矩阵分析及其应用
3.1 矩阵序列
定义3.1 设矩阵序列{A(k)},其中A(k)=()(Cn(n,当k((，
(aij时，称矩阵序列{A(k)}收敛，并称矩阵A=(aij)为矩阵序列{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A,记为
或 A(k)( A
不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A(k) 发散的充要条件为存在ij使得数列发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义3.1' 矩阵序列{A(k)}收敛的充要条件为对任给(>0 存在N((),当 k,l ( N(() 时有
||A(k)(A(l)|| < (
例1
如果直接按定义我们因为求不出A(n)的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于
< 1/m
从而只要l充分大，则当m,n > l 时就有
这样A(l) 收敛。
定理3.1 A(k)( A的充要条件为
||A(k) (A||(0
证明：利用矩阵范数的等价性定理，仅对(范数可以证明。
即 c1 ||A(k) (A|| ( ||A(k) (A||(( c2 ||A(k) (A||
性质0 若A(k)( A,则 ||A(k)|| ( ||A|| 成立。
性质1,设A(k)( Am(n，B(k)( Bm(n,则
(( A(k)+( ( B(k) ( (( A+( ( B,( (,((C
性质2,设A(k)( Am(n，B(k)( Bn(l,则
A(k) (B(k)( A(B
证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的矩阵范数。
||A(k) (B(k)(A(B|| ( || A(k) (B(k) (A(B(k)||+||AB(k)( A(B||
( || A(k) (A||(||B(k)||+||A||(||B(k)(B||
注意|| A(k) ||(||A||,||B(k)||(||B||,则结论可得。
特别地有
性质2’,A(k)( A的充要条件为
A(k) x(Ax,对任意x成立
（在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的)
性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)( A，则
(A(k))(1( A(1
证明,因为A(1( (A(k)) (I,所以存在K,当k>K时有
||I( A(1( (A(k))||<1/2
我们有(A(k))(1= A(1+( I( A(1( (A(k))) (A(k))(1
从而||(A(k))(1||(||A(1||+||( I( A(1( (A(k)))||(|| (A(k))(1||
当k>K时，有
||(A(k))(1||(||A(1||+1/2(|| (A(k))(1||
即 ||(A(k))(1||(2(||A(1||
因为A(1( (A(k))(1= A(1 (A(k)( A) (A(k))(1
从而 || A(1( (A(k))(1||(||A(1||(||A(k)( A||(||(A(k))(1||
(当k>K时) (||A(1||(||A(k)( A||(2||A(1||
(当k((时) (0
由定理3.1有(A(k))(1( A(1
定义3.2矩阵序列{A(k)}称为有界的，如果存在常数
M>0，使得对一切k都有
||<M 或等价的 || A(k)||<M’
定理：有界的矩阵序列{A(k)}一定有收敛的子列。
定义3.3 设A为方阵，且当k((时有Ak(0，则称A为收敛矩阵。
定理3.2(迭代法基本定理) Ak(0的充要条件为谱半径
((A)<1.
证明：必要性：设Ak(0，证明((A)<1.
对A的任意特征值(和相应的特征向量x有
(x=Ax.
这样我们有Akx=(kx
从而有|(|k (||x||=||Akx||(||Ak||(||x||
从而有|(|k(||Ak||(0
这样有|(|<1,由于(为A的任意特征向量，
所以((A)<1,即必要性得证。
充分性。已知((A)<1，证明Ak(0.
取(=(1(((A))/2 >0,由定理2.10有,存在某种相容的矩阵范数||.||M使得 ||A||M< ((A)+ ( <1
从而||Ak|| M((||A||M)k<(((A)+ ()k
所以当k((有||Ak|| M (0,从而Ak(0.
定理3.3 Ak(0的充分条件为存在矩阵范数||.||M使得
||A||M <1
3.2矩阵级数定义3.4设矩阵序列{A(k)},其中A(k)=()(Cn(n,由它们形成的无穷和 A(0)+A(1)+…+A(k)+…称为矩阵级数，
记为 ，即有
= A(0)+A(1)+…+A(k)+…
定义3.5 记S(N)=,称其为矩阵级数的部分和.
如果矩阵序列{S(N)}收敛，且有极限S,即有
S(N)(S
那么称矩阵级数收敛，且和为S,记为
S=
不收敛的矩阵级数称为发散的。
显然=S 是指，( i,j
即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。
性质：矩阵级数收敛的充要条件为对任意向量x,
向量级数收敛。
定义3.6 设矩阵级数的每个分量所构成的数项级数绝对收敛，则称矩阵级数绝对收敛。
关于绝对收敛，我们有如下的定理：
性质1,绝对收敛的交换求和次序不改变其绝对收敛性和极限值。
性质2,矩阵级数绝对收敛的充要条件为正项级数
收敛。
性质3,如果矩阵级数(绝对)收敛,那么
也是(绝对)收敛,且有
=P()Q
性质4,设Cn(n的两个矩阵级数
S1,A(1)+A(2)+…+A(k)+…
S2,B(1)+B(2)+…+B(k)+…
都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数
S3,A(1) B(1)+ [A(1) B(2)+ A(2) B(1)]+…
+[ A(1) B(k)+ A(2) B(k(1) +…+A(2) B(1)]+…
绝对收敛且和为AB.
证明：由于S1,A(1)+A(2)+…+A(k)+…绝对收敛的充要条件为正项级数||A(1)||+||A(2)||+…+||A(k)||+…收敛且与排列无关。
我们证明的思路是证明正项级数：
||A(1) B(1)||+ ||A(1) B(2)+ A(2) B(1)||+…
+||A(1) B(k)+ A(2) B(k(1) +…+A(k) B(1)||+…
收敛。引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数：
||A(1)||(||B(1)||+ { ||A(1) ||(||B(2)||+ ||A(2) ||(||B(1)||}+…
+{||A(1) ||(||B(k)||+ ||A(2) ||(||B(k(1) ||+…+||A(k) ||(||B(1)||}+…
收敛。这由题设正项级数||A(1)||+||A(2)||+…+||A(k)||+…
和正项级数 ||B(1)||+||B(2)||+…+||B(k)||+…
的收敛性可得。
定理3.4 幂级数 I+A+A2+…+Ak+…收敛的充要条件为
A的谱半径((A)<1,收敛时其和为(I(A)(1
且||(I(A)(1( I+A+A2+…+Ak||(||A||k+1/(1(||A||)
证明,必要性,由于I+A+A2+…+Ak+…收敛，从而
S(k)= I+A+A2+…+Ak收敛。记T(k)= I+A+A2+…+Ak+1
Ak=T(k)( S(k)收敛，且T(k)( S(k) (0，这样我们有
Ak (0，从而((A)<1.
充分性：设((A)<1，(I(A)(1存在，由于
I+A+A2+…+Ak=(I(A)(1 ((I(A)(1 Ak+1
因Ak(0，所以
I+A+A2+…+Ak+…( (I(A)(1.
又因为
(I(A)(1 ( (I+A+A2+…+Ak)= (I(A)(1 Ak+1
若有矩阵范数||.||使得||A||<1,则
||(I(A)(1 ( (I+A+A2+…+Ak)||=|| (I(A)(1 Ak+1||
设B=(I(A)(1 Ak+1,从而(I(A)B=Ak+1即
B=AB+ Ak+1,从而||B||( ||A||(||B||+ ||Ak+1||
即 ||B||(||A||k+1/(1(||A||)成立。
定理3.6 设幂级数 的收敛半径为r,
如果方阵A满足((A)< r,则矩阵幂级数
是绝对收敛的；如果((A) > r,
是发散的。
证明：利用绝对收敛的性质。
反之，设A的特征值(满足|(|=((A)，x为(相应的特征向量 ==,
由于((A) > r,那么发散(注意x为非零向量)
从而发散，这样发散。
矩阵函数定义：设一元函数f(z)能展开为z的幂级数
(|z|<r)
其中r>0表示该幂级数的收敛半径。当n阶矩阵A的谱半径((A) < r时，把收敛的矩阵幂级数的和为f (A),即 f (A)= .
性质(代入规则),若f (z)=g(z),则f (A)=g(A).
矩阵函数举例：
sin(z)=z(z3/3!+z5/5! (…
则 sin(A)= I(A3/3!+A5/5! (…
cos(z)=1(z2/2!+z4/4! (…
con(A)= I(A2/2!+A4/4! (…
ez=1+z+z2/2!+z3/3!+…
eA=I+A+A2/2!+A3/3!+…
性质2 若AB=BA,二元函数f (x,y)=g(x,y)
则 f (A,B)=g(A,B) (二元函数的代入规则).
矩阵函数值的求法
1.待定系数法
设n阶矩阵A的特征多项式((()=det((I(A),如果首1
多项式((()=(m+b1(m(1+…+bm(1(+bm (1(m(n)
满足:(1) ((A)=0;(2) ((()整除((()(矩阵A的最小多项式与特征多项式均满足这些条件),那么,((()的零点都是
A的特征值.记 ((()的互异零点为
(1,(2,…,(s,相应的重数为r1,…,rs(r1+r2+…+rs=m),则有
((l)((i)=0 (l=0,1,…,ri-1;i=1,2,…,s)
这里,((l)(()表示((()的l阶导数(下同),
设f(z)== ((z)g(z)+r(z),其中r(z)是次数低于m的多项式，于是可由f(l)((i) = r(l)( (i ) 确定 r(z).
利用 f(A)= ((A)g(A)+r(A)=r(A).
设,求eAt.
解 ((()=det((I(A)=(((2) (((5) ((+1)
z f(z)=ez t
2 e2 t
5 e5 t ( f (5) (f(2))/(5(2)= (e5 t (e2 t)/3
(1 e( t ( f ((1) (f(5))/( (1(5)= (e5 t ( e( t)/6 (e5 t (2e2 t +e( t)/18
从而 f(z)=ez t =((z)P(z)+r(z),
其中 r(z)= e2 t +(z(2) (e5 t (e2 t)/3+(z(2)(z(5) (e5 t (2e2 t +e( t)/18
= e2 t(1+(z(2)/3((z(2)(z(5)/9)
+ e5 t((z(2)/3+(z(2)(z(5)/18)
+ e( t(z(2)(z(5)/18
f(A)=e A t =r(A)= e2 t(I+(A(2I)/3((A(2I)(A(5I)/9)
+ e5 t((A(2I)/3+(A(2I)(A(5I)/18)
+ e( t(A (2I)( A (5I)/18
= +
例3.5 设,求eAt
解((()=det((I(A)=(((2)3
z f(z)=ez t
2 e2 t
2 e2 t f( (2)= te2 t
2 e2 t f( (2)= te2 t f (((2)/2!= t2 e2 t/2
从而 f(z)=ez t =((z)P(z)+r(z),
其中 r(z)= e2 t +t e2 t(z(2)+ t2e2 t(z(2)2/2
f(A)=e A t =r(A)= e2 t (I+t (A(2I)+ t2(A(2I)2/2 )
=
例,,
求 f(A),其中 f (z)= z16(z10。
解：由于det((I ( A)=( ((1)3((+1)=((()
,
,
求 r(z)使得f (z)=P(z) ((z)+ r(z),其中f (z)= z16(z10
z f (z)
1 0
1 0 f ((1)=6
1 0 f ((1)=6 f (((1)/2!=75
(1 0 0 (0(6)/( (1(1)=3 (3(75)/ ( (1(1)=36
因此 r(z)= 0+6(z(1)+ 75(z(1)2+36(z(1)3
从而f (A)=r(A)= 6(A( I )+ 75(A ( I )2+36(A (I)3
即r(A)=
2,数项级数求和法。
利用Am=k0I+k1A+k2A2+…+km(1A m(1
代入计算即可。
3,对角行法若A相似于对角行，求出它的对角矩阵和相似矩阵即 A=P(1DP,则f(A)= P(1f(D)P
4.Jordan标准行法
A= P(1J P,则f(A)= P(1f(J)P
4 矩阵的微分和积分
定义3.9 如果矩阵A(t)=(aij(t))m(n的每一个元素aij(t)
是变量t的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为
A((t)= (aij(t) )m(n
性质1,(A(t)+B(t))= A(t)+ B(t)
性质2.(A(t)B(t))=A(t)(B(t)+A(t)(B(t)
性质3,(((t)A(t))= (((t)A(t)+ ((t) (A(t)
性质4,如果A(t)和A(t)可交换，f(z)和t无关则有f(A(t))=f((A(t)) A(t)
特别注意若A(t)和A(t)不可交换,则上式不一定成立。
定义3.10 如果矩阵A(t)的每个元素aij(t)都是区间[t0,t1]上的连续函数，则定义A(t)在[t0,t1]上的积分为分量积分构成的矩阵,即
A(t) dt=aij(t)dt
性质：(积分算子仍为线性算子)
(A(t)+B(t))dt=A(t)dt+B(t)dt
P(A(t)(Qdt=P(A(t)dt) Q
当aij(t)都在[t0,t1]上连续时，就称A(t)在[t0,t1]上连续,且有
A(s)ds=A(t)
当aij(t)都在[a,b]上连续时
A((s)ds=A(b)(A(a)
其它微分概念
1函数对矩阵的导数(包括向量)
定义:设X=((ij)m(n,mn元函数
f(X)=f((11,…,(1n,(21…,(m1,…,(mn)
定义f(X)对矩阵X的导数为
==
例 f(x)=xTAx,则df/dx=(A+AT)x,
特别地，若A为对称矩阵，g(x)=xTAx/2,
则dg/dx=Ax.
若 f(t)=f(x),x=x(t),则df/dt=dxT/dt(df/dx.
关于迹函数的导数
d(tr(XTA))/dX=A.
d(tr(ATX))/dX=A.
行列式的自然对数关于矩阵的导数
d(log|Z|)/ds=tr((ZT)(1(dZ/ds)
d(log|Z|)/dZ=(ZT)(1
证明：det(Z)=,其中A1i为在矩阵Z中去掉第一行第i列的代数余子式。排列A1i得如下矩阵
则根据代数余子式的定义可得
Z()T=|Z| I
因此= |Z| (ZT )(1
由此可得结论。
矩阵函数对矩阵的导数
(主要考虑向量值函数对向量的导数)
定义3.13 设X=((ij)m(n 的mn元函数
fij(X)=fij((11,…,(1n,(21…,(m1,…,(mn)
定义矩阵
F(X)=
对矩阵X的导数如下：
=
其中
=
(i=1,2,…r,j=1,2,…,s)
例,y=Wx
则 dyT/dx=WT
例题：设f(x)是向量x的函数，而x又是u的函数，则
df/du=dxT/du (df/dx
根据定义 dxT/du=(dxT/du1,dxT/du2,..,dxT/dun)T
其中dxT/dui=(dx1/dui,…,dxn/dui)
类似地,设f(x)是向量x的函数，而x又是向量u的的向量值函数，u是v的向量值函数，则
df/dv=duT/dv(dxT/du (df/dx
证明：由题设f(x)是向量u的函数，所以
df/dv= duT/dv(df/du
而 df/du= dxT/du (df/dx
从而df /dv=duT/dv(dxT/du (df/dx成立。
3.1 矩阵序列
定义3.1 设矩阵序列{A(k)},其中A(k)=()(Cn(n,当k((，
(aij时，称矩阵序列{A(k)}收敛，并称矩阵A=(aij)为矩阵序列{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A,记为
或 A(k)( A
不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A(k) 发散的充要条件为存在ij使得数列发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义3.1' 矩阵序列{A(k)}收敛的充要条件为对任给(>0 存在N((),当 k,l ( N(() 时有
||A(k)(A(l)|| < (
例1
如果直接按定义我们因为求不出A(n)的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于
< 1/m
从而只要l充分大，则当m,n > l 时就有
这样A(l) 收敛。
定理3.1 A(k)( A的充要条件为
||A(k) (A||(0
证明：利用矩阵范数的等价性定理，仅对(范数可以证明。
即 c1 ||A(k) (A|| ( ||A(k) (A||(( c2 ||A(k) (A||
性质0 若A(k)( A,则 ||A(k)|| ( ||A|| 成立。
性质1,设A(k)( Am(n，B(k)( Bm(n,则
(( A(k)+( ( B(k) ( (( A+( ( B,( (,((C
性质2,设A(k)( Am(n，B(k)( Bn(l,则
A(k) (B(k)( A(B
证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的矩阵范数。
||A(k) (B(k)(A(B|| ( || A(k) (B(k) (A(B(k)||+||AB(k)( A(B||
( || A(k) (A||(||B(k)||+||A||(||B(k)(B||
注意|| A(k) ||(||A||,||B(k)||(||B||,则结论可得。
特别地有
性质2’,A(k)( A的充要条件为
A(k) x(Ax,对任意x成立
（在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的)
性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)( A，则
(A(k))(1( A(1
证明,因为A(1( (A(k)) (I,所以存在K,当k>K时有
||I( A(1( (A(k))||<1/2
我们有(A(k))(1= A(1+( I( A(1( (A(k))) (A(k))(1
从而||(A(k))(1||(||A(1||+||( I( A(1( (A(k)))||(|| (A(k))(1||
当k>K时，有
||(A(k))(1||(||A(1||+1/2(|| (A(k))(1||
即 ||(A(k))(1||(2(||A(1||
因为A(1( (A(k))(1= A(1 (A(k)( A) (A(k))(1
从而 || A(1( (A(k))(1||(||A(1||(||A(k)( A||(||(A(k))(1||
(当k>K时) (||A(1||(||A(k)( A||(2||A(1||
(当k((时) (0
由定理3.1有(A(k))(1( A(1
定义3.2矩阵序列{A(k)}称为有界的，如果存在常数
M>0，使得对一切k都有
||<M 或等价的 || A(k)||<M’
定理：有界的矩阵序列{A(k)}一定有收敛的子列。
定义3.3 设A为方阵，且当k((时有Ak(0，则称A为收敛矩阵。
定理3.2(迭代法基本定理) Ak(0的充要条件为谱半径
((A)<1.
证明：必要性：设Ak(0，证明((A)<1.
对A的任意特征值(和相应的特征向量x有
(x=Ax.
这样我们有Akx=(kx
从而有|(|k (||x||=||Akx||(||Ak||(||x||
从而有|(|k(||Ak||(0
这样有|(|<1,由于(为A的任意特征向量，
所以((A)<1,即必要性得证。
充分性。已知((A)<1，证明Ak(0.
取(=(1(((A))/2 >0,由定理2.10有,存在某种相容的矩阵范数||.||M使得 ||A||M< ((A)+ ( <1
从而||Ak|| M((||A||M)k<(((A)+ ()k
所以当k((有||Ak|| M (0,从而Ak(0.
定理3.3 Ak(0的充分条件为存在矩阵范数||.||M使得
||A||M <1
3.2矩阵级数定义3.4设矩阵序列{A(k)},其中A(k)=()(Cn(n,由它们形成的无穷和 A(0)+A(1)+…+A(k)+…称为矩阵级数，
记为 ，即有
= A(0)+A(1)+…+A(k)+…
定义3.5 记S(N)=,称其为矩阵级数的部分和.
如果矩阵序列{S(N)}收敛，且有极限S,即有
S(N)(S
那么称矩阵级数收敛，且和为S,记为
S=
不收敛的矩阵级数称为发散的。
显然=S 是指，( i,j
即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。
性质：矩阵级数收敛的充要条件为对任意向量x,
向量级数收敛。
定义3.6 设矩阵级数的每个分量所构成的数项级数绝对收敛，则称矩阵级数绝对收敛。
关于绝对收敛，我们有如下的定理：
性质1,绝对收敛的交换求和次序不改变其绝对收敛性和极限值。
性质2,矩阵级数绝对收敛的充要条件为正项级数
收敛。
性质3,如果矩阵级数(绝对)收敛,那么
也是(绝对)收敛,且有
=P()Q
性质4,设Cn(n的两个矩阵级数
S1,A(1)+A(2)+…+A(k)+…
S2,B(1)+B(2)+…+B(k)+…
都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数
S3,A(1) B(1)+ [A(1) B(2)+ A(2) B(1)]+…
+[ A(1) B(k)+ A(2) B(k(1) +…+A(2) B(1)]+…
绝对收敛且和为AB.
证明：由于S1,A(1)+A(2)+…+A(k)+…绝对收敛的充要条件为正项级数||A(1)||+||A(2)||+…+||A(k)||+…收敛且与排列无关。
我们证明的思路是证明正项级数：
||A(1) B(1)||+ ||A(1) B(2)+ A(2) B(1)||+…
+||A(1) B(k)+ A(2) B(k(1) +…+A(k) B(1)||+…
收敛。引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数：
||A(1)||(||B(1)||+ { ||A(1) ||(||B(2)||+ ||A(2) ||(||B(1)||}+…
+{||A(1) ||(||B(k)||+ ||A(2) ||(||B(k(1) ||+…+||A(k) ||(||B(1)||}+…
收敛。这由题设正项级数||A(1)||+||A(2)||+…+||A(k)||+…
和正项级数 ||B(1)||+||B(2)||+…+||B(k)||+…
的收敛性可得。
定理3.4 幂级数 I+A+A2+…+Ak+…收敛的充要条件为
A的谱半径((A)<1,收敛时其和为(I(A)(1
且||(I(A)(1( I+A+A2+…+Ak||(||A||k+1/(1(||A||)
证明,必要性,由于I+A+A2+…+Ak+…收敛，从而
S(k)= I+A+A2+…+Ak收敛。记T(k)= I+A+A2+…+Ak+1
Ak=T(k)( S(k)收敛，且T(k)( S(k) (0，这样我们有
Ak (0，从而((A)<1.
充分性：设((A)<1，(I(A)(1存在，由于
I+A+A2+…+Ak=(I(A)(1 ((I(A)(1 Ak+1
因Ak(0，所以
I+A+A2+…+Ak+…( (I(A)(1.
又因为
(I(A)(1 ( (I+A+A2+…+Ak)= (I(A)(1 Ak+1
若有矩阵范数||.||使得||A||<1,则
||(I(A)(1 ( (I+A+A2+…+Ak)||=|| (I(A)(1 Ak+1||
设B=(I(A)(1 Ak+1,从而(I(A)B=Ak+1即
B=AB+ Ak+1,从而||B||( ||A||(||B||+ ||Ak+1||
即 ||B||(||A||k+1/(1(||A||)成立。
定理3.6 设幂级数 的收敛半径为r,
如果方阵A满足((A)< r,则矩阵幂级数
是绝对收敛的；如果((A) > r,
是发散的。
证明：利用绝对收敛的性质。
反之，设A的特征值(满足|(|=((A)，x为(相应的特征向量 ==,
由于((A) > r,那么发散(注意x为非零向量)
从而发散，这样发散。
矩阵函数定义：设一元函数f(z)能展开为z的幂级数
(|z|<r)
其中r>0表示该幂级数的收敛半径。当n阶矩阵A的谱半径((A) < r时，把收敛的矩阵幂级数的和为f (A),即 f (A)= .
性质(代入规则),若f (z)=g(z),则f (A)=g(A).
矩阵函数举例：
sin(z)=z(z3/3!+z5/5! (…
则 sin(A)= I(A3/3!+A5/5! (…
cos(z)=1(z2/2!+z4/4! (…
con(A)= I(A2/2!+A4/4! (…
ez=1+z+z2/2!+z3/3!+…
eA=I+A+A2/2!+A3/3!+…
性质2 若AB=BA,二元函数f (x,y)=g(x,y)
则 f (A,B)=g(A,B) (二元函数的代入规则).
矩阵函数值的求法
1.待定系数法
设n阶矩阵A的特征多项式((()=det((I(A),如果首1
多项式((()=(m+b1(m(1+…+bm(1(+bm (1(m(n)
满足:(1) ((A)=0;(2) ((()整除((()(矩阵A的最小多项式与特征多项式均满足这些条件),那么,((()的零点都是
A的特征值.记 ((()的互异零点为
(1,(2,…,(s,相应的重数为r1,…,rs(r1+r2+…+rs=m),则有
((l)((i)=0 (l=0,1,…,ri-1;i=1,2,…,s)
这里,((l)(()表示((()的l阶导数(下同),
设f(z)== ((z)g(z)+r(z),其中r(z)是次数低于m的多项式，于是可由f(l)((i) = r(l)( (i ) 确定 r(z).
利用 f(A)= ((A)g(A)+r(A)=r(A).
设,求eAt.
解 ((()=det((I(A)=(((2) (((5) ((+1)
z f(z)=ez t
2 e2 t
5 e5 t ( f (5) (f(2))/(5(2)= (e5 t (e2 t)/3
(1 e( t ( f ((1) (f(5))/( (1(5)= (e5 t ( e( t)/6 (e5 t (2e2 t +e( t)/18
从而 f(z)=ez t =((z)P(z)+r(z),
其中 r(z)= e2 t +(z(2) (e5 t (e2 t)/3+(z(2)(z(5) (e5 t (2e2 t +e( t)/18
= e2 t(1+(z(2)/3((z(2)(z(5)/9)
+ e5 t((z(2)/3+(z(2)(z(5)/18)
+ e( t(z(2)(z(5)/18
f(A)=e A t =r(A)= e2 t(I+(A(2I)/3((A(2I)(A(5I)/9)
+ e5 t((A(2I)/3+(A(2I)(A(5I)/18)
+ e( t(A (2I)( A (5I)/18
= +
例3.5 设,求eAt
解((()=det((I(A)=(((2)3
z f(z)=ez t
2 e2 t
2 e2 t f( (2)= te2 t
2 e2 t f( (2)= te2 t f (((2)/2!= t2 e2 t/2
从而 f(z)=ez t =((z)P(z)+r(z),
其中 r(z)= e2 t +t e2 t(z(2)+ t2e2 t(z(2)2/2
f(A)=e A t =r(A)= e2 t (I+t (A(2I)+ t2(A(2I)2/2 )
=
例,,
求 f(A),其中 f (z)= z16(z10。
解：由于det((I ( A)=( ((1)3((+1)=((()
,
,
求 r(z)使得f (z)=P(z) ((z)+ r(z),其中f (z)= z16(z10
z f (z)
1 0
1 0 f ((1)=6
1 0 f ((1)=6 f (((1)/2!=75
(1 0 0 (0(6)/( (1(1)=3 (3(75)/ ( (1(1)=36
因此 r(z)= 0+6(z(1)+ 75(z(1)2+36(z(1)3
从而f (A)=r(A)= 6(A( I )+ 75(A ( I )2+36(A (I)3
即r(A)=
2,数项级数求和法。
利用Am=k0I+k1A+k2A2+…+km(1A m(1
代入计算即可。
3,对角行法若A相似于对角行，求出它的对角矩阵和相似矩阵即 A=P(1DP,则f(A)= P(1f(D)P
4.Jordan标准行法
A= P(1J P,则f(A)= P(1f(J)P
4 矩阵的微分和积分
定义3.9 如果矩阵A(t)=(aij(t))m(n的每一个元素aij(t)
是变量t的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为
A((t)= (aij(t) )m(n
性质1,(A(t)+B(t))= A(t)+ B(t)
性质2.(A(t)B(t))=A(t)(B(t)+A(t)(B(t)
性质3,(((t)A(t))= (((t)A(t)+ ((t) (A(t)
性质4,如果A(t)和A(t)可交换，f(z)和t无关则有f(A(t))=f((A(t)) A(t)
特别注意若A(t)和A(t)不可交换,则上式不一定成立。
定义3.10 如果矩阵A(t)的每个元素aij(t)都是区间[t0,t1]上的连续函数，则定义A(t)在[t0,t1]上的积分为分量积分构成的矩阵,即
A(t) dt=aij(t)dt
性质：(积分算子仍为线性算子)
(A(t)+B(t))dt=A(t)dt+B(t)dt
P(A(t)(Qdt=P(A(t)dt) Q
当aij(t)都在[t0,t1]上连续时，就称A(t)在[t0,t1]上连续,且有
A(s)ds=A(t)
当aij(t)都在[a,b]上连续时
A((s)ds=A(b)(A(a)
其它微分概念
1函数对矩阵的导数(包括向量)
定义:设X=((ij)m(n,mn元函数
f(X)=f((11,…,(1n,(21…,(m1,…,(mn)
定义f(X)对矩阵X的导数为
==
例 f(x)=xTAx,则df/dx=(A+AT)x,
特别地，若A为对称矩阵，g(x)=xTAx/2,
则dg/dx=Ax.
若 f(t)=f(x),x=x(t),则df/dt=dxT/dt(df/dx.
关于迹函数的导数
d(tr(XTA))/dX=A.
d(tr(ATX))/dX=A.
行列式的自然对数关于矩阵的导数
d(log|Z|)/ds=tr((ZT)(1(dZ/ds)
d(log|Z|)/dZ=(ZT)(1
证明：det(Z)=,其中A1i为在矩阵Z中去掉第一行第i列的代数余子式。排列A1i得如下矩阵
则根据代数余子式的定义可得
Z()T=|Z| I
因此= |Z| (ZT )(1
由此可得结论。
矩阵函数对矩阵的导数
(主要考虑向量值函数对向量的导数)
定义3.13 设X=((ij)m(n 的mn元函数
fij(X)=fij((11,…,(1n,(21…,(m1,…,(mn)
定义矩阵
F(X)=
对矩阵X的导数如下：
=
其中
=
(i=1,2,…r,j=1,2,…,s)
例,y=Wx
则 dyT/dx=WT
例题：设f(x)是向量x的函数，而x又是u的函数，则
df/du=dxT/du (df/dx
根据定义 dxT/du=(dxT/du1,dxT/du2,..,dxT/dun)T
其中dxT/dui=(dx1/dui,…,dxn/dui)
类似地,设f(x)是向量x的函数，而x又是向量u的的向量值函数，u是v的向量值函数，则
df/dv=duT/dv(dxT/du (df/dx
证明：由题设f(x)是向量u的函数，所以
df/dv= duT/dv(df/du
而 df/du= dxT/du (df/dx
从而df /dv=duT/dv(dxT/du (df/dx成立。
