第 四 章 留 数 定 理
4.1 留数定理
0z
回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通
区域上的解析函数，则
.0)()(
1
??? ? ?
?l
n
i l i
dzzfdzzf
这样的积分不为零，必定包含奇点。因此，
研究奇点是求积分的第一要务。
1,定理
设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤
立奇点,外解析，在闭区域
上除点 外连续，则
.)(Re2)(
1
? ?
?
?
l
n
j
jbsfidzzf ?
nbbb,,,21 ?
nbbb,,,21 ?
B
?
?
????
?
?
?
?
?
l
n
l
ndzz
i
l
l
z
dz
i
1.0)(
2
1
.1
,0
2
1
?
?
?
?
?? 包围
不包围又,
证明 如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其
收敛环可写
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0
10 2)()(
1
?
?
???
???? ?? iadzzzadzzfl l k
k
k ?
l
1l
2l
3l
1b
2b
3b
当区域中有 n 个孤立奇点时
#
柯西定理
闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分
等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。
一个孤立奇点
l
1l
2l
3l
1b
2b
3b
当区域中有 n 个孤立奇点时
.))((Re2)()(
11
?? ? ?
??
??
n
i
il
n
i l
bfsidzzfdzzf
i
?
#
2,留数的计算
A,单极点 的情况,
????????? ? 202010
0
1 )()()( zzazzaa
zz
azf
?????????? ? 3022010010 )()()()()( zzazzazzaazfzz
.)()(li m 10
0 ??
?? azfzzzz 作为幂零项 1?a
B,m 阶极点 的情况
?? ????????????? ??? 202010
0
1
1
0
1
0
)()()()()( zzazzaazz azz azz azf mmmm
?? ??????????
??
?
?
?
?
1
01001
1
010
0
)()()()(
)()(
mmm
mm
m
zzazzaazzazza
zfzz
m-1 次求导后 项为幂零项 1?a
?????????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
3
02
1
2
2
01
1
100
1
1
01
1
)()()()!1(
)()(
zzaCzzaCzzaCam
zfzz
dz
d
m
m
m
m
m
m
m
m
m
101
1
)()(lim)!1( 1
0
??
?
?
??? azfzzdzdm mm
m
zz
101
1
)()(lim)!1( 1
0
??
?
?
??? azfzzdzdm mm
m
zz
.)()(li m 10
0 ??
?? azfzzzz
首先－必须确定极点的阶！
分析＋经验
3,例
(1)
1,11)( 0 ??? zzzf n
处的留数。
)1)(1(
1
1
1)(
21 ??????? ?? ?nnn zzzzzf
解
分母的因式分解
一个 单极点
(2) 求 的极点，以及在极点上的留数。
zzf s in
1)( ?
解,)(,0s i n,???? zfznz ?
极点为 无穷多个 单极点
nzzzfz nnzz
1
1
1lim)()1(lim
2111 ?????? ?????? ?
?n
n
nznznznz zz
nz
z
nzzfnz )1(
c o s
1lim
)'( s in
)'(lim
s inlim)()(lim ???
?????
???? ????
???
(3) 求 的极点，以及在极点上的留数。
35 4
2)(
zz
izzf
?
??
解
)2(
1
)2)(2(
2
)4(
2)(
3323 izzizizz
iz
zz
izzf
????
??
?
??
A,单极点
iz 2?
88
1
)2(
11lim)()2(lim
33221
i
iizzfiza iziz ??????? ???
(4) 计算沿单位圆 的如下回路积分。 1?z
102
1 2
?????
?
???
z zz
dz
解 寻找被积函数在 单位圆内 的极点，即它的 分母
在单位圆内的零点 。
8)2(
1
)2(
2
l im
!2
1
2
1
l im
!2
1
)]([l im
!2
1
330
2
2
0
3
2
2
0
1
i
iiz
izdz
d
zfz
dz
d
a
z
zz
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
B,3阶极点 0?z
?
??? 22 11,02 ??????? zzz
111111
22
???????? ?? ?? ?其中
?
? 211 ????z 在单位圆外。
1)1(1)1)(1(11111
22
?????????????? ? ?? ??? ?? ?
又
?
? 211 ????z 在单位圆内
)
11
)(
11
(
1
2
1
)(
222
?
?
?
?
?
?? ??
?
??
?
?
??
?
zz
zz
zf
2211
2
11
1
12
1
)
11
(
1
lim)()
11
(lim
22 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
??
???
?
???
?
?
z
zfza
zz
.
112
12
12 221 2 ?
?
?
?
? ?
?
?
?
??? ?
ii
zz
dz
z
4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
留数定理 是复变函数的定理，若要在实变函数定积
分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利
用 解析延拓 的概念。留数定理又是应用到回路积分的，
要应用到定积分，就必须将 定积分变为回路积分中的
一部分 。
?ba dxxf )(
1l
0a b1l
2l
如图，对于实积分,变量 x
定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间
应是回路 的一部分。实积分
要变为回路积分，则实函数必须 解析
延拓 到复平面上包含回路的一个区域
中,而实积分 成为回路积分的一部
分,
21 lll ??
??? ??
2
)()()(
l
b
a
l
dzzfdxxfdzzf
左边可以利用留数定理，右边对 的积分在解析延
拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择 使积
分最易完成。这样可以完成实变函数定积分。
2l
2l
现在，大部分这样的积分可以应用计算软件完成，
我们在这儿只给出最基础的类型。
类型一：三角函数的有理式的积分
?
?2
0
)s i n,s( dxxxcoR
变量变换
ixez ?
dzizdxzzixzzx 1),(21s i n),(21c o s 11 ????? ??
0 ?2 ? 01? 1
i
i?
积分区域变换：线段到单位圆。
?
?2
0
)s in,( dxxc o n xR ? ?
?
?? ??
1
11
)
2
,
2
(
z iz
dz
i
zzzzR
例 10,
c o s1
2
0
???? ? ??
?
x
dxI
解
??
??
? ????
?
?
1
2
1
1 2
2
2
1
/
zz zz
dz
izz
izdz
I
???
22 1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
? i
i
I
类型二,??
??
? dxxfI )(
其中，复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面
除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面
趋于无穷大时,zf(z) 一致地趋于零。
这个积分通常看作为 极限 ?
??
???
?
2
12
1
)(l i m
R
RR
R
dxxfI
而当 时，此极限称为 I 的 主值
21 RR ?
?
?
??
?
R
R
R
dxxfPI )(lim
0
z
x
y
R? R
RC
R
??? ??
? R
C
R
R
l
dzzfdxxfdzzf )()()(
??? ???
? RC
R
R
Rj
j
j dzzfdxxfCzzsfi )()(},)(Re{2 ?
??? ???
? R
C
R
R
j
j
j dzzfdxxfzzsfi )()(},)(Re{2 上半平面?
??R
0)(m a x)(m a x
)(m a x)()()(
??
???
??? ????
R
CCCC
zzf
R
R
zzf
z
dz
zzf
z
dz
zzf
z
dz
zzfdzzf
RRRR
?
?
??
?
??
R
R
j
j
j dxxfzzsfi )(},)(Re{2 上半平面?
例
,
)1( 2?
?
?? ?
? n
x
dxI n 为正整数,
nnn izizzzf )()(
1
)1(
1)(
2 ?????
解,上半平面上有 n 阶极点 i 。
i
n
nnn
in
nnn
izdz
d
n
zfiz
dz
d
n
a
n
nnn
n
iz
n
n
n
iz
12
121
1
1
1
1
2)!1(
)22()1(
)2(
1
)!1(
)22()1)((
)(
1
lim
)!1(
1
)()(lim
)!1(
1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?????
?
??
?
?
?
?
?
?
222
2212
])!1[(
)!22(
2
2)!1(
)22()1(
]
2)!1(
)22()1(
[2
?
?
?
?
??
?
?
??
??
?
??
n
n
n
nnn
i
n
nnn
iI
n
nn
?
??
??
类型一：三角函数的有理式的积分
?
?2
0
)s i n,s( dxxxcoR
变量变换 ixez ?
? ?
?
?? ??
1
11
)2,2(
z iz
dz
i
zzzzR
类型二,??
??
? dxxfI )(
f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外
解析；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时,zf(z)
一致地趋于零。
??
?
??
R
R
j
j
j dxxfzzsfi )(},)(Re{2 上半平面?
类型三,
偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点，在上
半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上
半平面趋于无穷大,F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。
作变换
.s in)(,c o s)(
00
??
??
m x d xxGm x d xxF
???
??
??
? ?
?
???
?
???
?
?
?
? ?
?
???
??
??
??
dxexFdxexFdxexF
dyexFdxexF
dxexFdxexF
dxeexFm x d xxF
i m xi m xi m x
i m yi m x
i m xi m x
i m xi m x
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
])[(
2
1
c o s)(
0
0
00
00
0 0
约当引理
对于正整数 m,上述极点
沿 的积分为
? ??? RC i m zR dzezF 0)(l im证
??
??
??
?
???
?
?
???
?
0
s i n
)(m a xRe)( R e
)()(
RdezFdzeF
dzezFdzezF
mR
C
imyi m xi
C
myi m x
C
i m z
R
RR
0
z
x
y
R? R
RC
R
RC'
同理 ?? ?
??
?
? dxexGim x d xxG i m x)(21s in)(
0
RC
?? ?????? ?
2/
0
s i n
0
s i n lim2lim
?
?
?
? ?? RdeRde mR
R
mR
R
只需证明 有界。
是一条对角线，在 范围内,?
?
2?y 2/0 ?? ??
??? s i n/20 ??
?? ?? ?
2/
0
/2
2/
0
s i n
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??
?
? ?? RdeRde mRmR
y
??2
1
1
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??2?y
mem R
mR
2)1(2
??
??
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0
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/2
2
?
??? mRe
m
???
m 负，则 ?
?
?? RC
i m z
R
dzezF' 0)(lim #
上半平面。??? ? ?
?
?
j
i m z
l
j
j
i m z
zezsFidzezF
m x d xxF
j
,)(Re)(
2
1
c o s)(
0
?
上半平面。??? ? ?
?
?
j
i m z
l
j
j
i m z
zezsGdzezG
i
m x d xxG
j
,)(Re)(
2
1
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0
?
例
dxax xxI ?
?
?? 0 222 )(
s i n
解,
0,0 ?? am
222 )()( ax
xxG
??
imzezG )(
在上半平面有二阶极点 aiz ?
])([lim])()[(lim])([Re 22 i m z
aiz
i m z
aiz
i m a i e
aiz
z
dz
dezGaiz
dz
deaiGs
???? ??
])( 2)()( 1[lim 322 i m zi m zi m z
aiz
eaiz zeaiz im zeaiz ??????
?
222 )(
s in
ax
xx
?
偶函数
解析延拓
mamamama
i m zi m zi m z
aiz
i m z
aiz
i m z
aiz
i m a i
e
a
m
e
a
e
a
ma
e
a
e
aiz
z
e
aiz
i m z
e
aiz
e
aiz
z
dz
d
ezGaiz
dz
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44
1
44
1
]
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2
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1
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222
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2
2
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a
me
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ax
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0
222
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4.1 留数定理
0z
回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通
区域上的解析函数，则
.0)()(
1
??? ? ?
?l
n
i l i
dzzfdzzf
这样的积分不为零，必定包含奇点。因此，
研究奇点是求积分的第一要务。
1,定理
设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤
立奇点,外解析，在闭区域
上除点 外连续，则
.)(Re2)(
1
? ?
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l
n
j
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nbbb,,,21 ?
nbbb,,,21 ?
B
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?
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?? 包围
不包围又,
证明 如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其
收敛环可写
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1
?
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???
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k
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l
1l
2l
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1b
2b
3b
当区域中有 n 个孤立奇点时
#
柯西定理
闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分
等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。
一个孤立奇点
l
1l
2l
3l
1b
2b
3b
当区域中有 n 个孤立奇点时
.))((Re2)()(
11
?? ? ?
??
??
n
i
il
n
i l
bfsidzzfdzzf
i
?
#
2,留数的计算
A,单极点 的情况,
????????? ? 202010
0
1 )()()( zzazzaa
zz
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?????????? ? 3022010010 )()()()()( zzazzazzaazfzz
.)()(li m 10
0 ??
?? azfzzzz 作为幂零项 1?a
B,m 阶极点 的情况
?? ????????????? ??? 202010
0
1
1
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)()()()()( zzazzaazz azz azz azf mmmm
?? ??????????
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1
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m-1 次求导后 项为幂零项 1?a
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3
02
1
2
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1
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0
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?
?
??? azfzzdzdm mm
m
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.)()(li m 10
0 ??
?? azfzzzz
首先－必须确定极点的阶！
分析＋经验
3,例
(1)
1,11)( 0 ??? zzzf n
处的留数。
)1)(1(
1
1
1)(
21 ??????? ?? ?nnn zzzzzf
解
分母的因式分解
一个 单极点
(2) 求 的极点，以及在极点上的留数。
zzf s in
1)( ?
解,)(,0s i n,???? zfznz ?
极点为 无穷多个 单极点
nzzzfz nnzz
1
1
1lim)()1(lim
2111 ?????? ?????? ?
?n
n
nznznznz zz
nz
z
nzzfnz )1(
c o s
1lim
)'( s in
)'(lim
s inlim)()(lim ???
?????
???? ????
???
(3) 求 的极点，以及在极点上的留数。
35 4
2)(
zz
izzf
?
??
解
)2(
1
)2)(2(
2
)4(
2)(
3323 izzizizz
iz
zz
izzf
????
??
?
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A,单极点
iz 2?
88
1
)2(
11lim)()2(lim
33221
i
iizzfiza iziz ??????? ???
(4) 计算沿单位圆 的如下回路积分。 1?z
102
1 2
?????
?
???
z zz
dz
解 寻找被积函数在 单位圆内 的极点，即它的 分母
在单位圆内的零点 。
8)2(
1
)2(
2
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1
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1
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B,3阶极点 0?z
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22
???????? ?? ?? ?其中
?
? 211 ????z 在单位圆外。
1)1(1)1)(1(11111
22
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又
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11
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?
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ii
zz
dz
z
4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
留数定理 是复变函数的定理，若要在实变函数定积
分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利
用 解析延拓 的概念。留数定理又是应用到回路积分的，
要应用到定积分，就必须将 定积分变为回路积分中的
一部分 。
?ba dxxf )(
1l
0a b1l
2l
如图，对于实积分,变量 x
定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间
应是回路 的一部分。实积分
要变为回路积分，则实函数必须 解析
延拓 到复平面上包含回路的一个区域
中,而实积分 成为回路积分的一部
分,
21 lll ??
??? ??
2
)()()(
l
b
a
l
dzzfdxxfdzzf
左边可以利用留数定理，右边对 的积分在解析延
拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择 使积
分最易完成。这样可以完成实变函数定积分。
2l
2l
现在，大部分这样的积分可以应用计算软件完成，
我们在这儿只给出最基础的类型。
类型一：三角函数的有理式的积分
?
?2
0
)s i n,s( dxxxcoR
变量变换
ixez ?
dzizdxzzixzzx 1),(21s i n),(21c o s 11 ????? ??
0 ?2 ? 01? 1
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积分区域变换：线段到单位圆。
?
?2
0
)s in,( dxxc o n xR ? ?
?
?? ??
1
11
)
2
,
2
(
z iz
dz
i
zzzzR
例 10,
c o s1
2
0
???? ? ??
?
x
dxI
解
??
??
? ????
?
?
1
2
1
1 2
2
2
1
/
zz zz
dz
izz
izdz
I
???
22 1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
? i
i
I
类型二,??
??
? dxxfI )(
其中，复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面
除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面
趋于无穷大时,zf(z) 一致地趋于零。
这个积分通常看作为 极限 ?
??
???
?
2
12
1
)(l i m
R
RR
R
dxxfI
而当 时，此极限称为 I 的 主值
21 RR ?
?
?
??
?
R
R
R
dxxfPI )(lim
0
z
x
y
R? R
RC
R
??? ??
? R
C
R
R
l
dzzfdxxfdzzf )()()(
??? ???
? RC
R
R
Rj
j
j dzzfdxxfCzzsfi )()(},)(Re{2 ?
??? ???
? R
C
R
R
j
j
j dzzfdxxfzzsfi )()(},)(Re{2 上半平面?
??R
0)(m a x)(m a x
)(m a x)()()(
??
???
??? ????
R
CCCC
zzf
R
R
zzf
z
dz
zzf
z
dz
zzf
z
dz
zzfdzzf
RRRR
?
?
??
?
??
R
R
j
j
j dxxfzzsfi )(},)(Re{2 上半平面?
例
,
)1( 2?
?
?? ?
? n
x
dxI n 为正整数,
nnn izizzzf )()(
1
)1(
1)(
2 ?????
解,上半平面上有 n 阶极点 i 。
i
n
nnn
in
nnn
izdz
d
n
zfiz
dz
d
n
a
n
nnn
n
iz
n
n
n
iz
12
121
1
1
1
1
2)!1(
)22()1(
)2(
1
)!1(
)22()1)((
)(
1
lim
)!1(
1
)()(lim
)!1(
1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?????
?
??
?
?
?
?
?
?
222
2212
])!1[(
)!22(
2
2)!1(
)22()1(
]
2)!1(
)22()1(
[2
?
?
?
?
??
?
?
??
??
?
??
n
n
n
nnn
i
n
nnn
iI
n
nn
?
??
??
类型一：三角函数的有理式的积分
?
?2
0
)s i n,s( dxxxcoR
变量变换 ixez ?
? ?
?
?? ??
1
11
)2,2(
z iz
dz
i
zzzzR
类型二,??
??
? dxxfI )(
f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外
解析；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时,zf(z)
一致地趋于零。
??
?
??
R
R
j
j
j dxxfzzsfi )(},)(Re{2 上半平面?
类型三,
偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点，在上
半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上
半平面趋于无穷大,F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。
作变换
.s in)(,c o s)(
00
??
??
m x d xxGm x d xxF
???
??
??
? ?
?
???
?
???
?
?
?
? ?
?
???
??
??
??
dxexFdxexFdxexF
dyexFdxexF
dxexFdxexF
dxeexFm x d xxF
i m xi m xi m x
i m yi m x
i m xi m x
i m xi m x
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
])[(
2
1
c o s)(
0
0
00
00
0 0
约当引理
对于正整数 m,上述极点
沿 的积分为
? ??? RC i m zR dzezF 0)(l im证
??
??
??
?
???
?
?
???
?
0
s i n
)(m a xRe)( R e
)()(
RdezFdzeF
dzezFdzezF
mR
C
imyi m xi
C
myi m x
C
i m z
R
RR
0
z
x
y
R? R
RC
R
RC'
同理 ?? ?
??
?
? dxexGim x d xxG i m x)(21s in)(
0
RC
?? ?????? ?
2/
0
s i n
0
s i n lim2lim
?
?
?
? ?? RdeRde mR
R
mR
R
只需证明 有界。
是一条对角线，在 范围内,?
?
2?y 2/0 ?? ??
??? s i n/20 ??
?? ?? ?
2/
0
/2
2/
0
s i n
?
??
?
? ?? RdeRde mRmR
y
??2
1
1
?sin
??2?y
mem R
mR
2)1(2
??
??
? ???
0
2/
/2
2
?
??? mRe
m
???
m 负，则 ?
?
?? RC
i m z
R
dzezF' 0)(lim #
上半平面。??? ? ?
?
?
j
i m z
l
j
j
i m z
zezsFidzezF
m x d xxF
j
,)(Re)(
2
1
c o s)(
0
?
上半平面。??? ? ?
?
?
j
i m z
l
j
j
i m z
zezsGdzezG
i
m x d xxG
j
,)(Re)(
2
1
s in)(
0
?
例
dxax xxI ?
?
?? 0 222 )(
s i n
解,
0,0 ?? am
222 )()( ax
xxG
??
imzezG )(
在上半平面有二阶极点 aiz ?
])([lim])()[(lim])([Re 22 i m z
aiz
i m z
aiz
i m a i e
aiz
z
dz
dezGaiz
dz
deaiGs
???? ??
])( 2)()( 1[lim 322 i m zi m zi m z
aiz
eaiz zeaiz im zeaiz ??????
?
222 )(
s in
ax
xx
?
偶函数
解析延拓
mamamama
i m zi m zi m z
aiz
i m z
aiz
i m z
aiz
i m a i
e
a
m
e
a
e
a
ma
e
a
e
aiz
z
e
aiz
i m z
e
aiz
e
aiz
z
dz
d
ezGaiz
dz
d
eaiGs
????
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
???
44
1
44
1
]
)(
2
)()(
1
[lim
]
)(
[lim])()[(lim])([Re
222
322
2
2
mama e
a
me
a
mdx
ax
xxI ??? ??
?? ? 4)4()(
s in
0
222
??
