第五章 傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数
5.1 傅里叶级数
? 周期函数的傅里叶展开；
? 奇函数和偶函数的傅里叶展开；
? 有限区间中的函数的的傅里叶展开；
? 复数形式的的傅里叶展开；。
1,周期函数 的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 )()2( xflxf ??
?2 周期
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通
过三角函数表示 f(x)，则必须 a,改变三角函数的周期为 2l。 b,
组合各种周期的三角函数 来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。
三角函数族,
??
??
,s i n,,
2
s i n,s i n
,c o s,,
2
c o s,c o s,1
l
xk
l
x
l
x
l
xk
l
x
l
x
???
???
l
xkk
l
xk
l
lk
l
xk
l
lxk ?????? c o s)2c o s ()2c o s ()2(c o s ??????
a,2l 周期性
b,按三角函数族展开
}.s inc o s{)(
10 l
xkb
l
xkaaxf
k kk
????
?
???
不同的函数形式由不同的组的 和 表示。
ka kb
lxk?sin 同样
三角函数组具有 正交性
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
???
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
dx
l
xk
kdx
l
xk
.0s i nc o s
),(0s i ns i n
),(0c o sc o s
,0s i n1
),0(0c o s1
??
??
??
?
?
(5.1.4)
(5.1.3)
此为 傅里叶级数展开
因此
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(1
,c o s)(1
????
????
?
d
l
kf
l
b
d
l
kf
l
a
l
lk
l
l
k
k
其中
??
?
?
??
)0(1
)0(2
k
k
k?
(5.1.5)
此为 傅里叶系数
此外，三角函数族还有 完备性,即这个函数族 足够展开任何周期函数 。
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收
敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 狄里希利定理
若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个
第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数
(5.1.3) 收敛，且
??
???
???? )() },0()0({21
)(),(
)3.1.5( xxfxf
xxf
在间断点
在连续点
例 交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。 tEtE ?sin)( 0?
解 周期为 ??2
?
?
?
?
? ?
?
],0[s in
]0,[0
)(
0 ?
??
?
?
tE
tE
}.s inc o s{)(
10
tkbtkaatE
k kk
????
?
???
,2s i n2]s i n0[2 1 0/0 00 / /0 00 ?????
?
?
??
??
?? Et d tEt d tEdta ???? ?? ?
?
?? ????? ???? ??????
?
?
/
0
0/
0 0 )1s i n ()1[ s i n (2c o ss i n
1 t d tktkEt d tktEa
k
,02c o s42s i n2 /00/001 ???? ? ???? ????? tEt d tEa
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
?
??
?
??
????
??
?
.2
])2(1[
2
120
]
1
1
1
)1(
1
1
1
)1([
2
]
1
)1c o s (
1
)1c o s ([
2
)1s i n ()1[ s i n (
2
2
0
11
0/
0
0
/
0
0
nk
n
E
nk
kkkk
E
k
tk
k
tkE
t d tktkEa
kk
k
??
??
?
??
?
?
??
??
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
,201 Eb ? 和 0?kb
.2c o s)2(1 12s in2)(
1 2
000 ??
? ?
???
n
tnnEtEEtE ????
频谱
频率 0 ? ?2 ?4 ?6
?02E
幅度 2
0E
?320E ?3520E?1520E
各个频率分量的幅度
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变
化的性质，叫在 时域 中的表示的性质。
而频谱表示这种性质在 频域 中的表示。
因此，傅里叶级数也是一种从 时域到频域的变换 。
2.奇函数和偶函数 的傅里叶展开
lxk?sin 是奇函数,lxk?cos 是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
? 其中,s i n)(1 ???? dlkflb l lk ???
偶函数 f(z) 有
,c o s)(
10
??
?
??
k k l
xkaaxf ?其中,c o s)(1 ????? dlkfla l
lkk ???
例
)(xf
x
1
1?
0
??
?
?2 ?
?? ?? ??? )2,)12((1 ))12(,2(1)( ?? ?? mm mmxf
周期 ?2
矩形波
奇函数
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
?
.124
,20
])1([2]c o s[2s i n)(2 0
??
???
??
?
???????? ?
? nkk
nk
kkkdl
kfb kl
lk ??
??????? ?
.)12s i n ()12( 4)(
0
xnnxf
n
??? ??
? ?
频域中的图示由你们给出
3,有限区间中的函数 的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0,l),
可以认为它是某个 周期为 2l 的函数 在半个周期中的部分。即令此 周
期函数为 g(x),在半周期 (0,l) 中 g(x)=f(x),这种做法叫 延拓。
例
)(),( xgxf
x
)(),( xgxf
x
偶延拓
)1,0(,)( xxf ?
奇延拓
4,复数形式 的的傅里叶
????,,,,1,,,,l xkilxilxil xki eeee ???? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i
ee
ee
l
xk
l
xk
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
2
2
s in
c o s
??
??
?
?
,)( ??
???
?
k
l
xki
k ecxf
?
其中
.][)(21 * ?? ? deflc l xkil lk ???
例 矩形波
??
?
??
???
)2,)12((1
))12(,2(1)(
??
??
mm
mmxf,)( ??
???
?
k
ik xk ecxf
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????????
????
?
?
?
?
?
??
? ???
).12(
)12(
2
)2(0
]}1)1[(])1(1{[
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
0
0
0
0
nk
ni
nk
ik
e
ik
e
ik
dededefc
kki k xi k x
i k xi k xi k x
k
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
,12 12)( )12(??
???
???
n
xnienixf ?
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，
由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数
失去周期性，到频域的 变换如何实现？ 频域的函数形式 又是什么样的呢？
有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当
为 。从方便于研究而言，它又可以看作为 周期趋于无穷大 的函数。
????? x
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
}.s i nc o s{)(
10 l
xkb
l
xkaaxg
k kk
????
?
???
令,
,,1 llk kkkk ?????? ????? ?
.}s inc o s{)(
10 kkk kkk
xbxalaxg ???? ???? ??
?
则
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(1
,c o s)(1
????
????
?
df
l
b
df
l
a
k
l
lk
k
l
l
k
k
(5.2.1)
1,傅里叶积分
若 有限，则 ?? dfl
ll ???? )(lim,0)(2
1limlim 0 ?? ?
????? ?? dfla
l
lll
.c o s]c o s)(
1
[
}c o sc o s)({
1
l i m
}c o sc o s)(
1
{l i m
0
1
0
1
??????
?
??????
?
??????
??
?
xddf
xdf
xdf
l
l
k
k
kk
l
l
k
k
kk
l
l
k
l
k
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
?
??
?
(5.2.1)中的余弦部分的
极限为,
同理，正弦部分的极限
为,
.s in]s in)(
1
[
s ins in)(
1
li m
0
1
??????
?
??????
?
xddf
xdf
l
l
k
kkk
l
l
k
l
??
??
?
??
?
?
?
?
??
?
故
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
其中
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.4) 是 f(x) 的 傅里叶积分, (5.2.5) 为它的 傅里叶变换 。
)(),()( ?? BAxf ? 为某函数 从时域到频域的变换 。频域中的函数可能是 连续的 。
傅里叶积分定理,若函数 f(x) 在区间 上满足条件 (1) 在任意有限区间满足狄
里希利条件； (2) 在区间 上绝对可积（即 收敛），则 f(x) 可表为
傅里叶积分，且 傅里叶积分值 = 。 2/)]0()0([ ??? xfxf
),( ???
),( ??? ???? dxxf )(
2,振幅谱和相位谱
又可写,)](c o s [)()(
0?
? ?? ????? dxCxf
) ],(/)([)(
},)]([)]({[)(
1
22
????
???
ABtg
BAC
??
??
)(
)(
??
?C
为 振幅谱
为 相位谱
3,奇、偶函数
.c o s)(2)(
,c o s)()(
0
0
????
?
?
???
dfA
xdAxf
?
?
?
?
?
?
.s i n)(2)(
,s i n)()(
0
0
????
?
?
???
dfB
xdBxf
?
?
?
?
?
?偶函数 奇函数
例
?
?
?
?
?
?
?
?
).21(,0
),21(,1
x
x
re c tx
定义矩形函数为
0
1
21? 21
)(xf
x
将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。 )2/()( Ttr e c thtf ??
0
h
T? T
)(tf
t
偶函数
? ?? 0 c o s)()( ??? xdAxf
.s i n2c o s2
c o s)(2)(
0 ?
?
?
???
?
????
?
?
Tdh
dfA
T
??
?
?
?
?
??
(1)
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4,复数形式的傅里叶积分
.)(
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
2
)(
2
)(
s i n)(c o s)()(
0
0
00
00
00
?
??
??
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
????
?
?
?
?
??
??
??????
??????
????
??????
?
??
??
????
deF
deiBAdeiBA
deiBAdeiBA
d
i
ee
Bd
ee
A
xdBxdAxf
xi
xixi
xixi
xixixixi
?
?
?
?
?
??
??
?
)0()].()([
2
1
)0()],()([
2
1
)(
???
???
?
iBA
iBA
F
dxexfF xi??
??
? *])[(21)( ???
?
表示为
)]([)( xfF F?? )]([)( 1 ?Fxf ?? F
)(xf
原函数
像函数 )(?F
F
原函数到像函
数的 正变换 1?F
像函数到原函
数的 反变换
例 同前例
.
s i n
22
)2/(
2
1
)]([
?
?
????
?
??
?
Th
e
i
h
dte
h
dteTtr e c thxf
T
T
ti
T
T
ti
ti
???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?F
5,傅里叶变换的基本性质
(1) 导数定理 )()]('[ ?? Fixf ?F
证明,
).()()(]')[(
}]')[(])({[
2
1
)(
2
1
)]('[
???
?
?
??
??
?
Fidxexfidxexf
dxexfexf
dxe
dx
xdf
xf
xixi
xixi
xi
? ?
?
?
?
??
?
??
??
?
??
??
??
?
?
??
?
??????
??
??F
0)(lim ???? xfx
#
(2) 积分定理 )(1])([ )( ?? Fidxxfx ??F
)()()( xdxxfx ???
记
)()(' xfx ??
)]([)]('[ xix ??? FF ? )]('[1)]([ x
ix ??? FF ?
则
由 导数定理 即 #
(3) 相似性定理
)(1)]([ aFaaxf ??F
通常将变换 f(x) f(ax) 称为 相似变换,它将
测量的 尺子的单位改变为原来单位的 1/a，相
应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持
函数的形式不变 。有时也叫 尺度变换 。 证明
).(1})(
2
1{1
1)(
2
1)(
2
1)]([
a
F
a
dyeyf
a
dy
a
eyfdxeaxfaxf
a
yi
a
yiaxy
xi
?
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
?
??
???
??
?F
#
(4) 延迟定理 )()]([ 0
0 ?? Fexxf xi???F x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提
前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。 证明
).(])(2 1[
)(2 1)(2 1)]([
00
0
0
00
??
??
???
???
Fedyeyfe
dyeyfdxexxfxxf
xiyixi
xiyi
xxy
xi
???
??
?
???
??
??
??
??
??
????
?
??F
#
(5) 位移定理 )()]([
00 ??? ??? Fxfe xiF
频域的位移
证明
).()(2 1)]([ 0)( 00 ??? ??? ??? ?????? Fdxexfxfe xixiF #
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
)()]([ 11 ?Fxf ?F )()]([ 22 ?Fxf ?F若 和
则 )()(2)]()([
2121 ??? FFxfxf ???F
证明
卷积,
).()(2)(
2
1
)(
2
1
2
])([)(
2
1
])()([
2
1
)]()([
2121
21
2121
???
?
??
?
?
??
?
???
?
???
???
?
?
FFdyyfedef
ddyyfeef
dxedxffxfxf
yii
yii
xy
xi
????
?
???
??
??
??
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
F
??? dxff
xfxf
)()(
)()(
21
21
??
?
?
?
??
#
6,多重傅里叶积分 一维变换到高维空间中的变换 三维
,),,(),,( 321)(321 321 dkdkdkekkkFzyxf zkykxki ??
????
?
.),,()2( 1),,( )(3321 321 d x d y d zezyxfkkkF zkykxki ???
?
???? ?
矢量表示
,)()( kdekFrf rki ??? ?????
?
?
.)()2( 1)( 3 rderfkF rki ??? ???
?
???? ?
zyx,,相互 独立
321,,kkk 也相互 独立
小结
1.周期函数 的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 )()2( xflxf ??
对应方程：有边界条件
}.s inc o s{)(
10 l
xkb
l
xkaaxf
k kk
????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
???
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
dx
l
xk
kdx
l
xk
.0s i nc o s
),(0s i ns i n
),(0c o sc o s
,0s i n1
),0(0c o s1
??
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(1
,c o s)(1
????
????
?
d
l
kf
l
b
d
l
kf
l
a
l
lk
l
l
k
k
??
?
?
??
)0(1
)0(2
k
k
k?
2.奇函数和偶函数 的傅里叶展开
lxk?sin 奇函数,l
xk?cos 偶函数。
故 奇函数 f(-x)=-f(x) 有
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
? 其中,s i n)(1 ???? dlkflb l lk ???
偶函数 f(-x)=f(x) 有
,c o s)(
10
??
?
??
k k l
xkaaxf ?其中,c o s)(1 ????? dlkfla l
lkk ???
例
)(xf
x
1
1?
0
??
?
?2 ?
?? ?? ??? )2,)12((1 ))12(,2(1)( ?? ?? mm mmxf
周期 ?2
矩形
波
奇函数
傅里叶积分
无限区间：对应方程－无限长
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
,)](c o s [)()( 0? ? ?? ????? dxCxf或 )( )(???C
为 振幅谱
为 相位谱
.c o s)(2)(
,c o s)()(
0
0
????
?
?
???
dfA
xdAxf
?
?
?
?
?
?
.s i n)(2)(
,s i n)()(
0
0
????
?
?
???
dfB
xdBxf
?
?
?
?
?
?偶函数 奇函数
5.1 傅里叶级数
? 周期函数的傅里叶展开；
? 奇函数和偶函数的傅里叶展开；
? 有限区间中的函数的的傅里叶展开；
? 复数形式的的傅里叶展开；。
1,周期函数 的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 )()2( xflxf ??
?2 周期
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通
过三角函数表示 f(x)，则必须 a,改变三角函数的周期为 2l。 b,
组合各种周期的三角函数 来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。
三角函数族,
??
??
,s i n,,
2
s i n,s i n
,c o s,,
2
c o s,c o s,1
l
xk
l
x
l
x
l
xk
l
x
l
x
???
???
l
xkk
l
xk
l
lk
l
xk
l
lxk ?????? c o s)2c o s ()2c o s ()2(c o s ??????
a,2l 周期性
b,按三角函数族展开
}.s inc o s{)(
10 l
xkb
l
xkaaxf
k kk
????
?
???
不同的函数形式由不同的组的 和 表示。
ka kb
lxk?sin 同样
三角函数组具有 正交性
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
???
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
dx
l
xk
kdx
l
xk
.0s i nc o s
),(0s i ns i n
),(0c o sc o s
,0s i n1
),0(0c o s1
??
??
??
?
?
(5.1.4)
(5.1.3)
此为 傅里叶级数展开
因此
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(1
,c o s)(1
????
????
?
d
l
kf
l
b
d
l
kf
l
a
l
lk
l
l
k
k
其中
??
?
?
??
)0(1
)0(2
k
k
k?
(5.1.5)
此为 傅里叶系数
此外，三角函数族还有 完备性,即这个函数族 足够展开任何周期函数 。
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收
敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 狄里希利定理
若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个
第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数
(5.1.3) 收敛，且
??
???
???? )() },0()0({21
)(),(
)3.1.5( xxfxf
xxf
在间断点
在连续点
例 交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。 tEtE ?sin)( 0?
解 周期为 ??2
?
?
?
?
? ?
?
],0[s in
]0,[0
)(
0 ?
??
?
?
tE
tE
}.s inc o s{)(
10
tkbtkaatE
k kk
????
?
???
,2s i n2]s i n0[2 1 0/0 00 / /0 00 ?????
?
?
??
??
?? Et d tEt d tEdta ???? ?? ?
?
?? ????? ???? ??????
?
?
/
0
0/
0 0 )1s i n ()1[ s i n (2c o ss i n
1 t d tktkEt d tktEa
k
,02c o s42s i n2 /00/001 ???? ? ???? ????? tEt d tEa
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
?
??
?
??
????
??
?
.2
])2(1[
2
120
]
1
1
1
)1(
1
1
1
)1([
2
]
1
)1c o s (
1
)1c o s ([
2
)1s i n ()1[ s i n (
2
2
0
11
0/
0
0
/
0
0
nk
n
E
nk
kkkk
E
k
tk
k
tkE
t d tktkEa
kk
k
??
??
?
??
?
?
??
??
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
,201 Eb ? 和 0?kb
.2c o s)2(1 12s in2)(
1 2
000 ??
? ?
???
n
tnnEtEEtE ????
频谱
频率 0 ? ?2 ?4 ?6
?02E
幅度 2
0E
?320E ?3520E?1520E
各个频率分量的幅度
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变
化的性质，叫在 时域 中的表示的性质。
而频谱表示这种性质在 频域 中的表示。
因此，傅里叶级数也是一种从 时域到频域的变换 。
2.奇函数和偶函数 的傅里叶展开
lxk?sin 是奇函数,lxk?cos 是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
? 其中,s i n)(1 ???? dlkflb l lk ???
偶函数 f(z) 有
,c o s)(
10
??
?
??
k k l
xkaaxf ?其中,c o s)(1 ????? dlkfla l
lkk ???
例
)(xf
x
1
1?
0
??
?
?2 ?
?? ?? ??? )2,)12((1 ))12(,2(1)( ?? ?? mm mmxf
周期 ?2
矩形波
奇函数
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
?
.124
,20
])1([2]c o s[2s i n)(2 0
??
???
??
?
???????? ?
? nkk
nk
kkkdl
kfb kl
lk ??
??????? ?
.)12s i n ()12( 4)(
0
xnnxf
n
??? ??
? ?
频域中的图示由你们给出
3,有限区间中的函数 的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0,l),
可以认为它是某个 周期为 2l 的函数 在半个周期中的部分。即令此 周
期函数为 g(x),在半周期 (0,l) 中 g(x)=f(x),这种做法叫 延拓。
例
)(),( xgxf
x
)(),( xgxf
x
偶延拓
)1,0(,)( xxf ?
奇延拓
4,复数形式 的的傅里叶
????,,,,1,,,,l xkilxilxil xki eeee ???? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i
ee
ee
l
xk
l
xk
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
2
2
s in
c o s
??
??
?
?
,)( ??
???
?
k
l
xki
k ecxf
?
其中
.][)(21 * ?? ? deflc l xkil lk ???
例 矩形波
??
?
??
???
)2,)12((1
))12(,2(1)(
??
??
mm
mmxf,)( ??
???
?
k
ik xk ecxf
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????????
????
?
?
?
?
?
??
? ???
).12(
)12(
2
)2(0
]}1)1[(])1(1{[
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
0
0
0
0
nk
ni
nk
ik
e
ik
e
ik
dededefc
kki k xi k x
i k xi k xi k x
k
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
,12 12)( )12(??
???
???
n
xnienixf ?
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，
由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数
失去周期性，到频域的 变换如何实现？ 频域的函数形式 又是什么样的呢？
有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当
为 。从方便于研究而言，它又可以看作为 周期趋于无穷大 的函数。
????? x
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
}.s i nc o s{)(
10 l
xkb
l
xkaaxg
k kk
????
?
???
令,
,,1 llk kkkk ?????? ????? ?
.}s inc o s{)(
10 kkk kkk
xbxalaxg ???? ???? ??
?
则
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(1
,c o s)(1
????
????
?
df
l
b
df
l
a
k
l
lk
k
l
l
k
k
(5.2.1)
1,傅里叶积分
若 有限，则 ?? dfl
ll ???? )(lim,0)(2
1limlim 0 ?? ?
????? ?? dfla
l
lll
.c o s]c o s)(
1
[
}c o sc o s)({
1
l i m
}c o sc o s)(
1
{l i m
0
1
0
1
??????
?
??????
?
??????
??
?
xddf
xdf
xdf
l
l
k
k
kk
l
l
k
k
kk
l
l
k
l
k
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
?
??
?
(5.2.1)中的余弦部分的
极限为,
同理，正弦部分的极限
为,
.s in]s in)(
1
[
s ins in)(
1
li m
0
1
??????
?
??????
?
xddf
xdf
l
l
k
kkk
l
l
k
l
??
??
?
??
?
?
?
?
??
?
故
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
其中
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.4) 是 f(x) 的 傅里叶积分, (5.2.5) 为它的 傅里叶变换 。
)(),()( ?? BAxf ? 为某函数 从时域到频域的变换 。频域中的函数可能是 连续的 。
傅里叶积分定理,若函数 f(x) 在区间 上满足条件 (1) 在任意有限区间满足狄
里希利条件； (2) 在区间 上绝对可积（即 收敛），则 f(x) 可表为
傅里叶积分，且 傅里叶积分值 = 。 2/)]0()0([ ??? xfxf
),( ???
),( ??? ???? dxxf )(
2,振幅谱和相位谱
又可写,)](c o s [)()(
0?
? ?? ????? dxCxf
) ],(/)([)(
},)]([)]({[)(
1
22
????
???
ABtg
BAC
??
??
)(
)(
??
?C
为 振幅谱
为 相位谱
3,奇、偶函数
.c o s)(2)(
,c o s)()(
0
0
????
?
?
???
dfA
xdAxf
?
?
?
?
?
?
.s i n)(2)(
,s i n)()(
0
0
????
?
?
???
dfB
xdBxf
?
?
?
?
?
?偶函数 奇函数
例
?
?
?
?
?
?
?
?
).21(,0
),21(,1
x
x
re c tx
定义矩形函数为
0
1
21? 21
)(xf
x
将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。 )2/()( Ttr e c thtf ??
0
h
T? T
)(tf
t
偶函数
? ?? 0 c o s)()( ??? xdAxf
.s i n2c o s2
c o s)(2)(
0 ?
?
?
???
?
????
?
?
Tdh
dfA
T
??
?
?
?
?
??
(1)
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4,复数形式的傅里叶积分
.)(
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
2
)(
2
)(
s i n)(c o s)()(
0
0
00
00
00
?
??
??
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
????
?
?
?
?
??
??
??????
??????
????
??????
?
??
??
????
deF
deiBAdeiBA
deiBAdeiBA
d
i
ee
Bd
ee
A
xdBxdAxf
xi
xixi
xixi
xixixixi
?
?
?
?
?
??
??
?
)0()].()([
2
1
)0()],()([
2
1
)(
???
???
?
iBA
iBA
F
dxexfF xi??
??
? *])[(21)( ???
?
表示为
)]([)( xfF F?? )]([)( 1 ?Fxf ?? F
)(xf
原函数
像函数 )(?F
F
原函数到像函
数的 正变换 1?F
像函数到原函
数的 反变换
例 同前例
.
s i n
22
)2/(
2
1
)]([
?
?
????
?
??
?
Th
e
i
h
dte
h
dteTtr e c thxf
T
T
ti
T
T
ti
ti
???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?F
5,傅里叶变换的基本性质
(1) 导数定理 )()]('[ ?? Fixf ?F
证明,
).()()(]')[(
}]')[(])({[
2
1
)(
2
1
)]('[
???
?
?
??
??
?
Fidxexfidxexf
dxexfexf
dxe
dx
xdf
xf
xixi
xixi
xi
? ?
?
?
?
??
?
??
??
?
??
??
??
?
?
??
?
??????
??
??F
0)(lim ???? xfx
#
(2) 积分定理 )(1])([ )( ?? Fidxxfx ??F
)()()( xdxxfx ???
记
)()(' xfx ??
)]([)]('[ xix ??? FF ? )]('[1)]([ x
ix ??? FF ?
则
由 导数定理 即 #
(3) 相似性定理
)(1)]([ aFaaxf ??F
通常将变换 f(x) f(ax) 称为 相似变换,它将
测量的 尺子的单位改变为原来单位的 1/a，相
应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持
函数的形式不变 。有时也叫 尺度变换 。 证明
).(1})(
2
1{1
1)(
2
1)(
2
1)]([
a
F
a
dyeyf
a
dy
a
eyfdxeaxfaxf
a
yi
a
yiaxy
xi
?
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
?
??
???
??
?F
#
(4) 延迟定理 )()]([ 0
0 ?? Fexxf xi???F x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提
前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。 证明
).(])(2 1[
)(2 1)(2 1)]([
00
0
0
00
??
??
???
???
Fedyeyfe
dyeyfdxexxfxxf
xiyixi
xiyi
xxy
xi
???
??
?
???
??
??
??
??
??
????
?
??F
#
(5) 位移定理 )()]([
00 ??? ??? Fxfe xiF
频域的位移
证明
).()(2 1)]([ 0)( 00 ??? ??? ??? ?????? Fdxexfxfe xixiF #
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
)()]([ 11 ?Fxf ?F )()]([ 22 ?Fxf ?F若 和
则 )()(2)]()([
2121 ??? FFxfxf ???F
证明
卷积,
).()(2)(
2
1
)(
2
1
2
])([)(
2
1
])()([
2
1
)]()([
2121
21
2121
???
?
??
?
?
??
?
???
?
???
???
?
?
FFdyyfedef
ddyyfeef
dxedxffxfxf
yii
yii
xy
xi
????
?
???
??
??
??
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
F
??? dxff
xfxf
)()(
)()(
21
21
??
?
?
?
??
#
6,多重傅里叶积分 一维变换到高维空间中的变换 三维
,),,(),,( 321)(321 321 dkdkdkekkkFzyxf zkykxki ??
????
?
.),,()2( 1),,( )(3321 321 d x d y d zezyxfkkkF zkykxki ???
?
???? ?
矢量表示
,)()( kdekFrf rki ??? ?????
?
?
.)()2( 1)( 3 rderfkF rki ??? ???
?
???? ?
zyx,,相互 独立
321,,kkk 也相互 独立
小结
1.周期函数 的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 )()2( xflxf ??
对应方程：有边界条件
}.s inc o s{)(
10 l
xkb
l
xkaaxf
k kk
????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
???
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
dx
l
xk
kdx
l
xk
.0s i nc o s
),(0s i ns i n
),(0c o sc o s
,0s i n1
),0(0c o s1
??
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(1
,c o s)(1
????
????
?
d
l
kf
l
b
d
l
kf
l
a
l
lk
l
l
k
k
??
?
?
??
)0(1
)0(2
k
k
k?
2.奇函数和偶函数 的傅里叶展开
lxk?sin 奇函数,l
xk?cos 偶函数。
故 奇函数 f(-x)=-f(x) 有
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
? 其中,s i n)(1 ???? dlkflb l lk ???
偶函数 f(-x)=f(x) 有
,c o s)(
10
??
?
??
k k l
xkaaxf ?其中,c o s)(1 ????? dlkfla l
lkk ???
例
)(xf
x
1
1?
0
??
?
?2 ?
?? ?? ??? )2,)12((1 ))12(,2(1)( ?? ?? mm mmxf
周期 ?2
矩形
波
奇函数
傅里叶积分
无限区间：对应方程－无限长
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
,)](c o s [)()( 0? ? ?? ????? dxCxf或 )( )(???C
为 振幅谱
为 相位谱
.c o s)(2)(
,c o s)()(
0
0
????
?
?
???
dfA
xdAxf
?
?
?
?
?
?
.s i n)(2)(
,s i n)()(
0
0
????
?
?
???
dfB
xdBxf
?
?
?
?
?
?偶函数 奇函数
