第一篇 复 变 函 数 论
复变函数
微分和积分
泰勒展开和洛朗展开
留数定理
傅立叶变换
拉普拉斯变换
z
y
x 1
1
?
?
O
第一章 复变函数
代数表示, x,y 为实数,i 为单位虚数，则
iyxz ??
且 x 为其实部,y 为虚部，记
zx Re? zy Im?
1.1,复数
12 ?i
为复数
? ?
?? iez ? 且
)/(
22
xya rc tg
yx
?
??
?
? 和 ?? ?? sinc o s??yx
z?? A rg z??
)20( ??? A rg z主值 复共轭 ?? ieiyxz ?? ???
又称为 模
其它概念
x 轴为实轴,y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为
此平面上的一点
几何表示
从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量
为矢量长度 为幅角
记
复数的运算
222111,iyxziyxz ????
加法 )()( 212121 yyixxzz ????? 2121 zzzz ???
减法 )()( 212121 yyixxzz ????? 2121 zzzz ???
乘法 )()( 1221212121 yxyxiyyxxzz ???????
除法 )(
2
1
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1 21 ??
?
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?
??
?
?? ie
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
幂（ n整数） ?? innn ez ?
根 ninn ez /???
逼近 000,yyxxzz ????
12 ??i
测地投影和无限远点
如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北
极由一条直线相连，直线与球相交于 A’ 。由此，每一有限的复数 投影到
球上一点 。这个投影叫 测地投影,这个球叫 复数球 。
所有的无穷大复数（平面上 无限远点 ）投影到唯一的北极 N。故我们为
方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
N
A ’
A
S
复数 z 是 两个独立变量 (x,y) 的集合 。
它在数值计算中是一个 整体,服从通常的 四则运算规则 和 虚单位 的特殊规则；
它可以看作具有 两个独立分量 的量来表示（ 矢量 ）和计算。
小结
1.2,复变函数
比较与实变函数相对应的定义
实函数,
)(xfy ?
x
x
)(xfy ?
定义域、值域
y=f(x) y=f(x)
ivu ???
0
z
x
y
z
?
v
u0
)(zf???
复函数 ()fz? ?
0
z
x
y
z
?v
u0
)(zf??
?
定义域 值域
定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复
数 与之对应，称 为 z 的函数,E 为定义域,??
Ezzf ?? )(?
记
0
z
x
y
z
?v
u0
)(zf??
?
定义域 值域
E
实函数,
定义, 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x,都有唯一
的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数
的 定义域,记 。
连续，可微,
)(xfy ?
nC
?C
n 次可微
无限可微
邻域
区域 B 的内点
外点
境界点
境界线
区域 内点组成的连通集合
闭区域 区域和境界线的全体
全体境界点的集合
不是内点，也不是外点的点。
z 和它的邻域都不属于 B,则 z 为 B 的外点。
z 和它的邻域都属于 B,则 z 为 B 的内点。
复平面上圆 内点的集合
几个概念
z z ? r
rzz ?? 0
0z
区域
?
例
多项式 nn zazazaa ???? ?2210
有理分式
m
m
n
n
zbzbzbb
zazazaa
????
????
?
?
2
210
2
210
根式 nn zazazaa ???? ?2210
指数函数 )s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ???? ?
三角函数
i
eezeez iziziziz
2s in,2c o s
?? ?
???
双曲函数
2s in h,2c o s h
zzzz ee
zeez
?? ?
???
对数函数 ??? ? iez i ??? lnlnln
幂函数 ?? isss ez ?
连续,
0zz ?
? )()(
0zfzf ?
或,
?
?
?
?
?
0
0
yy
xx ?,
),(),(
),(),(
000
000
?
?
?
?
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yxvyxv
yxuyxu
视 z 为矢量
),(),()( yxvjyxuiz ???? ???
yjxiz ??? ??
这是平面上的矢量场
可以设矢量函数
1.3,导数
z
zfzzf
z zz ?
????
?
?
????
)()(l i ml i m
00
?定义
dz
df?
运算规则;)(
,
1
,
''
)(
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,)(
2
2
2121
2
1
2
12
1
21
21
21
dz
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nn
?
??
?
?
?
?
复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数
空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢
量场，其导数一般应与方向有关。
可导：对任何方向的,极限都 存在 并 唯一 。 z?
x
0
y
),( yxu
1r??
2r??
1r?? 2r
??
1u?
2u?
可导：对任何方向的,极限都 存在 并 唯一 。 z?
x
y
z
zz ??
'zz ??
复数
0 x
xx ??
实数
因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强
的多的条件。
柯西 — 黎曼方程
z? 沿实轴 0??y xvixuz ???????? ? xvixuzz ?????????? ?0li m
z? 沿虚轴 yi viyi uz ???????? ?0??x yuiyvz
z ?
??
?
??
?
?
??
?
0lim
可导,要求二者相等
y
v
x
u
?
??
?
?
必要条件
y
u
x
v
?
???
?
?
柯西 — 黎曼方程
y
v
x
u
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?
必要条件
可导的 充分条件,
)(zf 的
y
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?
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?
?,,,
存在，连续且满足 柯西 — 黎曼方程。
y
u
x
v
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???
?
?
1.4,解析函数
)(zf 在 点 解析,即在这点可导。 0z
为在 区域 B 中解析函数,即在区域的点
点解析。
性质
曲线族 21 ),(),( CyxvCyxu ?? 相互正交。
y
v
y
u
x
v
x
u
?
?
?
???
?
?
?
? 即
由 柯西 — 黎曼方程
vuyvyuxvxu ?????????????? 0
两族曲线的梯度正交 ? 两族曲线正交
(1)
已知 U 求 V 当它们是某解析函数的实部和虚部
dyxudxyudyyvdxxvdvyxv ?????????????? ?? ?),(
可由 (1) 曲线积分
(2) 凑全微分显式
(3) 不定积分 求出
满足 拉普拉斯方程
由 柯西 — 黎曼方程
)()( xvyuyyvxux ????????????????
02
2
2
2
?????? y ux u? 02
2
2
2
?????? y vx v 调和函数
(2)
例 22),( yxyxu ?? 求 )(),,( zfyxv
解,
2,2 2
2
2
2
??????? yuxu u 是调和函数 ;
?? ?????????? Cx d yy d xdyxudxyuyxv 22),(
(1)
二元函数的线积分，将来在 热力学 中出现。
全微分的积分与路径无关
CxyCy d x
Cx d yy d xx d yy d xyxv
yx
y
yx
y
y
????
?????
?
??
22
2222),(
),(
),0(
),(
),0(
),0(
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(2) )2(22),( xydx d yy d xyxdv ???
Cxyv ?? 2
(3)
)(2)(2),( xxyxx d yyxv ?? ???? ?
视 x 为 参量,对 y 积分
yyuxyxv 2)('2 ????????? ?
求 满足的方程 )(x?
Cx ?)(?? Cxyv ?? 2
CizCiiyxCixy iyxzf ????????? 2222 )(2)()(
小结
复变函数的导数的定义是实函数导数定义
的自然推广。
复变函数的可导性是很强的要求，必要条
件是柯西－黎曼方程。充分条件是函数的
实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西
－黎曼方程。
解析函数是调和函数。
复变函数
微分和积分
泰勒展开和洛朗展开
留数定理
傅立叶变换
拉普拉斯变换
z
y
x 1
1
?
?
O
第一章 复变函数
代数表示, x,y 为实数,i 为单位虚数，则
iyxz ??
且 x 为其实部,y 为虚部，记
zx Re? zy Im?
1.1,复数
12 ?i
为复数
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)/(
22
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z?? A rg z??
)20( ??? A rg z主值 复共轭 ?? ieiyxz ?? ???
又称为 模
其它概念
x 轴为实轴,y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为
此平面上的一点
几何表示
从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量
为矢量长度 为幅角
记
复数的运算
222111,iyxziyxz ????
加法 )()( 212121 yyixxzz ????? 2121 zzzz ???
减法 )()( 212121 yyixxzz ????? 2121 zzzz ???
乘法 )()( 1221212121 yxyxiyyxxzz ???????
除法 )(
2
1
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12 ??i
测地投影和无限远点
如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北
极由一条直线相连，直线与球相交于 A’ 。由此，每一有限的复数 投影到
球上一点 。这个投影叫 测地投影,这个球叫 复数球 。
所有的无穷大复数（平面上 无限远点 ）投影到唯一的北极 N。故我们为
方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
N
A ’
A
S
复数 z 是 两个独立变量 (x,y) 的集合 。
它在数值计算中是一个 整体,服从通常的 四则运算规则 和 虚单位 的特殊规则；
它可以看作具有 两个独立分量 的量来表示（ 矢量 ）和计算。
小结
1.2,复变函数
比较与实变函数相对应的定义
实函数,
)(xfy ?
x
x
)(xfy ?
定义域、值域
y=f(x) y=f(x)
ivu ???
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z
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y
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定义域 值域
定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复
数 与之对应，称 为 z 的函数,E 为定义域,??
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实函数,
定义, 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x,都有唯一
的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数
的 定义域,记 。
连续，可微,
)(xfy ?
nC
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n 次可微
无限可微
邻域
区域 B 的内点
外点
境界点
境界线
区域 内点组成的连通集合
闭区域 区域和境界线的全体
全体境界点的集合
不是内点，也不是外点的点。
z 和它的邻域都不属于 B,则 z 为 B 的外点。
z 和它的邻域都属于 B,则 z 为 B 的内点。
复平面上圆 内点的集合
几个概念
z z ? r
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区域
?
例
多项式 nn zazazaa ???? ?2210
有理分式
m
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根式 nn zazazaa ???? ?2210
指数函数 )s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ???? ?
三角函数
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这是平面上的矢量场
可以设矢量函数
1.3,导数
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复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数
空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢
量场，其导数一般应与方向有关。
可导：对任何方向的,极限都 存在 并 唯一 。 z?
x
0
y
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可导：对任何方向的,极限都 存在 并 唯一 。 z?
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复数
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实数
因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强
的多的条件。
柯西 — 黎曼方程
z? 沿实轴 0??y xvixuz ???????? ? xvixuzz ?????????? ?0li m
z? 沿虚轴 yi viyi uz ???????? ?0??x yuiyvz
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存在，连续且满足 柯西 — 黎曼方程。
y
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1.4,解析函数
)(zf 在 点 解析,即在这点可导。 0z
为在 区域 B 中解析函数,即在区域的点
点解析。
性质
曲线族 21 ),(),( CyxvCyxu ?? 相互正交。
y
v
y
u
x
v
x
u
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?
? 即
由 柯西 — 黎曼方程
vuyvyuxvxu ?????????????? 0
两族曲线的梯度正交 ? 两族曲线正交
(1)
已知 U 求 V 当它们是某解析函数的实部和虚部
dyxudxyudyyvdxxvdvyxv ?????????????? ?? ?),(
可由 (1) 曲线积分
(2) 凑全微分显式
(3) 不定积分 求出
满足 拉普拉斯方程
由 柯西 — 黎曼方程
)()( xvyuyyvxux ????????????????
02
2
2
2
?????? y ux u? 02
2
2
2
?????? y vx v 调和函数
(2)
例 22),( yxyxu ?? 求 )(),,( zfyxv
解,
2,2 2
2
2
2
??????? yuxu u 是调和函数 ;
?? ?????????? Cx d yy d xdyxudxyuyxv 22),(
(1)
二元函数的线积分，将来在 热力学 中出现。
全微分的积分与路径无关
CxyCy d x
Cx d yy d xx d yy d xyxv
yx
y
yx
y
y
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(2) )2(22),( xydx d yy d xyxdv ???
Cxyv ?? 2
(3)
)(2)(2),( xxyxx d yyxv ?? ???? ?
视 x 为 参量,对 y 积分
yyuxyxv 2)('2 ????????? ?
求 满足的方程 )(x?
Cx ?)(?? Cxyv ?? 2
CizCiiyxCixy iyxzf ????????? 2222 )(2)()(
小结
复变函数的导数的定义是实函数导数定义
的自然推广。
复变函数的可导性是很强的要求，必要条
件是柯西－黎曼方程。充分条件是函数的
实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西
－黎曼方程。
解析函数是调和函数。
