第7章 特殊矩阵介绍
7.1 正定矩阵
定义：若Hermite矩阵A满足xHAx>0 对任何x(0都成立,则称A为正定矩阵。
基本性质：A正定(顺序主子式大于零(特征值大于零(A=CHC
定义：A(B为半正定(A(B.
性质7：若A,B都为正定矩阵，则A(B( B(1(A(1.
证明:由于A为正定，从而A(1正定，存在可逆矩阵C使得A(1= CCH,
因此由A(B正定可得I(CHBC正定，推得CHBC的特征值都小于1，从而(CHBC) (1的特征值都大于1，即(CHBC) (1(I的特征值都大于0，从而(CHBC) (1(I为正定矩阵，即C(1 B(1(CH)(1(I正定，
B(1( CCH= B(1 (A(1正定。反之亦然。
性质8,I(AA+为正定矩阵(BHB( BH AA+B为正定矩阵。
证明：AA+为投影矩阵，从而I(AA+为正定矩阵。
7.3 非负矩阵定义：若n阶实矩阵A=(aij)满足aij (0，则A为非负矩阵；
若aij>0,则A为正矩阵。
定义：若存在置换矩阵P使得 PAPT=,则称A为可约矩阵；
否则为不可约矩阵定理7.1：若A(Rn(n为非负不可约矩阵，则
1),谱半径((A)为A的特征值；
2),存在属于((A)的正特征向量；
3),A的任意元素增加时，((A)不减少。
推论：若A为正矩阵，则
1),谱半径((A)为A的特征值；
2),存在属于((A)的正特征向量；
3),A的任意元素增加时，((A)不减少。
定理7.2 若A(Rn(n为非负正矩阵，则
1),谱半径((A)为A的特征值；
2),存在属于((A)的非负特征向量；
3),A的任意元素增加时，((A)不减少。
例 A=,B=,
((A)=3,((B)=3.0365
Toeplitz矩阵
定义：A=称为Toeplitz矩阵.
Hilbert矩阵 (条件数差的典型例子)
H=(1/(i+j(1))i,j=1,...,n
(H(1)ij =,i,j=1,2,...,n;
Hadamard矩阵如果n阶矩阵H的元素为+1或(1，且满足
HHT= n(I
则称H为Hadamard矩阵.
性质：若n>2且n阶Hadamard矩阵存在,则n为4的倍数。
猜想：若n为4的倍数，则n阶Hadamard矩阵存在.
H1=[1]
H2=,
,这种方法称为Sylvester方法.