2
2
2
2
2
2
zzx ?
??
?
??
?
???
)(1)(1 2
2
2 zz ?
?
?
??
?
??
?
?
?
???
??????
2
2
222
2
2 s i n
1)( s i n
s i n
1)(1
?????? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
rrrrrr
拉普拉斯算子
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
0)1(s in 1)( s i ns in1 222 ?????????? YllYY ??????
)()s inc o s)((),,( 1
0
????? ???? ?
?
?? mBmArDrCru mml lll
ml
球坐标
0?m
0)1(2)1( 2
2
2 ???????? ll
dx
dx
dx
dx
柱座标
02
2
???? ??dd
0'' ?? ZZ ?
0)(1 2
2
2
2
???? RmddRd Rd ?????
二、本征值问题 不加证明
1,如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限
多个本征值,
)(),('),( xqxkxk ax? bx?
?321 ??? ??
及无限多本征函数
?),(),(),( 321 xyxyxy
2,所有本征值 0?
k?
3,对应于不同的本征值的 本征函数 带权 正交,)(x?
本征值与本征函数一一对应,
)(
)(
xy
xy
mm
nn??
0)()()( ?? dxxyxyx mnb
a
?
4,本征函数族 完备
)()(
0
xyfxf n
n n?
?
?
?
广义傅立叶级数
由正交性
?? b
a
m
m
m dxxxyxfNf )()()(
1
2 ?
?? ba mm dxxxyN )()]([ 22 ?模
勒让德多项式
0)1(2)1( 222 ???????? lldxdxdxdx
kl
l
l
k
k
l xklklk
klxP 2]2/[
0 )!2()!(2!
)!22()1()( ?
? ??
??? ?
l
l
l
ll xdx
d
lxP )1(!2
1)( 2 ??
l
l
l
ll xdx
d
lxP )1(!2
1)( 2 ??
1)1(1 ?P lP )1()1(1 ??? 1)( ?xPl
0)()(
1
1
??
?
dxxPxP lk
12
22
?? lN l
综合题
1,证明,n阶贝塞耳函数的拉普拉斯变换像函数为
1
)1()]([
2
2
?
???
p
pptJ n
nL
证明,贝塞耳方程
0)(''' 222 ???? nnn JnttJJt
0?n 0'''
0
2
00
2 ??? JttJJt
(1)
0''' 000 ??? tJJtJ
0][]'[]''[]'''[ 000000 ?????? tJJtJtJJtJ LLLL
]''[]''[ 00 JdpdtJ LL ??
.)]([)]([ dp tfdttf LL ?? ][][ 00 Jdp
dtJ LL ??
)0()0(
)0(')0()]([)]([
)1()2(
21)(
??
??
??
????
nn
nnnn
fpf
fpfptfptf ?LL
1][)0(][]'[ 0000 ???? JpJJpJ LLL
)}0('][{]''[ 0020 JpJpdpdtJ ???? LL }][{ 02 pJpdpd ??? L
0][1][}][{ 0002 ?????? JdpdJppJpdpd LLL原方程变为
01][}][)1{( 002 ????? JppJpdpd LL
01][1][')1(][2 0020 ?????? JpJpJp LLL
0])[')1(][ 020 ??? JpJp LL
1][
][
2
0
0
??? p
pdp
J
Jd
L
L
1
)1(
2
1
][
][
2
2
0
0
?
???
p
pd
J
Jd
L
L
1
][
20 ?
?
p
CJL
2,0])('''[ 222 ????
nnn JnttJJtL
C=?
0][][]'[]''[ 222 ???? nnnn JnJttJJt LLLL
.)]([)1()]([ n
n
nn
dp
tfdtft LL ??
0][][)}0(][{)}0(')0(][{ 22
2
2
2
2
??????? nnnnnnn JnJdpdJJpdpdJpJJpdpd LLLL
0][][
][][][2][2][
2
2
2
2
2
2
???
?????
nn
nnnnn
JnJ
dp
d
JJ
dp
d
pJJ
dp
d
pJ
dp
d
p
LL
LLLLL
0][][][3][)1( 22
2
2 ?????
nnnn JnJJdp
dpJ
dp
dp LLLL
22
222212
2
2
)1(
'1)1(1)1'1()1(}'
1
)1({
?
??????????
?
?? ?
p
pppppppn
p
pp nnn
32
22
)1(
)1()1(
?
??????
p
ppnpp n
}'
)1(
)1()1({'}'
1
)1({
32
22
2
2
?
??????
?
??
p
ppnpp
p
pp nn
52
22
432
22
42
22
)1(
)1()1(
3
)1(
)1()1(
)1(
)1()1(
?
????
?
?
????
?
?
????
?
p
ppnpp
p
p
pnppp
p
ppnppn
nn
n
32
22
22
22
22
22
2
2
2
)1(
)1()1(
3
)1(
)1()1(
)1(
)1()1(
'}'
1
)1(
){1(
?
????
?
?
????
?
?
????
?
?
??
?
p
ppnpp
p
p
pnppp
p
ppnppn
p
pp
p
nn
nn
}'
1
)1(
{3
1
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
1
)1(
2
2
2
2
22
2
22
2
2
22
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
p
pp
p
p
pp
p
nppp
p
ppnp
p
ppn
nnn
nn
}'
1
)1({3
1
)1()1(
2
2
2
2
2
?
???
?
????
p
ppp
p
ppn nn
0][][][3][)1( 22
2
2 ?????
nnnn JnJJdp
dpJ
dp
dp LLLL
＃ 代替 2
1
][
20 ?
?
p
CJL )()('
10 tJtJ ??
)0()]([ 00 JtJp ??? L
).0()]([)]('[ ftfptf ?? LL
)]('[)]([ 01 tJtJ LL ??
1
1
2 ?
??
p
p
1
1
2
2
?
???
p
pp
0}'
1
)1({3
1
)1()1('}'
1
)1({
2
2
2
2
2
2
2
?
?
???
?
????
?
??
p
ppp
p
ppn
p
pp nnn
归纳法：若
1
)1(
)]([
2
2
?
??
?
p
pp
tJ
n
nL
0/2 11 ??? ?? ??? ? JtJJ
由递推公式
][][2][ 11 ?? ?? nnn tZJntJ LLL
02 11 ??? ?? ??? ? tJJtJ
或
][2][][ 11 nnn JnZdpdJdpd LLL ??? ??
]''[]''[ 00 JdpdtJ LL ??
1
)1(
1
)1(
2
2
12
2
2
?
??
?
?
??
?
?
p
pp
dp
d
p
pp
n
nn
假设
1
)1(
)]([
2
12
1
?
??
?
?
?
p
pp
tJ
n
nL
32
22
2
2
)1(
)1()1(}'
1
)1({
?
??????
?
??
p
ppnpp
p
pp nn前已证明
则
32
212
2
12
)1(
)1)1(()1(
}'
1
)1(
{
?
??????
?
?
?? ??
p
ppnpp
p
pp nn
32
212
2
12
)1(
)1)1(()1(}'
1
)1({
?
???????
?
?? ??
p
ppnpp
p
pp nn
32
212
32
212
2
12
2
12
)1(
)1)1(()1(
)1(
)1)1(()1(
}'
1
)1(
{}'
1
)1(
{
?
?????
?
?
??????
?
?
?
??
?
?
??
??
??
p
ppnpp
p
ppnpp
p
pp
p
pp
nn
nn
32
222212
)1(
)}1)1(()1()1)1{ ( ()1(
?
????????????? ?
p
ppnppppnpp n
32
222212
)1(
}12)1)1)((1(12{)1(
?
???????????? ?
p
pppnppppp n
22
222212
)1(
}2)1)(1(2)1(12{)1(
?
????????????? ?
p
pppppppnpp n
22
2212
)1(
}22)1(12{)1(
?
????????? ?
p
pppnpp n
1
)1(2
2
2
?
????
p
ppn n )}({2 tJn
nL??
＃