( ) s i nn
n
nxx a x C
a
??
?
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22
3 3 3 30
2 4 8( ) s i n [ ( 1 ) 1 ]
( 2 1 )
a n
n
n x a aC x a x d x
a a n k
?
??? ? ? ? ? ? ? ??
2
33
( 2 1 )1 e x p [ ]
8
( 2 1 ) ( 2 1 )( 2 1 ) e x p ( ) e x p ( )n
kb
a aA
k b k bk
aa
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???
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2
33
( 2 1 )e x p [ ] 1
8
( 2 1 ) ( 2 1 )( 2 1 ) e x p ( ) e x p ( )n
kb
a aB
k b k bk
aa
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1
(,) ( ) { e x p [ ] e x p [ ] } s i nnn
n
n y n y n xu x y x a x A B
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?
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