7,数学物理方程度定解问题
泛定方程度提出、边界条件、初始条件、衔接条件。
02 ?? xxtt uau
波动方程
),(2 txfuau xxtt ??
2 0t x xu a u??
扩散方程 2 (,)
t x xu a u f x t??
拉普拉斯方程
0u??
2 0tu a u? ? ? 2 (,)tu a u f r t? ? ? r
泊松方程 (,)u f r t?? r
初始条件
),,(),,,( 0 zyxtzyxu t ???初始“位移”
初始“速度” ),,(),,,( 0 zyxtzyxu tt ???
第 一 类边界条件
边界条件
0),( 0 ??xtxu 0),( ??lxtxu
第 二 类边界条件 速度确定。
0),( ??lxx txu 0),( ?? lxx txu
第 三 类边界条件 位移和速度的组合
THuu lxx ?? ?)( THuu lxx ?? ?)(
衔接条件
达朗贝尔公式
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat
初始条件为 )(
0 xu t ???
和
)(0 xu tx ??? )( ????? x
????? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ?
?
?
?????
物理性质急剧变化的点－ 跃变点
)0()0( 00 ??? xuxu 0s i ns i n)( 21 ??? ?? TTtF
8,分离变量
02 ?? xxtt uau
)(0 xu t ??? ).(0 xu tt ???
0),( 0 ??xtxu 0),( ?? lxtxu
波腹
波节
2.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
-0.5
0.5
1
)()(),( tTxXtxu ?;0'' 2 ?? TaT ? ;0'' ?? XX ?
0)0( ?X,0)( ?lX;0'' ?? XX ? 0)0( ?X,0)( ?lX
本征值方程
本征值和本征函数由边界条件决定
2
22
l
n ?? ?
l
xnCxX ?s i n)(
2?;0'' 2
222
?? Tl anT ?,s i nc o s)( l atnBl atnAtT ?? ??
.s i n)s i nc o s(),( l xnl atnBl atnAtxu nnn ??? ??
初值 确定叠加系数,;s in)(2
0
????? dlnlA
l
n ??
.s in)(2
0
?????? dlnanB
l
n ??
P220，习题 4
l?
解 1 坐标原点置于杆中心
在这个坐标系中，左右两半
是对称的。故只讨论一半。
l?
x0 l
02 ?? xxtt uau
0),( 0 ??xtxu 0),( ??lxx txu
00 ??ttuxu t ???? 0
.2 )12(s i n)2 )12(s i n2 )12(c o s(),(
0 l
xk
l
atkB
l
atkAtxu
kk
k
??? ????? ??
?
.2 )12(s in
0 l
xkAx
k
k
?? ??? ??
?
.2 )12(s in2 )12(s in2 )12(0
0 l
xk
l
atkB
l
ak
k
k
??? ???? ??
?
解 1
0?kB
22
1
)12(
8)1(
?
?
???
?
k
lA k
k
.2 )12(s i n2 )12(c o s)12( )1(8),( 2
1
0
2 l
xk
l
atk
k
ltxu k
k
??
?
? ??
?
?? ??
?
?
解 1 坐标原点置于杆左端
02 ?? xxtt uau
0),( 0 ??xtxu 0),( 2 ?? lxx txu
00 ??ttuxu t ???? 0
.2 )12(s in
2
0
dxl xkxlA
l
k
?? ??? ?
.2 )12(s in
0 l
xkAx
k
k
?? ??? ??
?
.2 )12(s in2 )12(s in2 )12(0
0 l
xk
l
atkB
l
ak
k
k
??? ???? ??
?
0?kB
.2 )12(s i n)2 )12(s i n2 )12(c o s(),(
0 l
xk
l
atkB
l
atkAtxu
kk
k
??? ????? ??
?
l
k
l
xk
k
l
k
l 2
02
12
2
)12(s i n
)12(
4
)12(
)1(4 ?
?
?
?
? ?
???
?? ?
?
?
)12(
)1(4 12
?
?? ?
k
l k
.2 )12(s i n2 )12(c o s12 )1(4),(
12
0 l
xk
l
atk
k
ltxu k
k
??
?
? ??
?
?? ??
?
?
差别在于两个坐标系中一个是非惯系！
.2 )12(c o s)12( 22 )12(c o s)12( 2
2
0
2
0 dxl
xk
kl
xkx
k
l
l ?
?
??
?
? ?
??
?
?? ?
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x
固定
lx?
自由
3 4 5 6 7 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x自由 lx?自由
4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
0?x
自由 lx?固定
2.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
-0.5
0.5
1
0?x
固定
lx?固定
一、二类边界条件决定的驻波
例 P200，习题 2
02 ?? xxt uau 0),0( ?tu 0),( ?tlu
2
)()0,(
l
xlbxxu ??;s i n]e x p [),( 2
222
1 l
xn
l
tanCtxu
n
n
???? ??
?
特别强调解中的 指数函数 。;)12(s i n])12(e x p [)12( 18),( 2
222
0
33 l
xk
l
tak
k
btxu
k
??
?
???
?? ?
?
?
例 矩形薄板 边沿保持零度，初始
温度为
bylx ???? 0,0
b
y
l
xA ?? 2s i ns i n,求此板内温度分布。
0)(2 ??? yyxxt uuau
0),,0( ?tyu
0),,( ?tylu
0),0,( ?txu
0),,( ?tbxu
b
y
l
xAyxu ?? 2s ins in)0,,( ?
分离变量,)()()( yYxXtTu ?
0)''''(' 2 ??? XYYXTaXYT
????? YYXXTaT '''''2 0'' ?? YY ?
?? ???? XXTaT '''2
0'' ?? XX ?
0)(' 2 ?? TaT ??
b
ymY
m
?s i n?
l
xnX
m
?s i n?
])(e x p [)( 22
22
2
22
tabmlntT mn ?? ???
b
ym
l
xnta
b
m
l
nAtyxu
n m
nm
???? s i ns i n])(e x p [),,( 2
2
22
2
22
1 1
??? ? ?
?
?
?
?
b
ym
l
xnA
b
y
l
xA
n m
nm
???? s i ns i n2s i ns i n
1 1
? ??
?
?
?
?
nmAA ?
b
y
l
xta
bl
Atyxu ???? 2s ins in])4(e x p [),,( 22
2
2
2
???
)2,1( ?? mn 0?nmA
其它