复变函数复习
2005.4.13
一、内容
复数的定义和代数；
复函数的定义和代数；
复函数的分析理论：微分和积分；
中心：解析性－可导性
解析函数：定义域中可导函数
必要条件：满足柯西－黎曼方程
积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点,
可以连续变形）
复函数的泰勒展开（在解析点的展开）
复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开）
技巧：利用泰勒展开
留数定理；
留数的求法，留数定理求实函数的积分；
傅立叶级数；
傅立叶积分变换；
拉普拉斯变换；
复数项级数、复变项级数、幂级数
复数的定义和代数
复函数的定义和代数
复函数的分析理论：微分和积分；
解析函数
柯西定理
泰勒展开 洛朗展开
留数定理
留数的求法 求实函数的积分
傅立叶变换
拉普拉斯变换 相互关系
柯西公式
级数
幂级数
二、细节
1,复数的定义和代数
iyxz ?? c o s s i niz e i?? ? ? ?? ? ?
复平面
z
y
x 1
1
?
?
O
2.复函数的定义和代数
Ezzf ?? )(?
E,定义域（复平面上）
复函数
有关概念 邻域 内点 外点 境界点
境界线 区域 闭区域
ivu ???
ze??
E,
3,分析理论
导数 df
dz
可能有方向性！！
在 一点 的可导性：导数与方向无关
柯西－黎曼方程
柯西－黎曼方程
x
v
y
u
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
调和函数
02
2
2
2
?????? yuxu 02
2
2
2
?????? y vx v
相互共轭：已知一个，可以求出另一个
例,22v x x y? ? ? ? 求 u
选坐标系,
2 2 2 2
22
1
2
uv x x y x y
x y y yx x y
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
直角坐标
2222
12
22
uy
x xyx x y
? ?
? ?? ? ?
2200 22
12()
22
zz uyu z d x d x
x xyx x y
???
? ?? ? ???
？
极坐标
22 c o s ( 1 c o s )v x x y ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?22 sin 2???
11,u v v u
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
1 1 1( 2 s i n ) c o s
22 2
uv ???
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?
2 sin 2???
( 2 s i n ) s i n22 2uv ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
1 c o s s i n c o s 2 2 c o s
2 2 2 222
uud u d d d d d d?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?? ?
??? ? ? ? ? ?
??
全微分
( 2 co s )2d ???
0(,) 2 c o s 2uu
?? ? ???
200(,) (,) (,) 2 c o s 2 s i n 222 if u i v i u e u
???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
0022ie u z u??? ? ? ?
4,柯西定理
在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零
?
A
B
?
积分路径只要不经过奇点,
可以连续变形
公式,
.,1,02 1
??
?
?
??
?? l
l
l S
S
z
dz
i ?
?
??
? ??l n dzz,0)( ? 1??n
柯西公式
1 ( )()
2 l
f z d zfa
iz??? ???
例：求积分
22 ( 9 ) ( )z
d
i
??
??? ????
2z ? 圆心在 0的圆,-i 在其中
2
2222
9 22
( 9 ) ( ) ( ) 9 9 1 5izz
d
di ii
ii ?
? ?
? ? ? ?? ??
? ? ? ? ????
??? ? ? ?
? ? ? ? ? ???蜒
路径的正方向
,21
1
?? ???????
?
k
k
k ????
5,级数
复数项级数
收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关
两个绝对收敛的 和, 积,仍绝对收敛
例：正误,
0)
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1()
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1(
)
8
1
6
1
4
1
2
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(2
6
1
5
1
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3
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???????????????
????????????
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??
?
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( 1 ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
1 0
2 ( 2 1 )n nn
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
LL
方法 1
方法 2
5,级数
复变项级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1 111
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
此级数 并不绝对收敛,上述运算无意义！
,)()()()( 21
1
?? ???????
?
zzzz k
k
k ????
收敛、一致收敛、绝对一致收敛
例
??? ???????????? n31 1)1(31 1110171411 3
解
? ?? ?
?
???
?
???
0
1
0
10,01
0
1
)(1
n
nbaba
b
a
dtttdttt ? ?
?
?
?? ??
0
1
0
1 )1(
n
nnba dtt
? ??
?
?
?
??
0
1
0
)1(
n
nba
n
dtnba ??
? ?
??
0
)1(
n
n
nba
????? ?10171411
dtt? ?? 10 31 1
}2 31ln32{ ln31 ii ??
111815121 ????? ?
绝对一致收敛
幂级数
?? ????????????
?
k
k
k
k
k zzazzazzaazza )()()()( 0
2
02010
0
0
收敛的 达朗贝尔判据
绝对收敛
1limlim 01
0
1
01 ???
?
? ?
??
?
?
?? zza
a
zza
zza
k
k
kkk
k
k
k
收敛圆
1
lim
???
?
k
k
k a
aR
k kk a
R 1lim???
例 若
0
k
k
k
az?
?
? 收敛
1
0 1
kk
k
a z
k
? ?
? ?
?
证 与它有同样收敛半径
1
0
k
k
k
ka z? ?
?
?
证,
1lim,k
k k
a
a ?
?
?? ?
1,R
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1
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?, 11l im / l im,21k k k
kk k
a a a
k k a ?
??
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1
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k
k
k
ka z? ?
?
?, 11( 1 )l i m l i m,kkkk kkk a ak a a ????? ??? ??
泰勒展开（在解析点）,
,)()(
0
0?
?
?
??
k
k
k zzazf
.! )()( )(2 1
)(
' 1 k
fd
z
f
ia
k
C kk
??
?
?
? ? ??? ?
与实函数展开无技术上区别
例：在 z=0展开 1
cosz
1 1
cos 0 ? 在 z=0解析
待定系数法
待定系数法：设
0
1
c o s
k
k
k
azz ?
?
? ?
又 2
0
( 1 )c o s
( 2 ) !
k
k
k
zzk
?
?
?? ?
为待定系数 ka
2
00
( 1 ) 1
( 2 ) !
k
kk
k
kk
a z zk
??
??
? ???则
2 4 61 1 1[ ] [ 1 ] 1
2 4 ! 6 !
kkk
k k k ka a z a z a z z z z? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
1 2 3 2 3 4 5
0 1 2 3 0 1 2 3
4 5 6 7
0 1 2 3
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 ! 4 ! 4 ! 4 !
a a z a z a z a z a z a z a z
a z a z a z a z
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
LL
L
1 2 3 4
0 1 2 0 3 1 4 2 0
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 4 !a a z a a z a a z a a a z? ? ? ? ? ? ? ? ?L
1 2 3 4
0 1 2 0 3 1 4 2 0
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1 0a ?
20
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31
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11 0
2 4 !a a a? ? ?
2
1
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4 2 0
1 1 1 1 5
2 4 ! 4 2 4 2 4a a a? ? ? ? ?
2 4 61 5 6 1c o s 1
2 2 4 7 2 0z z z z? ? ? ? ? L
洛朗展开（奇点邻域的展开）
技巧：利用泰勒展开
??
???
??
k
k
k zzazf )()( 0 ? ??? C kk dz
f
ia ??
?
? 1)(
)(
2
1
例,在
的洛朗级数
0
111 1 1 1 ( )
2 2 2 21
2
k
k
z i i i z i
ziz i z i z i i i i
i
?
?
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00
1 1 1 1( ) [ 1 ( ) ] ( )
2 2 2 ( ) 4 2
kk
kk
z i z ifz
z i i z i i i
??
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6,留数定理
.)(Re2)(
1
? ?
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?l
n
j
jbsfidzzf ?
l
1l
2l
3l
1b
2b
3b
留数的计算
单极点
.)()(li m 10
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m 阶极点
101
1 )()(lim
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1
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?
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d
m
m
m
m
zz
留数
1.a?
例 的奇点的类型
令
1
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21
0
( 1 )s i n
( 2 1 ) !
k
k
k k
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1
2 1 2 1
00
1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1s i n ( ) ( )
1 ( 2 1 ) ! 1 ( 2 1 ) ! 1
kk
kk
kkz k z k z
???
??
??
????
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无穷负幂－本性奇点
例 的留数
2
4
1() zefz
z
??
234
4
1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( ) [ 1 ( 1 2 )
2 ! 3 ! 4 !
z z zf z z
z? ? ? ? ? ? ? L
234
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2 ! 3 ! 4 !
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3
1
( 2 ) 8 4
3 ! 6 3a ? ? ? ? ? ? ?
实函数积分
类型一
ixez?
dzizdxzzixzzx 1),(21s i n),(21c o s 11 ????? ??
??2
0
)sin,( dxxc o n xR ? ? ?
?? ??
1
11 )
2,2(z iz
dz
i
zzzzR
类型二
????? dxxfI )(
??? ???
? RC
R
R
j
j
j dzzfdxxfzzsfi )()(},)(Re{2 上半平面?
??R
类型三
上半平面。??? ? ??? ji m zl
j
j
i m z zezsFidzezFm x d xxF j,)(Re)(
2
1c o s)(
0
?
上半平面。??? ? ??? ji m zl
j
j
i m z zezsGdzezG
im x d xxG
j,)(Re)(
2
1s in)(
0
?
6,积分变换
傅里叶级数
基础：周期函数的傅里叶展开
扩展
奇函数和偶函数
有限区间中的函数
复数形式
}.s inc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxf
k
kk
????
?
???
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
?
,c o s)(
10 ?
?
?
??
k k l
xkaaxf ?
奇、偶延拓
,)( ?
?
???
?
k
l
xki
k ecxf
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展开系数
?
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?
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三角函数展开
复数展开
傅里叶积分 无限区间 ????? x
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
11( ) ( ) c o s,( ) ( ) sin,A f d B f d? ? ?? ? ? ? ?? ?
??
??
? ? ? ?????
时域到频域的变换
( ) ( ),ixf x F e d??????? ?
dxexfF xi?
?
??
? *])[(21)( ???
原函数
像函数
)]([)( xfF F?? )]([)( 1 ?Fxf ?? F
基本性质
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)()]('[ ?? Fixf ?F
)(1)]([ aFaaxf ??F
)()]([ 00 ?? Fexxf xi???F
)()]([ 00 ??? ??? Fxfe xiF
)()(2)]()([ 2121 ??? FFxfxf ???F
例 求 xe? 的傅立叶变换
xxee? ? ??
00
11( ) c o s sinxx
cF e x d x e d x? ? ?? ? ?
????? ? ???
0 200
11[ sin sin ] c o sx x xe d x x e d x e d x? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ???
02 2 200
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22
12()F? ?
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2
2()
(1 )F ? ??? ?
( ) 2 ( )cFF???
2005.4.13
一、内容
复数的定义和代数；
复函数的定义和代数；
复函数的分析理论：微分和积分；
中心：解析性－可导性
解析函数：定义域中可导函数
必要条件：满足柯西－黎曼方程
积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点,
可以连续变形）
复函数的泰勒展开（在解析点的展开）
复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开）
技巧：利用泰勒展开
留数定理；
留数的求法，留数定理求实函数的积分；
傅立叶级数；
傅立叶积分变换；
拉普拉斯变换；
复数项级数、复变项级数、幂级数
复数的定义和代数
复函数的定义和代数
复函数的分析理论：微分和积分；
解析函数
柯西定理
泰勒展开 洛朗展开
留数定理
留数的求法 求实函数的积分
傅立叶变换
拉普拉斯变换 相互关系
柯西公式
级数
幂级数
二、细节
1,复数的定义和代数
iyxz ?? c o s s i niz e i?? ? ? ?? ? ?
复平面
z
y
x 1
1
?
?
O
2.复函数的定义和代数
Ezzf ?? )(?
E,定义域（复平面上）
复函数
有关概念 邻域 内点 外点 境界点
境界线 区域 闭区域
ivu ???
ze??
E,
3,分析理论
导数 df
dz
可能有方向性！！
在 一点 的可导性：导数与方向无关
柯西－黎曼方程
柯西－黎曼方程
x
v
y
u
y
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x
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?
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调和函数
02
2
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?????? yuxu 02
2
2
2
?????? y vx v
相互共轭：已知一个，可以求出另一个
例,22v x x y? ? ? ? 求 u
选坐标系,
2 2 2 2
22
1
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uv x x y x y
x y y yx x y
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极坐标
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2 2 2 222
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全微分
( 2 co s )2d ???
0(,) 2 c o s 2uu
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???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
0022ie u z u??? ? ? ?
4,柯西定理
在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零
?
A
B
?
积分路径只要不经过奇点,
可以连续变形
公式,
.,1,02 1
??
?
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??
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l S
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dz
i ?
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柯西公式
1 ( )()
2 l
f z d zfa
iz??? ???
例：求积分
22 ( 9 ) ( )z
d
i
??
??? ????
2z ? 圆心在 0的圆,-i 在其中
2
2222
9 22
( 9 ) ( ) ( ) 9 9 1 5izz
d
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? ? ? ? ? ???蜒
路径的正方向
,21
1
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k
k
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5,级数
复数项级数
收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关
两个绝对收敛的 和, 积,仍绝对收敛
例：正误,
0)
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1
5
1
4
1
3
1
2
1
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6
1
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方法 1
方法 2
5,级数
复变项级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1 111
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
此级数 并不绝对收敛,上述运算无意义！
,)()()()( 21
1
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k
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收敛、一致收敛、绝对一致收敛
例
??? ???????????? n31 1)1(31 1110171411 3
解
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绝对一致收敛
幂级数
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0
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收敛的 达朗贝尔判据
绝对收敛
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证 与它有同样收敛半径
1
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k
ka z? ?
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证,
1lim,k
k k
a
a ?
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1,R
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1
0 1
kk
k
a z
k
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kk k
a a a
k k a ?
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1
0
k
k
k
ka z? ?
?
?, 11( 1 )l i m l i m,kkkk kkk a ak a a ????? ??? ??
泰勒展开（在解析点）,
,)()(
0
0?
?
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k
k
k zzazf
.! )()( )(2 1
)(
' 1 k
fd
z
f
ia
k
C kk
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?
?
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与实函数展开无技术上区别
例：在 z=0展开 1
cosz
1 1
cos 0 ? 在 z=0解析
待定系数法
待定系数法：设
0
1
c o s
k
k
k
azz ?
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又 2
0
( 1 )c o s
( 2 ) !
k
k
k
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为待定系数 ka
2
00
( 1 ) 1
( 2 ) !
k
kk
k
kk
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2 4 61 1 1[ ] [ 1 ] 1
2 4 ! 6 !
kkk
k k k ka a z a z a z z z z? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
1 2 3 2 3 4 5
0 1 2 3 0 1 2 3
4 5 6 7
0 1 2 3
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 ! 4 ! 4 ! 4 !
a a z a z a z a z a z a z a z
a z a z a z a z
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
LL
L
1 2 3 4
0 1 2 0 3 1 4 2 0
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 4 !a a z a a z a a z a a a z? ? ? ? ? ? ? ? ?L
1 2 3 4
0 1 2 0 3 1 4 2 0
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 4 !a a z a a z a a z a a a z? ? ? ? ? ? ? ?L
0 1a ?
1 0a ?
20
1 0
2aa??
31
1 0
2aa??
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11 0
2 4 !a a a? ? ?
2
1
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3 2 1 1 0ka a a?? ? ?
4 2 0
1 1 1 1 5
2 4 ! 4 2 4 2 4a a a? ? ? ? ?
2 4 61 5 6 1c o s 1
2 2 4 7 2 0z z z z? ? ? ? ? L
洛朗展开（奇点邻域的展开）
技巧：利用泰勒展开
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???
??
k
k
k zzazf )()( 0 ? ??? C kk dz
f
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)(
2
1
例,在
的洛朗级数
0
111 1 1 1 ( )
2 2 2 21
2
k
k
z i i i z i
ziz i z i z i i i i
i
?
?
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?? ? ? ? ? ?
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1 1 1 1( ) [ 1 ( ) ] ( )
2 2 2 ( ) 4 2
kk
kk
z i z ifz
z i i z i i i
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6,留数定理
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1
? ?
?
?l
n
j
jbsfidzzf ?
l
1l
2l
3l
1b
2b
3b
留数的计算
单极点
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0 ??
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m 阶极点
101
1 )()(lim
)!1(
1
0
??
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d
m
m
m
m
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留数
1.a?
例 的奇点的类型
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1
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0
( 1 )s i n
( 2 1 ) !
k
k
k k
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?
?
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1
2 1 2 1
00
1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1s i n ( ) ( )
1 ( 2 1 ) ! 1 ( 2 1 ) ! 1
kk
kk
kkz k z k z
???
??
??
????
? ? ? ? ???
无穷负幂－本性奇点
例 的留数
2
4
1() zefz
z
??
234
4
1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( ) [ 1 ( 1 2 )
2 ! 3 ! 4 !
z z zf z z
z? ? ? ? ? ? ? L
234
4
1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )[ 2 )
2 ! 3 ! 4 !
z z zz
z? ? ? ? ? ? L
2 3 4
32
1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 )2
2 ! 3 ! 4 !zzz? ? ? ? ? ? L
3
1
( 2 ) 8 4
3 ! 6 3a ? ? ? ? ? ? ?
实函数积分
类型一
ixez?
dzizdxzzixzzx 1),(21s i n),(21c o s 11 ????? ??
??2
0
)sin,( dxxc o n xR ? ? ?
?? ??
1
11 )
2,2(z iz
dz
i
zzzzR
类型二
????? dxxfI )(
??? ???
? RC
R
R
j
j
j dzzfdxxfzzsfi )()(},)(Re{2 上半平面?
??R
类型三
上半平面。??? ? ??? ji m zl
j
j
i m z zezsFidzezFm x d xxF j,)(Re)(
2
1c o s)(
0
?
上半平面。??? ? ??? ji m zl
j
j
i m z zezsGdzezG
im x d xxG
j,)(Re)(
2
1s in)(
0
?
6,积分变换
傅里叶级数
基础：周期函数的傅里叶展开
扩展
奇函数和偶函数
有限区间中的函数
复数形式
}.s inc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxf
k
kk
????
?
???
,s in)(
1 l
xkbxf
k k
???
?
?
,c o s)(
10 ?
?
?
??
k k l
xkaaxf ?
奇、偶延拓
,)( ?
?
???
?
k
l
xki
k ecxf
?
展开系数
?
?
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?
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.s i n)(1
,c o s)(1
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l
b
d
l
kf
l
a
l
lk
l
l
k
k
.][)(21 * ??
?
deflc l
xkil
lk ???
三角函数展开
复数展开
傅里叶积分 无限区间 ????? x
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
11( ) ( ) c o s,( ) ( ) sin,A f d B f d? ? ?? ? ? ? ?? ?
??
??
? ? ? ?????
时域到频域的变换
( ) ( ),ixf x F e d??????? ?
dxexfF xi?
?
??
? *])[(21)( ???
原函数
像函数
)]([)( xfF F?? )]([)( 1 ?Fxf ?? F
基本性质
)(1])([ )( ?? Fidxxfx ??F
)()]('[ ?? Fixf ?F
)(1)]([ aFaaxf ??F
)()]([ 00 ?? Fexxf xi???F
)()]([ 00 ??? ??? Fxfe xiF
)()(2)]()([ 2121 ??? FFxfxf ???F
例 求 xe? 的傅立叶变换
xxee? ? ??
00
11( ) c o s sinxx
cF e x d x e d x? ? ?? ? ?
????? ? ???
0 200
11[ sin sin ] c o sx x xe d x x e d x e d x? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ???
02 2 200
1 1 1[ c o s c o s ] c o sx x xe x x e d x x e d x? ? ?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ? ???
22
21( ) ( )FF??
? ? ??? 22
12(1 ) ( )F ?
? ? ???
2
22
12()F? ?
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2
2()
(1 )F ? ??? ?
( ) 2 ( )cFF???
