第二章 复变函数的积分
定义沿曲线 的积分为极限
2.1 积分
l
x
y
kk zzz ??? ?1
O
z
l
Az ?0
Bzn ?
v
u
?
O
kkk ivuzf ??)(
?l dzzf )(
性质,
1.常数因子可以移到积分号外。
2.函数的和的积分等于各函数积分之和,
3.反转积分路径，积分反号,
4.全路径上的积分等于各段上积分之和。
dyyxudxyxvi
dyyxvdxyxudzzf
l
ll
),(),(
),(),()(
?
??
??
??或
).()(lim)( 1
0
?
???
?? ?? kk
n
k
knl zzfdzzf ?
可看作实矢量场的积分
沿 y=x (1 ),z x iy i x? ? ? ?
(1 ),d z i d x??
1122
00( ) ( ) ( 1 ),
i x i y d z x i x i d x? ? ? ? ???
32
1
0
11( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
3 2 3 2
xxi i i i? ? ? ? ? ?
15
66i? ? ?
z
沿 3yx? 32,(1 3 )z x ix d z ix d x? ? ? ?
112 2 3 2
00( ) ( ) ( 1 3 ),
i x i y d z x i x i x d x? ? ? ? ???
1 2 5 3 4
0 ( 3 3 ),x x i x i x d x? ? ? ??
3 6 4 5
1
0
3 3 1 3 3()
3 6 4 5 3 6 4 5
x x ix ix i i? ? ? ? ? ? ? ?
1 17
6 20i? ? ?
柯西定理
由于复变函数可以看作平面上的实矢量场，它的积分可以
应用实矢量场的积分来研究闭路 l 上的积分
d x d yx vyudyyxvdxyxu
lSl ??? ?
???
?
??? )(),(),(
0????????????? xvyux vyu
x
v
y
u
?
?
?
?,连续，且
?
0),(),( ??? dyyxvdxyxul
同理
y
v
v
u
?
?
?
?,连续，且
0?????? xuyv ? 0),(),( ??? dyyxudxyxv
l
在 S
这两个条件就是柯西－黎曼公式。因此
柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的
积分为零 。
奇点 复变函数不可导的点。
孤立奇点 复变函数在其有限小邻域可导的奇点。
含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，
使原区域变为 复通区域
E
B
C
D
1l
l
F
?
在 A 围成的区域中含 的孤
立奇点,引入曲线 将此
奇点挖掉,余下的区域（复
连通区域）中解析。
)(zf
)(zf
? l
由柯西定理
? ?
A B C D B A E F A
dzzf,0)(
或
.0)()()()(
1
???? ????
lBAlAB
dzzfdzzfdzzfdzzf
又
.0)()(
1
?? ??
ll
dzzfdzzf,0)()( ?? ??
BAAB
dzzfdzzf ?
,)()(
1
?? ??
ll
dzzfdzzf ?,)()(
1
??
?
?
ll
dzzfdzzf
与 方向相反，但与 方向相同。 l
1l 1l?
B
C
D
1l
l
F
?
2.2,柯西定理
1,闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2,闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积
分和为零。
3,闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分
等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。
固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分
?
A
B
?
?
R
RC
l
lS
.
,1
,0
2
1
?
?
?
?
??
?? l
l
l S
S
z
dz
i ?
?
??
并且
? ??l n dzz,0)( ?
整数 1??n
一个公式
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???
???
?
?
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?
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?
?
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?
?
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2
0
2
0
2
Re
Re
Re
)Re(
idi
di
d
z
dz
z
dz
i
i
C i
i
Cl RR
2 sinzz? 全平面解析，积分
只与起、终点有关。改沿实轴
32
2
0
8( s in ) c o s 2 1
3
aI x x d x a? ? ?? ? ? ? ??
2.3 不定积分
由柯西定理，在 单通区域,解析函数 沿任意路
径的积分只与起点与终点有关 。
于是在这样的区域中，任意选取两点作起点和
终点，唯一确定了复变函数的一
个积分值。或者说，对于固定起点,积分
??
z
z
dfzF
0
)()( ??
0z
是积分上限 的 单值函数 。并且可以证明这
是解析函数，有 。即它是原函数。
并且,
z
)()(' zfzF ?
例 计算
? ?? l n dzzI,)( ?
a,在回路之外，无论何 n 此积分为零。 ?
b,在回路之内，,被积函数解析，积分
为零。
? 0?n
c,在回路之内，, 将回路变形为以
为圆心的半径为 的圆。积分变为
0?n? ?
R C
).()()( 12
2
1
zFzFdf
z
z
??? ??
故
? ????? l n ndzzI,1,0)( ?
? ??? ????? l
l
l
Si
S
z
dzI
)(.2
)(,0
??
?
?
?
?
?
?
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???
?
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??????
?
?
????
??
? ? ?
1.2
1,0
1
)Re()()(
2
0
)1(
1
2
0
)1(1
2
0
)1(1
ni
n
n
e
R
ideRideR
deRdzzdzzI
ni
n
ninnin
l C C
iinnnn
?
??
???
?
?
?
?
?
?
??
1,20z ?? 2z ?? 在 C 外
2,
c o s 0,12zz ?? ? ?
3,11
0,122zz? ? ? ?
22 5 2 ( 2 1 ) ( 2 ) 0z z z z? ? ? ? ? ?4,
1
2 1 0,,
2
2 0,2
zz
zz
? ? ?
? ? ?
0
0
2iπ
22 5 2 ( 2 1 ) ( 1 )CC
d z d z
z z z z?? ? ? ???蜒
1 1 1()
132
2
C
dz
zz
??
????
1 2
3 i??
2.4 柯西公式
1.若 在闭单通区域 上解析,为 的境界线,
为 内任一点，则有 柯西公式
)(zf B B
B
l ?
.)(2 1)( ? ?? l dzz zfif ???
证明
.)(2 112 )()( ?? ???? ll dzzfidzziff ???????
由 ?
??
?
?
??
?? l l
l
Si
S
z
dzI
)(.2
)(,0
??
?
?
有
为函数 的 奇点 。以 为圆心,为半径作
圆,函数 为单值解析函数，且
? ???z fzf )()( ? ?
?C
.)()()()( ?? ?????
? ?
?
?
?
Cl dzz
fzfdz
z
fzf
?
? ???z fzf )()(
2,导数公式
.)( )(2 !)( 1)( ? ???
l n
n dz
z
f
i
nzf
?
?
?
证明自然完成
??? ?? ?
?
2)()(m a x)()( fzfdzz fzf
C
??
?
??
.0)()(m a xli m2)()(li m
00
?????
?? ?
??? ?
?? ?
fzfdzz fzf
C
作数值估计
故
.0)()( ????l dzz fzf ? ?