线性空间:
赋范空间，内积空间空间中向量的表示和矩阵有关，
空间和集合，
拓扑空间，欧氏空间，Banach空间,
Hilbert空间，Sobolv空间，
线性映射：值域，定义域，逆
定义映射用点到点，
线性变换；
矩阵是线性映射的表示,
研究时可以用集合到集合，
如：定义函数不连续点的全体，
如果这个全体较少，则可以看作几乎连续的；
非线性映射，矩阵和微分：
y=f(x),
y+(y=f(x+(x)=f(x)+A(x+o(||(x||)
dy= Adx,A为Jacobi矩阵.
dy/dxT= A,
Jacobi矩阵为非线性映射的局部线性化，
是非线性映射的局部线性逼近。
线性方程,线性矩阵方程，
许多问题的求解最终归结为求解线性方程组。
矩阵是线性方程的参数.
矩阵分析主要讨论矩阵在这三个领域的应用。
矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：aij=aji
也可以定义为,(x,Ay)=(Ax,y),
还可以定义为,Ax=(f(x),
其中f(x)=xTBx/2,即它对向量x的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
第一章：线性空间和线性变换
线性空间集合与映射线性空间的定义和性质
线性空间中向量的表示基变换与坐标变换向量在不同基下的表示坐标的关系：
线性子空间子空间的运算：交,和,直和线性空间的分解：
小波分析，有限元方法，
线性方程组的迭代求解.
2 线性映射,线性函数，线性变换及它们的矩阵表示表示是什么？表示究是本质来说是一种映射，它把我们不熟悉或抽象的事物映射为我们熟知或具体的事物。
注意对于同一映射，若空间的基选择不同，则它的表示一般不相同。
一个很自然的问题就是各种表示之间的关系如何？
线性映射在不同基下的矩阵表示的关系式.
映射的复合：
2)线性变换：
线性变换的特征值和特征向量由于线性变换在不同基下的矩阵表示不相同，那么一个很自然的问题就是，
怎样选择特殊的基使得给定线性变换在该组基下的表示矩阵最简单。
3 基于线性映射的空间性质前面讨论的空间性质都是静止的，我们需要在运动中考察空间的性质。
不变子空间不变子空间的性质：
Jordan 标准形欧氏(Euclid)空间内积,正定矩阵，
正交性,正交基
Gram-Schmidt正交化过程。
空间的正交分解，
正交变换对称变换和对称矩阵
Heirmite矩阵的谱分解
第2章 范数理论及其应用(线性空间)
向量范数,
范数等价性,收敛性定义，
矩阵范数，
相容性，
迹与范数,特征值，
谱半径与范数；
3．矩阵分析及其应用(线性矩阵空间)
矩阵序列,收敛性，发散性，收敛矩阵，
迭代法基本定理
矩阵级数，收敛，绝对收敛幂级数 I+A+A2+…+Ak+…收敛的充要条件
矩阵函数,性质，矩阵函数值的求法
矩阵的微分和积分
微分的链式法则
df/dv=duT/dv(dxT/du (df/dx
第4章 矩阵分解(线性变换的表示)
4.1 高斯消去法和LU分解
消去过程，高斯消去过程的性质，
顺序高斯消去存在的条件；
对角元和顺序主子式的关系；
高斯消去法的应用:解线性方程组(运算量)，
求矩阵逆，LU分解；
分块矩阵的LU分解和矩阵求逆引理
4.2矩阵的QR分解
Givens变换与Householder变换定义，简单性质，矩阵QR分解，算法
4.3 矩阵的满秩分解定义，简单性质，算法
Hermite标准形，
定理 设F(，G(,则rank(FG)= r
4.4 矩阵的奇异值分解
定义，简单性质，算法
(广义谱分解)
A=(1u1+(2u2+…+(rur
应用；
第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性
( 线性变换)
5.1特征值的估计矩阵A按行(弱)对角占优
Hadamard’s inequality
Gerschgorin圆
Gerschgorin 定理1、2
广义特征值问题
Ax=(Bx
基本定义，性质，
按B标准正交化向量x1,…,xn，特征向量，特征值
5.3对称矩阵特征值的极性实对称矩阵的Rayleigh商的极性定理5.18 （Courant-Fischer）定理,
极大极小定理、证明及在特征值估计中的应用广义特征值的极性，证明、应用；
5.4 矩阵直积的定义和基本性质
定理5.27 f(A,B) 的全体特征值为f((i,(j).
拉伸算子 ,xi表示X的第i行.
性质：vec(AXB)=(A(BT)vec(X).
结合定理5.27 讨论线性矩阵方程的可解性。
6,广义逆矩阵 (线性方程)
6.1 投影矩阵投影算子，投影矩阵，
定义，证明两个投影矩阵相等，如何证？
幂等矩阵，
正交投影算子，正交投影矩阵，
定义，证明两个正交投影矩阵相等，如何证？
幂等矩阵，Hermite 矩阵
6.2 广义逆矩阵的定义和性质
定义6.4
A和X的对称性.
X(A{1}( A (X{2}
X(A{2}( A (X{1}
X(A{3}( A (X{4}
X(A{4}( A (X{3}
引理：N(A)(N(B) (存在X,使得A=XB.
R(A)(R(B)( 存在X,使得A=BX.
推论：rank(AB)=rank(A)(A=ABX
rank(BA)=rank(A) (A=XBA
定理6.5 (定理6.10
6.3 广义逆的计算方法
A(1),A+
6.4 广义逆与线性方程组求解
定理6.26,
Ax=b
相容性，相容解，一般表达式与{1}逆，
2,相容线性方程组的最小范数解与{1,4}-逆
3,矛盾方程组的最小二乘解与{1,3}-逆
4,矛盾方程组的极小范数最小二乘解与A+.
第7章 特殊矩阵介绍
7.1 正定矩阵
7.3 非负矩阵
Toeplitz矩阵,Hilbert矩阵 (条件数差的典型例子),
Hadamard矩阵(性质与构造)
赋范空间，内积空间空间中向量的表示和矩阵有关，
空间和集合，
拓扑空间，欧氏空间，Banach空间,
Hilbert空间，Sobolv空间，
线性映射：值域，定义域，逆
定义映射用点到点，
线性变换；
矩阵是线性映射的表示,
研究时可以用集合到集合，
如：定义函数不连续点的全体，
如果这个全体较少，则可以看作几乎连续的；
非线性映射，矩阵和微分：
y=f(x),
y+(y=f(x+(x)=f(x)+A(x+o(||(x||)
dy= Adx,A为Jacobi矩阵.
dy/dxT= A,
Jacobi矩阵为非线性映射的局部线性化，
是非线性映射的局部线性逼近。
线性方程,线性矩阵方程，
许多问题的求解最终归结为求解线性方程组。
矩阵是线性方程的参数.
矩阵分析主要讨论矩阵在这三个领域的应用。
矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：aij=aji
也可以定义为,(x,Ay)=(Ax,y),
还可以定义为,Ax=(f(x),
其中f(x)=xTBx/2,即它对向量x的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
第一章：线性空间和线性变换
线性空间集合与映射线性空间的定义和性质
线性空间中向量的表示基变换与坐标变换向量在不同基下的表示坐标的关系：
线性子空间子空间的运算：交,和,直和线性空间的分解：
小波分析，有限元方法，
线性方程组的迭代求解.
2 线性映射,线性函数，线性变换及它们的矩阵表示表示是什么？表示究是本质来说是一种映射，它把我们不熟悉或抽象的事物映射为我们熟知或具体的事物。
注意对于同一映射，若空间的基选择不同，则它的表示一般不相同。
一个很自然的问题就是各种表示之间的关系如何？
线性映射在不同基下的矩阵表示的关系式.
映射的复合：
2)线性变换：
线性变换的特征值和特征向量由于线性变换在不同基下的矩阵表示不相同，那么一个很自然的问题就是，
怎样选择特殊的基使得给定线性变换在该组基下的表示矩阵最简单。
3 基于线性映射的空间性质前面讨论的空间性质都是静止的，我们需要在运动中考察空间的性质。
不变子空间不变子空间的性质：
Jordan 标准形欧氏(Euclid)空间内积,正定矩阵，
正交性,正交基
Gram-Schmidt正交化过程。
空间的正交分解，
正交变换对称变换和对称矩阵
Heirmite矩阵的谱分解
第2章 范数理论及其应用(线性空间)
向量范数,
范数等价性,收敛性定义，
矩阵范数，
相容性，
迹与范数,特征值，
谱半径与范数；
3．矩阵分析及其应用(线性矩阵空间)
矩阵序列,收敛性，发散性，收敛矩阵，
迭代法基本定理
矩阵级数，收敛，绝对收敛幂级数 I+A+A2+…+Ak+…收敛的充要条件
矩阵函数,性质，矩阵函数值的求法
矩阵的微分和积分
微分的链式法则
df/dv=duT/dv(dxT/du (df/dx
第4章 矩阵分解(线性变换的表示)
4.1 高斯消去法和LU分解
消去过程，高斯消去过程的性质，
顺序高斯消去存在的条件；
对角元和顺序主子式的关系；
高斯消去法的应用:解线性方程组(运算量)，
求矩阵逆，LU分解；
分块矩阵的LU分解和矩阵求逆引理
4.2矩阵的QR分解
Givens变换与Householder变换定义，简单性质，矩阵QR分解，算法
4.3 矩阵的满秩分解定义，简单性质，算法
Hermite标准形，
定理 设F(，G(,则rank(FG)= r
4.4 矩阵的奇异值分解
定义，简单性质，算法
(广义谱分解)
A=(1u1+(2u2+…+(rur
应用；
第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性
( 线性变换)
5.1特征值的估计矩阵A按行(弱)对角占优
Hadamard’s inequality
Gerschgorin圆
Gerschgorin 定理1、2
广义特征值问题
Ax=(Bx
基本定义，性质，
按B标准正交化向量x1,…,xn，特征向量，特征值
5.3对称矩阵特征值的极性实对称矩阵的Rayleigh商的极性定理5.18 （Courant-Fischer）定理,
极大极小定理、证明及在特征值估计中的应用广义特征值的极性，证明、应用；
5.4 矩阵直积的定义和基本性质
定理5.27 f(A,B) 的全体特征值为f((i,(j).
拉伸算子 ,xi表示X的第i行.
性质：vec(AXB)=(A(BT)vec(X).
结合定理5.27 讨论线性矩阵方程的可解性。
6,广义逆矩阵 (线性方程)
6.1 投影矩阵投影算子，投影矩阵，
定义，证明两个投影矩阵相等，如何证？
幂等矩阵，
正交投影算子，正交投影矩阵，
定义，证明两个正交投影矩阵相等，如何证？
幂等矩阵，Hermite 矩阵
6.2 广义逆矩阵的定义和性质
定义6.4
A和X的对称性.
X(A{1}( A (X{2}
X(A{2}( A (X{1}
X(A{3}( A (X{4}
X(A{4}( A (X{3}
引理：N(A)(N(B) (存在X,使得A=XB.
R(A)(R(B)( 存在X,使得A=BX.
推论：rank(AB)=rank(A)(A=ABX
rank(BA)=rank(A) (A=XBA
定理6.5 (定理6.10
6.3 广义逆的计算方法
A(1),A+
6.4 广义逆与线性方程组求解
定理6.26,
Ax=b
相容性，相容解，一般表达式与{1}逆，
2,相容线性方程组的最小范数解与{1,4}-逆
3,矛盾方程组的最小二乘解与{1,3}-逆
4,矛盾方程组的极小范数最小二乘解与A+.
第7章 特殊矩阵介绍
7.1 正定矩阵
7.3 非负矩阵
Toeplitz矩阵,Hilbert矩阵 (条件数差的典型例子),
Hadamard矩阵(性质与构造)
