数学物理方法
1-8 章小结
1.复变函数
导数、可导性、柯西－黎曼方程
2,复变函数的积分
柯西定理 ? ? 0)( dzzf
.,1,02 1
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?? l
l
l S
S
z
dz
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并且 ?
??l n dzz,0)( ? 整数
1??n
.)(2 1)( ? ??
l
dzz zfif ???
柯西定理
.)( )(2 !)( 1)( ? ???
l n
n dz
z
f
i
nzf
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3,幂级数 收敛、收敛半径
1
lim
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k
k
k a
aR
,)()(
0
0?
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k
k
k zzazf
泰勒展开,
洛朗展开,??
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k
k
k zzazf )()( 0
孤立奇点
0z
可去奇点 极点 本性奇点
奇点分类,
4,留数定理
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1
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l
n
j
jbsfidzzf ?
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0
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一阶极点,
m阶极点,
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1
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d
m
m
m
m
zz
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0
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1
11
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z iz
dz
i
zzzzR
用留数计算实变函数的积分
类型 1
类型 2 ??? ???
? RC
R
R
j
j
j dzzfdxxfzzsfi )()(},)(Re{2 上半平面?
上半平面。??? ? ??
?
j
i m z
l j j
i m z zezsFidzezFm x d xxF j,)(Re)(
2
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0
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上半平面。??? ? ??
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j
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l j j
i m z zezsGdzezG
im x d xxG
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2
1s in)(
0
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类型 3
}.s inc o s{)(
1
0 l
xkb
l
xkaaxf
k
kk
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???
5,傅立叶变换
傅立叶级数
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.s i n)(
1
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1
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b
d
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f
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l
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k
,s i n)(c o s)()( 00 ?? ?? ?? ?????? xdBxdAxf
傅立叶变换
.s i n)(1)(,c o s)(1)( ?????????????? dfBdfA ?? ?????? ??
谱,
??
?
??
?????
)0(.1
),,,(,0)(
0
00
0 bxa
xbaxbadxxxb
a
或?δ 函数
(1) 导数定理 )()]('[ ?? Fixf ?F
(2) 积分定理 )(1])([ )( ?
? Fidxxf
x ??F
(3) 相似性定理
)(1)]([ aFaaxf ??F
6,拉普拉斯变换
(4) 延迟定理 )()]([ 00 ?? Fexxf xi???F
(5) 位移定理 )()]([
00 ??? ??? Fxfe xiF
(6) 卷积定理 )()(2)]()([ 2121 ??? FFxfxf ???F
??? dxff
xfxf
)()(
)()(
21
21
??
?
?
?
??
?? ?? 0 )()( dtetfpf pt
性质、反演、运算微积
7,数学物理方程度定解问题
泛定方程度提出、边界条件、初始条件、衔接条件。
达朗贝尔公式
0),()( 2
2
2
2
2
?????? txuxat
设初始条件为 )(
0 xu t ???
和
)(0 xu tx ??? )( ????? x
????? daatxatxtxu
atx
atx
)(2 1)]()([21),( ?
?
?
?????
8,分离变量