解,
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?? ? deeI nien i??
2
0
)/(Re
)]s i ns i n ()s i n[ c o s (c o s)s i n(c o s ????????????? nineee ni ?????
被积函数 写为
nieninini eeeeee i )/(s i nco s)s i n(co s ???????????? ?? ??? ???
})/(R e { nien ee i ?? ?? ?
积分 写为
为
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]
1
Re [
1
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z
n
z
n dz
z
e
i
I ?
1.计算积分,其中 是正常
数,n 是自然数。
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z
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z
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极点在 z=0。
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＃ 同理
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2
0
c o s 0)s ins in ( dneI
证明,
RC
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0 RR? ?
由,复数 z 在上半平面。 ??? za r g0
由柯希定理
?? ????
? R
C
R
R
dzfdzfizf })()({2 1)( ?? ??? ??
)( Rz ?
z* 在下半平面，故
?? ????
? R
C
R
R
dzfdzfi }*)(*)({2 10 ?? ??? ??
二式相减
22)(
2
))((
2
*))((
*
*
11
yx
iy
iyxiyx
iy
zz
zz
zz ??????????
??
??? ???????
实轴上
大圆上
*))((
2
*
11
zz
iy
zz ?????? ????
?? ??????
? R
C
R
R
dzz fdzyxfyzf })))((( )()( )({)( 22 ??? ??? ??
证明在,上式中后一项 趋于零 。 ??R
由,知 。 0)(,??? zfz Mzfz ??? )(,
?? ????? RR CC zz dMdzz f )*)(()))((( )( ?? ???? ?
?? ?? dzyxfyzf
R
R
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? ??
? 22)( )()(
0)( 2 ??? zR RM?
? ??
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0
2)( zR
RdM
),(),()( yxivyxuzf ?? )0,()0,()( ??? ivuf ??
?? ?? dzyxvyyxv
R
R
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? 22)( )0,(),(
?? ?? dzyxuyyxu
R
R
?
? ??
? 22)( )0,(),(
＃
3,以 z=0 为中心将函数 展开为泰勒级数。 zarctan
解,
21
1a rc t a n
zzdz
d
?? ?
?
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0
2)1(
k
kk z
2
0 1
a rc ta n ???? ? dz
z
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k
kk
z
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?
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2
0
)1(
k
k
z
k d ?? ?
?
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??? 0
12
12)1(k
k
k
k
z
在 z=0，函数取 主值 。 00arcta n ?
4,以 z=0 为中心将函数 展开为泰勒级数。
z
z
sin
解,
z
z
sin
是偶函数，设
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0
2
s i n k
k
k zaz
z
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0
2s in
k
k
k zazz ??
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0
2
0
12
)!12(
)1(
k
k
k
n
n
n
zazn
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???
0
212
0 )!12(
)1(
k
kn
n
k
n
zna
令, knm ??
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km
m
n
nm
n
znaz 12
0 )!12(
)1( ??
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?
?
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??? m
n
m
n
nm
m
zna
0
12
0
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10 ?a 10
)!12(
)1(
0
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? mna
m
n
n
nm
10)!12( )1(
0
?????
?
? mna
m
n
n
nm
1?m,0
)!12(
)1( 1
01 ??
?? aa 016 aa ?,
6
1
1 ?a
2?m
递推公式
!5/6/0 012 aaa ??? 3607!5/136/12 ???a
?
????? 42 360 7611s i n zzzz
5.导出周期函数的拉普拉斯变换
解, 设 )()( tnTt ?? ?? 这是 周期 T 的函数。
?
?
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0
)()( dtetp pt?? ???? ?? ??
T
T
pt
T
pt dtetdtet
2
0
)()( ??
??
?
?
?
?
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Tn
nT
pt
n
dtet
)1(
0
)(?
对每一个 n 作变换 nTt ???
npTpnTppt eeee ????? ?? ?? )( TTnnT ??? )1(,0
?? ?
?
?
??
T
p
n
n p T dteep
00
)()( ????
? ????
T
p
pT dteep
0
)(1 1)( ????
pT
n
n p T
ee ?
?
?
?
??? 1
1
0
l
l
k
m m
)(1 tx )(2 tx
6.如图复摆。当摆平衡
以后，以一水平力击打
之一摆，使之有初始速
度 v。求其微小运动。
解, 设摆的位移分别为 和 。 )(
1 tx )(2 tx
运动方程为,
)],()([)()( 1211 txtxktxlmgtxm ??????
)],()([)()( 2112 txtxktxlmgtxm ??????
初始条件：,0)0(1 ?x ;)0(1 vx ??
,0)0(2 ?x,0)0(2 ?x?
)],()([)()([ 12112 pxpxkpxlmgpxpm ????
)],()([)()( 2112 pxpxkpxlmgpxm ????
作拉氏变换,
),/2/ 1/1(2)( 221 mklgplgpvpx ?????
),/2/ 1/1(2)( 221 mklgplgpvpx ?????
由
tp ??? s in22 ??
),/2/ )/2/s in (/ )/s in ((2)(1 mklg mklgtlg lgtvtx ? ???
),/2/ )/2/s in (/ )/s in ((2)(2 mklg mklgtlg lgtvtx ? ???
解像函数,
,)/)(/2/( )//()( 22
2
1 lgpmklgp
mklgpvpx
???
???
,)/)(/2/( /)( 222 lgpmklgp mvkpx ????
7。利用傅立叶变换解运动方程
)()()(2)( 20 tFtytyty ??? ?? ???
F(t) 为已知函数,γ 和 ω0 为常数，且 0<γ <ω0 。
解, 两边在傅立叶变换，由导数定理,
)(~)(~)(~2)(~ 202 ???????? Fyyiy ????
2
0
2 2
)()(~
????
??
???? i
Fy
))((
)(
21 ????
?
????
F
其中 2201 ???? ??? i 2202 ???? ??? i
像函数为
求原函数 ?? ? deyty ti??
??
? )(~)( ????? ? ? deF ti?
?
?? ??
?? ))(( )(
21
在上半复 ω 平面有两个极点。作上半平面大圆，则
)](Re)([ R e2)( 21 ??? ssity ???
)](~)(~[ 12
22
0
??
??
? FF ?
?
?
A,
))((
)(~)(~
21 ????
??
????
FyB,利用卷积定理
??? dtIFty )()()( ??? ?
?
??
其中,为另一部分的原函数,)( ??tI
)11(1)))(( 1()(
21
1
2121
1
?????????? ????????
?? FFtI
)]1()1([1
2
1
1
1
21 ?????? ?
???? ?? FF
?????
?
de
ti??
??
?
??? 11
1 )1(F
极点在上半平面。 t<0，取实轴和下半平面大圆，
区域内无极点，积分为零。 t>0，取实轴和上半平
面大圆，积分为
titti ieie 2201 22)1(
1
1 ???? ??
??
???? ??
?F
22
021 2
11
???? ???
)(2
2
1)( 220220
22
0
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??
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?
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)(2
2
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0
22
0
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t
eeie ????
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t
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??
? ??? dtHteFety tt )()(s i n [)(
2
)( 220)(
22
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