思考题1：一个n维线性空间的真子空间有多少？
答：当n>1时有无穷多。n=1时，只有一个零空间。n=0,没有真子空间。
思考题2：若V
1
,V
2
,…,V
m
为线性空间V的真子空间，证明存在
一个向量x∈V,但x?V
1
∪V
2
∪ …∪V
m
成立。
证明：我们设V的维数大于1。使用数学归纳法。
当m=1,显然成立。
当m=2时，取x
1
∈ V
1
,但x
1
V
2; x
2
∈ V
2
,但x
2
V
1
。
显然 x
1
+x
2
V
1
∪V
2
,
不失一般性，设对于m=k 时命题成立。下面我们证明
对于m=k+1时命题仍然成立。
由假设存在x?V
1
∪V
2
∪ …∪V
k
,若x?V
m
,则命题已经成立。从而我们假设x∈V
m
。由于V
m
为真子空间,从而存在y? V
m
,
取m+1个互不相同的实数λ
1
<λ
2
<…<λ
m+1
,作m+1个向量
y+λ
i
x,
若存在某一个λ
i
使得y+λ
i
x?V
1
∪V
2
∪ …∪V
m
,则命题已经得证。
因此我们假设对于所有的λ
i
有y+λ
i
x∈ V
1
∪V
2
∪ …∪V
m
,这意味着对任意的λ
i
存在某一V
s
使得y+λ
i
x∈V
s
,当i取遍1,2,…,m+1
时，根据鸽笼原理显然存在某一个子空间V
s
使得存在两个不同的λ
i
和λ
j
满足y+λ
i
x∈V
s
和 y+λ
j
x∈V
s
,
下面我们首先证明 V
s
不能是 V
m
。
使用反正法，若V
s
是 V
m
。 则存在两个不同的λ
i
和λ
j
使得y+λ
i
x∈V
m
和 y+λ
j
x∈V
m
.注意到
x∈V
m
和y? V
m
,所以这是不可能成立的,因为两个不同的λ
i
和
λ
j
至多有一个为零，而不可能同时为零。这样V
s
不能是 V
m
。
所以V
s
只能是V
1
,V
2
,…,V
k
中的一个。
但是又因为存在两个不同的λ
i
和λ
j
使得y+λ
i
x∈V
s
和 y+λ
j
x∈V
s
,
这样(λ
i
λ
j
)x= (y+λ
i
x)?( y+λ
j
x)∈V
s
。 注意λ
i
λ
j
≠0。
这样我们推得x∈V
s
,但是这和对x的假设矛盾。从而我们得出
命题对m=k+1成立。
从而由数学归纳法命题得证。
思考：若A∈R
n×n
,R(A) ⊕N(A)=R
n
成立吗？举例说明？
成立的条件是什么？
答：若A∈R
n×n
,R(A) ⊕N(A)不一定成立。例如n=2,
A=
,易验证R(A)+N(A)= 。
11
11
∈
Rkk,
1
1
R(A) ⊕N(A)=R
n
成立的条件为A=A
T
,
应用谱分解证明：若A和B都为正定Heimite矩阵，则C=A?B
仍为正定Heirmite矩阵，其中，c
ij
= a
ij
b
ij
,即C的每个元素为A
和B元素的乘积。
证明：设A为正定Heirmite矩阵,则
A=λ
1
p
1?
(p
1
)
H
+λ
2
p
2?
(p
2
)
H
+…+λ
n
p
n?
(p
n
)
H
其中λ
k
> 0,k=1,2,…,n,设p
k
的第i个元素为p
ki
,那么我们有
A的第i行j 列元素a
ij
=,这样对于任给向量x,我们
∑
=
n
k
kjkik
pp
1
λ
有x
T
Cx = =, 由B为正定的Heirmite矩阵,从而x
∑∑∑
===
n
i
n
j
n
k
jikjijkik
xxpbp
111
λ
∑∑∑
===
n
k
n
i
n
j
jkjijikik
xpbxp
111
)()(λ
T
Cx ≥0,并且x
T
Cx =0的充要条件为
对所有的k和i有p
ki
x
i
=0.如果记P=(
p
1,
p
2,…,
p
n
),则
Px=0.由于P为A的特征向量构成的正交基。因此，这意味着x=0,
从而有C为正定矩阵。
习题1.3 P107
13 设A为n阶对称矩阵,且A=A
2
,证明存在正交矩阵Q使得
=
0
0
1
1
O
O
AQQ
T
证明。 取R(A)的一组标准正交基,不妨设为x
1
,x
2
,…,x
r
,同时再取R (A)的一组标准正交基,不妨设为x
⊥
r+1
,x
r+2
,…,x
n
,
对于1≤ k ≤ r,存在y
k
∈R
n
使得x
k
=A y
k
,从而Ax
k
=A
2
y
k
= A y
k
=x
k
,
同样对于r+1≤ k ≤ n,对任给y
k
∈R
n
有A y
k
∈R(A),所以
(x
k
,A y
k
)=0,即(Ax
k
,y
k
)=0,由于y
k
的任意性,从而Ax
k
=0。
这样 记Q=( x
1
,x
2
,…,x
r
,x
r+1
,x
r+2
,…,x
n
),则
=
0
0
1
1
O
O
QAQ,即Q。
=
0
0
1
1
O
O
AQ
T
答：当n>1时有无穷多。n=1时，只有一个零空间。n=0,没有真子空间。
思考题2：若V
1
,V
2
,…,V
m
为线性空间V的真子空间，证明存在
一个向量x∈V,但x?V
1
∪V
2
∪ …∪V
m
成立。
证明：我们设V的维数大于1。使用数学归纳法。
当m=1,显然成立。
当m=2时，取x
1
∈ V
1
,但x
1
V
2; x
2
∈ V
2
,但x
2
V
1
。
显然 x
1
+x
2
V
1
∪V
2
,
不失一般性，设对于m=k 时命题成立。下面我们证明
对于m=k+1时命题仍然成立。
由假设存在x?V
1
∪V
2
∪ …∪V
k
,若x?V
m
,则命题已经成立。从而我们假设x∈V
m
。由于V
m
为真子空间,从而存在y? V
m
,
取m+1个互不相同的实数λ
1
<λ
2
<…<λ
m+1
,作m+1个向量
y+λ
i
x,
若存在某一个λ
i
使得y+λ
i
x?V
1
∪V
2
∪ …∪V
m
,则命题已经得证。
因此我们假设对于所有的λ
i
有y+λ
i
x∈ V
1
∪V
2
∪ …∪V
m
,这意味着对任意的λ
i
存在某一V
s
使得y+λ
i
x∈V
s
,当i取遍1,2,…,m+1
时，根据鸽笼原理显然存在某一个子空间V
s
使得存在两个不同的λ
i
和λ
j
满足y+λ
i
x∈V
s
和 y+λ
j
x∈V
s
,
下面我们首先证明 V
s
不能是 V
m
。
使用反正法，若V
s
是 V
m
。 则存在两个不同的λ
i
和λ
j
使得y+λ
i
x∈V
m
和 y+λ
j
x∈V
m
.注意到
x∈V
m
和y? V
m
,所以这是不可能成立的,因为两个不同的λ
i
和
λ
j
至多有一个为零，而不可能同时为零。这样V
s
不能是 V
m
。
所以V
s
只能是V
1
,V
2
,…,V
k
中的一个。
但是又因为存在两个不同的λ
i
和λ
j
使得y+λ
i
x∈V
s
和 y+λ
j
x∈V
s
,
这样(λ
i
λ
j
)x= (y+λ
i
x)?( y+λ
j
x)∈V
s
。 注意λ
i
λ
j
≠0。
这样我们推得x∈V
s
,但是这和对x的假设矛盾。从而我们得出
命题对m=k+1成立。
从而由数学归纳法命题得证。
思考：若A∈R
n×n
,R(A) ⊕N(A)=R
n
成立吗？举例说明？
成立的条件是什么？
答：若A∈R
n×n
,R(A) ⊕N(A)不一定成立。例如n=2,
A=
,易验证R(A)+N(A)= 。
11
11
∈
Rkk,
1
1
R(A) ⊕N(A)=R
n
成立的条件为A=A
T
,
应用谱分解证明：若A和B都为正定Heimite矩阵，则C=A?B
仍为正定Heirmite矩阵，其中，c
ij
= a
ij
b
ij
,即C的每个元素为A
和B元素的乘积。
证明：设A为正定Heirmite矩阵,则
A=λ
1
p
1?
(p
1
)
H
+λ
2
p
2?
(p
2
)
H
+…+λ
n
p
n?
(p
n
)
H
其中λ
k
> 0,k=1,2,…,n,设p
k
的第i个元素为p
ki
,那么我们有
A的第i行j 列元素a
ij
=,这样对于任给向量x,我们
∑
=
n
k
kjkik
pp
1
λ
有x
T
Cx = =, 由B为正定的Heirmite矩阵,从而x
∑∑∑
===
n
i
n
j
n
k
jikjijkik
xxpbp
111
λ
∑∑∑
===
n
k
n
i
n
j
jkjijikik
xpbxp
111
)()(λ
T
Cx ≥0,并且x
T
Cx =0的充要条件为
对所有的k和i有p
ki
x
i
=0.如果记P=(
p
1,
p
2,…,
p
n
),则
Px=0.由于P为A的特征向量构成的正交基。因此，这意味着x=0,
从而有C为正定矩阵。
习题1.3 P107
13 设A为n阶对称矩阵,且A=A
2
,证明存在正交矩阵Q使得
=
0
0
1
1
O
O
AQQ
T
证明。 取R(A)的一组标准正交基,不妨设为x
1
,x
2
,…,x
r
,同时再取R (A)的一组标准正交基,不妨设为x
⊥
r+1
,x
r+2
,…,x
n
,
对于1≤ k ≤ r,存在y
k
∈R
n
使得x
k
=A y
k
,从而Ax
k
=A
2
y
k
= A y
k
=x
k
,
同样对于r+1≤ k ≤ n,对任给y
k
∈R
n
有A y
k
∈R(A),所以
(x
k
,A y
k
)=0,即(Ax
k
,y
k
)=0,由于y
k
的任意性,从而Ax
k
=0。
这样 记Q=( x
1
,x
2
,…,x
r
,x
r+1
,x
r+2
,…,x
n
),则
=
0
0
1
1
O
O
QAQ,即Q。
=
0
0
1
1
O
O
AQ
T
