数 学 物 理 方 法
?数学物理方程
?复变函数
教 学 目 的
?介绍理论物理中出现的数学概念；
?介绍一些处理理论物理问题常用的数学方
法，如 付里叶变换，拉普拉斯变换，留数
定理，保角变换 等等。
?介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法，
分离变量法，格林函数方法，达朗贝耳公
式 等等。
考察大学物理与理论物理间的区别
q
o
x
r?
)(xE?
)(rE ??
大学物理,均匀带电圆环,求轴上离圆心 x 处 电场强度。
电动力学,求 圆环周围 的度。
利用
.,4
0
g r a d UErdqU ??? ?
?
??
解拉普拉斯方程
g r a d UEU ???? ?,0
,数学物理方法, p.297,第 9题。
求积分需要利用电荷分布的对称性，
只能计算轴上各点的电势，拉普拉
斯方程求解不受这个限制。所以理
论物理可以给出复杂条件下更多更
精确的结果。
Grad的概念，拉普拉斯方程的解法。
复 变 函 数
?矢量分析复习
?复变函数
?付利叶变换和拉普拉斯变换
矢 量 分 析
?标量场的梯度（ grad）
?矢量场的散度 (div)
?矢量场的旋度 (curl)
?无散场和无旋场
?正交曲线座标系
以复习为主
标 量 场 的 梯 度
1.方向导数
标量,一个自由度的变量，它只具有一个值。
如：密度，电量，质量，能量，温度等。
矢量,两个以上的自由度的变量，一个自由度 可
取 为它的值，其它的自由度确定它的方向。
如：速度，电场强度，力等。
一般地，具有多自由度的量可以利用矢
量来表示其特性，并进行推理
场, 二维或二维以上的空间中的
一个范围，在其每一点，都定义一
个标量，矢量或其它什么量。对应
地称为标量场，矢量场，或者什么
什么场。因此，场 就是空间座标的
函数 。
自变量可以具有几个独立分量，
函数也可以有几个独立分量。因
此，有标量，场矢量场等 。
导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。
对于一维的情况，函数对于座标的导数，是沿
自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯
一的方向，而无需特别地强度导数的 方向性 。
场是二维以上空间的函数，其自变量具有两个
以上的独立分量。故在求其导数时，几个自变
量的增量确定了一个矢量，这个表示增量的矢
量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量
增量矢量的方向变化而变化，导致 场的导数有
方向性。
x
0
y
),( yxu
1r??
2r??
左边是一个平面温度场，
u(x,y)为温度。在点 P，不
同的方向温度的陡度是不
同的。因此温度沿不同方
向的导数是不同的。
导数的大小与方向有关
1r?? 2r
??
1u?
2u?
.
,
21
21
uu
rr
???
???
??
如左图：若极限
PP
PuPu
PP '
)()'(lim
'
?
?
存在，则称它为 u在 P点，沿
PP’的 方向导数 。
计算方法（以三维为
例）：记 为
??? c o sc o sc o s
}{lim
0
z
u
y
u
x
u
s
z
z
u
s
y
y
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其中 ??? c o s,c o s,c o s 为方向余弦。
x
y
z
P ),,( zzyy xxP ???? ??
0
x?
y?
z?
?
?
'PP
2.梯 度
方向余弦又可以看作沿 PP’的如下单位矢量的
分量
??? c o sc o sc o s kji ??? ??
ukzujyuixu ?????????? ?
???
这个单位矢量指定了一个空间方向。因此，方向
导数可以看作如下矢量在指定方向的单位矢量上
的投影
叫标量场的 梯度 。 又记为 gradu。由
于方向导数是投影，故,usu ????
?
例 点电荷 e的场强,
点电荷的势为,
222
0
1
4),,( zyx
ezyxU
??
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电场强度为,
2
0
3
0
2/3222
0
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梯度是以 对座标的导数为分量 的矢量。
运算规则
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?
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vducdvcu ?????? ??? )(
vuuvuv ????? ??? )(
复合函数
)],,([ zyxvu vvuu ?????
等量面 是 的一个方程，在空
间决定一个解
c o n szyxu ?),,( zyx,,
),( yxfz ?
等量面的法线方向的余弦正比于
z
u
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?,,
即梯度的方向是等量面法线方向
例 rzyxru /1)],,([ ?
22
?)(1
r
r
r
r
rrr
uu ?????
?
??? ?
3.矢量场的散度
矢量线,矢量场中的曲线，每一点的切线方向与该
点上的矢量相同。
流体中流线，电场中电力线，磁场中磁力线。
),,( iii zyx
i??
in? i
v?
i?
矢量场,空间每一点上定义的矢量的全体，因此，
每一点的函数有几个独立分量
???? ?? ????? ?? ???? dvdnv
?? ?????? ????
i
io
i
io nv
ii
?? ?? ??l i ml i m
通过单位面积的总量为
iiii v ??? ??? c o s
单位时间通过 的量 为
i?? i??
通量,与流量相类似，单位时间通过
某面积的量。
散度,对于封闭曲面，量 A 的通量为
?? ?? ????? ?? ???? dAdnA
曲面内无源时 0??
曲面内存在源,与源的强度成正比。 ?
取比例系数为一，则曲面内源的平均密度为
?? ??? ??
?
dAVV 11
一点上的源的密度
记为 A??
标量场的梯度是矢量，矢量场的散度是标量 ！
z
A
y
A
x
A
dv
Vz
A
y
A
x
A
dv
z
A
y
A
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A
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zyx
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zyx
V
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由奥－高定理
叫 散度。
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VVAd iv VVV
1lim1lim
00
例 3111 ????? r?
例 电场
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2/5222
222
)(
)2(
zyx
qxzy
x
E x
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???
?
? 0??E?
运算规则,
BdAcBdAc ???? ?????? )(
uAAuAu ????? ??? )(
4.矢量场的旋度
矢量场的散度与它的面积分有关。矢量场还有线
积分，与之有关的为 旋度 。
如在电场中，电场对电荷作用力作功为
iii rFW
?? ????
沿曲线从 A 的 B 电场力作功为 ? ?? B
A
rdFW ??
环路上 ? ?? rdFW
l
??
A
B
j?
jF
?
jr?
但这是绕有限范围的环流量。为了描述矢量场在
一点上的性质，必须让 l 包围的面积 S 趋于零。
这就得到
? ? dyAdxA yx
S
x
x
y
y
z
z
0
l
称为 环流量,如下图，可以计算绕 z 轴沿了 l 的
环流量。它为
)(
1
lim)()(
1
lim
1
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00
0
y
A
x
A
d x d y
Sy
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A
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S
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式中使用了 格林公式 。
旋度 在三维的情况下
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y
A
x
A
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x
A
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A
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A
y
A
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AAr o tAc u r l
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它们是对称的 0??? E?
运算规则 （也是线性算子）
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由 )()()( BCAACBBAC ????????? ????????? 并计及 是求导,??
)()()( BAABBA ?????? ???????????
)()()()()( BAABBAABBA ?????????? ????????????????
0????? A0???? u
BABAABABBA ????????? )()()()()( ????????????????
0????? A由 可知
矢量场的 B 的散度为零（叫 无散场 ），则可写为
AB ?? ??? (A 为其 矢量势 )
0???? u又由 可知
矢量场 B 的旋度为零（叫 无旋场,或 有势场 ），
则可写为
uB ??? (u 为其势 )
正交曲线座标系
球极座标 ??,,r
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
??,,z柱座标
方向导数,
z
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z
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梯度,
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散度,
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z
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梯度
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1
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小结,
标量场和矢量场的各种局域性质。
算子的定义和运算规则
拉普拉斯算子
2
2
222
2
2
2
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1)( s i n
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?散度
?数学物理方程
?复变函数
教 学 目 的
?介绍理论物理中出现的数学概念；
?介绍一些处理理论物理问题常用的数学方
法，如 付里叶变换，拉普拉斯变换，留数
定理，保角变换 等等。
?介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法，
分离变量法，格林函数方法，达朗贝耳公
式 等等。
考察大学物理与理论物理间的区别
q
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大学物理,均匀带电圆环,求轴上离圆心 x 处 电场强度。
电动力学,求 圆环周围 的度。
利用
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解拉普拉斯方程
g r a d UEU ???? ?,0
,数学物理方法, p.297,第 9题。
求积分需要利用电荷分布的对称性，
只能计算轴上各点的电势，拉普拉
斯方程求解不受这个限制。所以理
论物理可以给出复杂条件下更多更
精确的结果。
Grad的概念，拉普拉斯方程的解法。
复 变 函 数
?矢量分析复习
?复变函数
?付利叶变换和拉普拉斯变换
矢 量 分 析
?标量场的梯度（ grad）
?矢量场的散度 (div)
?矢量场的旋度 (curl)
?无散场和无旋场
?正交曲线座标系
以复习为主
标 量 场 的 梯 度
1.方向导数
标量,一个自由度的变量，它只具有一个值。
如：密度，电量，质量，能量，温度等。
矢量,两个以上的自由度的变量，一个自由度 可
取 为它的值，其它的自由度确定它的方向。
如：速度，电场强度，力等。
一般地，具有多自由度的量可以利用矢
量来表示其特性，并进行推理
场, 二维或二维以上的空间中的
一个范围，在其每一点，都定义一
个标量，矢量或其它什么量。对应
地称为标量场，矢量场，或者什么
什么场。因此，场 就是空间座标的
函数 。
自变量可以具有几个独立分量，
函数也可以有几个独立分量。因
此，有标量，场矢量场等 。
导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。
对于一维的情况，函数对于座标的导数，是沿
自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯
一的方向，而无需特别地强度导数的 方向性 。
场是二维以上空间的函数，其自变量具有两个
以上的独立分量。故在求其导数时，几个自变
量的增量确定了一个矢量，这个表示增量的矢
量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量
增量矢量的方向变化而变化，导致 场的导数有
方向性。
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0
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左边是一个平面温度场，
u(x,y)为温度。在点 P，不
同的方向温度的陡度是不
同的。因此温度沿不同方
向的导数是不同的。
导数的大小与方向有关
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如左图：若极限
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例）：记 为
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2.梯 度
方向余弦又可以看作沿 PP’的如下单位矢量的
分量
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这个单位矢量指定了一个空间方向。因此，方向
导数可以看作如下矢量在指定方向的单位矢量上
的投影
叫标量场的 梯度 。 又记为 gradu。由
于方向导数是投影，故,usu ????
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例 点电荷 e的场强,
点电荷的势为,
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复合函数
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等量面 是 的一个方程，在空
间决定一个解
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等量面的法线方向的余弦正比于
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即梯度的方向是等量面法线方向
例 rzyxru /1)],,([ ?
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3.矢量场的散度
矢量线,矢量场中的曲线，每一点的切线方向与该
点上的矢量相同。
流体中流线，电场中电力线，磁场中磁力线。
),,( iii zyx
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矢量场,空间每一点上定义的矢量的全体，因此，
每一点的函数有几个独立分量
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通过单位面积的总量为
iiii v ??? ??? c o s
单位时间通过 的量 为
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通量,与流量相类似，单位时间通过
某面积的量。
散度,对于封闭曲面，量 A 的通量为
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曲面内无源时 0??
曲面内存在源,与源的强度成正比。 ?
取比例系数为一，则曲面内源的平均密度为
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一点上的源的密度
记为 A??
标量场的梯度是矢量，矢量场的散度是标量 ！
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A
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A
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叫 散度。
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例 3111 ????? r?
例 电场
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222
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运算规则,
BdAcBdAc ???? ?????? )(
uAAuAu ????? ??? )(
4.矢量场的旋度
矢量场的散度与它的面积分有关。矢量场还有线
积分，与之有关的为 旋度 。
如在电场中，电场对电荷作用力作功为
iii rFW
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沿曲线从 A 的 B 电场力作功为 ? ?? B
A
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环路上 ? ?? rdFW
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但这是绕有限范围的环流量。为了描述矢量场在
一点上的性质，必须让 l 包围的面积 S 趋于零。
这就得到
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S
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称为 环流量,如下图，可以计算绕 z 轴沿了 l 的
环流量。它为
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它们是对称的 0??? E?
运算规则 （也是线性算子）
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)()()( BAABBA ?????? ???????????
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BABAABABBA ????????? )()()()()( ????????????????
0????? A由 可知
矢量场的 B 的散度为零（叫 无散场 ），则可写为
AB ?? ??? (A 为其 矢量势 )
0???? u又由 可知
矢量场 B 的旋度为零（叫 无旋场,或 有势场 ），
则可写为
uB ??? (u 为其势 )
正交曲线座标系
球极座标 ??,,r
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方向导数,
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标量场和矢量场的各种局域性质。
算子的定义和运算规则
拉普拉斯算子
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