总复习－ V
例题
1,指出 z a z b c? ? ? ? 在复平面上轨迹；
a b c??
a b
a b c??
线段 a b c??
不存在
2,在 是不是解析函数
4 4 2 2( ) ( )z x y i x y x y? ? ? ? ?
44u x y??a,
22
22
22 1 2 ( ) 0
uu xy
xy
?? ? ? ? ?
??
5z ?
b,
324,2 ( )uvx x y x
xy
??? ? ?
3,计算积分
2
2
z
z
e dz
iz ?? ???
22 ()
22
zz
zz
eedz dz
iizz???? ?? ? ???蜒 22
i z?? ? ?
222iie ??????
ze
解析
4,
233
21
( 1 )z
z dz
zz?
?
???
2 3 3 2 23 3 3
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )z z z
z z d z d zdz
z z z z z z? ? ?
??? ? ?
? ? ?? ? ?蜒
33 2 [ R e (0 ) R e (1 ) ]( 1 )z
dz i s s
zz ?? ?????
03
1R e (0 ) 1
( 1 ) zs z ?? ? ??
2 3
112
1 1 1R e ( 1 ) ( ) ( 2 ) 1
22 zz
dsz
d z z
?
??? ? ? ? ?
33 4( 1 )z
dz i
zz ?? ?????
223 2 [ R e (0 ) R e ( 1 ) ]( 1 )z
dz i s s
zz ?? ?????
0023
11R e ( 0 ) 2 2
( 1 ) ( 1 )zz
ds
d z z z??? ? ? ???
23
11Re ( 1 ) ( ) ( 2) 2zz
ds z z
dz
??
??? ? ? ? ?
223 0( 1 )z
dz
zz? ????
233
21 4
( 1 )z
z d z i
zz ??
? ??
???
5,
nnnz?
的收敛半径
11l im l im 0
n nnnR nn? ? ? ?? ? ?
! n
n
n z
n?
1
! ( 1 ) ! 1 1l im / l im ( )
( 1 ) 1
n
nnnn
n n n nRe
n n n n?? ? ? ?
? ? ?? ? ?
??
6,
12
1( 1) zze?? 在除 z=1的区域的罗朗级数
11
2 2 211
0
( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
!
n
nzz
n
z e z e z zn? ???
?
?? ? ? ? ? ??
2
2
0
( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )
! ( 2 ) !
nn
nn
nn
zznn ??
? ? ? ?
??? ? ? ?
????
7,计算
40 16
dx
x
?
?? 4 4 4 2 20
2 / 2 2 / 2
/ 4 / 4 / 4 / 4
11
1 6 2 2 2 ( 4 ) ( 4 )
1
2 ( 4 ) ( 4 )
1
2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
ii
i i i i
d x d x d x
x x x i x i
dx
x e x e
dx
x e x e x e x e
??
? ? ? ?
? ? ?
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?
?
??
?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
上半平面极点
/ 4 3 / 42 [ R e (2 ) R e (2 ) ]iii s f e s f e?????
/ 4 / 4
/ 4 3 3 / 4 3
1 1 1 1 22 [ ] [ ]
2 4 ( 2 ) 4 ( 2 ) 3 2 3 2
ii
iii i e eee
??
??? ? ?
?? ? ? ? ? ?
7,已知 ( ) [ ( )]p L t???,求
0 ()
ta t ae e d?? ? ?? ? 的像函数
0[ ( ) ]
ta t aL e e d?? ? ?? ?
卷积
8,求解
0s i n ( ) s i n ( ) ( )
ta t t t d? ? ? ? ? ? ?? ? ??
0[ s i n ] [ ( ) ] [ s i n ( ) ( ) ]
tL a t L t L t d? ? ? ? ? ? ?? ? ??
2 2 2 2( ) ( )
a pp
pp
??????
??
22[ ( ) ] ( )a p p? ? ? ?? ? ?
2
22 2 2 2 2() ()
aap
p p
? ? ? ??
?? ? ? ? ?
???
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2
2( ) s i n
att?? ? ?
?????
()
0
()[ ( ) ] [ ] ( )t a t a t pL e d L e p
pa
? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?
??
1??
2()
ap
p? ?
()t at? ?
9,长 l 细干两端恒温零度，初始时温度分布为
0
0
0
0
2
2
t
x l
T x
lu
l x l
T x l
l
?
? ??
??
? ?
??
??
??
求温度。
22
0
s inn a tn
n
nxu a e
l
??
?
? ?
0
00
0
0
2si n
2
n
tn
x l
T x
nx l
a
l x ll
T x l
l
?
??
? ??
??
? ?
??
??
??
?
/20
0 / 2[ sin ( ) sin ]
ll
n l
T n x n xa x dx l x dx
l l l
??
?? ? ???
/ 2 / 2/2
000s in [ c o s ] c o s
ll ln x l n x l n xx d x x d x
l n l n l
? ? ?
??? ? ???
2
22( 1 ) ( 1 )2 2 ( 2 1 )
kkl l l
kk??? ? ? ? ??
/ 2 / 2 / 2( ) sin sin sin
l l l
l l l
n x n x n xl x d x l d x x d x
lll
???? ? ?? ? ?
2 2 2
/2/2 s i n c o s ( 1 ) ( 1 )2
l l n k
ll
n x l n x l ll d x
l n l n k
??
? ? ?? ? ? ? ? ??
2/ 2 / 2
/2 sin c o s ( ) sin
l ll
l
n x l n x l n xx d x x
l n l n l
? ? ?
??? ? ??
22 2
2
1( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
4 ( 2 1 )
n k kl l l
n k k? ? ?? ? ? ? ? ??
10,半径 a的球表面温度
(1 c o s )rauT ?? ??
求球内稳定温度分布
0u??
0
( c o s )lll
l
u A r P ??
?
? ?
0
(1 c o s ) ( c o s )lr a l l
l
u T A a P????
?
? ? ? ?
01,,0,( 1 )lA T A a T A l? ? ? ? ?
(1 c o s )ruT a ???
轴对称，故
11,用傅立叶积分变换解
0xxu xu??
2[ ] [ ]xxF u F u??? []
[ ] [ ] d F uF x u i F i x u i d ?? ? ?
2[] [ ] 0dF ui F u
d ?? ??
3
3[] iF u C e
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3
3i i xu C e d
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