Ex1.3 Page 107
7.设x1,x2,…,xm为欧氏空间Vm的一组向量，而

试证明detB(0的充要条件是x1,x2,…,xm线性无关。
证明：任给m维向量(=((1,(2,…,(m)T,作y=(1(x1+(2(x2+…+(m(xm,
则 ||y||2=(y,y)= (TB( ( 0。这说明B为半正定矩阵。
充分性,这时假设x1,x2,…,xm线性无关,证明B为正定矩阵，从而detB(0.
事实上，我们只需证明(TB(=0,则(=0 即可。
因为0=(TB(=||y||2，从而y=0,因为y=(1(x1+(2(x2+…+(m(xm,而且假设x1,x2,…,xm线性无关这样显然只有(=0成立。从而B为正定矩阵，也就是detB(0。
必要性,假设detB(0，证明x1,x2,…,xm线性无关。
事实上，我们只需证明由y=0可以推导(=0 即可。
因为y=0,所以0=||y||2= (TB(,
由于B为半正定矩阵，则说明B的特征值不小于0，而detB(0说明B的特征值不等于0。因此B的特征值大于0，即B为正定矩阵。这样由0=||y||2= (TB(可得(=0，即x1,x2,…,xm线性无关。证毕。
14,设V1,V2是欧氏空间两个子空间，证明
(V1+V2)( = (V1) ( ( (V2) (
(V1 ( V2) ( = (V1) ( + (V2) (
证明：任给y((V1+V2)(,则任给x(V1+V2有(y,x)=0 。
从而对任给x(V1( V1+V2有(y,x)=0，即y((V1)(,
同理对任给 x(V2( V1+V2有(y,x)=0，即y((V2)(,
因此y( (V1) ( ( (V2) (。
由于y 的任意性，有(V1+V2)( ( (V1) ( ( (V2) ( (1)
反之，设y( (V1) ( ( (V2) (，任给x(V1+V2,存在x1(V1和x2(V2使得x=x1+x2.
由y( (V1) ( ( (V2) (和x1(V1得(y,x1)=0；
同理由y( (V1) ( ( (V2) (和x2(V2得(y,x2)=0；
从而 (y,x)= (y,x1) +(y,x2)=0+0=0.
这样我们有 y((V1+V2)(
由于y 的任意性，有(V1) ( ( (V2) ( ( (V1+V2)( (2)
联合(1)和(2)可得结论 (V1+V2)( = (V1) ( ( (V2) ( 。
我们知道对于欧氏空间的任意子空间V有(V () ( =V.
因此利用结论 (V1+V2)( = (V1) ( ( (V2) ( 可得
( (V1) ( + (V2) ()( = ((V1) ()( ( ((V2) () ( = V1 ( V2.
利用(V () ( =V有(V1 ( V2) ( = ( ( (V1) ( + (V2) ()()( = (V1) ( + (V2) (,
即(V1 ( V2) ( = (V1) ( + (V2) (。
证毕。
Ex2.1 Page 121
4,设 ||x||(与||x||( 是Cn上的两种范数，证明下列函数
(1) max (||x||(,||x||()为范数。
(2) 略。
证明：I),非负性.（略）II)对称性,(略)
III) ( 三角不等式)
由于|| (||(为范数，所以||x+y||( ( ||x||(+||y||(；
由于|| (||(为范数，所以||x+y||( ( ||x||(+||y||(.
从而 max (||x+y||(,||x+y||()( max (||x||(+||y||(,||x||(+||y||() (*)
因为 ||x||( ( max (||x||(,||x||()
||y||( ( max (||y||(,||y||()
所以 ||x||(+||y||( ( max (||x||(,||x||()+ max (||y||(,||y||() (**)
同理||x||( ( max (||x||(,||x||()
||y||( ( max (||y||(,||y||()
所以||x||(+||y||(( max (||x||(,||x||()+ max (||y||(,||y||() (***)
联合(**)和(***)有
max (||x||(+||y||(,||x||(+||y||()( max (||x||(,||x||()+ max (||y||(,||y||() (****)
联合(*)和(****)有
max (||x+y||(,||x+y||()( max (||x||(,||x||()+ max (||y||(,||y||()
此即三角不等式成立。