留数－ II
例
求 z ?? 处的留数
2
1
2 ( 2 1 )
00
11
!!
nnz
nn
z e z z znn
??
? ? ?
??
???? 一阶极点
或
1
z? ?
2
0
11
!
n
n n
?? ?
?
? ?
求
21()fe??
??
在 0? ? 的留数
[ ( )] 1R e s f z ?
11c o s sin
???? 2 2 100
( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) ( )
2 ! ( 2 1 ) !
nn
nn
nnnn??
?? ?
??
????
???
z ?? 为本性奇点
R e [ ( ) ] 1s f z ?
计算积分
82 ( ) ( 1 ) ( 3 )z
dz
z i z z? ? ? ???
一阶极点
121,3zz? ? ?
八阶极点 3zi??
82 2 { R e [ ( ) ] R e [ ( 1 ) ] }( ) ( 1 ) ( 3 )z
dz i s f i s f
z i z z ?? ? ? ?? ? ???
8
1()
( ) ( 1 ) ( 3 )fz z i z z? ? ? ?
8811
11R e [ ( 1 ) ] l i m( 1 ) ( ) l i m
( ) ( 3 ) 4 ( 1 )zzs f z f z z i z i??? ? ? ?? ? ?
8 4 2/ 4 8
1 1 1 1
4 ( 1 ) 4 2 6 44 ( 2 ) iiie e ??? ? ? ???
77
81 1 1R e [ ( ) ] l i m [ ( ) ( ) ] l i m
7 ! 7 ! ( 1 ) ( 3 )z i z i
dds f i z i f z
d z d z z z? ? ? ?? ? ? ? ??
7
7
1 1 1 1l im [ ]
7 ! 4 1 3zi
d
d z z z???? ??
77
1111 l im [ ( 1 ) ( 3 ) ]
4 7 ! zi
ddzz
d z d z
??
??
? ? ? ?
7 8 7 811 l im [ ( 1 ) 7 ! ( 1 ) ( 1 ) 7 ! ( 3 ) ]
4 7 ! zi zz
??
??? ? ? ? ? ?
881 l im [ ( 3 ) ( 1 ) ]
4 zi ii
??
??? ? ? ? ?
881 [ ( 3 ) (1 ) ]
4 ii
??? ? ? ?
88
882
112 { [ ( 3 ) ( 1 ) ] }
( ) ( 1 ) ( 3 ) 4 ( 1 ) 4z
dz i i i
z i z z i?
??
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
882 ( ) ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 3 )z
d z i
z i z z i
?
? ?? ? ? ???
有没有更简单的办法？
2
圆内极点
1 1,z ? 3zi??
区域：圆内
区域：圆外
积分反号
圆外极点
2 3z ??
82 2 { R e [ ( 3 ) ] }( ) ( 1 ) ( 3 )z
dz i s f
z i z z ?? ? ? ?? ? ???
z?? 不是极点
8 8 8 83
1 1 12 l i m 2 2
( ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 1 ) 4 ( 3 ) 2 ( 3 )z
ii i i
z i z i i i
?? ? ?
??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
计算
2
sin
1
xx dx
x
?
?? ??
偶函数，计算
21
ixxe
dxx??? ??
11
2
12 R e [,] 2 2
1 1 1
ixx e ie e i
i s i ix i i e? ? ? ?
?? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
（上半平面）
22
s i n 1I m I m [ ]
11
ixx x x e i
d x d xx x e e????? ? ? ? ?? ? ? ?????
2
sin
1
xx dx
x
?
?? ??
11
22
( ) ( ) ( )2 R e [,]
2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
i x i x i z i zx e e z e e e e
d x i s ii x i z??
? ? ??
??
? ? ?? ? ?
???