习题4.2 3,设A为实对称正定矩阵，且高斯消去法第一步得到的矩阵为

证明B是实对称正定矩阵,且对角元素不增加。
证明,显然B的元素bij=aij(ai1(a1j/a11,i,j=2,3,...,n
(注意,矩阵B的第i行第j 列元素为bi+1,j+1)
从而B为实对称矩阵,且bii= aii ( (ai1)2/a11( aii
因此，对角元不增加。
下面我们证明B为实对称正定矩阵。
证法1,由于顺序高斯消去法不改变矩阵的主子行列式的值，因此A(1)的主子行列式的值大于0。由于B为A(1)的主子矩阵，因此B的各阶主子行列式大于0。考虑到B为实对称矩阵，从而B为实对称正定矩阵。
证法2,设A(1)=LA,则容易验证
LALT==A(
由于L为单位下三角矩阵，因此A(为是对称正定矩阵，而B为A(为它的主子矩阵，因此B也为实对称正定矩阵。
证法3,对于设矩阵A的第1列的对角元素以下的元素构成的n(1维列向量为b,而去掉A的第1行和第1列得到主子矩阵为A11,则
B=A11(bbT/a11
任给n(1维列向量y,yTBy= yT(A11(bbT/a11)y= yTA11y((yTb)2/ a11
作n维列向量x=((yTb/ a11,yT)T,则易验证yTBy=xTAx.
这样任给n(1维列向量y(0，从而x(0,这样有yTBy=xTAx >0,因此B为实对称正定矩阵。
习题4.3 5,证明 rank(A)=rank(ATA)=rank(AAT),其中A(
证明：由4题中，取F=A,G=AT,则rank(AAT)=r.
由2题,rank(A)=rank(ATA)= r。
因此，命题得证。