柱函数例
1,计算
dxxJ )(3? ???? x xZx xZdxd )(])([ 1??? )()]([ 1 xZxxZxdxd ?? ????
dxxJxx )]([ 322? ?? )]([ 222 xJxdx? ??? ? ???? dxxJxxJ )(
2
1)(
2
1
2
x
xJxJ
2
)()( 1
2 ???
2,计算 )](),([ xJxJW ?? ?,其中
xx yy
yyyyW
'
']',[ ?
xx JJ
JJ
)()( ??
??
?
??)](),([ xJxJW ?? ? xx JJJJ )()( ???? ?? ??
)](),([ xJxJW x ?? ? xxx JJJJ ])()([ ???? ?? ??
xxxxxxxx JJJJJJJJ )()()()()()( ???????? ???? ???? xxxx JJJJ )()( ???? ?? ??
1
])1()(1[])1()(1[ 2222 ?????? ?? JxJxJJxJxJ xx ??????? ???
0)1(1 2222 ???? RxmdxdRxdx Rdxxxx JJJJ )()( ???? ?? ??
])()([1 xx JJJJx ???? ?? ??? ],[1 ?? ??? JJWx
xxJxJWx ) ] }(),([{ ?? ?? )](),([)](),([ xJxJWxJxJWx x ???? ?? ??? 0?
x
CxJxJW ?
? )](),([ ??
CxJxJWx ?? ? )](),([ ??
)4/c o s (2 ????? ??? xxJ )]4/s i n (2)4/c o s (221[)( 3 ????????? ??????? xxxxJ x
)4/c o s (2 ????? ???? xxJ )]4/s i n (2)4/c o s (221[)( 3 ????????? ???????? xxxxJ x
??x
原方程,
)]}4/s i n (
2
)4/c o s (
2
2
1
)[4/c o s (
2
)]4/s i n (
2
)4/c o s (
2
2
1
)[4/c o s (
2
{
)](),([
3
3
???
?
???
?
???
?
???
?
???
?
???
?
??
?????????
?????????
??
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xJxJW
)]4/s in ()4/c o s ()4/s in ()4/[ c o s (2 ????????????? ??????????? xxxxx
????? 2s i n2)](),([ xxJxJW ???
??x
0)](),([ ?? xJxJW mm
与 x 的值无关,
3,计算
? )(2 xxJdx
?
xxJxJW
1)](),([
2s i n2 ?? ? ????
?
?? ?? ??? )( ])()([2s i n2)( 22 xJ dxJJJJxxJ dx xx
?
????
? ??
?
])()([2s in2 2?? ?? ??? xJ dJJxJdJ
?
??
?
?
??
?
])()([2s in2 2?? ?? ??? xJ dJJxJdJ
?
??
?
?
??
?
])(2)( )([2s i n2 2? ?? ??? xJ dJJxJ xJ
?
??
?
?
??
?
4,求方程
0])[('21'' 2 22221 ?????? ? uzzuzu ?????? ?
的通解。
)(zvzu ??

dz
dvzzvz
dz
du ??? ?? ? )(1
2
2
12
2
2
2)()1( dz vdzdzdvzzvzdz ud ??? ??? ???? ??
0])[(])([
21
2)()1(
2
222
211
2
2
12
?
?
???
?
?
????
??
??
vz
z
z
dz
dv
zzvz
z
dz
vd
z
dz
dv
zzvz
?????
????
???
????
?
????
0])[( 2 2221122 ????? ?? vzzzdzdvzdz vdz ???? ????
0])[( 2 222122 ????? ? vzzz d zdvdz vd ???? ?
dz
zd
dz
d
zd
d )(/
)(
?
?
?
? ? dzz
d
1?? ???
))(()())(( 112 dzz ddzz dzd d ??? ??? ????? dzz ddzz d 1222212 )( )1()( ?? ??? ?? ?? ???
0])(1[)()( 2
2
122221
2
???? ?? vzdzzdvdzz vd ??? ??????
0])(1[)()( )1())(( 2
2
122122
2 ??????
?? vzdzz
dv
dzz
dvv
zd
d
???? ?
?
????
?
?
0])(1[())(( 2
2
122
2 ????
? vzdzz
dvv
zd
d
??? ?
?
???
0])(1[1))(( 2
2
1
2 ????
? vzdzz
dv
zvzd
d
???? ?
?
????
0])(1[)(1))(( 2
2
2 ???? v
zzd
dv
zvzd
d
???? ?
?
???
)()( zvzzu ??
)()()( 21 ???? ?? zNCzJCzv ??
这是 阶贝塞耳函数。通解为 ??
5,求下列方程的通解
0'3''.;0)1(4'2''.;0''.
42
???
????
??
zuuzuc
uzzuuzb
uazua b
a,
0])[('21'' 2 22221 ?????? ? uzzuzu ?????? ?
21?? 0]4 14 1['' 22 ???? uzzazu b
)1(2 ?? ?b 1
2 ??
b? 2)(???a
2
2
?? b
a? 21??? 21??b?
)22()22()( 2
1
22
1
1 ?? ???? bb zb
aNzCz
b
aJzCzu
??
P346,习题 7,均匀膜的微小振动,方程( P142(7.1.16) )
022 ??? uau tt

1,分离变量 TXu ? 0''
22 ??? XTaXT
0'' 22 ?? TakT
022 ??? XkX
在极坐标中
011 222222 ?????????? XkXXX ?????
再分离变量 )()( ?? ?? RX
0''' 22
2
2 ????
?????? RkRRR
???
2
2
2
22
2 1
''' mkRRRR ?? ??????? ????
0)(''' 2222 ???? RmkRR ???
022
2
???? ?? m?
令 xk ??
0)(''' 222 ???? RmxxRRx 为 m阶贝塞耳方程
边界条件,0),,(
0 ?tu ??
初始条件,
02
0
2 )1()0,,( utu
?
??? ??? 0)0,,( ??tu t ??
2.通解 与 无关。 m=0。 ?
)]s in ()c o s ()[()(),,( )0()0()0(0
1
takBtakAkJDCtu nnnnn
n
??? ??
?
????
其中 0)(
0)0(0 ??nkJ
决定 )0(
nk
由边界条件,0),,(
0 ?tu ??
3.定解
02
0
2)0(
0
1
)1()()()0,,( uAkJDCtu nn
n ?
????? ????? ??
?
0,1 ?? DC
0)()0,,( )0()0(0
1
??? ??
?
nnn
n
t BakkJtu ??? 0?nB
??????? ? dkJkJ uA n
n
n )()1()(
2 )0(
00 2
0
2
2
0
)0(
1
2
0
0 0? ??
???????????? ??? dkJdkJdkJ nnn 3)0(002
0
)0(
00
)0(
00 2
0
2 )(1)()()1(
000 ??? ???
dxxxJkx d xxJk nn x
n
x
n
3
002
0
4)0(002)0( )(
1)(1 )0()0( ?? ??
?
)0()0(
02
2
1
3
2
0
4)0(012)0( ]2[
1)(1 nn x
n
x
n
JxJxkxxJk ??? ?
P334结果
)0(
)0(
1
2)0(2
0
)0(
1
2
0
0 )(4
)(
2
n
n
nn
n x
xJ
kkJ
uA
???
]2[1)(1 22)0(13)0(2
0
4)0(
)0()0(
12)0( JxJxkxxJk nn
n
nn
n
??? ?22)0(2 Jk
n
?
0/2 11 ??? ?? ??? ? ZxZZ
)]()(2[2 )0(0)0( )0(12)0( n
n
n
n
xJx xJk ?? )0( )0(12)0( )(4
n
n
n x
xJ
k?
)()(
8
0
)0(
1
3)0(
0
?nn kJx
u?
]c o s [)()()( 8),,( )0()0(0
1 0)0(130)0(
0 takkJ
kJk
utu
nn
n nn
????? ??
?
?
13,P.236

210 )( zuu ??
12)(,0)0( LuLzuzu z ???? 0)0( utu ??
fin iteu ?? )0(?
02 ??? uaut
21 XXX ??
1.分离变量 XTu? 0' 2 ??? XTaXT
0' 22 ?? TkaT 02 ??? XkX
0121 ??? XkX 0222 ??? XkX
2101 )( zuX ??
0)(,0)0( 11 ???? LzXzX
01 )0( utTX ??
0)( 02 ??X
122 2)(,0)( LuLzXzX z ????
0)0(2 ??tTX
01)(1 122 122 1221 ???????????? XkzXXX ????? ?? RZX 1
0'' 2 ???? m
0'' 2 ?? ZqZ
0)(1 222222 ????????? RmqkRR ????
0)2(1 2221222 ?????????? RmqukRR ????
???? 212 2 quk
0)(1 2222 ???????? RmRR ????? m阶贝塞耳方程
0)(,0)0( ???? Lzvzv z 210)0( zuutv ???
与 无关。 m=0。 ?2.通解
tak
nn
n
n neqzBqzAJzv
22]s inc o s[)(),(
1
)0(
0
??
?
?? ? ???0)( 0 ??v
0)0( ??zv
0)(),( 22
1
)0(
0 ??
??
?
? takn
n
n neAJzv ???
0)( ?? Lzv z
0c o s)( 22
1
)0(
0 ?
??
?
? takn
n
n nq L eBqJ ??
0?nA
LPq ?)21( ??
210)0( zuutv ???
2
10
1
)0(
0 )2
12s i n ()()0( zuuz
L
PBJtv
n
n
n ??
??? ??
?
???
6,半径 R,边界固定的圆膜的轴对称振动问题,初始时,处有一冲量
垂直作用。
???
022 ??? uau tt

1,分离变量 TXu ? 0'' 22 ?? TakT
022
2
???? ?? m?
0)(''' 2222 ???? RmkRR ???
令 xk ??
0)(''' 222 ???? RmxxRRx
边界条件,0),,(
0 ?tu ??
初始条件,0)0,,( ??tu ??
??
???
??
????
)(0
)0()0,,( 2
R
m
I
tu t
??
??????
)]s in ()c o s ()[()(),,( )0()0()0(0
1
takBtakAkJDCtu nnnnn
n
??? ??
?
????
2.通解
3.定解
.0)()()0,,( )0(0
1
???? ??
?
nn
n
AkJDCtu ????
0?nA
0,1 ?? DC
??
???
??
????? ??
? )(0
)0()()0,,( 2)0()0(
0
1 R
m
I
BakkJtu nnn
n
t
??
???????
??????? ? dkJmIkJakB n
n
nn )()(
2 )0(
00 22
0
)0(
1
2
0
)0( ?? x d xxJ
xJxm
I nx
nn
)()()( 2 0'02)0(
1
2)0(2
)0(??
??
)()()( 2 )0(12)0(
1
2)0(
)0( ?
?? nnn
n kJ
xJxm
Ik??)0()0(' nn kx ?
)s i n ()()()()(2),,( )0()0(0
1
)0(
12)0(
1
2)0(
)0( takkJkJ
xJx
k
m
Itu
nn
n
n
nn
n ??
???? ?
?
?
?