8.3 非齐次边界条件的处理
方法 1
02 ?? xxtt uau
)(0 xu t ??? )(0 xu tt ???
)(),( 0 ttxu x ??? )(),( ttxu lx ???
例
齐次方程
第一类
非齐次边界条件
非零初值
令 ),(),(),( txwtxvtxu ??
第一类非齐次边界条件
)()()(),( txl tttxv ??? ???
)(),( 0 ttxu x ???
)(),( ttxu lx ???
) ] "()()([)( 22 txl ttvavwaw xxttxxtt ??? ???????
)(")(")(")( 22 txl ttvavwaw xxttxxtt ??? ???????
)(")(")("2 txl ttwaw xxtt ??? ???? 非齐次方程
0),( 0 ??xtxw 0),( ??lxtxw 齐次边界条件
00 )( ?? ?? tt vxw ?
00 )( ?? ?? tttt vxw ?
8.3 非齐次边界条件的处理
例 弦的 x=0 端固定,x=l 端受迫在谐振动 Asinωt,
弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。
解
02 ?? xxtt uau
00 ??tu,00 ??ttu
0),( 0 ??xtxu tAtxu lx ?s i n),( ??
泛定方程
源（在边界上）
02 ?? xxtt uau
00 ??tu,00 ??ttu
0),( 0??xtxu tAtxu lx ?sin),( ??
方法 1
设 lxtAtxv /)s i n(),( ??
),(),(),( txwtxvtxu ??
00 ??tv,00 ??ttv
0),( 0??xtxv tAtxv lx ?s in),( ??
00 ??tw,00 ??ttw
0),( 0 ??xtxw 0),( ??lxtxw
lxtAvavwaw xxttxxtt /)s i n()( 222 ???????
基本想法
设定 待求
(,)v x t 满足非齐次边界条件
(,)w x t 满足 齐次边界条件
非齐次方程
初始条件为零
方法 2 求 齐次边界条件 的 齐次方程
（初始位移或速度 不为零 ）。
令,txXtxv ?s i n)(),( ?
0)( 22 ????? xxttxxtt vavwaw
0'' 22 ?? XaX ? AlXX ?? )(,0)0(
)/s i n ()/c o s ()( axDaxCxX ?? ??
?? 0)0(X 0?C
?? AlX )( )/s in (/ alAD ??
taxalAtxv ??? s in)/s in ()/s in (),( ?
0)( 22 ????? xxttxxtt vavwaw
taxalAtxv ??? s in)/s in ()/s in (),( ?
02 ?? xxtt vav 0),( 0 ??xtxv tAtxv lx ?s in),( ??
00 ??tv
)/s in (
)/s in (
0 al
axAv
tt ?
???
?
00 ??tw,
)/s in (
)/s in (
0 al
axAw
tt ?
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0),( 0 ??xtxw 0),( ??lxtxw
02 ?? xxtt waw
.s in)s inc o s(),(
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0?nA初始条件,
???? ???? dlnal aAanB
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)/s in (2
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系数