函数有 精确表示 和 近似表示 。
精确表示（解析表示）,
表示为 初等函数通过四则运算
近似表示,
逼近 近似表示为初等函数通过四则运算
级数表示 表示为一个 函数级数
第三章 幂级数展开
复数项级数；
变项级数（函数级数）；
幂级数；
幂级数对复变函数研究的应用,
泰勒级数；
洛朗级数，函数的奇异性研究。
3.1 复数项级数
级数是 无穷项的和 1,级数的收敛和柯西判据
,21
1
?? ??????
?
?
k
k
k ????
复无穷级数
每一项为
kkk ivu ???
收敛
如果极限
???
?????????
??
n
k
kn
n
k
kn
n
k
kn viu
111
limlimlim ?
存在并有限
收敛,
充要条件是其实部与虚部都收敛
柯西判据,复数项级数收敛的充要条件是，
对于一小的正整数,必存在一 N 使得
n>N 时有
?
,
1
?? ??
?
??
pn
nk
k
式中 p 为任意正整数。
2,绝对收敛
? ??
?
?
?
??
1 1
22
k k
kkk vu?
收敛。
两个绝对收敛的 和, 积,仍绝对收敛。
3,复变项级数
,)()()()( 21
1
?? ??????
?
?
zzzz k
k
k ????
的每一项都是复变函数。
实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成
一个复数项级数。
则原级数 收敛。 ??
?1k
k?
复变项级数有一个 定义域 B 。它的收敛的概
念应当是 相对于这个定义域 而言的。
收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收
敛，则称在 B 中收敛。
它满足柯西判据,
复数项级数收敛的充要条件是，对于一小
正整数,必存在一 N(z)
使得 n>N(z) 时有
?
,)(
1
?? ??
?
??
pn
nk
k z
一致收敛 当 N 与 z 无关时。
即对 B 中所有点 给定,就有一个统一的 N
使判据得到满足。
一致收敛的级数的每一项若为 连续函数,级
数也将是 连续函数 。在一条曲线上可以逐项积
分。
绝对一致收敛 在区域 B 中，复数项级数的各项
满足
而数项级数
,)( kk mz ??
??
?1k
km
收敛。 即在各点都 绝对收敛
?
)( 1zk?
)( 1zN
给定 ?
.)(
1
1 ?? ??
?
?
pN
N
k z
)( 2zk?
)( 2zN
.)(
'
1'
2 ?? ??
?
?
pN
N
k z收敛，但与 z 的位置有关。
)( 1zk?
)( 1zN
.)(
1
1 ?? ??
?
?
pN
N
k z
)( 2zk?
)( 2zN
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
对于各复常数,,,,,,
210 ?? kaaaz 级数
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
叫以 为中心的幂级数。
0z
1,定义
(3.2.1)
z0
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
2,收敛的 达朗贝尔判据
研究 (3.2.1) 的 模的如下级数
??
?
?
0
0 )(
k
k
k zza
满足
1limlim 01
0
1
01 ???
?
? ?
??
?
?
??
zz
a
a
zza
zza
k
k
kk
k
k
k
k
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对
收敛 。
(3.2.1)
(3.2.2)
1limlim 01
0
1
01 ???
?
? ?
??
?
?
??
zz
a
a
zza
zza
k
k
kk
k
k
k
k
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对
收敛 。
3,收敛圆
记
1
lim
???
?
k
k
k a
aR 有
1limlimlim 101
0
1
01 ????
?
? ?
??
?
??
?
?
??
Raazzaa
zza
zza
k
k
kk
k
kk
k
k
k
k
收敛圆
R 叫 收敛半径,以 为圆心,R 为半径的圆叫
幂级数的
0z
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆 内 的点上绝
对收敛，而在圆 外可能 发散。 圆外仍有区域是收
敛的 。
根值判别法
,1li m 0 ???? zzak kk
,1li m 0 ???? zzak kk
(3.2.2) 收敛,(3.2.1) 绝对收敛。
(3.2.2) 发散,(3.2.1) 发散。
故当, (3.2.1) 绝对收敛 。
当, (3.2.1) 可能发散 。
Rzz ?? 0
Rzz ?? 0
故
k kk a
R 1lim
??
?
例
?? ????? kttt 21
(1)
1?t
解,1?
ka 1lim
1
??
??? k
k
k a
aR收敛半径,
收敛圆内部为
其实,
t
ttttt k
k
k
k
k
?
???????? ?
??
?
?
? 11lim1 12
0
??
1?t tttt
k
kk
k
???
?? ?
??
?
?
? 1 111l im 1
0
对于
(2)
但对于
1?t 显然级数发散。
?? ?????????
?
?
kk
k
kk zzzz 242
0
2 )1(1)1(
解,
kka )1(?? 1lim
1
??
??? k
k
k a
aR 1?z收敛圆
2
242
1
1)1(1
zzzz
kk
???????? ??
实际上对于
1?z
4,幂级数的积分表示 利用 柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数 绝对
一致收敛,故可沿这个圆逐项积分。
记 C’上点为,而 C’内任一点为 z，
则圆上的幂级数为
?
利用 柯西公式 得
??????? 202010 )()()( zazaa ????
而
zi ???
1
2
1 有界,
?
?
??????
?
?
??
?
??
?
?
? ????
2
02010
'
2
02
'
01
'
0
0
'
)()(
)(
2
1)(
2
1
2
1)(
2
1
zzazzaa
d
z
za
i
d
z
za
i
d
z
a
i
d
zi CCCC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
0z
z
C
'C
又乘以
1)(
1
2
!
?? nzi
n
??
?
?
???????
?
?
??
?
??
?
?
? ???? ????
)(2
02
)(
01
)(
0
)(
' 1
2
02
' 1
01
' 1
0
' 1
])([)]([][)(
)(
)(
2
!
)(
)(
2
!
)(2
!
)(
)(
2
!
nnnn
C kC kC kC k
zzazzaa
z
za
i
n
z
za
i
n
z
a
i
n
zi
n
??
?
?
??
?
????
??
?
幂级数在收敛圆内可任意 逐项求导 。还可以 逐项积分 。
3.3 泰勒级数展开
具有无限阶导数的实函数可以展开为泰勒级数。
复变函数中的 解析函数具有无限阶导数,故应
可展开为泰勒级数。
定理 设 在以 为圆心的圆 内
解析，则对圆内任意点, 可展
开为
)(zf
)(zf
0z RC
,)()(
0
0?
?
?
??
k
k
k zzazf
.! )()( )(2 1 )(' 1 kfdzfia kC kk ??? ?? ? ??? ?
证明,
.)( )(2 1)( '? ?? C dzfizf ?? ??
0
0000 1
11
)()(
11
z
zzzzzzz
?
?????????
?
???又
1
0
0 ?
?
?
z
zz
? ??
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
????? 0 10
0
0 0
0
0
0
00 )(
)()(1
1
111
k
k
k
k
k
z
zz
z
zz
z
z
zzzz ???
?
??
.)( )(2 1)()( )(2 1)(
0 '
1
0
0' ? ??
?
?
??????
k C
k
k
C
dzfizzdzfizf ?? ???? ??
#
关键在确定,但这不是唯一的方法
ka
例 (1) 0,)(
0 ?? zezf z
1)( 00)( 0 ??? eezf zk
解,??
?
?
0 !k
kz
k
z
#
能直接求导就求导
(2) 0,co s)(,s i n)(
021 ??? zzzfzzf
解,kkkkk zzfzzf )1(c o s)1()(,0s i n)1()(
00)12(100)2(1 ??????? ?
,0s i n)1()(,)1(c o s)1()( 00)12(100)2(2 ??????? ? zzfzzf kkkkk
.)!2( )1(c o s;)!12( )1(s i n
0
2
0
12 ?? ?
?
?
?
? ?
????
k
kk
k
kk
k
zz
k
zz,??R
#
.1lim)!1/(1 !/1lim ??????
????
kk kR
kk
(3) 1,ln)( 0 ?? zzzf
是 多值函数,各分支在支
点 相连。但 不是
支点，在其 的邻域
各分支相互独立。因此，我们
可以只讨论展开的主值。
zln解：
10 ?z
10 ?? zz
Z = 1
?,0
?
?
12)12(
2)2(
/)!2()(
/)!12()(
/1)('
ln)(
??
?
???
?
?
kk
kk
zkzf
zkzf
zzf
zzf
?
?
)!2()(
)!12()1(
1)1('
21ln)1(
)12(
)2(
kzf
kf
f
inf
k
?
???
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
????
????????
3
)1(
2
)1(
)1(2
)1(
!3
!2
)1(
!2
!1
)1(
!1
1
1lnln
32
32
zz
zin
zzzz
?
1?R
主值 0?n #
(4)
0,i n t,)1()( 0 ???? ze g e lmzzf m
解,
inmminm ee ?? 22 )(1 ??
定义 )1()1( ?????????? kmmmkm ?
k
mCk
mkme g e lm ?
??
?
??
???,,i n t显然
?
?
),(
)1(
)(
),(
)1(
2
)1)(1()(''
),(
1
1
)1()('
,)1()(
)(
2
2
1
zf
z
k
m
zf
zf
z
m
zmmzf
zf
z
m
zmzf
zzf
k
k
m
m
m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
,1)(
,
2
1)0(''
,
1
1)1()0('
,1)0(
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
k
m
zf
m
f
m
zmf
f
mk
m
mm
m
}
!!1
1
1{1
!
1
!1
1
1
1)1( 11 ???? kmk
mm
mm z
k
k
m
z
m
z
k
k
m
z
m
z ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
1
1
lim
)!1/(
1
!/
lim ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? km
k
k
k
m
k
k
m
R
kk
0?n 是 主值,此时有
?? km z
k
k
m
z
m
z
!!1
1
1)1( 1 ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
即 二项式定理 。
#
方法与实函数同，但应注意主值。最普通的办
法，仍是逐级求导。
(5)
0,1 1 0 ?? tt
.1.1
1
1 ??????
?
ttt
t
n ??
,,1 1 itt ??
极点在 1?t
1?tit ?0
4
)1(
2
1
141)( 2!)
2
1(!)
1
1(!)
1
1( innnin
it
n enen
i
n
t
?? ???
??
? ?????
.)(2
1
1
0
4
)1(
2
1
n
n
inn
ite
t
??
? ?
?
?
??? ?
22lim)(lim
/1
4
)1(
2
1
/1 ???
???
?
??
?
??
ninn
n
n
nn eaR
?
不同的幂级数 在 不同的区域 与
函数 相同 。这里存在什
么样的关系？
t?11
设
ttF ?? 1
1)( )(
1
0
tft
n
n ???
?
.)(2)(
0
4
)1(
2
1
2
n
n
inn
itetf ?? ?
?
?
??? ?
it?
在小圆 )()(1 tFtf ?
1?t
在大圆
)()(2 tFtf ?
。 问题在于
)()(1 tFtf ?
3.4 解析延拓
例如
1,1 1
0
????
?
?
ttt
k
k 和 1,
1
1)1(
2
0
2 ?
????
?
?
zzz
k
kk
等式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等
式不一定成立。注意，等式的左边仅在收敛圆内
有意义，但等式的右边除 t =1 （前一个）
或,在整个复平面上解析。因此，问：已
知,求 在 之外的 F(t)。
1,
0
???
?
tt
k
k 1?t
这个答案是已知的 1,
1
1)( ?
?? tttF
1??z
于是提出问题：已知 f(z)
在 b 中解析，是否存在 F(z)
在 B 中解析,且在 b
中 F(z)=f(z) 。这个过程叫 解
析延拓。
Bb?
B
b
0z
解析延拓的方法
在 b 中取点,又取 的一个邻域,j将 f(z) 展开
为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区
域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐
步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。
0z 0z
可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z) 的解析延
拓是 唯一 的。这样，可以采 用某些 最方便的方法 来
进行解析延拓。
,)()()()( 21
1
?? ???????
?
zzzz k
k
k ???? )( zf??? ?? 在定义域
,)()()()( 002010
1
?? ??????
?
?
zzzz k
k
k ????
在点 z0
收敛、绝对收敛。
在定义域,收敛、一致收敛、绝对一致收敛
级数
幂级数 ?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0 )( zf?? ?? 收敛圆
泰勒级数
,)(! )()(
0
0
)(??
?
???? ??
k
k
k
zzkfzf ?解析区域
解析函数
解析延拓
是否可以将一个解析函数的 解析区域扩大？
在收敛圆内可 逐项积分
可作为被积函数，被积函数 不一定是解析函数 。
3.5 洛朗展开
(1)泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在
函数的奇点的邻域，是否存在相应的展开？
(2) 泰勒级数的解析区域为一收敛圆，收敛圆不可
包含奇点，但若研究一个级数,它以圆环作收
敛区域,则奇点可以取作圆心，它在收敛环之
外。
这种级数为 洛朗级数
泰勒级数是只具有正幂项的幂级数，奇点易出现
在负幂项，故考虑有负幂的级数
1,收敛环 ?? ?
?
?
?
?
? ???
0
0
1
0 )()(
k
k
k
k
k
k zzazza
1R
2R
1RC
1'RC
2RC
2'RC
C
011
0
1)(
zzazza k
k
k
k
k
k ???? ??
?
?
?
?
?
?
? ??
设其收敛半径为,则其在
圆 外部收敛。
2/1 R
2RC
故此级数在 收敛。这个区域叫 收
敛环 。
102 RzzR ???
其中正幂部分 的收
敛半径为 。负幂部分写作
??? ?0 0 )(k kk zza
1R
2,定理
设 f(z) 在环形区域 的内部单
值解析，则在环内任一点 z, f(z) 可以展开为幂
级数
102 RzzR ???
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0
其中
? ??? C kk dzfia ?? ?? 1)( )(2 1
证,??
???? 21 ''
)(
2
1)(
2
1)(
RR CC
dzfidzfizf ?? ???? ??
??
?
??
??
? 0 10
0
)(
)(1
k
k
k
z
zz
z ??
沿
1'RC
1
0
0 ?
?
?
z
zz
?
沿
2'RC 1
0
0 ?
?
?
z
zz
? ?
?
?
??
???
? 0 10
0
)(
)(1
k
k
k
zz
z
z
?
?
???? ?????? ?
?
??
?
?
? 21 '
0
0
)1(
0' 1
00
0 )()(2
1)(
)(
)(
2
1)()(
RR C
l
l
l
C kk
k dfz
izzdz
f
izzzf ??????
?
?
?? ??
??
?
?
?????
10
),1(
kl
lk
两个积分回路的方向相反，由柯西
定理，沿 的积分可变为沿
的积分（差一个负号）如下 2'RC
1'RC
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0 ? ??? C kk dz
f
ia ??
?
? 1)(
)(
2
1 #
此为 洛朗展开 在奇点附近的展开
3,例
(1) 在 的邻域展开 。 0
0 ?z zzzf /s i n)( ?
00 ?z f(z) 无定义。但,1)(lim 0 ?? zfz
在挖去原点的环域（整个复平面）中
?? ?
?
?
?
?
?
??
?
???
0
2
0
12
)!12(
)1(
)!12(
)1(1s i n1s i n
k
k
k
k
k
k
zkzkzzzz z
1)!12( )1(lim
0
2
0
????
?
?? k
k
k
z
zk
又 此级数又可以看作 f(z) 的到整个复平面的解析
延拓。
利用泰勒展开
(2) 在环域 中将 展开。 ??? z1 )1/(1)( 2 ?? zzf
还是利用泰勒展开 1/1 2 ?z
f(z)的奇点不是 Z=0，而是 z=1,-1。
??
?
?
?
?
??
?
?
? 1 20 22
2
22
111
11
11
1
1
k
k
k
k zzz
z
zz
(3) 在 的邻域将 展开。 10 ?z )1/(1)( 2 ?? zzf
(z-1) 的幂级数 210 ??? z在
k
k
k z
z
zzzzzzzz
z
)
2
1
()1(
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2)1(
1
1
1
1
1
1
1
)1)(1(
1
)1/(1
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
??
??
?
?
?
(4) 0,)(
0/1 ?? zezf z
利用 ??
?
???
0
,!
k
kz z
k
ze 取 ?????? zzzz /1,/1
得
? ?
?
? ???
?
?
??
0
0
/1 0,
)!(!
)/1(
k k
kk
z z
k
z
k
ze
无限多负幂
(5) 习题 14 zzzzzz ?????? 2,21,1),2)(1/(
1?z z 的幂级数
???
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
???
000
)
2
1
1()
2
)(
2
1
1
1
1
1
1
)2(
2
)2)(1/(
k
k
k
k
k
k
k zzz
zzzz
zzz
21 ?? z
??
?
?
?
???
???
?
?
?
??
?
?
?
???
0
1
2
1
2
1
1
1
1
11
1
1
)2(
2
)2)(1/(
k
k
k
k
k zz
z
z
zzz
zzz
12,11 ?? zz
A,
B,
z?2 12,11 ?? zz
???
?
???
?
???
?
???
??????
?
?
?
??
?
?
?
???
1
1
1
1
1
)
2
1
1(
2
1
2
1
12
1
1
11
1
1
)2(
2
)2)(1/(
k
k
k
k
k
k
k
k
zzz
z
z
z
zzz
zzz
3.6 孤立奇点的分类
孤立奇点 f(z) 除在 的 小邻域外处处可导。
0z ?
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0
在挖去的 小邻域 外解析。其正幂叫
解析部分,负幂叫 主要部分 。 叫 留数 0z ?
1?a
C,
可去奇点 幂级数无负幂项时的
0z
极点 幂级数仅含有限 m 个负幂项时的
0z
M 为极点的阶，一阶极点称 单极点 本性奇点
含无穷多负幂项时的
0z
例 (1) 中 0
0 ?z
为可去奇点
例 (3) 中出现 一阶极点 。留数为 21
例 (4) 中出现本性奇点。留数为 1
例 (5) 中情况 A 中无奇点，情况 B 中出现本性奇
点，留数为
2
3
2
11 ????
情况 C 中出现本性奇点，留数为
1122 11 1 ????? ?
小结,复变函数存在两种基本的幂级数展开，在
解析点附近邻域的泰勒展开 和在 奇点附近的洛朗
展开 。泰勒展开 只有正幂项,而洛朗展开 含有负
幂项 。根据负幂项可以判断孤立奇点的种类。
阶段总结
? ????? l n ndzzI,1,0)( ?
? ??? ????? l
l
l
Si
S
z
dzI
)(.2
)(,0
??
?
?
????? ?? k kk zzazf )()( 0
柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区
域边界的积分为零 。
洛朗展开
？
? ?
C
dzzf )( ? ?
?
???
?
C k
k
k dzzza )( 0 12 ?? ia?
? 留数定理
精确表示（解析表示）,
表示为 初等函数通过四则运算
近似表示,
逼近 近似表示为初等函数通过四则运算
级数表示 表示为一个 函数级数
第三章 幂级数展开
复数项级数；
变项级数（函数级数）；
幂级数；
幂级数对复变函数研究的应用,
泰勒级数；
洛朗级数，函数的奇异性研究。
3.1 复数项级数
级数是 无穷项的和 1,级数的收敛和柯西判据
,21
1
?? ??????
?
?
k
k
k ????
复无穷级数
每一项为
kkk ivu ???
收敛
如果极限
???
?????????
??
n
k
kn
n
k
kn
n
k
kn viu
111
limlimlim ?
存在并有限
收敛,
充要条件是其实部与虚部都收敛
柯西判据,复数项级数收敛的充要条件是，
对于一小的正整数,必存在一 N 使得
n>N 时有
?
,
1
?? ??
?
??
pn
nk
k
式中 p 为任意正整数。
2,绝对收敛
? ??
?
?
?
??
1 1
22
k k
kkk vu?
收敛。
两个绝对收敛的 和, 积,仍绝对收敛。
3,复变项级数
,)()()()( 21
1
?? ??????
?
?
zzzz k
k
k ????
的每一项都是复变函数。
实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成
一个复数项级数。
则原级数 收敛。 ??
?1k
k?
复变项级数有一个 定义域 B 。它的收敛的概
念应当是 相对于这个定义域 而言的。
收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收
敛，则称在 B 中收敛。
它满足柯西判据,
复数项级数收敛的充要条件是，对于一小
正整数,必存在一 N(z)
使得 n>N(z) 时有
?
,)(
1
?? ??
?
??
pn
nk
k z
一致收敛 当 N 与 z 无关时。
即对 B 中所有点 给定,就有一个统一的 N
使判据得到满足。
一致收敛的级数的每一项若为 连续函数,级
数也将是 连续函数 。在一条曲线上可以逐项积
分。
绝对一致收敛 在区域 B 中，复数项级数的各项
满足
而数项级数
,)( kk mz ??
??
?1k
km
收敛。 即在各点都 绝对收敛
?
)( 1zk?
)( 1zN
给定 ?
.)(
1
1 ?? ??
?
?
pN
N
k z
)( 2zk?
)( 2zN
.)(
'
1'
2 ?? ??
?
?
pN
N
k z收敛，但与 z 的位置有关。
)( 1zk?
)( 1zN
.)(
1
1 ?? ??
?
?
pN
N
k z
)( 2zk?
)( 2zN
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
对于各复常数,,,,,,
210 ?? kaaaz 级数
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
叫以 为中心的幂级数。
0z
1,定义
(3.2.1)
z0
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
2,收敛的 达朗贝尔判据
研究 (3.2.1) 的 模的如下级数
??
?
?
0
0 )(
k
k
k zza
满足
1limlim 01
0
1
01 ???
?
? ?
??
?
?
??
zz
a
a
zza
zza
k
k
kk
k
k
k
k
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对
收敛 。
(3.2.1)
(3.2.2)
1limlim 01
0
1
01 ???
?
? ?
??
?
?
??
zz
a
a
zza
zza
k
k
kk
k
k
k
k
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对
收敛 。
3,收敛圆
记
1
lim
???
?
k
k
k a
aR 有
1limlimlim 101
0
1
01 ????
?
? ?
??
?
??
?
?
??
Raazzaa
zza
zza
k
k
kk
k
kk
k
k
k
k
收敛圆
R 叫 收敛半径,以 为圆心,R 为半径的圆叫
幂级数的
0z
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆 内 的点上绝
对收敛，而在圆 外可能 发散。 圆外仍有区域是收
敛的 。
根值判别法
,1li m 0 ???? zzak kk
,1li m 0 ???? zzak kk
(3.2.2) 收敛,(3.2.1) 绝对收敛。
(3.2.2) 发散,(3.2.1) 发散。
故当, (3.2.1) 绝对收敛 。
当, (3.2.1) 可能发散 。
Rzz ?? 0
Rzz ?? 0
故
k kk a
R 1lim
??
?
例
?? ????? kttt 21
(1)
1?t
解,1?
ka 1lim
1
??
??? k
k
k a
aR收敛半径,
收敛圆内部为
其实,
t
ttttt k
k
k
k
k
?
???????? ?
??
?
?
? 11lim1 12
0
??
1?t tttt
k
kk
k
???
?? ?
??
?
?
? 1 111l im 1
0
对于
(2)
但对于
1?t 显然级数发散。
?? ?????????
?
?
kk
k
kk zzzz 242
0
2 )1(1)1(
解,
kka )1(?? 1lim
1
??
??? k
k
k a
aR 1?z收敛圆
2
242
1
1)1(1
zzzz
kk
???????? ??
实际上对于
1?z
4,幂级数的积分表示 利用 柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数 绝对
一致收敛,故可沿这个圆逐项积分。
记 C’上点为,而 C’内任一点为 z，
则圆上的幂级数为
?
利用 柯西公式 得
??????? 202010 )()()( zazaa ????
而
zi ???
1
2
1 有界,
?
?
??????
?
?
??
?
??
?
?
? ????
2
02010
'
2
02
'
01
'
0
0
'
)()(
)(
2
1)(
2
1
2
1)(
2
1
zzazzaa
d
z
za
i
d
z
za
i
d
z
a
i
d
zi CCCC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
0z
z
C
'C
又乘以
1)(
1
2
!
?? nzi
n
??
?
?
???????
?
?
??
?
??
?
?
? ???? ????
)(2
02
)(
01
)(
0
)(
' 1
2
02
' 1
01
' 1
0
' 1
])([)]([][)(
)(
)(
2
!
)(
)(
2
!
)(2
!
)(
)(
2
!
nnnn
C kC kC kC k
zzazzaa
z
za
i
n
z
za
i
n
z
a
i
n
zi
n
??
?
?
??
?
????
??
?
幂级数在收敛圆内可任意 逐项求导 。还可以 逐项积分 。
3.3 泰勒级数展开
具有无限阶导数的实函数可以展开为泰勒级数。
复变函数中的 解析函数具有无限阶导数,故应
可展开为泰勒级数。
定理 设 在以 为圆心的圆 内
解析，则对圆内任意点, 可展
开为
)(zf
)(zf
0z RC
,)()(
0
0?
?
?
??
k
k
k zzazf
.! )()( )(2 1 )(' 1 kfdzfia kC kk ??? ?? ? ??? ?
证明,
.)( )(2 1)( '? ?? C dzfizf ?? ??
0
0000 1
11
)()(
11
z
zzzzzzz
?
?????????
?
???又
1
0
0 ?
?
?
z
zz
? ??
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
????? 0 10
0
0 0
0
0
0
00 )(
)()(1
1
111
k
k
k
k
k
z
zz
z
zz
z
z
zzzz ???
?
??
.)( )(2 1)()( )(2 1)(
0 '
1
0
0' ? ??
?
?
??????
k C
k
k
C
dzfizzdzfizf ?? ???? ??
#
关键在确定,但这不是唯一的方法
ka
例 (1) 0,)(
0 ?? zezf z
1)( 00)( 0 ??? eezf zk
解,??
?
?
0 !k
kz
k
z
#
能直接求导就求导
(2) 0,co s)(,s i n)(
021 ??? zzzfzzf
解,kkkkk zzfzzf )1(c o s)1()(,0s i n)1()(
00)12(100)2(1 ??????? ?
,0s i n)1()(,)1(c o s)1()( 00)12(100)2(2 ??????? ? zzfzzf kkkkk
.)!2( )1(c o s;)!12( )1(s i n
0
2
0
12 ?? ?
?
?
?
? ?
????
k
kk
k
kk
k
zz
k
zz,??R
#
.1lim)!1/(1 !/1lim ??????
????
kk kR
kk
(3) 1,ln)( 0 ?? zzzf
是 多值函数,各分支在支
点 相连。但 不是
支点，在其 的邻域
各分支相互独立。因此，我们
可以只讨论展开的主值。
zln解：
10 ?z
10 ?? zz
Z = 1
?,0
?
?
12)12(
2)2(
/)!2()(
/)!12()(
/1)('
ln)(
??
?
???
?
?
kk
kk
zkzf
zkzf
zzf
zzf
?
?
)!2()(
)!12()1(
1)1('
21ln)1(
)12(
)2(
kzf
kf
f
inf
k
?
???
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
????
????????
3
)1(
2
)1(
)1(2
)1(
!3
!2
)1(
!2
!1
)1(
!1
1
1lnln
32
32
zz
zin
zzzz
?
1?R
主值 0?n #
(4)
0,i n t,)1()( 0 ???? ze g e lmzzf m
解,
inmminm ee ?? 22 )(1 ??
定义 )1()1( ?????????? kmmmkm ?
k
mCk
mkme g e lm ?
??
?
??
???,,i n t显然
?
?
),(
)1(
)(
),(
)1(
2
)1)(1()(''
),(
1
1
)1()('
,)1()(
)(
2
2
1
zf
z
k
m
zf
zf
z
m
zmmzf
zf
z
m
zmzf
zzf
k
k
m
m
m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
,1)(
,
2
1)0(''
,
1
1)1()0('
,1)0(
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
k
m
zf
m
f
m
zmf
f
mk
m
mm
m
}
!!1
1
1{1
!
1
!1
1
1
1)1( 11 ???? kmk
mm
mm z
k
k
m
z
m
z
k
k
m
z
m
z ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
1
1
lim
)!1/(
1
!/
lim ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? km
k
k
k
m
k
k
m
R
kk
0?n 是 主值,此时有
?? km z
k
k
m
z
m
z
!!1
1
1)1( 1 ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
即 二项式定理 。
#
方法与实函数同，但应注意主值。最普通的办
法，仍是逐级求导。
(5)
0,1 1 0 ?? tt
.1.1
1
1 ??????
?
ttt
t
n ??
,,1 1 itt ??
极点在 1?t
1?tit ?0
4
)1(
2
1
141)( 2!)
2
1(!)
1
1(!)
1
1( innnin
it
n enen
i
n
t
?? ???
??
? ?????
.)(2
1
1
0
4
)1(
2
1
n
n
inn
ite
t
??
? ?
?
?
??? ?
22lim)(lim
/1
4
)1(
2
1
/1 ???
???
?
??
?
??
ninn
n
n
nn eaR
?
不同的幂级数 在 不同的区域 与
函数 相同 。这里存在什
么样的关系？
t?11
设
ttF ?? 1
1)( )(
1
0
tft
n
n ???
?
.)(2)(
0
4
)1(
2
1
2
n
n
inn
itetf ?? ?
?
?
??? ?
it?
在小圆 )()(1 tFtf ?
1?t
在大圆
)()(2 tFtf ?
。 问题在于
)()(1 tFtf ?
3.4 解析延拓
例如
1,1 1
0
????
?
?
ttt
k
k 和 1,
1
1)1(
2
0
2 ?
????
?
?
zzz
k
kk
等式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等
式不一定成立。注意，等式的左边仅在收敛圆内
有意义，但等式的右边除 t =1 （前一个）
或,在整个复平面上解析。因此，问：已
知,求 在 之外的 F(t)。
1,
0
???
?
tt
k
k 1?t
这个答案是已知的 1,
1
1)( ?
?? tttF
1??z
于是提出问题：已知 f(z)
在 b 中解析，是否存在 F(z)
在 B 中解析,且在 b
中 F(z)=f(z) 。这个过程叫 解
析延拓。
Bb?
B
b
0z
解析延拓的方法
在 b 中取点,又取 的一个邻域,j将 f(z) 展开
为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区
域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐
步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。
0z 0z
可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z) 的解析延
拓是 唯一 的。这样，可以采 用某些 最方便的方法 来
进行解析延拓。
,)()()()( 21
1
?? ???????
?
zzzz k
k
k ???? )( zf??? ?? 在定义域
,)()()()( 002010
1
?? ??????
?
?
zzzz k
k
k ????
在点 z0
收敛、绝对收敛。
在定义域,收敛、一致收敛、绝对一致收敛
级数
幂级数 ?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0 )( zf?? ?? 收敛圆
泰勒级数
,)(! )()(
0
0
)(??
?
???? ??
k
k
k
zzkfzf ?解析区域
解析函数
解析延拓
是否可以将一个解析函数的 解析区域扩大？
在收敛圆内可 逐项积分
可作为被积函数，被积函数 不一定是解析函数 。
3.5 洛朗展开
(1)泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在
函数的奇点的邻域，是否存在相应的展开？
(2) 泰勒级数的解析区域为一收敛圆，收敛圆不可
包含奇点，但若研究一个级数,它以圆环作收
敛区域,则奇点可以取作圆心，它在收敛环之
外。
这种级数为 洛朗级数
泰勒级数是只具有正幂项的幂级数，奇点易出现
在负幂项，故考虑有负幂的级数
1,收敛环 ?? ?
?
?
?
?
? ???
0
0
1
0 )()(
k
k
k
k
k
k zzazza
1R
2R
1RC
1'RC
2RC
2'RC
C
011
0
1)(
zzazza k
k
k
k
k
k ???? ??
?
?
?
?
?
?
? ??
设其收敛半径为,则其在
圆 外部收敛。
2/1 R
2RC
故此级数在 收敛。这个区域叫 收
敛环 。
102 RzzR ???
其中正幂部分 的收
敛半径为 。负幂部分写作
??? ?0 0 )(k kk zza
1R
2,定理
设 f(z) 在环形区域 的内部单
值解析，则在环内任一点 z, f(z) 可以展开为幂
级数
102 RzzR ???
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0
其中
? ??? C kk dzfia ?? ?? 1)( )(2 1
证,??
???? 21 ''
)(
2
1)(
2
1)(
RR CC
dzfidzfizf ?? ???? ??
??
?
??
??
? 0 10
0
)(
)(1
k
k
k
z
zz
z ??
沿
1'RC
1
0
0 ?
?
?
z
zz
?
沿
2'RC 1
0
0 ?
?
?
z
zz
? ?
?
?
??
???
? 0 10
0
)(
)(1
k
k
k
zz
z
z
?
?
???? ?????? ?
?
??
?
?
? 21 '
0
0
)1(
0' 1
00
0 )()(2
1)(
)(
)(
2
1)()(
RR C
l
l
l
C kk
k dfz
izzdz
f
izzzf ??????
?
?
?? ??
??
?
?
?????
10
),1(
kl
lk
两个积分回路的方向相反，由柯西
定理，沿 的积分可变为沿
的积分（差一个负号）如下 2'RC
1'RC
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0 ? ??? C kk dz
f
ia ??
?
? 1)(
)(
2
1 #
此为 洛朗展开 在奇点附近的展开
3,例
(1) 在 的邻域展开 。 0
0 ?z zzzf /s i n)( ?
00 ?z f(z) 无定义。但,1)(lim 0 ?? zfz
在挖去原点的环域（整个复平面）中
?? ?
?
?
?
?
?
??
?
???
0
2
0
12
)!12(
)1(
)!12(
)1(1s i n1s i n
k
k
k
k
k
k
zkzkzzzz z
1)!12( )1(lim
0
2
0
????
?
?? k
k
k
z
zk
又 此级数又可以看作 f(z) 的到整个复平面的解析
延拓。
利用泰勒展开
(2) 在环域 中将 展开。 ??? z1 )1/(1)( 2 ?? zzf
还是利用泰勒展开 1/1 2 ?z
f(z)的奇点不是 Z=0，而是 z=1,-1。
??
?
?
?
?
??
?
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? 1 20 22
2
22
111
11
11
1
1
k
k
k
k zzz
z
zz
(3) 在 的邻域将 展开。 10 ?z )1/(1)( 2 ?? zzf
(z-1) 的幂级数 210 ??? z在
k
k
k z
z
zzzzzzzz
z
)
2
1
()1(
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2)1(
1
1
1
1
1
1
1
)1)(1(
1
)1/(1
0
2
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(4) 0,)(
0/1 ?? zezf z
利用 ??
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0
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k
kz z
k
ze 取 ?????? zzzz /1,/1
得
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0
0
/1 0,
)!(!
)/1(
k k
kk
z z
k
z
k
ze
无限多负幂
(5) 习题 14 zzzzzz ?????? 2,21,1),2)(1/(
1?z z 的幂级数
???
?
?
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2
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1
1
1
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2
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k
k
k
k
k
k
k zzz
zzzz
zzz
21 ?? z
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???
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0
1
2
1
2
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1
1
1
11
1
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)2(
2
)2)(1/(
k
k
k
k
k zz
z
z
zzz
zzz
12,11 ?? zz
A,
B,
z?2 12,11 ?? zz
???
?
???
?
???
?
???
??????
?
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1
1
1
1
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)
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12
1
1
11
1
1
)2(
2
)2)(1/(
k
k
k
k
k
k
k
k
zzz
z
z
z
zzz
zzz
3.6 孤立奇点的分类
孤立奇点 f(z) 除在 的 小邻域外处处可导。
0z ?
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0
在挖去的 小邻域 外解析。其正幂叫
解析部分,负幂叫 主要部分 。 叫 留数 0z ?
1?a
C,
可去奇点 幂级数无负幂项时的
0z
极点 幂级数仅含有限 m 个负幂项时的
0z
M 为极点的阶，一阶极点称 单极点 本性奇点
含无穷多负幂项时的
0z
例 (1) 中 0
0 ?z
为可去奇点
例 (3) 中出现 一阶极点 。留数为 21
例 (4) 中出现本性奇点。留数为 1
例 (5) 中情况 A 中无奇点，情况 B 中出现本性奇
点，留数为
2
3
2
11 ????
情况 C 中出现本性奇点，留数为
1122 11 1 ????? ?
小结,复变函数存在两种基本的幂级数展开，在
解析点附近邻域的泰勒展开 和在 奇点附近的洛朗
展开 。泰勒展开 只有正幂项,而洛朗展开 含有负
幂项 。根据负幂项可以判断孤立奇点的种类。
阶段总结
? ????? l n ndzzI,1,0)( ?
? ??? ????? l
l
l
Si
S
z
dzI
)(.2
)(,0
??
?
?
????? ?? k kk zzazf )()( 0
柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区
域边界的积分为零 。
洛朗展开
？
? ?
C
dzzf )( ? ?
?
???
?
C k
k
k dzzza )( 0 12 ?? ia?
? 留数定理
