Ex6.4
2,设A(Cm(n,列向量b1,b2,...,bk(Cm,证明向量x使得

成立的充要条件是x为方程
Ax =
的最小二乘解。
证明:记矩阵,,考虑方程x=的最小二乘解，容易验证
||x (||2 =
因此根据推论，由式(6.4.18)可得向量x使得

成立的充要条件是x为 x=的解,即
AHAx =AH() (1)
另一方面,根据推论，由式(6.4.18)可得x为方程
Ax =
的最小二乘解的充要条件也是式(1)。
因此结论得证。
3,设Ai(Cm(n,列向量bi(Cm,i=1,2,...,k 证明向量x使得

成立的充要条件是x为方程
()x =
的最小二乘解。
证明:记矩阵,,考虑方程x=的最小二乘解，容易验证
||x (||2 =
因此根据推论，由式(6.4.18)可得向量x使得

成立的充要条件是x为 x=的解,即
()x =
4,利用第3题可得到(略).
5,设A(Cm(n,列向量b(Cm,a(Cn,若方程组Ax=b相容，证明使得

成立的唯一解是
x =A(1,4)b+(I(A(1,4)A)a
其中，A(1,4)(A{1,4}.
证明:考虑y=x(a,则方程组Ay=b+Aa相容.使得

成立的唯一解就是方程Ay=b+Aa的最小范数解。而根据相容方程Ay=b+Aa的最小范数解为y= A(1,4)(b+Aa),即x=y+a= A(1,4)b+(I(A(1,4)A)a.