第六章 拉普拉斯变换
6.2 拉普拉斯变换 与傅立叶变换类似的，通过积
分实现的 变换 。
对于 )0(.0)( ?? ttf
?? ?? 0 )()( dtetfpf pt为从 到 的 拉普拉斯变换, 为变换的 核,该积分为
拉普拉斯积分。
)(tf )(pf
pte?
1,定义
逆变换 ?? ip ?? ? ?
?
? ??
???
i
i
pt dpepf
itf,)(2
1)(
0Re ?P
又称 )(tf 原函数 ? )(pf 像函数
例 (1) 求 ]1[L,111]1[
00 pepdte
ptpt ????? ??? ??L
(2) 求 ][tL
.111][1)(1][
0 0 2000? ???
? ? ?? ???? ?? ???????????
pdtepdtepetpedtpdtett
ptptptptptL
记为 ) ],([)( tfpf L? )].([)( 1 pftf ?? L
实际上，原函数当为 )()( tHtf
(3) 求 ][ steL
.11][ 0)(
0 0
)(
spespdtedteee
tsptspptstst
????????
???? ? ???? ?L
sP ReRe ?
(4) 求 ][ stteL
.)( 1][ 2
0 0
)(
spdttedtetete
tspptstst
????? ? ?
? ? ???L
sP ReRe ?
同理
.)( !][ nstn sp net ??L
(5) 求 )]([ ttfL
? ? ??? 0,)()()( dtetftdp pfd pt
.)]([)]([ dp tfdttf LL ??
.)]([)1()]([ n
n
nn
dp
tfdtft LL ??
2,性质 与傅立叶变换同为积分变换，故有类似性质
(1) 线性定理 若 )()]([
11 pftf ?L )()]([ 22 pftf ?L
和
)()()]()([ 22112211 pfcpfctfctfc ???L则
例 (6) 求 ][sin t?L
.
]
11
[
2
1
]}[][{
2
1
]
2
[][ s in
22 ?
?
??
? ??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
?
pipipi
ee
ii
ee
t titi
titi
LLLL
0Re ?P
.][ c o s 22 ?? ?? p
ptL
(2) 导数定理 ).0()]([)]('[ ftfptf ?? LL
证明
).0()]([
)()]([)()(')]('[
0000
ftfp
dttfeptfetdfedtetftf ptptptpt
??
???? ???
? ???? ???
L
L
其中
.0)(lim ???? tfe ptt 0Re ?P
高阶导数 的
)0()0(
)0(')0()]([)]([
)1()2(
21)(
??
??
??
????
nn
nnnn
fpf
fpfptfptf ?LL
(3) 积分定理
)].([1])([ 0 tpdt ???? LL ??
( 证明
?? t dtf 0 )()( ???设
).0()]([)]('[ ftfptf ?? LL
)()(' ttf ??
故
由于
) ],([)}0()]('[{1 tfftfp LL ??
? ?? 00 0)()0( ??? df #
(4) 相似定理
).(1)]([ apfaatf ?L
与傅立叶变换类似 (5) 位移定理 ).()]([ ?? ??? pftfe tL
(6) 延迟定理
).()]([ 00 pfettf pt???L
)(t?
0 t
)()( 00 ttHtt ???
0t
)()]([ 11 pftf ?L )()]([ 22 pftf ?L(7) 卷积定理
若 和
卷积
??? dtfftftf
t
? ???
0
2121 )()()()(
).()()]()([ 2121 pfpftftf ???L
则
.])()([)()()]()([ 21
00
21
0
21 dtdtffedttftfetftf
t
ptpt ??? ????? ???
?
?
?
?L
积分进行在 ????? tt 0,0 ?
如图，可改为
?????? ?? 0,t
)()(
)(])([
)(])([)]()([
21
12
00
12
0
21
pfpf
dfedfe
dfdttfetftf
pp
t
pt
??
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
????
???
??
??
?
L
?
t
t??
0
)()()]()([ 22112211 pfcpfctfctfc ???L
).0()]([)]('[ ftfptf ?? LL
)].([1])([ 0 tpdt ???? LL ??
).(1)]([ apfaatf ?L
)()]('[ ?? Fixf ?F
)(1])([ )( ?? Fidxxfx ??F
)(1)]([ aFaaxf ??F
).()]([ ?? ??? pftfe tL
).()]([ 00 pfettf pt???L )()]([ 00 ?? Fexxf xi???F
)()]([ 00 ??? ??? Fxfe xiF
).()()]()([ 2121 pfpftftf ???L )()(2)]()([ 2121 ??? FFxfxf ???F
6.3 拉普拉斯变换的反演 反演：由 像函数求原函数
A.将像函数变换，使得可以利用已知公式求原函数。
B.查表。
例 (1)
]81 3692[ 4
23
1
?
????
p
pppL
解
9
3
3
1
93
1
2
1
3
1
2
1
)9)(3)(3(
3692
81
3692
222
23
4
23
??????????????
????
?
???
pp
p
ppppp
ppp
p
ppp
.3s in
3
1
3c o s3s in h
3s in
3
1
3c o s
2
1
2
1
]
81
3692
[ 33
4
23
1
ttt
ttee
p
ppp tt
???
????
?
??? ??
L
(2)
][1 pe
p??
?L ?pe?
因子 由延迟定理处理，由查表
tp ?
1]1[1 ??L,
)(
1][1
??
?
??
?
?
tp
e pL?
(3) 利用位移定理
22][ c o s ?? ?? p
ptL
).()]([ ?? ??? pftfe tL? ?
.c o s])([ 221 tep p t ??? ? ??? ??? ?L
22][ s in ?
??
?? ptL
.s in])([ 221 tep t ???? ??? ???L
(4) 求
])([1 bpp e
p
?
?
?
?
L
先求
)(]1[1 tHp ??L )(][1 ?
?
??
?
? tH
p
e pL则
bte
bp
?? ?
? ])(
1[1L又
).()1(1)()(])([ )()(
0
)(1 ?????
?
?
?
??
??
???????? ??????
?
? ?? tHe
bdetHdetHpp
e tbt tbt tbL
6.4 应用例 解常微分方程
A.拉普拉斯变换,将原函数满足的微分方程变换为 像
函数满足的代数方程。
B.解代数方程 得像函数。
C.反演,由像函数得出欲求的原函数。
例 (1) 解如下交流 RL 电路的方程。
??
?
?
?
?
??
.0)0(
,s i n0
j
tERjj
dt
dL ?有 源 的非齐次方程
A.,
220 ?
?
??? pEjRjLp
B,
,/1 220220 ???? ?????? pLRpLEpRLp Ej
,s in][ 221 tp ??? ???L,]/1[ )/(1 tLReLRp ?? ??L
?????? ?? deeLEdeLEtj
t
LRtLR
t
tLR s ins in)(
0
)/()/(0
0
))(/(0 ?? ?? ??
???
?
??
?
?
??
?
?
???
?
??
?????
??
?
??
??
de
R
L
e
R
L
te
R
L
de
R
L
te
R
L
de
R
L
e
R
L
de
R
L
de
LR
t
tLRtLR
LR
t
tLR
LR
t
tLR
LR
tt
LR
)/(
0
2
22
0
)/(
2
2
)/(
)/(
0
2
2
)/(
)/(
0
0
)/(
)/(
00
)/(
s i nc o ss i n
c o ss i n
c o ss i n
s i ns i n
?
?
?
??
???
??
??
?
}c o ss in{
s in
2
2
)/(
2
2
)/(
222
2
0
)/(
R
L
te
R
L
te
R
L
LR
R
de
tLRtLR
t
LR
?
?
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?
?
???
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tLR
tLR
tLR
e
LR
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t
LR
E
e
LR
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tLtR
LR
E
e
R
L
t
R
L
t
R
L
LR
R
L
E
tj
)/(
222
0
222
0
)/(
222
0
222
0
)/(
2
2
2
2
222
2
0
)s i n (
)c o ss i n(
}c o ss i n{)(
?
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?
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?
?
??
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?
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???
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?
?
?
?
.a r c c o s 222
LR
R
?
?
?
?