例, 一长 l 柔软均质重绳，一端固定在匀速转动的
竖直轴上。由于重力作用，绳的平衡位置应为
竖直线。试推导其相对于竖直线的微小横振动
方程。
解, 绳的线密度为 ρ，它 在 x 处受的重力为
gxl )( ??
相对于竖直线的偏离为 。 ),( txu
x
xx ??
0
),( txT
),( txxT ??
(0,x) 一段在 x 处受重力 ；由于
作用力等于反作用力,(x,x+dx) 一段在
x 处受 (0,x) 一段的张力也为 。
gxl )( ??
gxl )( ??
同理,(x,x+dx) 一段在 x+dx 处受张力为
gdxxl )( ???
这一段的惯性离心力为 。 ),(2 txudx ??
ttxxdxxx udxudxguxlgudxxl )()()( 2 ????? ?????? ?
ttxxdxxx d x uudxguxlgudxxl ?????? ? 2)()( ?
ttxxdxxx uudxguxlguxl ????? ? 2/])()[( ?
uuxxlxgu tt 2])[( ????????
例 如图：弦上 x=0 处固结一质量为 M 的质点,
导出横振动问题中此点的 衔接条件 。
0?x
MT T
x
解, 设
??
?
?
??
).0(),(
)0(),(),(
2
1
xtxu
xtxutxu
弦在 x=0 是连续的,
),(),( 21 txutxu ? (1)
M 的加速度由 或 描述应相同,),(1 txu ),(2 txu
x
txuT
x
txuT
t
txuM
t
txuM
?
??
?
??
?
??
?
? ),(),(),(),( 1
12222
2
2
1
2 (2)
一端固定的细杆，将另一端拉长 e 而突然放手,
求其定解条件。
例,
0?x
x
lx?
0q? U
),(tlu
e
0?x
x
lx?
f?
边界条件：,0),0( ?tu
,0),( ?tlux
0?x 静止,
lx?
自由,
初始条件,
xlexu ?)0,(
伸长,
静止,
.0)0,( ?xut
*
**
0?x边界条件,恒定热流,
kqtu x ??),0(
lx? 自由冷却,UHuu
x ??初始条件,
)()0,( xxu ??
如图：单位质量 Q 在连续分布的质量 V 外,V 中的质量分布为,求 V
对 Q 的引力势满足的方程。
例, ),,( zyx?
x
y
z
V
),,( zyxQ
),,( ???
dV?
))(),(),(( 3332 ??????? ????? zrGyrGxrGdVrrrGFd ??
222 )()()( ??? ?????? zyxr
dVrxGzyxF
Vx 3
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dVryGzyxF
Vy 3
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可证, 0??F?
又，单位质量受引力势为 dVrGdu ??? dVrGzyxu
V???
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uF ????
或,0)( ?????? uF?
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a) x=0 处一小段 的沿
y 方向力,
x?
ttxutxukT ???? ?? ),(s i n 0
xu?? ?? t ansin 0??x 0),0(),0( 0 ?? tuktTu x
b) x=l 处一小段 的沿 y
方向力,
x?
由于夹角 的方向与
x=l 处相反，故 0),(),( 1 ?? tluktlTu x
ttxutxlukT ?????? ?? ),(s i n 1
解,,0'' ?? XX ?
0)0( ?X
00)()(' ??? hlhXlX
xDxCxX ?? s inc o s)( ??
0?C
0]s i nc o s[ ?? xhxD ???
?
lhl ???? ??? t a n
交点
推导均匀圆杆扭转振动方程。杆半径 R，切变模量 N。
解,
),( tx?
x dxx?
杆单位长度的转动惯量为 I,
dx 一段的角加速度为 。当受力矩 M 时，满足 tt?
MIdx tt ??21
?
F
S
切变
切变力,SF/??
ba /t an ?? ??
a
b
胡克定律, ?? N?
dNRR??
竖直轴上。由于重力作用，绳的平衡位置应为
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b) x=l 处一小段 的沿 y
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