本征值问题
9.1 特殊函数的常微分方程
在三维空间使用球座标或柱座标。
球极座标 ??,,r
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
边界
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
柱坐标,,z??
一,正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
直角坐标系中的 拉普拉斯算子,
2
2
2
2
2
2
zzx ?
??
?
??
?
???
柱座标,
)(1)(1 2
2
2 zz ?
?
?
??
?
??
?
?
?
???
??????
2
2
222
2
2 s i n
1)( s i n
s i n
1)(1
?????? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
rrrrrr
球座标
（见附录 6）
二,拉普拉斯方程 的 分离变量
1,球座标,
0s i n1)( s i ns i n1)(1 2222222 ????????????? ?????? ururrurrr
分离变量 ),()(),,( ???? YrRru ?
0s i n)( s i ns i n)( 2
2
222
2
2 ??
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??????
Y
r
RY
r
R
r
Rr
rr
Y
)1(s i n1)( s i ns i n1)(1 2
2
2
2 ??
?
??
?
?
?
???
?
?
?
? llY
Y
Y
Yr
Rr
rR ??????
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
0)1(s in 1)( s i ns in 1 2
2
2 ????
??
?
?
?
? YllYY
??????
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
0)1(s in 1)( s i ns in1 222 ?????????? YllYY ??????
欧拉形方程
1)( ??? l
l
r
DCrrR
a,
解,
2
1 )1()('
?
? ???
l
l
r
DlC lrrR
])[1(]')1([) ] '('[ 112 ?? ?????? llll r DCrllrDlC lrrRr
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
＃
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
b,球方程 )()(),( ???? ???Y再令
0)1(s i n)( s i ns i n 2
2
2 ?????
????? ll
d
d
d
d
d
d
??????
01s i n)1()( s i ns i n 2
2
2 ??
?????
?
? ?????
?
d
dll
d
d
d
d
02
2
???? ??dd
0]s in)1([)( s i ns in 2 ?????? ?????? lldddd
0)1(s in 1)( s i ns in 1 2
2
2 ????
??
?
?
?
? YllYY
??????
02
2
???? ??dd
0]s in)1([)( s i ns in 2 ?????? ?????? lldddd
b1,自然的周期边界条件,
)()2( ??? ???? ?,2,1,02 ?? mm?
??? mBmA mm s i nc o s)( ???
b2,l-阶缔合 勒让德 方程
?cos?x
xxxx
x
?
????
?
???
?
?
?
??
?
? )1(s i ns i ns i n 22 ?
????
0])1)(1([])1[()1( 2222 ????????? mxlldxdxdxdx
0]1)1([])1[( 222 ???????? xmlldxdxdxd
b3,l-阶 勒让德 方程
u 是轴对称的，对 φ的转动不改变 u 。
0?m
0)1(2)1( 2
2
2 ???????? ll
dx
dx
dx
dx
)()s inc o s)((),,( 1
0
????? ???? ?
?
?? mBmArDrCru mml lll
ml
2,柱座标,
)()()(),,( zZRzu ???? ??
0))( 2
2
2
2
2 ???
???
dz
ZdR
d
dRZ
d
dR
d
dZ
??????
0)(1)(1 2
2
2 ??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
z
u
z
uu
??????
02
2
???? ??dd
?????? ??? 2
22
2
22
dz
Zd
Zd
dR
Rd
Rd
R
分离变量
a,
?,2,1,02 ?? mm?
??? mBmA mm s i nc o s)( ???
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
????? ?????? 222222 111 dz ZdZmddRRd RdR
b,0'' ?? ZZ ?
0)(1 2
2
2
2
???? RmddRd Rd ?????
c1,
0??
DzCZ ??
m
m
BA ?
???
'' 0Z ?
22
22
1 0d R d R m R
dd? ? ? ?? ? ?
2
22
2 0
d R d R mR
dd????? ? ?
2( ) 0d d R mR
dd???? ??
2
2
2 0( ln )
dR mR
d ? ??
ln lnmmR A e B e?????
c2,0??
c2.1,0??
zz DeCeZ ?? ???
???x
0)1(1])(1[1 2
2
2
2
2
2
2
2
???????? RxmdxdRxdx RdRmddRd Rd ??????
贝塞耳 方程
上下底的 非齐次 边界条件
0)(1 2
2
2
2
???? RmddRd Rd ?????
0'' ?? ZZ ?
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
0??c2.2,
?hx?
)s i n ()c o s ( hzDhzCZ ??
???2h
0)1(1 2
2
2
2
???? RxmdxdRxdx Rd
虚宗量 贝塞耳 方程
上下底的 齐次 边界条件
0'' ?? ZZ ?
2'' 0Z h Z??
22
21 ( ) 0d R d R mhR
dd? ? ? ?? ? ? ? ?
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
三,波动方程 的 分离变量
02 ??? uau tta,令
)()(),( rvtTtru ?? ?
0'' 2 ??? vTavT
0''2 ??? vvTaT
2
2
'' k
v
v
Ta
T ????
0'' 22 ?? TkaT
02 ??? vkv
振动 方程
亥姆霍兹 方程
四、热传导方程的 分离变量
02 ??? uau t
a,令
)()(),( rvtTtru ?? ?
0' 2 ??? vTavT
0'2 ??? vvTaT
0' 22 ?? TkaT
02 ??? vkv 亥姆霍兹 方程
增长 或 衰变 的方程
五,亥姆霍兹 方程
1,球座标
0s i n1)( s i ns i n1)(1 22222222 ?????????????? vkvrvrrvrrr ??????
),()(),,( ???? YrRrv ?
0s i n)( s i ns i n)( 22222222 ?????????????? RYkYr RYr RrRrrrY ??????
0)1(s in 1)( s i ns in1 222 ?????????? YllYY ??????
0)]1([)( 222 ???? RllrkdrdRrdrd 球贝塞耳 方程
krx ?
0)]1([)( 22 ???? RllxdxdRxdxd
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
0)]1(['''41 2/122/32/12/1 ??????? ?? yxllxyxyxyx
)()( 2/1 xyxrR ??
'21' 2/12/3 yxyxR ?? ??? '''41]''21[]''[ 2/32/12/12/32/12 yxyxyxyxyxRx ??????? ?
0)]1(['''41 2212 ??????? ??? yxllxyyxyx
0])21([''' 222 ????? ylxxyyx 它是 阶 贝塞耳 方程 21?l
0)]1([)( 22 ???? RllxdxdRxdxd
2,柱座标
0)(1)(1 22
2
2 ???
?
?
??
?
??
?
?
?
? vk
z
v
z
vv
??????
)()()(),,( zZRzv ???? ??
02
2
???? ??dd
0'' ?? ZZ ?
0)(1 2
2
2
2
2
????? RmkddRd Rd ?????
?,2,1,02 ?? mm?
??? mBmA mm s i nc o s)( ???
上下底的 齐次 边界条件
0??
?22 hkx ??
)s i n ()c o s ( hzDhzCZ ?????2h
0)(1 2
2
22
2
2
????? RmhkddRd Rd ????
0)1(1 2
2
2
2
???? RxmdxdRxdx Rd ),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
9.2 常点邻域的级数解法
线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。
0)(')('' ??? yxqyxpy 1000 )(',)( CxyCxy ??
对于复变函数,
0)()(22 ??? zqdzdwzpdz wd 1000 )(')( CzwCzw ??
一、定义
方程的 常点, 和 在其邻域解析。否则为 奇点 。 0z )(zp )(zq
二、常点邻域的级数解
定理, 方程的 常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在
唯一点解析解 满足初始条件 。
0z )(zp )(zqRzz ?? 0
)(zw 1000 )(',)( CzwCzw ??
由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数,
k
k k
zzazw )()( 0
0
?? ??
?
三、勒让德方程度级数解法
0)1('2'')1( 2 ????? yllxyyx
01 )1('1 2'' 22 ?????? yxllyxxy
化为标准形式,
21
2)( xxxp ??
21
)1()( xllxq ???
1??x 是方程度奇点
在 点的邻域,00?x 0)( 0 ?xp )1()( 0 ?? llxq
k
k k
xaxy ??
?
?
0
)( 1
1
)(' ??
??
? k
k k
xkaxy 2
2
)1()('' ??
??
?? k
k k
xakkxy
1.级数解
带入方程
0)1(2)1()1(
0
1
1
2
2
2 ?????? ??? ?
?
??
?
??
?
k
k k
k
k k
k
k k
xallxkaxxakkx
或
0)1(2)1()1(
012
2
2
??????? ???? ?
?
?
?
?
?
??
?
k
k k
k
k k
k
k k
k
k k
xallxkaxakkxakk
0)]1)(2(2)1()1([
]26)1([]2)1([
2
13120
?????????
??????
??
?
k
k
k xakkkkkll
xaaallaall
0})]1)(2(]2)1()1({[
]26)1([]2)1([
2
2
13120
?????????
??????
??
?
?
k
k
kk xakkakkkll
xaaallaall
02)1( 20 ??? aall
026)1( 131 ???? aaall
?
0)]1)(2(]2)1()1([ 2 ???????? ?kk akkakkkll
kk akk kklla )1)(2( )1()1(2 ?? ??????
递推公式
02 2 )1( alla ???
13 6 )1)(3( alla ???系数的 两
个 序列
? ?
两个积分常量－
kkk akk llkkakk kklla )1)(2( )1()1()1)(2( )1()1(2 ?? ?????? ??????
22 )1( )1())(1()1)(2( )1()1( ?? ? ?????? ????? kk akk llkkkk llkka
22 )1( )1())(1()1)(2( )1()1( ?? ? ?????? ????? kk akk llkkkk llkka
1??x 是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？
2,解的收敛性 1??x
可以证明，当解 是无穷级数时,不可能在两点同时收敛 。 k
k k
xaxy ??
?
?
0
)(
如果解是 多项式,即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。
kk akk llkka )1)(2( )1()1(2 ?? ?????
由系数的递推关系 可知,
当 是偶数，则偶次项的系数在 以后为零。而奇次项的系数在 时为零。 lk? 0
1?al
当 是奇数，则奇次项的系数在 以后为零。而偶次项的系数在 时为零。 lk? 00?al
这样，得到 阶 勒让德多项式 。 ?l
3.自然边界条件
1??x解在 保持有限。 确定了勒让德方程的解必须是多项式,必须是整数。 l
1??x“解在 保持有限” 因此是自然 边界条件,勒让德方程变成 本征值问题, 本征函数
为勒让德多项式,是本征值。 )1( ?ll
9.4 施图姆－刘维尔本征值问题
一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足
边界条件的解才存在。参数的特定值叫 本征值,解叫 本征函数,求解的问题就叫
本征值问题 。
一、施图姆－刘维尔本征值问题
施图姆－刘维尔型方程,)(0)()(])([ bxayxyxq
dxdyxkdxd ????? ??
化为施图姆－刘维尔型方程,
0])([])([][ )()()( ?????? yexcyexbdxdyedxd dxxadxxadxxa ?
0)()()( )()()(22)( ???????? yexcyexbdxdyxaedx yde dxxadxxadxxadxxa ?
即二阶常微分方程度最一般的形式,
0)()()(22 ???? yxcyxbdxdyxadx yd ?
例 1
振动 方程,0)(,0)0( 0'' ?? ?? lyy yy ? l xnCyln ??? s in,
2
22 ??
)(0)()(])([ bxayxyxqdxdyxkdxd ????? ??
AxxqAxklba ????? )(,0)(,)(,,0 ?A 为一常数。
例 2 1)(,0)(,1)(,1,1 2 ??????? xxqxxkba ?
勒让德 方程
0])1[( 2 ??? ydxdyxdxd ? )1(y )1(?y和 有限。
例 3 22 )(,0)(,)(,,xx exxqexkba ?? ????????? ?
0][ 22 ?? ?? yedxdyedxd xx ?埃尔米特 方程 ???x y 增长不超过 22xe?
标准形式 0'2'' ??? yxyy ?
例, 超几何方程,
0'])1[('')1( ??????? yyxyxx ?????
)ln)1( ln ()1ln ()1()]1
1
1(
1
1)1[(
])1)[(1
1
1(
)1(
)1()(
xxxdx
xxx
dxx
xx
dx
xx
xdxxa
????????
?
?
?
???
????
?
?
?
????
?
???
??????
??????
???? xxdxxa ?????? 1)1()(e x p
0)1(])1[( 11 ???? ?????? yxxdxdyxxdxd ???????? ??
0)1(')1( )1('' ???? ???? yxxyxx xy ????? )1( )1()( ? ???? xx xxa ??? )1()( ?? xxxc ??
特点, 端点是 的一级 零点 。 )(xk 自然边界条件决定,0)( ?ak
二、本征值问题 不加证明
1,如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限
多个本征值,
)(),('),( xqxkxk ax? bx?
?321 ??? ??
及无限多本征函数
?),(),(),( 321 xyxyxy
2,所有本征值 0?
k?
证,
kkkk yxyxqdxdyxkdxd )()(])([ ?????
22 )()(])([
k
b
a
kk
b
a
kkb
a
yxdxyxqdxdxdyxkdxdydx ?? ??? ???
22 )()(])([ kkkkk yxyxqdxdyxkdxdy ?????
222 )()())((])([
k
b
a
kk
b
a
kb
a
bakk yxdxyxqdxdxdyxykdxdxdyyxk ?? ??? ????
222 )())(()')(()')(()(
k
b
a
kb
a
bxkkaxkkk
b
a
k yxqdxdx
dyxkdxyyxkyyxkyxdx ??? ????
????
第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。
第三类齐次边界条件,0)'( ?? ?axkk hyy
0'')'(' 22 ????? ???? axkaxkaxkkaxkk k h yykhhyykyky
0)'( ?? ?bxkk hyy 0']')'([' 22 ??????? ???? axkaxkaxkkbxkk k h yykhhyykyky
所以
0)( 2 ?? kb
a
k yxdx ??
即 0?k?
3,对应于不同的本征值的 本征函数 带权 正交,)(x?
本征值与本征函数一一对应,
)(
)(
xy
xy
mm
nn??
0)()()( ?? dxxyxyx mnb
a
?
证,
0]'[ ??? nnnn yqykydxd ??
0]'[ ??? mmmm yqykydxd ??
?
0]'[ ??? mnnmnnm yyyqykydxdy ??
0]'[ ??? nmmnmmn yyyqykydxdy ??
? 0)(]'[]'[ ????
nmnmnmmn yykydxdykydxdy ???
0)(]}'[]'[{ ???? ?? dxyydxkydxdykydxdydx nmb
a
nmnmmn
b
a
???
0)(]}'[]'{[ ???? ?? dxyydxykyykydxddx nmb
a
nmnmmn
b
a
???
0)()''()''( ?????? ??? dxyydxykyykyykyyky nmb
a
nmaxnmmnbxnmmn ???
第一、第二类齐次边界条件,0)''()''( ???? ?? axnmmnbxnmmn ykyykyykyyky
第三类齐次边界条件,0)'( ?? ?bxmm hyy 0)'( ?? ?bxnn hyy
0)]'()'([1)''( ?????? ?? bxnnmmmnbxnmmn hyykyhyykyhykyyky
同样,0)''( ??
? axnmmn ykyyky
0)( ?? ? dxyydx nmb
a
nm ???
0?? dxyydx nmb
a
?nm ?? ? ? ＃
4,本征函数族 完备
)()(
0
xyfxf n
n n?
?
?
?
三、广义傅立叶级数
)()(
0
xyfxf n
n n?
?
?
?
右边叫 的 广义傅立叶级数 )(xf
)(xyn 基
nf
广义傅立叶系数
由正交性
?? b
a
m
m
m dxxxyxfNf )()()(
1
2 ? ??
b
a
mm dxxxyN )()]([ 22 ?
模
9.1 特殊函数的常微分方程
在三维空间使用球座标或柱座标。
球极座标 ??,,r
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
边界
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
柱坐标,,z??
一,正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
直角坐标系中的 拉普拉斯算子,
2
2
2
2
2
2
zzx ?
??
?
??
?
???
柱座标,
)(1)(1 2
2
2 zz ?
?
?
??
?
??
?
?
?
???
??????
2
2
222
2
2 s i n
1)( s i n
s i n
1)(1
?????? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
rrrrrr
球座标
（见附录 6）
二,拉普拉斯方程 的 分离变量
1,球座标,
0s i n1)( s i ns i n1)(1 2222222 ????????????? ?????? ururrurrr
分离变量 ),()(),,( ???? YrRru ?
0s i n)( s i ns i n)( 2
2
222
2
2 ??
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??????
Y
r
RY
r
R
r
Rr
rr
Y
)1(s i n1)( s i ns i n1)(1 2
2
2
2 ??
?
??
?
?
?
???
?
?
?
? llY
Y
Y
Yr
Rr
rR ??????
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
0)1(s in 1)( s i ns in 1 2
2
2 ????
??
?
?
?
? YllYY
??????
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
0)1(s in 1)( s i ns in1 222 ?????????? YllYY ??????
欧拉形方程
1)( ??? l
l
r
DCrrR
a,
解,
2
1 )1()('
?
? ???
l
l
r
DlC lrrR
])[1(]')1([) ] '('[ 112 ?? ?????? llll r DCrllrDlC lrrRr
0)1()( 2 ??? RlldrdRrdrd
＃
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
b,球方程 )()(),( ???? ???Y再令
0)1(s i n)( s i ns i n 2
2
2 ?????
????? ll
d
d
d
d
d
d
??????
01s i n)1()( s i ns i n 2
2
2 ??
?????
?
? ?????
?
d
dll
d
d
d
d
02
2
???? ??dd
0]s in)1([)( s i ns in 2 ?????? ?????? lldddd
0)1(s in 1)( s i ns in 1 2
2
2 ????
??
?
?
?
? YllYY
??????
02
2
???? ??dd
0]s in)1([)( s i ns in 2 ?????? ?????? lldddd
b1,自然的周期边界条件,
)()2( ??? ???? ?,2,1,02 ?? mm?
??? mBmA mm s i nc o s)( ???
b2,l-阶缔合 勒让德 方程
?cos?x
xxxx
x
?
????
?
???
?
?
?
??
?
? )1(s i ns i ns i n 22 ?
????
0])1)(1([])1[()1( 2222 ????????? mxlldxdxdxdx
0]1)1([])1[( 222 ???????? xmlldxdxdxd
b3,l-阶 勒让德 方程
u 是轴对称的，对 φ的转动不改变 u 。
0?m
0)1(2)1( 2
2
2 ???????? ll
dx
dx
dx
dx
)()s inc o s)((),,( 1
0
????? ???? ?
?
?? mBmArDrCru mml lll
ml
2,柱座标,
)()()(),,( zZRzu ???? ??
0))( 2
2
2
2
2 ???
???
dz
ZdR
d
dRZ
d
dR
d
dZ
??????
0)(1)(1 2
2
2 ??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
z
u
z
uu
??????
02
2
???? ??dd
?????? ??? 2
22
2
22
dz
Zd
Zd
dR
Rd
Rd
R
分离变量
a,
?,2,1,02 ?? mm?
??? mBmA mm s i nc o s)( ???
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
????? ?????? 222222 111 dz ZdZmddRRd RdR
b,0'' ?? ZZ ?
0)(1 2
2
2
2
???? RmddRd Rd ?????
c1,
0??
DzCZ ??
m
m
BA ?
???
'' 0Z ?
22
22
1 0d R d R m R
dd? ? ? ?? ? ?
2
22
2 0
d R d R mR
dd????? ? ?
2( ) 0d d R mR
dd???? ??
2
2
2 0( ln )
dR mR
d ? ??
ln lnmmR A e B e?????
c2,0??
c2.1,0??
zz DeCeZ ?? ???
???x
0)1(1])(1[1 2
2
2
2
2
2
2
2
???????? RxmdxdRxdx RdRmddRd Rd ??????
贝塞耳 方程
上下底的 非齐次 边界条件
0)(1 2
2
2
2
???? RmddRd Rd ?????
0'' ?? ZZ ?
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
0??c2.2,
?hx?
)s i n ()c o s ( hzDhzCZ ??
???2h
0)1(1 2
2
2
2
???? RxmdxdRxdx Rd
虚宗量 贝塞耳 方程
上下底的 齐次 边界条件
0'' ?? ZZ ?
2'' 0Z h Z??
22
21 ( ) 0d R d R mhR
dd? ? ? ?? ? ? ? ?
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
三,波动方程 的 分离变量
02 ??? uau tta,令
)()(),( rvtTtru ?? ?
0'' 2 ??? vTavT
0''2 ??? vvTaT
2
2
'' k
v
v
Ta
T ????
0'' 22 ?? TkaT
02 ??? vkv
振动 方程
亥姆霍兹 方程
四、热传导方程的 分离变量
02 ??? uau t
a,令
)()(),( rvtTtru ?? ?
0' 2 ??? vTavT
0'2 ??? vvTaT
0' 22 ?? TkaT
02 ??? vkv 亥姆霍兹 方程
增长 或 衰变 的方程
五,亥姆霍兹 方程
1,球座标
0s i n1)( s i ns i n1)(1 22222222 ?????????????? vkvrvrrvrrr ??????
),()(),,( ???? YrRrv ?
0s i n)( s i ns i n)( 22222222 ?????????????? RYkYr RYr RrRrrrY ??????
0)1(s in 1)( s i ns in1 222 ?????????? YllYY ??????
0)]1([)( 222 ???? RllrkdrdRrdrd 球贝塞耳 方程
krx ?
0)]1([)( 22 ???? RllxdxdRxdxd
),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
0)]1(['''41 2/122/32/12/1 ??????? ?? yxllxyxyxyx
)()( 2/1 xyxrR ??
'21' 2/12/3 yxyxR ?? ??? '''41]''21[]''[ 2/32/12/12/32/12 yxyxyxyxyxRx ??????? ?
0)]1(['''41 2212 ??????? ??? yxllxyyxyx
0])21([''' 222 ????? ylxxyyx 它是 阶 贝塞耳 方程 21?l
0)]1([)( 22 ???? RllxdxdRxdxd
2,柱座标
0)(1)(1 22
2
2 ???
?
?
??
?
??
?
?
?
? vk
z
v
z
vv
??????
)()()(),,( zZRzv ???? ??
02
2
???? ??dd
0'' ?? ZZ ?
0)(1 2
2
2
2
2
????? RmkddRd Rd ?????
?,2,1,02 ?? mm?
??? mBmA mm s i nc o s)( ???
上下底的 齐次 边界条件
0??
?22 hkx ??
)s i n ()c o s ( hzDhzCZ ?????2h
0)(1 2
2
22
2
2
????? RmhkddRd Rd ????
0)1(1 2
2
2
2
???? RxmdxdRxdx Rd ),,( zyx
r
?
? ?
x
y
z
z
h
9.2 常点邻域的级数解法
线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。
0)(')('' ??? yxqyxpy 1000 )(',)( CxyCxy ??
对于复变函数,
0)()(22 ??? zqdzdwzpdz wd 1000 )(')( CzwCzw ??
一、定义
方程的 常点, 和 在其邻域解析。否则为 奇点 。 0z )(zp )(zq
二、常点邻域的级数解
定理, 方程的 常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在
唯一点解析解 满足初始条件 。
0z )(zp )(zqRzz ?? 0
)(zw 1000 )(',)( CzwCzw ??
由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数,
k
k k
zzazw )()( 0
0
?? ??
?
三、勒让德方程度级数解法
0)1('2'')1( 2 ????? yllxyyx
01 )1('1 2'' 22 ?????? yxllyxxy
化为标准形式,
21
2)( xxxp ??
21
)1()( xllxq ???
1??x 是方程度奇点
在 点的邻域,00?x 0)( 0 ?xp )1()( 0 ?? llxq
k
k k
xaxy ??
?
?
0
)( 1
1
)(' ??
??
? k
k k
xkaxy 2
2
)1()('' ??
??
?? k
k k
xakkxy
1.级数解
带入方程
0)1(2)1()1(
0
1
1
2
2
2 ?????? ??? ?
?
??
?
??
?
k
k k
k
k k
k
k k
xallxkaxxakkx
或
0)1(2)1()1(
012
2
2
??????? ???? ?
?
?
?
?
?
??
?
k
k k
k
k k
k
k k
k
k k
xallxkaxakkxakk
0)]1)(2(2)1()1([
]26)1([]2)1([
2
13120
?????????
??????
??
?
k
k
k xakkkkkll
xaaallaall
0})]1)(2(]2)1()1({[
]26)1([]2)1([
2
2
13120
?????????
??????
??
?
?
k
k
kk xakkakkkll
xaaallaall
02)1( 20 ??? aall
026)1( 131 ???? aaall
?
0)]1)(2(]2)1()1([ 2 ???????? ?kk akkakkkll
kk akk kklla )1)(2( )1()1(2 ?? ??????
递推公式
02 2 )1( alla ???
13 6 )1)(3( alla ???系数的 两
个 序列
? ?
两个积分常量－
kkk akk llkkakk kklla )1)(2( )1()1()1)(2( )1()1(2 ?? ?????? ??????
22 )1( )1())(1()1)(2( )1()1( ?? ? ?????? ????? kk akk llkkkk llkka
22 )1( )1())(1()1)(2( )1()1( ?? ? ?????? ????? kk akk llkkkk llkka
1??x 是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？
2,解的收敛性 1??x
可以证明，当解 是无穷级数时,不可能在两点同时收敛 。 k
k k
xaxy ??
?
?
0
)(
如果解是 多项式,即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。
kk akk llkka )1)(2( )1()1(2 ?? ?????
由系数的递推关系 可知,
当 是偶数，则偶次项的系数在 以后为零。而奇次项的系数在 时为零。 lk? 0
1?al
当 是奇数，则奇次项的系数在 以后为零。而偶次项的系数在 时为零。 lk? 00?al
这样，得到 阶 勒让德多项式 。 ?l
3.自然边界条件
1??x解在 保持有限。 确定了勒让德方程的解必须是多项式,必须是整数。 l
1??x“解在 保持有限” 因此是自然 边界条件,勒让德方程变成 本征值问题, 本征函数
为勒让德多项式,是本征值。 )1( ?ll
9.4 施图姆－刘维尔本征值问题
一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足
边界条件的解才存在。参数的特定值叫 本征值,解叫 本征函数,求解的问题就叫
本征值问题 。
一、施图姆－刘维尔本征值问题
施图姆－刘维尔型方程,)(0)()(])([ bxayxyxq
dxdyxkdxd ????? ??
化为施图姆－刘维尔型方程,
0])([])([][ )()()( ?????? yexcyexbdxdyedxd dxxadxxadxxa ?
0)()()( )()()(22)( ???????? yexcyexbdxdyxaedx yde dxxadxxadxxadxxa ?
即二阶常微分方程度最一般的形式,
0)()()(22 ???? yxcyxbdxdyxadx yd ?
例 1
振动 方程,0)(,0)0( 0'' ?? ?? lyy yy ? l xnCyln ??? s in,
2
22 ??
)(0)()(])([ bxayxyxqdxdyxkdxd ????? ??
AxxqAxklba ????? )(,0)(,)(,,0 ?A 为一常数。
例 2 1)(,0)(,1)(,1,1 2 ??????? xxqxxkba ?
勒让德 方程
0])1[( 2 ??? ydxdyxdxd ? )1(y )1(?y和 有限。
例 3 22 )(,0)(,)(,,xx exxqexkba ?? ????????? ?
0][ 22 ?? ?? yedxdyedxd xx ?埃尔米特 方程 ???x y 增长不超过 22xe?
标准形式 0'2'' ??? yxyy ?
例, 超几何方程,
0'])1[('')1( ??????? yyxyxx ?????
)ln)1( ln ()1ln ()1()]1
1
1(
1
1)1[(
])1)[(1
1
1(
)1(
)1()(
xxxdx
xxx
dxx
xx
dx
xx
xdxxa
????????
?
?
?
???
????
?
?
?
????
?
???
??????
??????
???? xxdxxa ?????? 1)1()(e x p
0)1(])1[( 11 ???? ?????? yxxdxdyxxdxd ???????? ??
0)1(')1( )1('' ???? ???? yxxyxx xy ????? )1( )1()( ? ???? xx xxa ??? )1()( ?? xxxc ??
特点, 端点是 的一级 零点 。 )(xk 自然边界条件决定,0)( ?ak
二、本征值问题 不加证明
1,如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限
多个本征值,
)(),('),( xqxkxk ax? bx?
?321 ??? ??
及无限多本征函数
?),(),(),( 321 xyxyxy
2,所有本征值 0?
k?
证,
kkkk yxyxqdxdyxkdxd )()(])([ ?????
22 )()(])([
k
b
a
kk
b
a
kkb
a
yxdxyxqdxdxdyxkdxdydx ?? ??? ???
22 )()(])([ kkkkk yxyxqdxdyxkdxdy ?????
222 )()())((])([
k
b
a
kk
b
a
kb
a
bakk yxdxyxqdxdxdyxykdxdxdyyxk ?? ??? ????
222 )())(()')(()')(()(
k
b
a
kb
a
bxkkaxkkk
b
a
k yxqdxdx
dyxkdxyyxkyyxkyxdx ??? ????
????
第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。
第三类齐次边界条件,0)'( ?? ?axkk hyy
0'')'(' 22 ????? ???? axkaxkaxkkaxkk k h yykhhyykyky
0)'( ?? ?bxkk hyy 0']')'([' 22 ??????? ???? axkaxkaxkkbxkk k h yykhhyykyky
所以
0)( 2 ?? kb
a
k yxdx ??
即 0?k?
3,对应于不同的本征值的 本征函数 带权 正交,)(x?
本征值与本征函数一一对应,
)(
)(
xy
xy
mm
nn??
0)()()( ?? dxxyxyx mnb
a
?
证,
0]'[ ??? nnnn yqykydxd ??
0]'[ ??? mmmm yqykydxd ??
?
0]'[ ??? mnnmnnm yyyqykydxdy ??
0]'[ ??? nmmnmmn yyyqykydxdy ??
? 0)(]'[]'[ ????
nmnmnmmn yykydxdykydxdy ???
0)(]}'[]'[{ ???? ?? dxyydxkydxdykydxdydx nmb
a
nmnmmn
b
a
???
0)(]}'[]'{[ ???? ?? dxyydxykyykydxddx nmb
a
nmnmmn
b
a
???
0)()''()''( ?????? ??? dxyydxykyykyykyyky nmb
a
nmaxnmmnbxnmmn ???
第一、第二类齐次边界条件,0)''()''( ???? ?? axnmmnbxnmmn ykyykyykyyky
第三类齐次边界条件,0)'( ?? ?bxmm hyy 0)'( ?? ?bxnn hyy
0)]'()'([1)''( ?????? ?? bxnnmmmnbxnmmn hyykyhyykyhykyyky
同样,0)''( ??
? axnmmn ykyyky
0)( ?? ? dxyydx nmb
a
nm ???
0?? dxyydx nmb
a
?nm ?? ? ? ＃
4,本征函数族 完备
)()(
0
xyfxf n
n n?
?
?
?
三、广义傅立叶级数
)()(
0
xyfxf n
n n?
?
?
?
右边叫 的 广义傅立叶级数 )(xf
)(xyn 基
nf
广义傅立叶系数
由正交性
?? b
a
m
m
m dxxxyxfNf )()()(
1
2 ? ??
b
a
mm dxxxyN )()]([ 22 ?
模
