第五章 傅里叶变换
利用三角级数的周期性来展开周期函数
5.1 傅里叶级数
? 周期函数的傅里叶展开；
? 奇函数和偶函数的傅里叶展开；
? 有限区间中的函数的的傅里叶展开；
? 复数形式的的傅里叶展开；。
复变项级数
,)()()()( 21
1
?? ??????
?
?
zzzz k
k
k ????
幂级数
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
1
( ) l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )
k
f z z z z k?
?
? ? ? ? ? ? ??L
2
1
( ) l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )k
k
f z z z z k?
?
? ? ? ? ? ? ??L
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是
固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须 a,改
变三角函数的周期为 2l。 b,组合各种周期的三角
函数 来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。
三角函数族,
??
??
,s i n,,
2
s i n,s i n
,c o s,,
2
c o s,c o s,1
l
xk
l
x
l
x
l
xk
l
x
l
x
???
???
1,周期函数 的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足
)()2( xflxf ??
l
xkk
l
xk
l
lk
l
xk
l
lxk ?????? c o s)2c o s ()2c o s ()2(c o s ??????
a,2l 周期性
b,按三角函数族展开
}.s inc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxf
k
kk
????
?
???
不同的函数形式由不同的组的 和 表示。
ka kb
l
xk?sin
同样
(5.1.3)
此为 傅里叶级数展开
三角函数组具有 正交性
?
?
?
?
?
?
?
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?
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??
???
???
??
???
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
dx
l
xk
kdx
l
xk
.0s i nc o s
),(0s i ns i n
),(0c o sc o s
,0s i n1
),0(0c o s1
??
??
??
?
?
(5.1.4)
因此
?
?
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??
?
?
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.s i n)(
1
,c o s)(
1
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d
l
k
f
l
b
d
l
k
f
l
a
l
lk
l
l
k
k (5.1.5)
0
1
0
1
1
2
1
( ) c o s
1
[ { c o s sin }] c o s
1
c o s
1
c o s c o s
1
sin c o s
1 1 1
c o s [ 1 c o s 2
2
l
k
l
k
l
kk
l
kk
l
l
k
l
k
l
kk
l
k
l
kk
l
kk
l
kk
k
a f d
ll
k x k x k
a a b d
l l l l
k
ad
ll
k x n
ad
l l l
k x n
bd
l l l
k x k x
a d a
l l l l
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]
1 1 1 2
22
l
l
l
k
kk
l
k k k
d
al
a d a
ll
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
此为 傅里叶系数
此外，三角函数族还有 完备性,即这个函数族 足
够展开任何周期函数 。
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就
有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下
完全一致
狄里希利定理
若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周
期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只
有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且
其中
?
?
?
?
?
?
)0(1
)0(2
k
k
k?
??
?
?
?
???
?
)() },0()0({
2
1
)(),(
)3.1.5(
xxfxf
xxf
在间断点
在连续点
例 交流电压 经过半波整流后的傅立
叶级数。 tEtE ?s in)( 0?
解 周期为
?
?2
?
?
?
?
?
?
?
],0[s in
]0,[0
)(
0
?
?
?
?
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tE
tE
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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????
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?
???
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/
0
0/
0 0
)1s i n ()1[ s i n (
2
c o ss i n1 t d tktkEt d tktEa k
,02c o s42s i n2 /00/001 ???? ? ???? ????? tEt d tEa
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.2
])2(1[
2
120
]
1
1
1
)1(
1
1
1
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[
2
]
1
)1c o s (
1
)1c o s (
[
2
)1s i n ()1[ s i n (
2
2
0
11
0/
0
0
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nk
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nk
kkkk
E
k
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k
tkE
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E
a
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k
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}.s inc o s{)(
1
0 tkbtkaatE
k
kk ???
?
?
???
,
2
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2
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2
1 0/
0 0
0
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/
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?
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?? Et d tEt d tEdta ???? ?? ?
?
,201 Eb ? 和 0?
kb
.2c o s
)2(1
12s in
2
)(
1
2
000 ?
?
? ?
???
n
tn
n
EtEEtE ?
?
?
?
频谱 各个频率分量的幅度
频率 0 ? ?2
?4 ?6
?0
E
幅度
?3
2 0E
?35
2 0E
?15
2 0E
2
0 E
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，
叫在 时域 中的表示的性质。而频谱表示这种性质在
频域 中的表示。
因此，傅里叶级数也是一种从 时域到频域的变换 。
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
频
率
0 ? ?2 ?4 ?6
?0E
幅
度
?320E ?3520E?1520E
2
0 E
2.奇函数和偶函数 的傅里叶展开
l
xk?sin 是奇函数,
l
xk?cos 是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
,s in)(
1 l
xkbxf
k
k
???
?
? 其中,s i n)(1 ???? dlkflb l
lk ???
偶函数 f(z) 有
,c o s)(
1
0 ?
?
?
??
k
k l
xkaaxf ?其中,c o s)(1 ????
? dl
kf
la
l
lkk ??
?
例
)(xf
x
1
1?
0
??
?
?2
??
?
??
???
)2,)12((1
))12(,2(1)(
??
??
mm
mmxf
周期 ?2
矩形波
奇函数
,s in)(
1 l
xkbxf
k
k
???
?
?
.124
,20
])1([2]c o s[2s i n)(2 0
??
???
??
?
???????? ?
? nk
k
nk
k
k
k
d
l
kfb kl
lk
??
?
?
????
?
?
.)12s i n ()12( 4)(
0
xnnxf
n
??? ?
?
? ?
频域中的图示由你们给出
3,有限区间中的函数 的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0,l),
可以认为它是某个 周期为 2l 的函数 在半个周期中的
部分。即令此 周期函数为 g(x),在半周期 (0,l) 中
g(x)=f(x),这种做法叫 延拓。
例
)(),( xgxf
x
)(),( xgxf
x
偶延拓
)1,0(,)( xxf ?
奇延拓
4,复数形式 的的傅里叶
????,,,,1,,,,l
xki
l
xi
l
xi
l
xki
eeee
???? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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i
ee
ee
l
xk
l
xk
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
2
2
s in
c o s
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??
?
?
,)( ?
?
???
?
k
l
xki
k ecxf
? 其中
.][)(
2
1 * ?? ? def
l
c l
xkil
lk ??
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?
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).12(
)12(
2
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]}1)1[(])1(1{[
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
0
0
0
0
nk
ni
nk
ik
e
ik
e
ik
dededefc
kki k xi k x
i k xi k xi k x
k
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
,12 12)( )12(?
?
???
?
?? n
xnie
nixf ?
例 矩形波
??
?
??
???
)2,)12((1
))12(,2(1)(
??
??
mm
mmxf,)( ??
???
?
k
i k x
k ecxf
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域
到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，
频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周
期性，到频域的 变换如何实现？ 频域的函数形式 又
是什么样的呢？
有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期
性的时域中的函数的定义域当为 。从方
便于研究而言，它又可以看作为 周期趋于无穷大 的函数。????? x
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
1,傅里叶积分
令：,,
1 ll
k
kkkk
?????? ?????
?
.}s inc o s{)(
1
0 kk
k
kkk xbxa
laxg ???
? ???? ?
?
?
则
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
????
????
?
df
l
b
df
l
a
k
l
l
k
k
l
l
k
k
}.s i nc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxg
k
kk
????
?
???
(5.2.1)
若 有限，则
?? dfl ll ???? )(lim,0)(21limlim 0 ?? ?????? ?? dfla l lll
.c o s]c o s)(
1
[
}c o sc o s)({
1
l i m
}c o sc o s)(
1
{l i m
0
1
0
1
??????
?
??????
?
??????
??
?
xddf
xdf
xdf
l
l
k
k
kk
l
l
k
k
kk
l
l
k
l
k
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
?
??
?
(5.2.1)中的余弦部分的极限为,
同理，正弦部分的极限为,
.s i n]s i n)(
1
[
s i ns i n)(
1
lim
0
1
??????
?
??????
?
xddf
xdf
l
l
k
kkk
l
l
k
l
??
??
?
??
?
?
?
?
??
?
＝
故
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
其中
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.4) 是 f(x) 的 傅里叶积分, (5.2.5) 为它的 傅里叶变换 。
)(),()( ?? BAxf ?
为某函数 从时域到频域的变换 。频域中的函数可能是
连续的 。
傅里叶积分定理,若函数 f(x) 在区间 上满足
条件 (1) 在任意有限区间满足狄里希利条件； (2) 在区间
上绝对可积 （即 收敛）,
则 f(x) 可表为傅里叶积分，且
傅里叶积分值 =
??
?
??? 2/)]0()0([
)(
xfxf
xf
),( ???
???? dxxf )(
2,振幅谱和相位谱
又可写
,)](c o s [)()( 0? ? ?? ????? dxCxf ) ],(/)([)( },)]([)]({[)( 1
22
????
???
ABtg
BAC
??
??
)(
)(
??
?C
为 振幅谱
为 相位谱
连续点
间断点
3,奇、偶函数
.c o s)(
2
)(
,c o s)()(
0
0
????
?
?
???
dfA
xdAxf
?
?
?
?
?
?
.s i n)(
2
)(
,s i n)()(
0
0
????
?
?
???
dfB
xdBxf
?
?
?
?
?
?
偶函数
奇函数
例
?
?
?
?
?
?
?
?
).
2
1
(,0
),
2
1
(,1
x
x
r e c tx
定义矩形函数为
0
1
21? 21
)(xf
x
将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。 )2/()( Ttr e c thtf ??
0
h
T? T
)(tf
t
偶函数
? ?? 0 c o s)()( ??? xdAxf
(1)
.
s i n2
c o s
2
c o s)(
2
)(
0 ?
?
?
???
?
????
?
?
T
dh
dfA
T
??
?
?
?
?
??
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
?
4,复数形式的傅里叶积分
.)(
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
2
)(
2
)(
s i n)(c o s)()(
0
0
00
00
00
?
??
??
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??
?
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????
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??????
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deF
deiBAdeiBA
deiBAdeiBA
d
i
ee
Bd
ee
A
xdBxdAxf
xi
xixi
xixi
xixixixi
?
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?
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)0()].()([
2
1
)0()],()([
2
1
)(
???
???
?
iBA
iBA
F dxexfF xi??
??
? *])[(2 1)( ???
)(xf
原函数
像函数 )(?F
表示为
)]([)( xfF F?? )]([)( 1 ?Fxf ?? F
F
原函数到像函
数的 正变换 1?F
像函数到原函数的
反变换
例 同前例
.
s i n
22
)2/(
2
1
)]([
?
?
????
?
??
?
Th
e
i
h
dte
h
dteTtr e c thxf
T
T
ti
T
T
ti
ti
???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?F
证明,
).()()(]')[(
}]')[(])({[
2
1
)(
2
1
)]('[
???
?
?
??
??
?
Fidxexfidxexf
dxexfexf
dxe
dx
xdf
xf
xixi
xixi
xi
? ?
?
?
?
??
?
??
??
?
??
??
??
?
?
??
?
??????
??
??F
0)(lim ???? xfx
5,傅里叶变换的基本性质
(1) 导数定理
)()]('[ ?? Fixf ?F
#
(2) 积分定理
)(1])([ )( ?? Fidxxfx ??F
)()()( xdxxfx ???
记
)()(' xfx ??
)]([)]('[ xix ??? FF ?
)]('[1)]([ xix ??? FF ?
则
由 导数定理
即 #
(3) 相似性定理 )(1)]([
aFaaxf
??F
通常将变换 f(x) f(ax) 称为 相似变换,它将测量
的 尺子的单位改变为原来单位的 1/a，相应地，测
量的长度值变为原值的 a 倍，而保持 函数的形式不
变 。有时也叫 尺度变换 。
).(
1
})(
2
1
{
1
1
)(
2
1
)(
2
1
)]([
a
F
a
dyeyf
a
dy
a
eyfdxeaxfaxf
a
y
i
a
y
iaxy
xi
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
??
???
??
?
F
#
证明
(4) 延迟定理 )()]([ 00 ?? Fexxf xi???F
x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了
x0。记作“延迟”是习惯说法。
证明
).(])(
2
1
[
)(
2
1
)(
2
1
)]([
00
0
0
00
?
?
??
???
???
Fedyeyfe
dyeyfdxexxfxxf
xiyixi
xiyi
xxy
xi
??
?
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?
??
?
??
??
?
?
??
??
????
?
??F
)()]([ 00 ??? ??? Fxfe xiF
证明 ).()(
2
1)]([
0
)( 00 ??
?
??? ??? ???
??? Fdxexfxfe
xixiF
#
(5) 位移定理 频域的位移
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
)()]([ 11 ?Fxf ?F )()]([ 22 ?Fxf ?F若 和
则 )()(2)]()([
2121 ??? FFxfxf ???F
卷积,
??? dxffxfxf )()()()( 2121 ??? ?
?
??
证明
).()(2)(
2
1
)(
2
1
2
])([)(
2
1
])()([
2
1
)]()([
2121
21
2121
???
?
??
?
?
??
?
???
?
???
???
?
?
FFdyyfedef
ddyyfeef
dxedxffxfxf
yii
yii
xy
xi
????
?
???
??
??
??
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
F
#
一维变换到高维
空间中的变换 三维
,),,(),,( 321)(321 321 dkdkdkekkkFzyxf zkykxki ??
?
????
zyx,,相互 独立 321,,kkk 也相互 独立
6,多重傅里叶积分
.),,()2( 1),,( )(3321 321 d x d y d zezyxfkkkF zkykxki ???
?
???? ?
矢量表示,)()( kdekFrf rki ??? ?????
?
?
.)()2( 1)( 3 rderfkF rki ??
? ???
?
???? ?
5.3 函数 ??
1,作为 广义函数 的引入
物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有
有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整
个空间，这个物理量的总量却为 有限。
函数作为密度被引入。
例如，电子电量是有限的 。
电子的半径的测量上限
随测量精度提高，上限越来越小，趋于零。
理论研究也得出电子半径为零的结果。
于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷
密度就由 函数来表示。
??
Ce 19106.1 ???
m1610?
??
数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限
一维 考虑线质量密度
l?
0
lm/
2/l? 2/l
)(xl?
x
? ?
?
?? ?
??
2/
2/
)(
l
l
l mdxl
mdxx?
全空间总质量
)()( lxr e c tlmxl ??
0?l 的 极限 ? ??
??
?
???
??,)()(l i m
0
mdxxdxxl
l
??全空间总质量不变
??
?
??
????
?? )0(.
)0(,0)(lim)(lim)(
00 x
x
l
xr e c t
l
mxx
lll
??
密度
??
?
??
??
)0(;
)0(,0)(
x
xx?
因此，作为广义函数引入 函数,??
?
?
?
??
??
??
)00(.1
)0,,0,(,0
)(
ba
baba
dxx
b
a
或
?
x
)( 0xx??
0x
0 则 )()( xmx ?? ?
?
?
?
??
???
)(;
)(,0)(
0
0
0 xx
xxxx?
?
?
?
??
?????
)0(.1
),,,(,0)(
0
00
0 bxa
xbaxbadxxxb
a
或?
又，对
00 x?
2,一些性质
(1) 偶 函数
).(')('
),()(
xx
xx
??
??
???
??从图形可以看出
(2) 阶跃函数 或亥 维赛单位函数
? ?? ??? ???? x xxdttxH )0(.1 )0(,0)()( ?
0 x
1
)(xH
.)()( dx xdHx ??
(3) 挑选性 对连续函数 )(?f
).()()( 00 tfdtf ???
?
??
????
(4) 表示连续量
持续于 [0,1] 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时间段
的冲量之和。各无穷小时段上的连续力的冲量可
以看作瞬时力 的冲量
?????? dtftfdF )()(1)()(
1
0
1
0
???? ??
)()( tf ???? ???? dtf )()( ?
0 1
t
??
?
)()( tf ????
(5) 复合函数
若 的实根 全部是单根，则 0)( ?x? ),3,2,1( ??kx k
? ??
k k
k
x
xxx
)('
)()]([
?
???
例;)()(
)(',0 11
a
xax axx ?? ? ?? ?
.2 )()()( 22 a axaxax ????? ???
aaxax
axaxaxaxax
xx
2)'()'(
,,0))((
21
2222
21
22
????
????????
3,其它表示
);(1lim)(
0 l
xr e c t
lx l ???;s i n1l i m)( xKxx
K ?
?
??
?
.1lim)( 22
0 x
x ??
? ?
?
?? ?
4,傅里叶变换
?
?
??
?,)()( ??? ? deCx xi
.2 12 1)(2 1)( 0 ????? ?? ??? ?
?
??
?? ixi edxexC
??
??
?,21)( ??? ? dex xi
例 阶跃函数的傅里叶变换
,)(
0
??? ??
??
??
dxdxxH
不满足傅立叶积分定理，不能直接
给出其傅立叶变换，必须采用某种
变通办法
定义函数系列,
??
?
?
?? ?
)0(.0
)0(,),(
x
xexH x??,显然
),(lim)( 0 ?? xHxH ???
????????
????
ieidxeexH
xixix
??????
???
?
??? 1
2
11
2
1
2
1)],([
0
)(
0
F
.
1
2
)(
2
1
)(lim
2
1
1
2
1
lim)],([lim)]([
22220
00
??
??
??
?
??
?
?
???
?
?
??
P
FF
i
i
i
xHxH
??
?
?
?
?
??
?
??
5,多维情况
??
?
??
??
)0(.
)0(,0)(
r
rr ????
???
?
?,1)( d xd yd zr??
).()()()( zyxr ???? ??
小结 A.傅立叶级数和傅立叶积分是 通过积分实现
的从时域到频域的 复变换,提供在 频域 表
示函数性质的方法。
B.周期函数变换为离散 级数,非周期函数变换
为 积分 。
C.傅立叶积分的若干性质,有利于其应用。
D,函数和阶跃函数。
??
利用三角级数的周期性来展开周期函数
5.1 傅里叶级数
? 周期函数的傅里叶展开；
? 奇函数和偶函数的傅里叶展开；
? 有限区间中的函数的的傅里叶展开；
? 复数形式的的傅里叶展开；。
复变项级数
,)()()()( 21
1
?? ??????
?
?
zzzz k
k
k ????
幂级数
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
1
( ) l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )
k
f z z z z k?
?
? ? ? ? ? ? ??L
2
1
( ) l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )k
k
f z z z z k?
?
? ? ? ? ? ? ??L
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是
固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须 a,改
变三角函数的周期为 2l。 b,组合各种周期的三角
函数 来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。
三角函数族,
??
??
,s i n,,
2
s i n,s i n
,c o s,,
2
c o s,c o s,1
l
xk
l
x
l
x
l
xk
l
x
l
x
???
???
1,周期函数 的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足
)()2( xflxf ??
l
xkk
l
xk
l
lk
l
xk
l
lxk ?????? c o s)2c o s ()2c o s ()2(c o s ??????
a,2l 周期性
b,按三角函数族展开
}.s inc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxf
k
kk
????
?
???
不同的函数形式由不同的组的 和 表示。
ka kb
l
xk?sin
同样
(5.1.3)
此为 傅里叶级数展开
三角函数组具有 正交性
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
??
???
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
nkdx
l
xn
l
xk
dx
l
xk
kdx
l
xk
.0s i nc o s
),(0s i ns i n
),(0c o sc o s
,0s i n1
),0(0c o s1
??
??
??
?
?
(5.1.4)
因此
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
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??
?
?
??
?
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d
l
k
f
l
b
d
l
k
f
l
a
l
lk
l
l
k
k (5.1.5)
0
1
0
1
1
2
1
( ) c o s
1
[ { c o s sin }] c o s
1
c o s
1
c o s c o s
1
sin c o s
1 1 1
c o s [ 1 c o s 2
2
l
k
l
k
l
kk
l
kk
l
l
k
l
k
l
kk
l
k
l
kk
l
kk
l
kk
k
a f d
ll
k x k x k
a a b d
l l l l
k
ad
ll
k x n
ad
l l l
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bd
l l l
k x k x
a d a
l l l l
??
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? ? ?
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]
1 1 1 2
22
l
l
l
k
kk
l
k k k
d
al
a d a
ll
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
此为 傅里叶系数
此外，三角函数族还有 完备性,即这个函数族 足
够展开任何周期函数 。
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就
有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下
完全一致
狄里希利定理
若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周
期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只
有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且
其中
?
?
?
?
?
?
)0(1
)0(2
k
k
k?
??
?
?
?
???
?
)() },0()0({
2
1
)(),(
)3.1.5(
xxfxf
xxf
在间断点
在连续点
例 交流电压 经过半波整流后的傅立
叶级数。 tEtE ?s in)( 0?
解 周期为
?
?2
?
?
?
?
?
?
?
],0[s in
]0,[0
)(
0
?
?
?
?
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tE
tE
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
?? ?????
????
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???
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/
0
0/
0 0
)1s i n ()1[ s i n (
2
c o ss i n1 t d tktkEt d tktEa k
,02c o s42s i n2 /00/001 ???? ? ???? ????? tEt d tEa
??
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????
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.2
])2(1[
2
120
]
1
1
1
)1(
1
1
1
)1(
[
2
]
1
)1c o s (
1
)1c o s (
[
2
)1s i n ()1[ s i n (
2
2
0
11
0/
0
0
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nk
n
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nk
kkkk
E
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k
tkE
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a
kk
k
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?
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}.s inc o s{)(
1
0 tkbtkaatE
k
kk ???
?
?
???
,
2
s i n
2
]s i n0[
2
1 0/
0 0
0
/
/
0 00 ?
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??
?
?
??
??
?? Et d tEt d tEdta ???? ?? ?
?
,201 Eb ? 和 0?
kb
.2c o s
)2(1
12s in
2
)(
1
2
000 ?
?
? ?
???
n
tn
n
EtEEtE ?
?
?
?
频谱 各个频率分量的幅度
频率 0 ? ?2
?4 ?6
?0
E
幅度
?3
2 0E
?35
2 0E
?15
2 0E
2
0 E
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，
叫在 时域 中的表示的性质。而频谱表示这种性质在
频域 中的表示。
因此，傅里叶级数也是一种从 时域到频域的变换 。
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
频
率
0 ? ?2 ?4 ?6
?0E
幅
度
?320E ?3520E?1520E
2
0 E
2.奇函数和偶函数 的傅里叶展开
l
xk?sin 是奇函数,
l
xk?cos 是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
,s in)(
1 l
xkbxf
k
k
???
?
? 其中,s i n)(1 ???? dlkflb l
lk ???
偶函数 f(z) 有
,c o s)(
1
0 ?
?
?
??
k
k l
xkaaxf ?其中,c o s)(1 ????
? dl
kf
la
l
lkk ??
?
例
)(xf
x
1
1?
0
??
?
?2
??
?
??
???
)2,)12((1
))12(,2(1)(
??
??
mm
mmxf
周期 ?2
矩形波
奇函数
,s in)(
1 l
xkbxf
k
k
???
?
?
.124
,20
])1([2]c o s[2s i n)(2 0
??
???
??
?
???????? ?
? nk
k
nk
k
k
k
d
l
kfb kl
lk
??
?
?
????
?
?
.)12s i n ()12( 4)(
0
xnnxf
n
??? ?
?
? ?
频域中的图示由你们给出
3,有限区间中的函数 的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0,l),
可以认为它是某个 周期为 2l 的函数 在半个周期中的
部分。即令此 周期函数为 g(x),在半周期 (0,l) 中
g(x)=f(x),这种做法叫 延拓。
例
)(),( xgxf
x
)(),( xgxf
x
偶延拓
)1,0(,)( xxf ?
奇延拓
4,复数形式 的的傅里叶
????,,,,1,,,,l
xki
l
xi
l
xi
l
xki
eeee
???? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
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i
ee
ee
l
xk
l
xk
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
l
xk
i
2
2
s in
c o s
??
??
?
?
,)( ?
?
???
?
k
l
xki
k ecxf
? 其中
.][)(
2
1 * ?? ? def
l
c l
xkil
lk ??
?
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?
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????????
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).12(
)12(
2
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]}1)1[(])1(1{[
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
0
0
0
0
nk
ni
nk
ik
e
ik
e
ik
dededefc
kki k xi k x
i k xi k xi k x
k
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
,12 12)( )12(?
?
???
?
?? n
xnie
nixf ?
例 矩形波
??
?
??
???
)2,)12((1
))12(,2(1)(
??
??
mm
mmxf,)( ??
???
?
k
i k x
k ecxf
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域
到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，
频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周
期性，到频域的 变换如何实现？ 频域的函数形式 又
是什么样的呢？
有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期
性的时域中的函数的定义域当为 。从方
便于研究而言，它又可以看作为 周期趋于无穷大 的函数。????? x
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
1,傅里叶积分
令：,,
1 ll
k
kkkk
?????? ?????
?
.}s inc o s{)(
1
0 kk
k
kkk xbxa
laxg ???
? ???? ?
?
?
则
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
????
????
?
df
l
b
df
l
a
k
l
l
k
k
l
l
k
k
}.s i nc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxg
k
kk
????
?
???
(5.2.1)
若 有限，则
?? dfl ll ???? )(lim,0)(21limlim 0 ?? ?????? ?? dfla l lll
.c o s]c o s)(
1
[
}c o sc o s)({
1
l i m
}c o sc o s)(
1
{l i m
0
1
0
1
??????
?
??????
?
??????
??
?
xddf
xdf
xdf
l
l
k
k
kk
l
l
k
k
kk
l
l
k
l
k
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
?
??
?
(5.2.1)中的余弦部分的极限为,
同理，正弦部分的极限为,
.s i n]s i n)(
1
[
s i ns i n)(
1
lim
0
1
??????
?
??????
?
xddf
xdf
l
l
k
kkk
l
l
k
l
??
??
?
??
?
?
?
?
??
?
＝
故
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
其中
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.4) 是 f(x) 的 傅里叶积分, (5.2.5) 为它的 傅里叶变换 。
)(),()( ?? BAxf ?
为某函数 从时域到频域的变换 。频域中的函数可能是
连续的 。
傅里叶积分定理,若函数 f(x) 在区间 上满足
条件 (1) 在任意有限区间满足狄里希利条件； (2) 在区间
上绝对可积 （即 收敛）,
则 f(x) 可表为傅里叶积分，且
傅里叶积分值 =
??
?
??? 2/)]0()0([
)(
xfxf
xf
),( ???
???? dxxf )(
2,振幅谱和相位谱
又可写
,)](c o s [)()( 0? ? ?? ????? dxCxf ) ],(/)([)( },)]([)]({[)( 1
22
????
???
ABtg
BAC
??
??
)(
)(
??
?C
为 振幅谱
为 相位谱
连续点
间断点
3,奇、偶函数
.c o s)(
2
)(
,c o s)()(
0
0
????
?
?
???
dfA
xdAxf
?
?
?
?
?
?
.s i n)(
2
)(
,s i n)()(
0
0
????
?
?
???
dfB
xdBxf
?
?
?
?
?
?
偶函数
奇函数
例
?
?
?
?
?
?
?
?
).
2
1
(,0
),
2
1
(,1
x
x
r e c tx
定义矩形函数为
0
1
21? 21
)(xf
x
将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。 )2/()( Ttr e c thtf ??
0
h
T? T
)(tf
t
偶函数
? ?? 0 c o s)()( ??? xdAxf
(1)
.
s i n2
c o s
2
c o s)(
2
)(
0 ?
?
?
???
?
????
?
?
T
dh
dfA
T
??
?
?
?
?
??
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
?
4,复数形式的傅里叶积分
.)(
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
)]()([
2
1
2
)(
2
)(
s i n)(c o s)()(
0
0
00
00
00
?
??
??
??
??
?
??
??
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????
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??????
??????
????
??????
?
??
??
????
deF
deiBAdeiBA
deiBAdeiBA
d
i
ee
Bd
ee
A
xdBxdAxf
xi
xixi
xixi
xixixixi
?
?
?
?
?
??
??
?
)0()].()([
2
1
)0()],()([
2
1
)(
???
???
?
iBA
iBA
F dxexfF xi??
??
? *])[(2 1)( ???
)(xf
原函数
像函数 )(?F
表示为
)]([)( xfF F?? )]([)( 1 ?Fxf ?? F
F
原函数到像函
数的 正变换 1?F
像函数到原函数的
反变换
例 同前例
.
s i n
22
)2/(
2
1
)]([
?
?
????
?
??
?
Th
e
i
h
dte
h
dteTtr e c thxf
T
T
ti
T
T
ti
ti
???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?F
证明,
).()()(]')[(
}]')[(])({[
2
1
)(
2
1
)]('[
???
?
?
??
??
?
Fidxexfidxexf
dxexfexf
dxe
dx
xdf
xf
xixi
xixi
xi
? ?
?
?
?
??
?
??
??
?
??
??
??
?
?
??
?
??????
??
??F
0)(lim ???? xfx
5,傅里叶变换的基本性质
(1) 导数定理
)()]('[ ?? Fixf ?F
#
(2) 积分定理
)(1])([ )( ?? Fidxxfx ??F
)()()( xdxxfx ???
记
)()(' xfx ??
)]([)]('[ xix ??? FF ?
)]('[1)]([ xix ??? FF ?
则
由 导数定理
即 #
(3) 相似性定理 )(1)]([
aFaaxf
??F
通常将变换 f(x) f(ax) 称为 相似变换,它将测量
的 尺子的单位改变为原来单位的 1/a，相应地，测
量的长度值变为原值的 a 倍，而保持 函数的形式不
变 。有时也叫 尺度变换 。
).(
1
})(
2
1
{
1
1
)(
2
1
)(
2
1
)]([
a
F
a
dyeyf
a
dy
a
eyfdxeaxfaxf
a
y
i
a
y
iaxy
xi
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
??
???
??
?
F
#
证明
(4) 延迟定理 )()]([ 00 ?? Fexxf xi???F
x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了
x0。记作“延迟”是习惯说法。
证明
).(])(
2
1
[
)(
2
1
)(
2
1
)]([
00
0
0
00
?
?
??
???
???
Fedyeyfe
dyeyfdxexxfxxf
xiyixi
xiyi
xxy
xi
??
?
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??? Fdxexfxfe
xixiF
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(5) 位移定理 频域的位移
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
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则 )()(2)]()([
2121 ??? FFxfxf ???F
卷积,
??? dxffxfxf )()()()( 2121 ??? ?
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证明
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1
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2121
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一维变换到高维
空间中的变换 三维
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zyx,,相互 独立 321,,kkk 也相互 独立
6,多重傅里叶积分
.),,()2( 1),,( )(3321 321 d x d y d zezyxfkkkF zkykxki ???
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矢量表示,)()( kdekFrf rki ??? ?????
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.)()2( 1)( 3 rderfkF rki ??
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5.3 函数 ??
1,作为 广义函数 的引入
物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有
有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整
个空间，这个物理量的总量却为 有限。
函数作为密度被引入。
例如，电子电量是有限的 。
电子的半径的测量上限
随测量精度提高，上限越来越小，趋于零。
理论研究也得出电子半径为零的结果。
于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷
密度就由 函数来表示。
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Ce 19106.1 ???
m1610?
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数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限
一维 考虑线质量密度
l?
0
lm/
2/l? 2/l
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x
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2/
)(
l
l
l mdxl
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全空间总质量
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0
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l
??全空间总质量不变
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x
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因此，作为广义函数引入 函数,??
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baba
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b
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0x
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),,,(,0)(
0
00
0 bxa
xbaxbadxxxb
a
或?
又，对
00 x?
2,一些性质
(1) 偶 函数
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),()(
xx
xx
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??
???
??从图形可以看出
(2) 阶跃函数 或亥 维赛单位函数
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0 x
1
)(xH
.)()( dx xdHx ??
(3) 挑选性 对连续函数 )(?f
).()()( 00 tfdtf ???
?
??
????
(4) 表示连续量
持续于 [0,1] 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时间段
的冲量之和。各无穷小时段上的连续力的冲量可
以看作瞬时力 的冲量
?????? dtftfdF )()(1)()(
1
0
1
0
???? ??
)()( tf ???? ???? dtf )()( ?
0 1
t
??
?
)()( tf ????
(5) 复合函数
若 的实根 全部是单根，则 0)( ?x? ),3,2,1( ??kx k
? ??
k k
k
x
xxx
)('
)()]([
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例;)()(
)(',0 11
a
xax axx ?? ? ?? ?
.2 )()()( 22 a axaxax ????? ???
aaxax
axaxaxaxax
xx
2)'()'(
,,0))((
21
2222
21
22
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????????
3,其它表示
);(1lim)(
0 l
xr e c t
lx l ???;s i n1l i m)( xKxx
K ?
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.1lim)( 22
0 x
x ??
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4,傅里叶变换
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.2 12 1)(2 1)( 0 ????? ?? ??? ?
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?? ixi edxexC
??
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?,21)( ??? ? dex xi
例 阶跃函数的傅里叶变换
,)(
0
??? ??
??
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dxdxxH
不满足傅立叶积分定理，不能直接
给出其傅立叶变换，必须采用某种
变通办法
定义函数系列,
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?
?? ?
)0(.0
)0(,),(
x
xexH x??,显然
),(lim)( 0 ?? xHxH ???
????????
????
ieidxeexH
xixix
??????
???
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2
11
2
1
2
1)],([
0
)(
0
F
.
1
2
)(
2
1
)(lim
2
1
1
2
1
lim)],([lim)]([
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00
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P
FF
i
i
i
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5,多维情况
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)0(.
)0(,0)(
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rr ????
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?,1)( d xd yd zr??
).()()()( zyxr ???? ??
小结 A.傅立叶级数和傅立叶积分是 通过积分实现
的从时域到频域的 复变换,提供在 频域 表
示函数性质的方法。
B.周期函数变换为离散 级数,非周期函数变换
为 积分 。
C.傅立叶积分的若干性质,有利于其应用。
D,函数和阶跃函数。
??
