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第九章 凸轮机构及其设计
§ 9－ 1 凸轮机构的应用和分类
§ 9－ 2 推杆的运动规律
§ 9－ 3 凸轮轮廓曲线的设计
§ 9－ 4 凸轮机构基本尺寸的确定
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§ 9－ 1 凸轮机构 的应用和分类
结构特点,三个构件, 盘 （ 柱 ） 状曲线轮廓, 从动件呈杆状 。
作用,将凸轮的连续回转转变为从动件 直线移动 或 摆动 。
优点,可精确实现任意运动规律, 简单紧凑 。
缺点,高副, 线接触, 易磨损, 传力不大 。
1)按凸轮形状分,盘形, 移动, 圆柱凸轮 (端面 ) 。
应用,内燃机, 牙膏生产等自动线, 补鞋机, 配钥匙机等 。
分类,
2)按推杆形状分,尖顶, 滚子, 平底 从动件 。
3).按推杆运动分,直动 (对心, 偏置 ),摆动
特点,尖顶－－构造简单, 易磨损, 用于仪表机构；
滚子 ―― 磨损小, 应用广；
平底 ―― 受力好, 润滑好, 用于高速传动 。
4).按保持接触方式分,力封闭 （ 重力, 弹簧等 ）
几何形状封闭 (凹槽, 等宽, 等径, 主回凸轮 )
R字机构
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内燃机气门机构
靠弹簧力封闭
机床进给机构
几何形状封闭
1
2
刀架
o
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r1
r2
r1+r2 =const
W
凹槽凸轮
主
回
凸
轮
等
宽
凸
轮
等
径
凸
轮
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§ 9－ 2 推杆的运动规律
凸轮机构设计的基本任务是根据工作要求选定凸轮机构的形式,
推杆运动规律, 合理确定结构尺寸, 设计轮廓曲线 。 而根据工
作要求选定推杆运动规律, 是设计凸轮轮廓曲线的前提 。
名词术语,
运动规律,推杆在推程或回程
时, 其位移 S,速度 V,和加速
度 a 随时间 t 的变化规律 。
分类,多项式, 三角函数 。
S=S(t)
V=V(t)
a=a(t)
一, 推杆的常用运动规律
基圆,
推程运动角,
基圆半径, 推程,
远休止角,
回程运动角,
回程,
近休止角, 行程 。 一个循环
r0
h
B’
o t δ
s
δ01
δ01
δ02 δ
02
δ0
δ0
δ’0
δ’0 ω
A
D
C
B
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边界条件,
凸轮转过推程运动角 δ 0－ 从动件上升 h
凸轮转过回程运动角 δ ’0－ 从动件下降 h
1.多项式运动规律
一般表达式,s=C0+ C1δ + C2δ 2+… +Cnδ n (1)
求一阶导数得速度方程,v=ds/dt
求二阶导数得加速度方程,
a =dv/dt =2 C2ω2+ 6C3ω2δ …+n(n -1)Cnω2δ n-2
其中,δ － 凸轮转角, dδ /dt=ω－ 凸轮角速度,Ci－ 待定系数 。
a)一次多项式 （ 等速运动 ） 运动规律
在推程起始点,δ =0,s=0
代入得,C0＝ 0,C1＝ h/δ 0
推程运动方程,s＝ hδ /δ 0
v＝ hω/δ 0
a=0
s
δ δ 0
v
δ
a
δ
h
在推程终止点,δ =δ 0,s=h
+∞
－ ∞ 刚性冲击
= C1ω + 2C2ωδ +… +nCnωδ n-1
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同理得回程运动方程,s＝ h(1-δ /δ ’ 0 )
b)二次多项式 （ 等加等减速 ） 运动规律
位移曲线为一抛物线 。 加, 减速各占一半 。
推程加速上升段边界条件,
起始点,δ =0,s=0,v＝ 0
中间点,δ =δ 0/2,s=h/2
求得,C0＝ 0,C1＝ 0,C2＝ 2h/δ 02
加速段推程运动方程为,s ＝ 2hδ 2/δ 02
推程减速上升段边界条件,
终止点,δ =δ 0,s=h,v＝ 0
中间点,δ =δ 0/2,s=h/2
求得,C0＝－ h,C1＝ 4h/δ 0,C2＝ -2h/δ 02
减速段推程运动方程为,s ＝ h-2h(δ -δ 0)2/δ 02
1 δ
s
δ
v
δ
a
v ＝ 4hωδ /δ 02
a ＝ 4hω2/δ 02
v ＝ -4hω(δ -δ 0)/δ 02
a ＝ -4hω2/δ 02
2 3 5 4 6
h/2
δ 0
h/2
2hω/δ 0
柔性冲击
4hω2/δ 02
50分
v＝ -hω/δ ’0 a＝ 0
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c)五次多项式运动规律
s =C0+ C1δ + C2δ 2+ C3δ 3+ C4δ 4+C5δ 5
v =ds/dt = C1ω + 2C2ωδ + 3C3ωδ 2+ 4C4ωδ 3+ 5C5ωδ 4
a =dv/dt = 2C2ω2+ 6C3ω2δ +12C4ω2δ 2+20C5ω2δ 3
边界条件,
起始点,δ =0,s=0,v＝ 0,a＝ 0
终止点,δ =δ 0,s=h,v＝ 0,a＝ 0
求得,C0＝ C1＝ C2＝ 0,C3＝ 10h/δ 03,
C4＝ 15h/δ 04,C5＝ 6h/δ 05
位移方程,
s=10h(δ /δ 0)3－ 15h (δ /δ 0)4+6h (δ /δ 0)5
δ
s v
a
h
δ 0
无冲击, 适用于高速凸轮 。
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2.三角函数运动规律
a)余弦加速度 （ 简谐 ） 运动规律
推程,
s＝ h[1-cos(πδ/δ 0)]/2
v=π hωsin(πδ/δ 0)δ /2δ 0
a=π 2hω2 cos(πδ/δ 0)/2δ 02
回程,
s＝ h[1＋ cos(πδ/δ 0’)]/2
v=-π hωsin(πδ/δ 0’)δ /2δ 0’
a=-π 2hω2 cos(πδ/δ 0’)/2δ ’02
1 2 3 4 5 6
δ
a
δ
v
δ
s
h
δ 0
1
2
3
4
5 6
Vmax=1.57hω/δ 0
在起始和终止处理论上 a为有限值,
产生柔性冲击 。
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s
δ
b)正弦加速度 （ 摆线 ） 运动规律
推程,
s＝ h[δ /δ 0-sin(2πδ/δ 0)/2π ]
v=hω[1-cos(2πδ/δ 0)]/δ 0
a=2π hω2 sin(2πδ/δ 0)/δ 02
回程,
s＝ h[1-δ /δ 0’ +sin(2πδ/δ 0’)/2π ]
v =hω[cos(2πδ/δ 0’)-1]/δ 0’
a =-2π hω2 sin(2πδ/δ 0’)/δ ’02
1 2 3 4 5 6
v
δ
δ
a
h
δ 0
r=h/2π
vmax=2hω /δ 0
amax=6.28hω2/δ 02
无冲击，但 amax 较大。
θ =2πδ/δ 0
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δ
δ
δ
h
v
s
a
o
o
o
δ
0
+∞
-∞
c)改进型运动规律
将几种运动规律组合, 以改善运动特性 。
正弦改进等速
二、选择运动规律
选择原则,
1.机器的工作过程只要求凸轮转过一角度
δ 0时，推杆完成一行程 h（直动推杆）
或 φ （摆动推杆），对运动规律并无严
格要求。则应选择直线或圆弧等易加工
曲线作为凸轮的轮廓曲线。如 夹紧凸轮 。
2,机器的工作过程对推杆运动有要求，则
应严格按工作要求的运动规律来设计凸轮
廓线。如 刀架进给凸轮 。
3,对高速凸轮，要求有较好的动力特性，
除了避免出现刚性或柔性冲击外，还应当
考虑 Vmax和 amax。
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ω
工件 ω
δ 0
φ
h
δ 0
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高速重载凸轮要选 Vmax和 amax比较小的理由,
② amax↑
等加等减速 2.0 4.0 柔性 中速轻载
五次多项式 1.88 5.77 无 高速中载
余弦加速度 1.57 4.93 柔性 中速中载
正弦加速度 2.0 6.28 无 高速轻载
改进正弦加速度 1.76 5.53 无 高速重载 100分
钟
从动件常用运动规律特性比较
运动规律 Vmax amax 冲击 推荐应用范围
(hω/δ 0)× (hω/δ 02)×
等 速 1.0 ∞ 刚性 低速轻载
→ 动量 mv↑,若机构突然被卡住, 则冲击力将很大
（ F=mv/t） 。 对重载凸轮, 则适合选用 Vmax较小的运动规律 。
→ 惯性力 F=-ma↑ 对强度和耐磨性要求 ↑ 。
对高速凸轮, 希望 amax 愈小愈好 。
① Vmax↑
,Pn↑
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1.凸轮廓线设计方法的基本原理
§ 9－ 3 凸轮轮廓曲线的设计
2.用 作图法 设计凸轮廓线
1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮
2)对心直动滚子推杆盘形凸轮
3)对心直动平底推杆盘形凸轮
4)偏置直动尖顶推杆盘形凸轮
5)摆动尖顶推杆盘形凸轮机构
6)直动推杆圆柱凸轮机构
7)摆动推杆圆柱凸轮机构
3.用 解析法 设计凸轮的轮廓曲线
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1.凸轮廓线设计方法的基本原理
§ 9－ 3 凸轮轮廓曲线的设计
反转原理,
依据此原理可以用几何作图的方法
设计凸轮的轮廓曲线, 例如,
-ω
ω 给整个凸轮机构施以 -ω时, 不影响各构件之间的相对运动, 此时, 凸轮
将静止, 而从动件尖顶复合运动的轨
迹即凸轮的轮廓曲线 。
2.用作图法设计凸轮廓线
尖顶凸轮绘制动画
滚子凸轮绘制动画
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1 2 3 4 5 6 7 8
-ω
ω
对心直动尖顶推杆凸轮机构中，已知凸轮
的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆的运动规
律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤小结,
① 选比例尺 μ l作基圆 r0。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后, 从动件尖顶在各等份点的位置 。
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
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-ω
ω
对心直动滚子推杆凸轮机构中，已知凸轮
的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆的运动规
律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤,
① 选比例尺 μ l作基圆 r0。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后, 从动件滚子中心在各等份点的位置 。
④ 将各中心点连接成一条光滑曲线 。
⑤ 作各位置滚子圆的内 (外 )包络线 (中心轨迹的等距曲线 )。
2)对心直动滚子推杆盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
理论轮廓
实际轮廓
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对心直动平底推杆凸轮机构中，已知
凸轮的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆
的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤,
① 选比例尺 μ l作基圆 r0。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后, 从动件平底直线在各等份点的位置 。
④ 作平底直线族的内包络线 。
3)对心直动平底推杆盘形凸轮
1 2
3
4
5
6
7
8
8’
7’
6’
5’
4’
3’ 2’
1’
9’ 10’
11’
12’
13’
14’ 15
14
13
12 11
10 9
1’
3’
5’
7’
8’
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
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e
A
-ω
ω
O
偏置直动尖顶推杆凸轮机构中，已知
凸轮的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆的
运动规律和偏心距 e,设计该凸轮轮廓
曲线。
4)偏置直动尖顶推杆盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
k1 k
2 k3
k5 k4 k6 k7 k8
15
14
13
12
11
10 9
k9 k10
k11 k12
k13 k14 k15
15’
14’
13’
12’
11’
10’
9’
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摆动尖顶推杆凸
轮机构中，已知
凸轮的基圆半径
r0,角速度 ω，
摆动推杆长度 l
以及摆杆回转中
心与凸轮回转中
心的距离 d,摆
杆角位移方程，
设计该凸轮轮廓
曲线。
5)摆动尖顶推杆盘形凸轮机构
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B1 B2
B3
B4
B5
B6 B7
B8
120°
60 ° 90 °
B’1
φ 1
B’2 φ 2
B’3
φ 3 B’4
φ 4
B’5
φ 5
B’6
φ 6
B’7 φ 7
ω
-ω
r0
A
B
l
d
1’
2’
3’
4’
1 2 3 4 5 6 7 8
5’
7’
6’
8’
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2π R
V=ω R
ω
v
R
－ V
6)直动推杆圆柱凸轮机构
思路,将圆柱外表面展开, 得一长度为 2π R的平面移动凸轮机构,
其移动速度为 V=ω R,以 － V反向移动平面凸轮, 相对运动不变,
滚子反向移动后其中心点的轨迹即为 理论轮廓, 其 内外包络线 为
实际轮廓 。
B
v
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1 2 3 4 5 6 7 8
7’
6’
5’ 4’ 3’
2’
1’
V=ω R
β β '
－ V
2π R
s
β "
6)直动推杆圆柱凸轮机构
已知,圆柱凸轮的半径 R, 从动
件的 运动规律, 设计该圆柱凸轮
机构 。
ω
v
R
δ
s
1 2 3 4 5 6 7 8
6’
5’ 4’ 3’
2’
1’ 7’
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A
R
ω
7)摆动推杆圆柱凸轮机构
已知,圆柱凸轮的半径 R,滚子
半径 rr从动件的运动规律, 设计
该凸轮机构 。
2”
3”
4” 5” 6”
7”
8”
9”
0” 0”
-V
2π R
2rr φ
1”
A
V=ω R
A
5
A
6 A
7
A
8
A
9
A
2
A
3
A
4
A
1
A0
φ
50分钟
δ
φ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2π R
A
0
中线
4’,5’,6’
3’
2’
1’
0’
8’
7’
9’
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y
x
B0
y
x
s0
s
3.用解析法设计凸轮的轮廓曲线
3.1 偏置直动滚子推杆盘形凸轮机构
θ
由图可知,s0＝ (r02-e2)1/2
实际轮廓线 －为理论轮廓的等距线 。
曲线任意点切线与法线斜率互为负倒数,
(1)求导得,dx/dδ＝ (ds/dδ - e)sinδ +(s0+s)cosδ
dy/dδ＝ (ds/dδ - e)cosδ -(s0+s)sinδ
原理,反转法 。 设计结果,轮廓的参数方程 。
式中, －, 对应于内等距线,, ＋, 对应于外等距线 。
实际轮廓为 B’点的坐标,x’=
y’=
δ
x= (s0+s)sinδ + ecosδ
y= (s0+s)cosδ - esinδ
e
tgθ= -dx/dy =(dx/dδ)/(- dy/dδ) =sinθ/cosθ
(1)
x - rrcosθ
(x,y)
rr
n
n
(x’,y’)
θ
(x’,y’)
θ
s0
e
r0
可得,sinθ= ( dx/dδ) / ( dx/dδ)2+( dy/dδ)2
cosθ= -( dy/dδ) / ( dx/dδ)2+( dy/dδ)2
δ
δ
-ω
ω
rr
r0
y - rrsinθ
n
n
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s0 r
0
B0
O x
-ω
y
ω
δ
3.2 对心直动平底推杆盘形凸轮
OP= v/ω
y=
x=
ds/dδ
s0
s
δ
P
建立坐标系如图：反转 δ 后, 推杆移动距离为 S,
P点为相对瞬心,
(r0+s)sinδ +(ds/dδ )cosδ
(r0+s)cosδ － ds/dδ )sinδ
v
推杆移动速度为,
=(ds/dt)/(dδ /dt) = ds/dδ
100分钟
v=vp=OPω
δ
(x,y) B
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3.3 摆动滚子推杆盘形凸轮机构
式中, a－ 中心距, l－ 摆杆长度
理论廓线方程,
实际轮廓方程的求法同前 。
x= asinδ － l sin (δ +φ+φ 0 )
y= acosδ － l cos (δ +φ+φ 0 )
y
x
δ
a
对应点 B’ 的坐标为,
x’=x rrcosθ
y’=y rrsinθ
asinδ
ac
osδ
l sin (δ +φ+φ 0 )
φ0
x
r0
B0
O
-ω
y
ω
l
A0
B
φ0
φ A
δ
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§ 9－ 4 凸轮机构基本尺寸的确定
上述设计廓线时的凸轮结构参数 r0,e,rr等, 是预先给定的 。
实际上, 这些参数也是根据机构的受力情况是否良好, 动作
是否灵活, 尺寸是否紧凑等因素由设计者确定的 。
1.凸轮机构的压力角
2.凸轮基圆半径的确定
3.滚子半径的确定
4.平底尺寸 l 的确定
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1.凸轮机构的压力角
受力图中, 由 ∑ Fx=0,∑ Fy=0,∑ MB=0 有,
l
b
R2
R1
P t
t n
n
φ 1
φ 2
φ 2
α
B
ω
d
-Psin(α+φ 1 )+(R1－ R2 )cosφ 2=0
－ Q+Pcos(α+φ 1 )－ (R1+R2 )sinφ 2=0
R2cosφ 2 (l+b)－ R1cosφ 2 b=0
由以上三式消去 R1,R2 得,
v
Q
P= cos(α+φ
1 )－ (1+2b/l) sin(α+φ 1 )tgφ 2
Q
正压力方向与推杆上 B点速度方向之间的夹角 α
α ↑ → 分母 ↓ → P↑, 若 α 大到使分母趋于 0,
则 P→∞,机构发生自锁 。
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称 α c=arctg[1/(1+2b/l)tgφ 2 ]- φ 1
为 临界压力角 。
增大导轨长度 l或减小悬臂尺寸 b可提高 α c
工程上要求,α max ≤ [α ]
直动推杆, [α ]＝ 30°
摆动推杆, [α ]＝ 35° ～ 45°
回程, [α ]’＝ 70° ～ 80°
提问：平底推杆 α ＝？
n
n
0
v
O
ω
r0
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P点为相对瞬心,
由 △ BCP得,
22
0 )][
/( es
tg
eddsr ????
?
?
2.凸轮基圆半径的确定
ds/dδ n
n
P
e
O C
B
ω
OP= v/ω
v
v = [ds/dt] / [dδ /dt] =[ds/dδ ]
α
r0
运动规律确定之后, 凸轮机构的压力角 α 与基圆半径 r0直接相关 。
=(ds/dδ -e)/ [(r02-e2)1/2+s]
s0
s
D
设计时要求,
提问,在设计一对心凸轮机构设计 时, 当出现 α ≥ [α ] 的情况, 在不改变
运动规律的前提下, 可采取哪些措施来进行改进？
确定上述极值 r0min不方便, 工程上常根据 诺模图 来确定 r0 见 P231
1)加大基圆半径 r0 2)将对心改为偏置, 3)采用平底从动件 。
α ≤ [α ] 于是有,
对心布置有,tgα =ds/dδ / [(r0+s]
tgα =(OP-e)/BC
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α max
凸轮转角 δ0
余弦加速度运动
正弦加速度运动 h/r0
h/r0
凸轮转角 δ0
等速运动
等加等减速运动
h/r0
h/r0
α max
诺模图
应用实例,一对心直动滚子推杆盘形凸轮机构,δ0＝ 45o，
h=13 mm,推杆以正弦加速度运动，要求 α max ≦ 30o,试确定
凸轮的基圆半径 r0 。
作图得,h/r0＝ 0.26 r0＝ ≧ 50 mm
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3.滚子半径的确定
ρ a－工作轮廓的曲率半径, ρ －理论轮廓的曲率半径,
rr－滚子半径
ρ a＝ ρ ＋ rr
ρ > rr
ρ a＝ ρ － rr
ρ ＝ rr
ρ a＝ ρ － rr＝ 0
ρ <rr
ρ a＝ ρ － rr<0
轮廓正常
轮廓正常
轮廓变尖
ρ
内凹 外凸
对于外凸轮廓，要保证正常工作，应使,ρ min> rr
轮廓失真
ρ a
rr
rr
ρ
ρ a
rr
ρ
rr
ρ
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可用求极值的方法求得 ρ min,
工程上要求 ρ a ≥ 1～ 5,当不满足时，应增大 r0或减小 rr 。
曲线之曲率半径,ρ ＝ ( x2+y2)3/2/( xy-yx )
式中,x=dx/dδ,y=dy/dδ,x=d2x/dδ 2,y=d2y/dδ 2
常采用上机编程求得 ρ min
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1 2
3
4
5
6
7
8
8’
7’
6’
5’
4’
3’ 2’
1’
9’ 10’
11’
12’
13’
14’ 15
14
13
12 11
10 9
4.平底尺寸 l 的确定
lmax
a) 作图法确定,
l=2lmax+(5~7)mm
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ds/dδ
lmax =[ds/dδ ] max
对平底推杆凸轮机构，也有
失真现象。
P点为相对瞬心，有,
b) 计算法确定,
BC =OP = v/ω
= [ds/dt] / [dδ /dt] =[ds/dδ ]
l=2 [ds/dδ ] max +(5~7) mm
O r0
r0
s0
s
P
可通过增大 r0解决此问题。
v = OP · ω
v
-ω
y
ω
x B O r0
B0
δ
v C
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小结,在进行凸轮廓线设计之前，需要先确定 r0,而在定 r0时，
应考虑 结构条件 （不能太小）,压力角,工作轮廓是否 失真 等因
素。在条件允许时，应取较大的导轨长度 L和较小的悬臂尺寸 b。
对滚子推杆，应恰当选取 rr，对平底推杆，应确定合适的平底长
度 l。还要满足强度和工艺性要求。
本章重点,
① 从动件运动规律：特性及作图法；
② 理论轮廓与实际轮廓的关系；
③ 凸轮压力角 α 与基圆半径 r0的关系；
④ 掌握用图解法设计凸轮轮廓曲线的步骤与方法；
⑤ 掌握解析法在凸轮轮廓设计中的应用。
第九章 凸轮机构及其设计
§ 9－ 1 凸轮机构的应用和分类
§ 9－ 2 推杆的运动规律
§ 9－ 3 凸轮轮廓曲线的设计
§ 9－ 4 凸轮机构基本尺寸的确定
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§ 9－ 1 凸轮机构 的应用和分类
结构特点,三个构件, 盘 （ 柱 ） 状曲线轮廓, 从动件呈杆状 。
作用,将凸轮的连续回转转变为从动件 直线移动 或 摆动 。
优点,可精确实现任意运动规律, 简单紧凑 。
缺点,高副, 线接触, 易磨损, 传力不大 。
1)按凸轮形状分,盘形, 移动, 圆柱凸轮 (端面 ) 。
应用,内燃机, 牙膏生产等自动线, 补鞋机, 配钥匙机等 。
分类,
2)按推杆形状分,尖顶, 滚子, 平底 从动件 。
3).按推杆运动分,直动 (对心, 偏置 ),摆动
特点,尖顶－－构造简单, 易磨损, 用于仪表机构；
滚子 ―― 磨损小, 应用广；
平底 ―― 受力好, 润滑好, 用于高速传动 。
4).按保持接触方式分,力封闭 （ 重力, 弹簧等 ）
几何形状封闭 (凹槽, 等宽, 等径, 主回凸轮 )
R字机构
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内燃机气门机构
靠弹簧力封闭
机床进给机构
几何形状封闭
1
2
刀架
o
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r1
r2
r1+r2 =const
W
凹槽凸轮
主
回
凸
轮
等
宽
凸
轮
等
径
凸
轮
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§ 9－ 2 推杆的运动规律
凸轮机构设计的基本任务是根据工作要求选定凸轮机构的形式,
推杆运动规律, 合理确定结构尺寸, 设计轮廓曲线 。 而根据工
作要求选定推杆运动规律, 是设计凸轮轮廓曲线的前提 。
名词术语,
运动规律,推杆在推程或回程
时, 其位移 S,速度 V,和加速
度 a 随时间 t 的变化规律 。
分类,多项式, 三角函数 。
S=S(t)
V=V(t)
a=a(t)
一, 推杆的常用运动规律
基圆,
推程运动角,
基圆半径, 推程,
远休止角,
回程运动角,
回程,
近休止角, 行程 。 一个循环
r0
h
B’
o t δ
s
δ01
δ01
δ02 δ
02
δ0
δ0
δ’0
δ’0 ω
A
D
C
B
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边界条件,
凸轮转过推程运动角 δ 0－ 从动件上升 h
凸轮转过回程运动角 δ ’0－ 从动件下降 h
1.多项式运动规律
一般表达式,s=C0+ C1δ + C2δ 2+… +Cnδ n (1)
求一阶导数得速度方程,v=ds/dt
求二阶导数得加速度方程,
a =dv/dt =2 C2ω2+ 6C3ω2δ …+n(n -1)Cnω2δ n-2
其中,δ － 凸轮转角, dδ /dt=ω－ 凸轮角速度,Ci－ 待定系数 。
a)一次多项式 （ 等速运动 ） 运动规律
在推程起始点,δ =0,s=0
代入得,C0＝ 0,C1＝ h/δ 0
推程运动方程,s＝ hδ /δ 0
v＝ hω/δ 0
a=0
s
δ δ 0
v
δ
a
δ
h
在推程终止点,δ =δ 0,s=h
+∞
－ ∞ 刚性冲击
= C1ω + 2C2ωδ +… +nCnωδ n-1
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同理得回程运动方程,s＝ h(1-δ /δ ’ 0 )
b)二次多项式 （ 等加等减速 ） 运动规律
位移曲线为一抛物线 。 加, 减速各占一半 。
推程加速上升段边界条件,
起始点,δ =0,s=0,v＝ 0
中间点,δ =δ 0/2,s=h/2
求得,C0＝ 0,C1＝ 0,C2＝ 2h/δ 02
加速段推程运动方程为,s ＝ 2hδ 2/δ 02
推程减速上升段边界条件,
终止点,δ =δ 0,s=h,v＝ 0
中间点,δ =δ 0/2,s=h/2
求得,C0＝－ h,C1＝ 4h/δ 0,C2＝ -2h/δ 02
减速段推程运动方程为,s ＝ h-2h(δ -δ 0)2/δ 02
1 δ
s
δ
v
δ
a
v ＝ 4hωδ /δ 02
a ＝ 4hω2/δ 02
v ＝ -4hω(δ -δ 0)/δ 02
a ＝ -4hω2/δ 02
2 3 5 4 6
h/2
δ 0
h/2
2hω/δ 0
柔性冲击
4hω2/δ 02
50分
v＝ -hω/δ ’0 a＝ 0
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c)五次多项式运动规律
s =C0+ C1δ + C2δ 2+ C3δ 3+ C4δ 4+C5δ 5
v =ds/dt = C1ω + 2C2ωδ + 3C3ωδ 2+ 4C4ωδ 3+ 5C5ωδ 4
a =dv/dt = 2C2ω2+ 6C3ω2δ +12C4ω2δ 2+20C5ω2δ 3
边界条件,
起始点,δ =0,s=0,v＝ 0,a＝ 0
终止点,δ =δ 0,s=h,v＝ 0,a＝ 0
求得,C0＝ C1＝ C2＝ 0,C3＝ 10h/δ 03,
C4＝ 15h/δ 04,C5＝ 6h/δ 05
位移方程,
s=10h(δ /δ 0)3－ 15h (δ /δ 0)4+6h (δ /δ 0)5
δ
s v
a
h
δ 0
无冲击, 适用于高速凸轮 。
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2.三角函数运动规律
a)余弦加速度 （ 简谐 ） 运动规律
推程,
s＝ h[1-cos(πδ/δ 0)]/2
v=π hωsin(πδ/δ 0)δ /2δ 0
a=π 2hω2 cos(πδ/δ 0)/2δ 02
回程,
s＝ h[1＋ cos(πδ/δ 0’)]/2
v=-π hωsin(πδ/δ 0’)δ /2δ 0’
a=-π 2hω2 cos(πδ/δ 0’)/2δ ’02
1 2 3 4 5 6
δ
a
δ
v
δ
s
h
δ 0
1
2
3
4
5 6
Vmax=1.57hω/δ 0
在起始和终止处理论上 a为有限值,
产生柔性冲击 。
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s
δ
b)正弦加速度 （ 摆线 ） 运动规律
推程,
s＝ h[δ /δ 0-sin(2πδ/δ 0)/2π ]
v=hω[1-cos(2πδ/δ 0)]/δ 0
a=2π hω2 sin(2πδ/δ 0)/δ 02
回程,
s＝ h[1-δ /δ 0’ +sin(2πδ/δ 0’)/2π ]
v =hω[cos(2πδ/δ 0’)-1]/δ 0’
a =-2π hω2 sin(2πδ/δ 0’)/δ ’02
1 2 3 4 5 6
v
δ
δ
a
h
δ 0
r=h/2π
vmax=2hω /δ 0
amax=6.28hω2/δ 02
无冲击，但 amax 较大。
θ =2πδ/δ 0
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δ
δ
δ
h
v
s
a
o
o
o
δ
0
+∞
-∞
c)改进型运动规律
将几种运动规律组合, 以改善运动特性 。
正弦改进等速
二、选择运动规律
选择原则,
1.机器的工作过程只要求凸轮转过一角度
δ 0时，推杆完成一行程 h（直动推杆）
或 φ （摆动推杆），对运动规律并无严
格要求。则应选择直线或圆弧等易加工
曲线作为凸轮的轮廓曲线。如 夹紧凸轮 。
2,机器的工作过程对推杆运动有要求，则
应严格按工作要求的运动规律来设计凸轮
廓线。如 刀架进给凸轮 。
3,对高速凸轮，要求有较好的动力特性，
除了避免出现刚性或柔性冲击外，还应当
考虑 Vmax和 amax。
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ω
工件 ω
δ 0
φ
h
δ 0
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高速重载凸轮要选 Vmax和 amax比较小的理由,
② amax↑
等加等减速 2.0 4.0 柔性 中速轻载
五次多项式 1.88 5.77 无 高速中载
余弦加速度 1.57 4.93 柔性 中速中载
正弦加速度 2.0 6.28 无 高速轻载
改进正弦加速度 1.76 5.53 无 高速重载 100分
钟
从动件常用运动规律特性比较
运动规律 Vmax amax 冲击 推荐应用范围
(hω/δ 0)× (hω/δ 02)×
等 速 1.0 ∞ 刚性 低速轻载
→ 动量 mv↑,若机构突然被卡住, 则冲击力将很大
（ F=mv/t） 。 对重载凸轮, 则适合选用 Vmax较小的运动规律 。
→ 惯性力 F=-ma↑ 对强度和耐磨性要求 ↑ 。
对高速凸轮, 希望 amax 愈小愈好 。
① Vmax↑
,Pn↑
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1.凸轮廓线设计方法的基本原理
§ 9－ 3 凸轮轮廓曲线的设计
2.用 作图法 设计凸轮廓线
1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮
2)对心直动滚子推杆盘形凸轮
3)对心直动平底推杆盘形凸轮
4)偏置直动尖顶推杆盘形凸轮
5)摆动尖顶推杆盘形凸轮机构
6)直动推杆圆柱凸轮机构
7)摆动推杆圆柱凸轮机构
3.用 解析法 设计凸轮的轮廓曲线
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1.凸轮廓线设计方法的基本原理
§ 9－ 3 凸轮轮廓曲线的设计
反转原理,
依据此原理可以用几何作图的方法
设计凸轮的轮廓曲线, 例如,
-ω
ω 给整个凸轮机构施以 -ω时, 不影响各构件之间的相对运动, 此时, 凸轮
将静止, 而从动件尖顶复合运动的轨
迹即凸轮的轮廓曲线 。
2.用作图法设计凸轮廓线
尖顶凸轮绘制动画
滚子凸轮绘制动画
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1 2 3 4 5 6 7 8
-ω
ω
对心直动尖顶推杆凸轮机构中，已知凸轮
的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆的运动规
律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤小结,
① 选比例尺 μ l作基圆 r0。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后, 从动件尖顶在各等份点的位置 。
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
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-ω
ω
对心直动滚子推杆凸轮机构中，已知凸轮
的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆的运动规
律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤,
① 选比例尺 μ l作基圆 r0。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后, 从动件滚子中心在各等份点的位置 。
④ 将各中心点连接成一条光滑曲线 。
⑤ 作各位置滚子圆的内 (外 )包络线 (中心轨迹的等距曲线 )。
2)对心直动滚子推杆盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
理论轮廓
实际轮廓
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对心直动平底推杆凸轮机构中，已知
凸轮的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆
的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤,
① 选比例尺 μ l作基圆 r0。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后, 从动件平底直线在各等份点的位置 。
④ 作平底直线族的内包络线 。
3)对心直动平底推杆盘形凸轮
1 2
3
4
5
6
7
8
8’
7’
6’
5’
4’
3’ 2’
1’
9’ 10’
11’
12’
13’
14’ 15
14
13
12 11
10 9
1’
3’
5’
7’
8’
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
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e
A
-ω
ω
O
偏置直动尖顶推杆凸轮机构中，已知
凸轮的基圆半径 r0,角速度 ω和推杆的
运动规律和偏心距 e,设计该凸轮轮廓
曲线。
4)偏置直动尖顶推杆盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
k1 k
2 k3
k5 k4 k6 k7 k8
15
14
13
12
11
10 9
k9 k10
k11 k12
k13 k14 k15
15’
14’
13’
12’
11’
10’
9’
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摆动尖顶推杆凸
轮机构中，已知
凸轮的基圆半径
r0,角速度 ω，
摆动推杆长度 l
以及摆杆回转中
心与凸轮回转中
心的距离 d,摆
杆角位移方程，
设计该凸轮轮廓
曲线。
5)摆动尖顶推杆盘形凸轮机构
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B1 B2
B3
B4
B5
B6 B7
B8
120°
60 ° 90 °
B’1
φ 1
B’2 φ 2
B’3
φ 3 B’4
φ 4
B’5
φ 5
B’6
φ 6
B’7 φ 7
ω
-ω
r0
A
B
l
d
1’
2’
3’
4’
1 2 3 4 5 6 7 8
5’
7’
6’
8’
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2π R
V=ω R
ω
v
R
－ V
6)直动推杆圆柱凸轮机构
思路,将圆柱外表面展开, 得一长度为 2π R的平面移动凸轮机构,
其移动速度为 V=ω R,以 － V反向移动平面凸轮, 相对运动不变,
滚子反向移动后其中心点的轨迹即为 理论轮廓, 其 内外包络线 为
实际轮廓 。
B
v
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
1 2 3 4 5 6 7 8
7’
6’
5’ 4’ 3’
2’
1’
V=ω R
β β '
－ V
2π R
s
β "
6)直动推杆圆柱凸轮机构
已知,圆柱凸轮的半径 R, 从动
件的 运动规律, 设计该圆柱凸轮
机构 。
ω
v
R
δ
s
1 2 3 4 5 6 7 8
6’
5’ 4’ 3’
2’
1’ 7’
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
A
R
ω
7)摆动推杆圆柱凸轮机构
已知,圆柱凸轮的半径 R,滚子
半径 rr从动件的运动规律, 设计
该凸轮机构 。
2”
3”
4” 5” 6”
7”
8”
9”
0” 0”
-V
2π R
2rr φ
1”
A
V=ω R
A
5
A
6 A
7
A
8
A
9
A
2
A
3
A
4
A
1
A0
φ
50分钟
δ
φ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2π R
A
0
中线
4’,5’,6’
3’
2’
1’
0’
8’
7’
9’
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
y
x
B0
y
x
s0
s
3.用解析法设计凸轮的轮廓曲线
3.1 偏置直动滚子推杆盘形凸轮机构
θ
由图可知,s0＝ (r02-e2)1/2
实际轮廓线 －为理论轮廓的等距线 。
曲线任意点切线与法线斜率互为负倒数,
(1)求导得,dx/dδ＝ (ds/dδ - e)sinδ +(s0+s)cosδ
dy/dδ＝ (ds/dδ - e)cosδ -(s0+s)sinδ
原理,反转法 。 设计结果,轮廓的参数方程 。
式中, －, 对应于内等距线,, ＋, 对应于外等距线 。
实际轮廓为 B’点的坐标,x’=
y’=
δ
x= (s0+s)sinδ + ecosδ
y= (s0+s)cosδ - esinδ
e
tgθ= -dx/dy =(dx/dδ)/(- dy/dδ) =sinθ/cosθ
(1)
x - rrcosθ
(x,y)
rr
n
n
(x’,y’)
θ
(x’,y’)
θ
s0
e
r0
可得,sinθ= ( dx/dδ) / ( dx/dδ)2+( dy/dδ)2
cosθ= -( dy/dδ) / ( dx/dδ)2+( dy/dδ)2
δ
δ
-ω
ω
rr
r0
y - rrsinθ
n
n
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s0 r
0
B0
O x
-ω
y
ω
δ
3.2 对心直动平底推杆盘形凸轮
OP= v/ω
y=
x=
ds/dδ
s0
s
δ
P
建立坐标系如图：反转 δ 后, 推杆移动距离为 S,
P点为相对瞬心,
(r0+s)sinδ +(ds/dδ )cosδ
(r0+s)cosδ － ds/dδ )sinδ
v
推杆移动速度为,
=(ds/dt)/(dδ /dt) = ds/dδ
100分钟
v=vp=OPω
δ
(x,y) B
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3.3 摆动滚子推杆盘形凸轮机构
式中, a－ 中心距, l－ 摆杆长度
理论廓线方程,
实际轮廓方程的求法同前 。
x= asinδ － l sin (δ +φ+φ 0 )
y= acosδ － l cos (δ +φ+φ 0 )
y
x
δ
a
对应点 B’ 的坐标为,
x’=x rrcosθ
y’=y rrsinθ
asinδ
ac
osδ
l sin (δ +φ+φ 0 )
φ0
x
r0
B0
O
-ω
y
ω
l
A0
B
φ0
φ A
δ
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§ 9－ 4 凸轮机构基本尺寸的确定
上述设计廓线时的凸轮结构参数 r0,e,rr等, 是预先给定的 。
实际上, 这些参数也是根据机构的受力情况是否良好, 动作
是否灵活, 尺寸是否紧凑等因素由设计者确定的 。
1.凸轮机构的压力角
2.凸轮基圆半径的确定
3.滚子半径的确定
4.平底尺寸 l 的确定
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1.凸轮机构的压力角
受力图中, 由 ∑ Fx=0,∑ Fy=0,∑ MB=0 有,
l
b
R2
R1
P t
t n
n
φ 1
φ 2
φ 2
α
B
ω
d
-Psin(α+φ 1 )+(R1－ R2 )cosφ 2=0
－ Q+Pcos(α+φ 1 )－ (R1+R2 )sinφ 2=0
R2cosφ 2 (l+b)－ R1cosφ 2 b=0
由以上三式消去 R1,R2 得,
v
Q
P= cos(α+φ
1 )－ (1+2b/l) sin(α+φ 1 )tgφ 2
Q
正压力方向与推杆上 B点速度方向之间的夹角 α
α ↑ → 分母 ↓ → P↑, 若 α 大到使分母趋于 0,
则 P→∞,机构发生自锁 。
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称 α c=arctg[1/(1+2b/l)tgφ 2 ]- φ 1
为 临界压力角 。
增大导轨长度 l或减小悬臂尺寸 b可提高 α c
工程上要求,α max ≤ [α ]
直动推杆, [α ]＝ 30°
摆动推杆, [α ]＝ 35° ～ 45°
回程, [α ]’＝ 70° ～ 80°
提问：平底推杆 α ＝？
n
n
0
v
O
ω
r0
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P点为相对瞬心,
由 △ BCP得,
22
0 )][
/( es
tg
eddsr ????
?
?
2.凸轮基圆半径的确定
ds/dδ n
n
P
e
O C
B
ω
OP= v/ω
v
v = [ds/dt] / [dδ /dt] =[ds/dδ ]
α
r0
运动规律确定之后, 凸轮机构的压力角 α 与基圆半径 r0直接相关 。
=(ds/dδ -e)/ [(r02-e2)1/2+s]
s0
s
D
设计时要求,
提问,在设计一对心凸轮机构设计 时, 当出现 α ≥ [α ] 的情况, 在不改变
运动规律的前提下, 可采取哪些措施来进行改进？
确定上述极值 r0min不方便, 工程上常根据 诺模图 来确定 r0 见 P231
1)加大基圆半径 r0 2)将对心改为偏置, 3)采用平底从动件 。
α ≤ [α ] 于是有,
对心布置有,tgα =ds/dδ / [(r0+s]
tgα =(OP-e)/BC
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α max
凸轮转角 δ0
余弦加速度运动
正弦加速度运动 h/r0
h/r0
凸轮转角 δ0
等速运动
等加等减速运动
h/r0
h/r0
α max
诺模图
应用实例,一对心直动滚子推杆盘形凸轮机构,δ0＝ 45o，
h=13 mm,推杆以正弦加速度运动，要求 α max ≦ 30o,试确定
凸轮的基圆半径 r0 。
作图得,h/r0＝ 0.26 r0＝ ≧ 50 mm
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
3.滚子半径的确定
ρ a－工作轮廓的曲率半径, ρ －理论轮廓的曲率半径,
rr－滚子半径
ρ a＝ ρ ＋ rr
ρ > rr
ρ a＝ ρ － rr
ρ ＝ rr
ρ a＝ ρ － rr＝ 0
ρ <rr
ρ a＝ ρ － rr<0
轮廓正常
轮廓正常
轮廓变尖
ρ
内凹 外凸
对于外凸轮廓，要保证正常工作，应使,ρ min> rr
轮廓失真
ρ a
rr
rr
ρ
ρ a
rr
ρ
rr
ρ
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
可用求极值的方法求得 ρ min,
工程上要求 ρ a ≥ 1～ 5,当不满足时，应增大 r0或减小 rr 。
曲线之曲率半径,ρ ＝ ( x2+y2)3/2/( xy-yx )
式中,x=dx/dδ,y=dy/dδ,x=d2x/dδ 2,y=d2y/dδ 2
常采用上机编程求得 ρ min
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
1 2
3
4
5
6
7
8
8’
7’
6’
5’
4’
3’ 2’
1’
9’ 10’
11’
12’
13’
14’ 15
14
13
12 11
10 9
4.平底尺寸 l 的确定
lmax
a) 作图法确定,
l=2lmax+(5~7)mm
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
ds/dδ
lmax =[ds/dδ ] max
对平底推杆凸轮机构，也有
失真现象。
P点为相对瞬心，有,
b) 计算法确定,
BC =OP = v/ω
= [ds/dt] / [dδ /dt] =[ds/dδ ]
l=2 [ds/dδ ] max +(5~7) mm
O r0
r0
s0
s
P
可通过增大 r0解决此问题。
v = OP · ω
v
-ω
y
ω
x B O r0
B0
δ
v C
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
小结,在进行凸轮廓线设计之前，需要先确定 r0,而在定 r0时，
应考虑 结构条件 （不能太小）,压力角,工作轮廓是否 失真 等因
素。在条件允许时，应取较大的导轨长度 L和较小的悬臂尺寸 b。
对滚子推杆，应恰当选取 rr，对平底推杆，应确定合适的平底长
度 l。还要满足强度和工艺性要求。
本章重点,
① 从动件运动规律：特性及作图法；
② 理论轮廓与实际轮廓的关系；
③ 凸轮压力角 α 与基圆半径 r0的关系；
④ 掌握用图解法设计凸轮轮廓曲线的步骤与方法；
⑤ 掌握解析法在凸轮轮廓设计中的应用。
