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第十章 齿 轮机构及其设计
§ 10－ 1 齿轮机构的应用和分类
§ 10－ 2 齿轮的齿廓曲线
§ 10－ 3 渐开线的形成及其特性
§ 10－ 4 渐开线齿廓的啮合特性
§ 10－ 6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚
§ 10－ 5 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
§ 10－ 7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
§ 10－ 8 渐开线齿轮的切制
§ 10－ 9 变位齿轮概述
§ 10－ 11 斜齿圆柱齿轮传动
§ 10－ 12 交错轴斜齿轮传动
§ 10－ 13 蜗杆传动
§ 10－ 14 圆锥齿轮传动传动
§ 10－ 15 其他曲线齿廓的齿轮传动简介
§ 10－ 10 变位齿轮传动
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§ 10－ 1 齿轮机构的应用和分类
作用,传递空间任意两轴（ 平行, 相交, 交错 ）的旋转运动,
或将 转动转换为移动 。
结构特点,圆柱体外（或内）均匀分布有大小一样的 轮齿 。
优点,
① 传动比准确、传动平稳。
② 圆周速度大，高达 300 m/s。
③ 传动功率范围大，从几瓦到 10万千瓦。
④ 效率高 (η→0.99 )、使用寿命长、工作安全可靠。
缺点,加工成本高、不适宜远距离传动 (如单车 )。
分类,
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平面齿轮传动
（ 轴线平行 ）
外齿轮 传动
内齿轮 传动
齿轮齿条
直齿
斜齿
人字齿
圆柱齿轮
非圆柱齿轮
空间齿轮传动
（ 轴线不平行 ）
按相对
运动分
按齿廓曲线分
直齿
斜齿
曲线齿
圆锥齿轮 两轴相交
两轴交错
蜗轮蜗杆 传动
交错轴斜齿轮
准双曲面齿轮 渐开线齿轮 (1765年 )
摆线齿轮 (1650年 )
圆弧齿轮 (1950年 )
按速度高低分,
按传动比分,
按封闭形式分,
齿
轮
传
动
的
类
型 应用实例：提问参观对
象, SZI型统一机芯手
表有 18个齿轮, 炮塔,
内然机 。
高 速, 中 速, 低 速齿轮传动 。
定 传动比, 变 传动比齿轮传动 。
开 式齿轮传动, 闭 式齿轮传动 。
球齿轮
抛物线齿轮 (近年 )
分类,
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准双曲面齿轮 曲线齿圆锥齿轮
斜齿圆锥齿轮 2
ω 2
1
ω 1
非圆齿轮
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共轭齿廓,一对能实现预定传动比 (i12=ω 1/ω2)规律的啮合齿廓 。
§ 10－ 2 齿轮的齿廓曲线
1.齿廓啮合基本定律
一对齿廓在 K点接触时,
有,i12=ω 1/ω 2＝ O2 P /O1P
齿廓啮合基本定律,
互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动
比, 都与连心线 O1O2被其啮合齿廓的在接
触处的公法线所分成的两段成反比 。
vk2
vk1
如果要求传动比为常数, 则应使 O2 P /O1P为常数 。
节圆,设想在 P点放一只笔, 则笔尖在两个齿轮运动平面内所
留轨迹 。
o2
ω 2
o1
ω 1
n
n
t
t
P
但其法向分量应相同 。 否则要么分离, 要么嵌入
根据三心定律可知,P点为相对瞬心 。
其相对速度 vk2k1方向, 只能
是沿齿廓接触点的公法线方
向 。
k
由于 O2, O1为定点, 故 P必为一个定点 。
两节圆相切于 P点, 且两轮节点处速度相同, 故 两节圆作纯滚动 。
vk1≠ vk2
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----应用最广 渐开线
2.齿廓曲线的选择 理论上, 满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多, 但考虑到便于制造和检测等因素, 工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线, 如渐开线, 其中应用最广的是渐开线, 其
次是摆线 (仅用于钟表 )和变态摆线 。 (摆线针轮减速器 ),近年来提出了圆弧和抛物线 。
渐开线 具有很好的传动性能, 而且便于 制造, 安装, 测量 和 互
换 使用等优点 。 本章只研究渐开线齿轮 。
摆线
变态摆线
圆弧
抛物线
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。
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r
b
§ 10－ 3 渐开线的形成及其特性
1,渐开线的 形成
― 条直线在圆上作纯滚动时，直线上
任一点的轨迹
2.渐开线的特性
② 渐开线上任意点的法线切于基圆 纯滚动时,
B为瞬心，速度沿 t-t线，是渐开线的切线，故 BK为法线
③ B点 为曲率中心,BK为曲率半径。
④ 渐开线形状取决于基圆
⑤ 基圆内无渐开线。
BK－发生线,
① AB = BK;
渐开线起始点 A处曲率半径为 0。 可以证明
t
t
发生线
B
k
基圆
O
A rk θ
k 基圆－ rb
θ k－ AK段的展角
A1
B1
o1
θ k
K
B3
o3
θ k
A2
B2
o2
－ 渐开线
渐开线
⑥ 同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。
当 rb→∞,变成直线。
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rb
O
⑥ 同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。
A
C
B
C’
由性质①和②有,
两条反向渐开线,
两条同向渐开线,
B1E1 = A1E1－ A1B1
B2E2 = A2E2－ A2B2
B1E1 = B2E2
∴ A1B1 = A2B2
A1E1 = A2E2
AB = AN1 + N1B = A1N1 + N1B1 = A1B1
AB = AN2 + N2B = A2N2 + N2B2 = A2B2
A1
B1
N1
A2
B2 N2 E2
E
E1
C”
顺口溜,
弧长等于发生线, 基圆切线是法线,
曲线形状随基圆, 基圆内无渐开线 。
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为使用方便, 已制成函数表待查 。
3.渐开线方程式
tgα k= BK/rb
θ k = tgα k-α k
上式称为渐开线函数, 用 invα k 表示,
θ k ＝ invα k
直角坐标方程,
x = OC-DB
y =BC+DK
rk
θ k
rb
α k
= rb sinu
极坐标方程,
= rb cosu
= rb(θ k+α k)/rb
式中 u称为滚动角, u=θ k+α k
α k
vk 定义：啮合时 K点正压力方向与速度方向所
夹锐角为渐开线上该点之 压力角 α k。
有,α k =∠ BOK
B
A
K(x,y)
y
x
rb
O C
u u
D u
rb＝ rk cosα k
＝ tgα k-α k
- rbucosu
+ rbusinu
=AB/rb )
O
A
B
k
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ω 1
ω 2
O2
rb1
rb2
§ 10－ 4 渐开线齿廓的啮合特性
1.渐开线齿廓能保证定传动比传动
N2
N1
K’ P C1
要使两齿轮作定传
动比传动, 则两轮
的齿廓无论在任何
位置接触, 过接触
点所作公法线必须
与两轮的连心线交
于一个定点 。
两齿廓在任意点 K啮合时, 过 K作两齿廓
的法线 N1N2,是基圆的切线, 为定直线 。
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const
工程意义,i12为常数可减少因速度变化所产生的
附加动载荷, 振动和噪音, 延长齿轮的使用寿命,
提高机器的工作精度 。
2.齿廓间正压力方向不变
N1N2是啮合点的轨迹, 称为 啮合线
该线又是接触点的法线, 正压力总是沿法线方向,
故正压力方向不变 。 该特性对传动的平稳性有利 。
C2 两轮中心连线也为定直线, 故交点 P必
为 定点 。 在位置 K’时同样有此结论 。
K
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3.运动可分性
△ O1N1P≌ △ O2N2P
由于上述特性, 工程上广泛采用渐开线作为齿轮
的齿廓曲线 。
实际安装中心距略有变化时, 不影响 i12，
这一特性称为 运动可分性, 对加工和装
配很有利 。
O1
ω 1
ω 2
O2
rb1
rb2
N2
N1
P C1 C
2
K 故传动比又可写成,
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P = rb2 /rb1
－基圆之反比。 基圆半径是定值
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§ 10－ 5 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
一, 外齿轮
1.名称与符号
pn
r
齿顶圆－ da,ra
齿根圆－ df,rf
齿厚－ sk 任意圆上的 弧长
齿槽宽－ ek 弧长
齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓 弧长
齿顶高 ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf
齿宽－ B
ha
hf h
rb
O
B
p
ra
pb
分度圆－－ 人为规定的计算基准圆
表示符号,d,r,s,e,p= s+e
法向齿距 （周节）－ pn
s e sk
ek
= pb
rf
pk
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2.基本参数
② 模数－ m
① 齿数－ z 为了计算, 制造和检验的方便
分度圆 周长,πd=zp,d=zp/π,出现无理数,不方便
称为模数 m 。
模数的单位,mm，
它是决定齿轮尺
寸的一个基本参
数 。 齿数相同的
齿轮, 模数大,
尺寸也大 。
于是有,d=mz,r = mz/2
人为规定,m=p/π 只能取某些简单值,
m=4 z=16
m=2 z=16
m=1 z=16
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0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75)
第二系列 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22
28 (30) 36 45
表 10-1 标准模数系列表（ GB1357－ 87）
0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8
第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8
10 12 16 20 25 32 40 50
为了便于制造, 检验和互换使用,国标 GB1357-87规定了
标准模数系列。 P306。
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O ω rb N
③ 分度圆压力角
得,α i＝ arccos(rb/ri) 由 rb＝ ri cosα i
对于分度圆大小相同的齿轮, 如果 α
不同, 则基圆大小将不同, 因而其齿
廓形状也不同 。
α 是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数 。
定义分度圆压力角为齿轮的压力角,
或 rb ＝ rcosα,
对于同一条渐开线,→ α i ↓ α b＝ 0
α 1
A
α i
α i
B1
K1
r1
α ＝ arccos(rb/r)
O
rf
ra
rb
r
db＝ dcosα
Bi
Ki
ri
ri ↓
α
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由 d=mz知,m和 z一定时, 分度圆是一个大小唯一确定的圆 。
规定标准值,α ＝ 20°
某些场合采用 α ＝ 14.5°, 15°, 22.5°, 25° 。 如航空齿轮
由 db＝ dcosα 可知, 基圆也是一个大小唯一确定的圆。
称 m,z,α 为渐开线齿轮的三个基本参数 。
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pn
rf r
ha
hf h
rb
O
ra
pb N
α
s e
齿轮各部分尺寸的计算公式,
齿顶高,ha=ha*m
齿根高,hf=(ha* +c*)m
全齿高,h= ha+hf
齿顶圆直径,da=d+2ha
ha* － 齿顶高 系数,
取标准值 ha*＝ 1
齿 根 圆直径,df=d-2hf
基圆直径,db=dcosα
法向齿距,pn=pb
ca* －顶隙系数,
取标准值 c*=0.25
标准齿轮,
详细计算公式见表 10－ 2(P307)
一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后, 其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了 。
分度圆直径,d=mz
=mzcosα
=π db/z =π mcosα =pcosα 统一用 pb表示
=(2ha* +c*)m
=(z+2ha*)m
=(z-2ha*-2c*)m
m, α, ha*, c* 取标准值, 且 e=s的齿轮 。
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二, 齿条
特点,齿廓是直线, 各点法线和速度方向线平行
1)压力角处处相等, 且等于齿形角,
2)齿距处处相等, p=π m
其它参数的计算与外齿轮相同,如,
s=π m/2 e=π m/2
e s
p
pn
B
ha
hf
z→∞ 的特例 。 齿廓曲线 （ 渐开线 ） → 直线
ha=ha*m hf=(ha* +c*)m
pn=pcosα
α 为常数 。
α
α
α
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1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反 。
2)df>d>da
三, 内齿轮
3) 为保证齿廓全部为渐开线, 要求 da>db。
,da＝ d-2ha,df＝ d+2hf
结构特点,轮齿分布在空心圆柱体内表面上 。 不同点,
r rb
rf
ra
p
n
h N
α
s e
ha hf
p B
O
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B B
r ra
A A
rb
O
§ 10－ 6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚
设计和检验齿轮时, 常需要知道某些圆上的齿厚 。 如为了检查轮齿
齿顶的强度, 就需要计算齿顶圆上的齿厚；为了确定齿侧间隙, 就需要计算节圆上的齿厚 。
一般表达式,
si=CC=riφ 求出 φ 则可解
φ =∠BOB -2∠BOC
φ
Si=riφ
其中,α i=arccos(rb/ri)
顶圆齿厚,Sa=(sra/r)-2ra(invα a-invα )
节圆齿厚,S’=(sr’/r)-2r’(invα ’-invα )
基圆齿厚,Sb=(srb/r)+2rbinvα
=cosα (s+mzinvα )
=scosα +2rcosα invα
=(sri/r)-2ri(invα i-invα )
=(s/r)
=(s/r)-2( N
α i
α
s
ri
C C si
θ
sb
- 2(θ i-θ )
sa
invα i -invα )
θ i
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pb1
pb1<pb2 pb1>pb2 pb1=pb2
pb1
pb1
不能正确啮合 ! 不能正确啮合 ! 能正确啮合 !
rb1
r1
O1
ω 1
rb2 r2
O2
ω 2
rb1
r1
O1
ω 1 rb1
r1
O1
ω 1
rb2 r2
O2
ω 2
rb2 r2
O2
ω 2
P
N1
N2
B2
B1 P
N1
N2
B2
B1 P
N1
N2
B1
B2
§ 10－ 7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
一对齿轮传动时, 所有啮合点都在 啮合线 N1N2上 。
渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律, 那么, 是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
m1<m2
从外观看齿
1比齿 2小
m1>m2
外观齿 1
比齿 2大
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要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合, 两齿轮
的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等,
1.正确啮合条件
pb1= pb2
将 pb=πmcosα 代入得,
m1cosα 1=m2cosα 2
因 m和 α 都取标准值, 使上式成立的条件为,
m1=m2, α 1=α 2
结论,一对渐开线齿轮的正确啮合条件
是它们 模数 和 压力角 应分别相等 。
pb1
rb2 r2
O2
rb1
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
B2
B1
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2.中心距 a及啮合角 α ’
2.1外啮合传动
对标准齿轮, 确定中心距 a时, 应满足两个要求,
2 )顶隙 c为标准值 。 储油用
两轮节圆总相切,a=r’1+ r’2
此时有,
a=ra1+c+rf2
=r1+ha*m+c*m + r2-(ha*m+c*m)
=r1+ r2 =m(z1+z2)/2
a =r1+ r2
=r1+ r2
两轮的传动比,i12 = r’2 /r’1
r’1 = r1
r’2 = r2 节圆与分度圆重合 = r2 /r1
标准中心距
为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引
起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证 1)理论上齿侧间隙为零 。
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rb2 r2
O2
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1 ra1 ra1
rf2
rf2
c
a a’ > a
O1
rb2 r2
O2
r1
ω 1
ω 2
P
N2
rb1
ra1
rf2
N1
r'2
r’1
α ’=α α ’>α
定义,N1N2 线与 VP 之间的夹角, 称为啮合角 α ’,
即 节圆压力角 。
标准安装时,α ’＝ α,
非 标准安装时,由于 a’>a 此时 α ’ >α 。,两分度圆将分离,
强调
提问,a’<a
可能吗？
rb1＋ rb2 = (r1 +r2)cosα = a cosα
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r1
N2 v
2 2
非 标准安装时,由于 a’>a,两分度圆将分离, 此时 α ’ >α
但基圆不变,
比较后有,
2.2齿轮齿条传动
标准安装,
非 标准安装,
O1
1
N1
rf1
ra1 ω 1
α ’=α
N2 v
2 2
r1
O1
1
N1
rf1
ra1 ω 1
B1
B2
α ’=α
B1
B2
P
节圆与分度圆重合, 节线与分度线重合,
= a’cosα ’
P
无穷远
α ’＝ α
N1N2 线与齿廓垂直, 故节点位置不变, 且
r1’ = r1
rb1＋ rb2 = (r1’+r2’)cosα ’
a’cosα ’ = a cosα 重要结论
标准安装时,rb1＋ rb2= a cosα
α ’＝ α 节线与分度线不重合
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N1
N2
O1
rb1
P
rb2
ω 2
ω 1
O2
3.一对轮齿的啮合过程
B1B2 －实际啮合线
轮齿在从动轮顶圆与 N1N2 线交点 B2处进
入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。
N1N2,理论上可能的最长啮合线段 因基圆内无渐开线
N1,N 2 －啮合极限点
阴影线部分 － 齿廓的实际工作段。
ra1
ra2
随着传动的进行，啮合点沿 N1N2 线移动。
在主动轮顶圆与 N1N2 线交点处 B1脱离啮
合 。 主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好
相反。 B1
B2
－ 理论啮合线段
N2
1
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O1
N2
N1
K
O2
ω 2
ω 1
pb 4.连续传动条件
为保证连续传动，要求,
实际啮合线段 B1B2≥ pb (齿轮的法向齿距 ),B1
B2
定义, ε α = B1B2/pb 为一对齿轮的 重合度
一对齿轮的连续传动条件是,
为保证可靠工作，工程上要求,
表 10-3 [ε α ]的推荐值,
使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机
[ε α ] 1.4 1.1～ 1.2 1.3
从理论上讲，重合度为 1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差
即,B1B2/pb≥1
ε α ≥[ ε α ]
ε α ≥1
一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱
离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。因此有一个连续传动的问题。
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α ’
α a2
计算公式,
ε α = B1B2/pb ＝ (PB1+P B2)
∴ ε α =[z1(tgα a1-tgα ’) + z2(tgα a2-tgα ’)]/2π
N1
N2
O1
rb1
rb2
O2
P
其中,PB1＝ B1 N1-PN1 ＝ rb1tgα a1
＝ z1mcosα (tgα a1-tgα ’)/2
PB2＝ B2 N2-PN2 ＝ rb2tgα a2
＝ z2mcosα (tgα a2-tgα ’)/2
① 外啮合传动
B2
ra2
ra1
B1
- rb1tgα ’
α ’
α a1
- rb2tgα ’
/π mcosα
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P
N1
O1
② 齿轮齿条传动,
PB1 ＝ z1mcosα (tgα a1-tgα ’)/2
PB2＝ h*am/sinα
h*am
代入得,ε α =[z1 (tgα a1-tgα ’ )]/2π
+ h*a /π cosαsinα
B1
B2
ε α = B1B2/pb ＝ (PB1+P B2) /π mcosα
α ’
α ’
α a1
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ε α = B1B2/pb ＝ (PB1+P B2)/π mcosα
∴ ε α =[Z1(tgα a1-tgα ’)-Z2(tgα a2-tgα ’)]/2π
PB2＝ PN2 - B2 N2 ＝ rb2tgα ’
＝ - z2mcosα (tgα a2-tgα ’)/2
③ 内啮合传动
PB1 ＝ B1 N1- PN1 α a1
α ’
α a2<α ’
＝ z1mcosα (tgα a1-tgα ’)/2 同上
ε α 的物理意义,
表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。
N2
P
O2
ra2 r
b2
B2 N
1
O1
ra1
rb1
B1
- rb2tgα a2
α ’
α a2
-rb1tgα ’ =rb1tgα a1
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rb2
rb2
单齿啮合区
双齿啮合区 双齿啮合区
ε α = 1.45
B1B2=ε α P b = 1.45 Pb
第一对齿在 B2点进入啮合
第一对齿从 B2运动到 B3点时；
第一对齿从 B3运动到 B1点时；
第一对齿在 B1点脱离啮合后；
只有第二对齿处于啮合状态。
当第二对齿从 B4点运动到 B3点时；
第三对正好在 B2点进入啮合。
开始一个新的循环。
1
2 2 3
单齿啮合区长度,
L1＝ ε α P b － 2(ε α － 1) P b
＝ (2－ ε α ) P b
双齿啮合区长度,
L2＝ 2(ε α － 1) P b
1
2
第二对齿在 B2点恰好进入啮合。
第二对齿从 B2运动到 B4点时。
N2
N1
P B
1
B3
1
B4
B2
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双 双
T单 / T =[B1B2-2(B1B2-pb)]/ B1B2
则双齿啮合所占时间的百分比为,
T双 / T
单齿啮合所占时间的百分比为,
设一对轮齿从 B2点进入啮合到 B1点退出啮合的时间为 T,
单
ε α pb
pb
pb
B1 B2
=2-2/ε α =2(B1B2-pb)/ B1B2
=(2pb - B1B2)/B1B2
= 2/ε α -1
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ra1
ra2
B2 B1
O1
O2
影响 ε α 的因素,
ε α ↑ → 啮合齿对 ↑ → 平稳性、承载能力 ↑ 希望 ε 大好
① ε α 与 z,ha*,α ’,α 有关而与 m无关。
α a＝ arccos(rb/ra)
② ha*↑
④ α ’↑
③ z↑
⑤ α ↑
分析,ε α =[Z1(tgα a1-tgα ’)+Z2(tgα a2-tgα ’)]/2π
N2
O1
ra1
B1
N1
rb1
rb2
O2
P B2
ra2
B2
ra2
→ d a↑ → B1B2↑ → ε α ↑
→ α a↑ → ε α ↑
α ’
α ’ > α ’
B1B2 < B1B2
α ’ B2
B1
→ B1B2 ↓ → ε α ↓
→ α a↑ → ε α ↑
＝ arccos[mzcosα /(mz+2ha* m)]
＝ arccos[zcosα /(z+2ha*)]
＝ arccos(db/da)
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P
当 Z1,,Z2 → ∞ 时
ε αmax =(PB1+PB2 )/pb
PB1＝ PB2
=4 ha*/π sin2α
h*am
α
取,α =20°,ha*=1
,ε α → ε αmax
ε αmax =1.981,
＝ ha*m/sinα
B1
B2
=2 ha*m/(sinα π mcosα)
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铣刀号数 1 2 3 4 5 6 7 8
所切齿轮齿数 12～ 13 14～ 16 17～ 20 21～ 25 26～ 34 35～ 54 55～ 134 ≥ 135
8把一组各号铣刀切制齿轮的齿数范围
§ 10－ 8 渐开线齿轮的切制
1.齿廓切制的基本原理
齿轮加
工方法
仿形法
范成法
(展成法
共轭法
包络法 )
盘铣刀
指状铣刀
插齿
滚齿
剃齿
磨齿
铸造法
热轧法
冲压法
模锻法
粉末冶金法
切制法
最常用
铣削
拉削
产生齿形误差和分度误差,
精度较低，加工不连续，生
产效率低。适于单件生产。
一种模数只需要一把刀具
连续切削，生产效率高,
精度高，用于批量生产。
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指状铣刀加工
盘铣刀加工
铣刀旋转，工件进给
分度、断续切削。
适用于加工大模数
m>20 的齿轮和人字
齿轮。
由 db=mzcosα 可知，渐开线
形状随齿数变化。要想获得
精确的齿廓，加工一种齿数
的齿轮，就需要一把刀具。
这在工程上是不现实的。
分度
进给
分度
切削
ω
进给
切削
ω
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齿轮插刀加工
i=ω 0 /ω=z/z 0
让刀运动
切
削
运
动
ω ω
0
范成运动
ω 0
ω
共轭齿廓互为包络线
齿条插刀加工
进给
切削
让刀
ω
v
范成
V＝ ωr ＝ ωmz/2
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滚刀
滚齿加工
进给
进给
ω 0
ω v
ω 0
ω
范成运动
V＝ ωr ＝ ωmz/2
γ
滚刀倾斜 t
t
滚刀轴剖面
相当于齿条
相当于齿轮齿
条啮合传动
ω 0 切削
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2.用标准齿条型刀具加工标准齿轮
标准齿条型刀具比基准齿形高
出 c*m一段切出齿根 过渡曲线 。
非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。
GB1356-88规定了标准齿条
型刀具的基准齿形。
2.1标准齿条型刀具
2.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮
h* a
m
h* a
m
c* m
π m/2 π m/2
α=20 °
c* m
分度线
分度圆
hf=(h*a+ c*)m
ha=h*am
加工标准齿轮,
刀具分度线刚好与轮坯
的分度圆作纯滚动。
加工结果,s＝ e＝ π m/2
顶线
e
s
ha=h*am
hf=(h*a+ c*)m
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P α
α
N1
rb r
b
r
O1
3 2 B1
B2
3.渐开线齿廓的根切
图示现象称为轮齿的根切。
根切的后果,
①削弱轮齿的抗弯强度；,
3.1产生根切的原因
P α
α
rb
r ra
N1
O1
2 3
B2
B1
PB2<PN1 不根切
1
PB2=PN1 不根切
刀具在位置 1开始切削齿间； 在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
② 使重合度 ε 下降。
1
分度圆
基圆
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3
O1
P
α
α
N1
rb
r
结论,刀具齿顶线与啮合线的交点 B2落在极限啮合点 N1的右上
方，必发生根切。根切条件为,
4 发生根切
M
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
已加工好的齿廓根部落
在刀刃的左侧，被切掉；
刀具沿水平方向移动的距离,
N1M ＝ rφ
沿法线移动的距离,
N1K ＝ N1Mcosα
弧长与直线长度相等,
N1K ＝ N1N’1
到达位置 4时, 轮坯转过 φ 角,
PB2>PN1
2
B1
B2
φ
N’1 K
在位置 3切削完全部齿廓； 强调 B
2的位置
强调 N’1是齿廓
起始点,并证明该
点落在刀刃左边
α
基圆转过的弧长为,
N1 N’1＝ rbφ
50分钟
1
＝ rφ cosα
＝ rφ cosα
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3.2渐开线齿轮不发生根切的最少齿数
在齿高相同的情况下，刀具齿越多，越容易发生根切
齿条型刀具比齿轮型刀具更容易发生根切。
凡齿条刀不根切，则齿轮刀肯定不会发生根切，故只讨论齿条型刀具。
ra2
N1
rb1
O1
P
当被加工齿轮的模数 m确定之后，其刀
具齿顶线与啮合线的交点 B2就唯一确定,ra1
B2
这时极限啮合点 N1的位置随基圆大小变动,
当 N1 B2两点重合时，正好不根切。
不根切的条件,
在 △ PN1O1 中有,
在 △ PB2B’ 中有,
代入求得,z≥2 h a*/ sin2α
取 α =20°,ha*=1,得, zmin=17
h*am
ra3
∞
B’
rb
N1
O1
P
rb1
N1
rb3
N1 B
2
r
α
h*am
α
即,zmin＝ 2 ha*/ sin2α
P N1≥P B2
=mzsinα /2 PN1=rsinα
PB2=ha*m/sinα
不根切
刚好不根切 根切
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r
P
rb1
N1
3.3避免根切的措施
a)减小 ha* ↓
b)加大刀具角 α ↑
c)变位修正，刀具远离轮坯中心。
α 2
α 2 α 1
α 1
B2
r
P
rb1
N1 B2
Ft =M/r
Fr2 F
n2
α 2 α 1
Fn1 Fr1
→ ε α ↓
→ 正压力 Fn↑
增大压力角后有副作用
→ 功耗 ↑,
这两种方法都不现实
rb2
N1
B2
所得齿轮为 变位齿轮。
→ 连续性、平稳性 ↓, 得用非标准刀具。
得用非标准刀具。
r
P
rb1
N1 B2
B2
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§ 10－ 9 变位齿轮概述
标准齿轮的优点：计算简单, 互换性好 。
缺点,
① 当 z<zmin时, 产生根切 。 但实际生产中经常要用到 z<zmin的齿轮 。
② 不适合 a’≠a的场合 。 a’<a 时, 不能安装 。 当 a’>a时, 产生过
大侧隙, 且 ε α ↓
③ 小齿轮容易坏 。 原因,ρ 小, 滑动系数大, 齿根
薄 。 希望两者寿命接 近 。 为改善上述不足, 就必须对齿
轮进行变位修正 。
一, 加工齿轮时刀具的变位 从避免根切引入
为避免根切, 可径向移动刀具 xm
h*
am
N
1
α
α
B2
刀具
中线
称 x为径向变位系数 。 齿高有变化
规定,
远离轮坯中心时, x>0,称正变位齿轮 。
靠近轮坯中心时, x<0,称负变位齿轮 。
B2
xm
xm
发生根切时，移动刀具可避免,问题是刀具要移动多大距离才能不根切？
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Q
二, 最小变位系数 xmin
当 z<zmin时, 为避免根切, 刀具的
齿顶线应移到 N1或以下的位置,
N1Q≥ha*m-xm
∵ N1Q＝ N1 Psinα
∴ x≥h a*- zsin2α /2
由 zmin＝ 2 ha*/ sin2α 有,
得,x≥h a*(zmin- z)
刀具最小变位系数为,xmin=ha*(zmin- z)
＝ rsinα sinα
＝ mzsin2α /2
xm
xm
xminm
α
r
N1
α
O1
P
B2
h*
am
或 xm≥ha*m- N1Q
(sin2α) /2＝ ha*/zmin
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三, 变位齿轮的几何尺寸
1.变位齿轮 的基本参数 m,z,α 与标准齿轮相同, 故 d,db与
标准齿轮也相同, 齿廓曲线取自 同一条渐开线 的不同段 。
齿根高,hf= ha*m＋ c*m－ xm
2.齿顶高和齿根高与标准齿轮不同
顶圆半径,ra =r+ ha =r+(ha*+x)m
齿顶高,由毛坯大小确定, 如果保证全齿高不变, 则有,
ha
hf
ha= (ha*+x)m
分度圆
标准齿轮 x＝ 0 正变位齿轮 x>0 负变位齿轮 x<0
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3.齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同
齿厚,s=πm/2
xmtgα
K J
I
α
正变位：齿厚变宽, 齿槽宽减薄 。
xm
xm 刀具分度线
刀具节线
分度圆
P N1
基圆
O1
α
rb
变位后与轮坯分度圆相切的不是刀
具的分度线，而是刀具节线，刀具
节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，
则轮坯分度圆上的齿厚将增大。
S=π m/2
s’
齿槽宽,e=πm/2
+ 2xmtgα
－ 2xmtgα
负变位,正好相反 。
采用变位修正法加工变
位齿轮, 不仅可以避免
根切, 而且与标准齿轮
相比, 齿厚等参数发生
了变化, 因而, 可以用
这种方法来改善齿轮的
传动质量和满足其他要
求 。 且加工所用刀具与
标准齿轮的一样, 所以
变位齿轮在各类机械中
获得了广泛地应用 。
B2
100分钟
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§ 10－ 10 变位齿轮传动
1.正确啮合条件和连续传动条件
与标准齿轮相同, 即,m1=m2,α 1=α 2,ε α ≥[ ε α ]
2.中心距与啮合角
无侧隙啮合时,s'1=e'2
故有,p'＝ s'1+ e'1
由任意圆齿厚公式得,
s'1= s1r'1 / r1 -2 r'1 (invα '-invα )
式中,s1＝ m(π/2+2x1 tgα)
又 r'i / ri
代入 p '= s'1+ s'2 得,
)(c o sc o s2c o sc o s)(c o sc o s2c o sc o sc o sc o s ''2'2''1'1' ?????????????? i n vi n vrsi n vi n vrsp ??????
)(2)(2 '22'11 ???? i n vi n vrsi n vi n vrsp ??????或：
= s'2 + e'2 = s'1+ s'2
s'2= s2r'2 / r2 -2 r'2 (invα '-invα )
,s'2= e'1
s2＝ m(π/2+2x2 tgα)
＝ ( rbi /cosα ') / (rb i /cosα ) = cosα / cosα ’ i =1,2
本节讨论变位齿轮的
啮合传动与设计问题
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0))(()(2 '2121 ????? ??? invinvzzmxxm t g简化得：
)()22/(,'11 ????? i n vi n vmztgxmm ????即
??? invzzxxtginv ???? )/()(2 2121'
)()22/( '22 ???? invinvmztgxm ????
上式称无侧隙啮合方程。
分析：若 x1+ x2≠0
即分度圆与节圆不重合，两分度圆分离或相交。
a’≠a
aaym ?? '设
)1
c o s
c o s(
2 '
21 ????
?
?zzy －中心距变动系数
无侧隙啮合时有,
ymaa ??'
由 a’cosα ’ =acosα 知：,则 α ’≠ α
aa ??
'co s
co s
?
? )1
co s
co s(
2
)(
'
21 ???
?
?zzm
ymzzm ??? 2/)( 21
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为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙,c=c*m,则两轮的中心距为,
如果无侧隙和标准顶隙同时满足，则应使,
mxxzzm )(2/)( 2121 ????
21" fa rcra ???
mxchmcmxhrr aa )()( 2***1*21 ????????
可以证明,只要 x1+ x2≠0
两个要求不能同时得到满足。 解决办法：将轮齿削顶。
'" aam ???
mxmmhh aa ???? *齿顶高为：
0)( 21 ??? yxx＝得,?
除了 x1+ x2＝ 0之外，总有 x1+ x2> y,即 ? > 0,轮齿总要削顶 。
－－称为齿顶高变动系数
2211 fa hrchr ?????
a'=a'' 即,y=x1+x2
则 x1+ x2>y, 即 a'' >a'。
ymmxx ??? )( 21
mxh a )( * ????
构造函数 f(α ’)= x1+ x2 –y
则当 α ’=α 时有极小值
x1+ x2＝ y
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3.变位齿轮传动类型及其特点
标准齿轮传动 x1＝ x2＝ 0
等变位齿轮传动 x1＝ -x2≠0
不等变位齿轮传动
零传动 x1＋ x2＝ 0
正传动 x1＋ x2>0
负传动 x1＋ x2<0
变位齿轮
传动类型
1,x1+ x2＝ 0,且 x1＝ x2＝ 0
标准齿轮传动（ 变位齿轮传动的特例 ）
2,x1+ x2＝ 0，且 x1＝ -x2≠0
等变位齿轮传动（ 高度变位齿轮传动 ）
有,a’=a y=0 ? =0 α ’=α r’=r
小齿轮采用正变位,x1>0，大齿轮采用负变位,x2<0
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两轮不产生根切的条件,
x1≥h a*(zmin-z1)/zmin
x2≥h a*(zmin-z2)/zmin
两式相加，设 ha*＝ 1，则有,
x1 +x2≥[2z min-( z1+ z2)]/zmin
∵ x1+ x2＝ 0
∴ z1+ z2≥2z min
优缺点,
① 可采用 z1≤z min的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。
② 改善小齿轮的磨损情况。
③ 相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。
④ 缺点是,没有互换性，必须成对使用,ε α 略有减小。
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3,x1+x2≠0
不等变位齿轮传动（ 角度变位齿轮传动 ）
当 x1+ x2 >0 称正传动,当 x1+ x2 <0 称负传动。
b)负传动时有,
a’<a y<0 ? >0 α ’ <α r’ <r 齿高降低 ? m。
优点,
可以采用 z1+ z2<2zmin 而不根切，结构紧凑。其余同上 。
a)正传动时有,
a’ >a y>0 ? >0 α ’>α r’ >r 齿高降低 ? m
优缺点,与正传动相反。仅用于配凑中心距的场合。
缺点,没有互换性，必须成对使用，因齿顶降低使 ε α ↓ 。
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4.变位齿轮传动的设计步骤
一、已知中心距的设计
1)计算啮合角,α ’＝ arccos(acosα / a’)
2)确定变位系数之和,x1+ x2＝ (invα ’－ invα )( z1+ z2)/2tgα
3)确定中心距变动系数,y=(a’－ a)/m
4)确定齿顶高变动系数,? ＝ (x1+ x2) -y
5)分配变位系数。
6)按表 10－ 4(P327)计算两轮的几何尺寸 。
二、已知变位系数的设计
1)计算啮合角,invα ’＝ 2tgα (x1+ x2)/( z1+ z2)+ invα
2)确定中心距, a’＝ acosα / cosα ’
3)确定 y和 ?, y=(a’－ a)/m,? ＝ x1+ x2－ y
4)按表 10－ 4(P327)计算两轮的几何尺寸。
已知条件是,z1,z2,m,x1,x2,其设计步骤如下,
已知条件是,z1,z2,m,a’, 其设计步骤如下,
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发生面
§ 10－ 11 斜齿圆柱 齿轮传动
1.斜齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点 考虑齿轮宽度, 则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时, 发生面内一
条与轴线平行的直线 KK所展成的曲面 。 直齿轮,啮合线 → 啮合面 两基圆的内公切面
啮合点 → 接触线, 即啮合面与齿廓曲面的交线 。
啮合特点 → 沿齿宽同时进入或退出啮合 。 突然加载或卸载,
运动平稳性差, 冲击, 振动和噪音大 。
斜直线 KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面,
啮合特点,
螺旋渐开面
A
K
K
A
发生面
K
K
β b
A
A
基圆柱
β b － 基圆柱上的 螺旋角
接触线长度的变化,
短 → 长 → 短。 。
优点,传动平稳、冲击、
振动和噪音较小，适宜
高速、重载传动。
加载、卸载过程是逐渐
进行的。
KK线上每一点都产生一条渐开线,
其形状相同而起始点不在同一条母线上
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2
1
β b
啮合面
基圆柱 渐开线螺旋面
K
K
齿面接触线
齿面接触线始终与 K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。
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β
2.斜齿轮的基本参数
2.1 斜齿轮的螺旋角
将分度圆柱展开, 得
一矩形, 有,
tgβ =π d/l
其中 α t为端面压力角 。 π d
β
π db
β b
同理, 将基圆柱展开,
也得一矩形, 有,
tgβ b=π db/l
l
得,tgβ b /tgβ =db/ d
∴ tgβ b = tgβ cosα t
d
=cosα t
β
左旋
β 右旋
β
定义 分度圆柱上的螺旋角
为斜齿轮的螺旋角 β 。
判别方法
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B
斜齿轮,
法面内的齿形与刀具的齿形一样, 取标准值 。
2.2 模数 mn,mt
将分度圆柱展开, 得一矩形,
pn=ptcosβ
将 pn＝ π mn,pt＝ π mt 代入得,
mn=mtcosβ
π d
β
pt p
n
β
可求得端面齿距与法面齿距之间的关系,
斜齿轮的齿面为螺旋渐开面, 其法面齿形和端面齿形不一样, 参数也不一样 。 切削加工
时, 刀具沿齿槽方向运动, 故法面内的齿形与刀具的齿形一样, 取标准值 。 计算时,
按端面参数进行, 故应建立两者之间的关系 。 端面是圆, 而法面不是圆
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2.3 压力角,αn,αt
用斜齿条说明,
αn α
t
β β
在 △ a’b’c’中, 有,
∠ a’b’c=αn
在 △ abc中,有,
∠ abc=αt
由 ab=a’b’,a’c=accosβ 得,
tgαn = tgαt cosβ
3,斜齿轮传动的几何尺寸
不论在法面还是端面, 其齿顶高和齿根高一样,
h*an－法面齿顶高系数,han*＝ 1
c*n－法面顶隙系数,c*n＝ 0.25
过 c点作轮齿的法剖面
在法面和端面内
齿高一样
b'
a'
c a
b,tgα
n =a’c/a’b’
tgαt =ac/ab
ha=h*anmn
hf= (h*an+c * n) m n
c a
a’
β
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分度圆直径,d=zmt=z mn / cosβ
中心距,a=r1+r2
可通过改变 β 来调整 a的大小 。
变位修正, 刀具移动量 △ r＝ △ n＝ △ t,有,
△ r＝ xt mt
得,xt = xn cosβ
其他尺寸详见 P336表 10－ 5
4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件
啮合处的齿向相同 。
外啮合,β 1＝ -β 2
mn1=mn2, αn1 =αn1
mt1=mt2, αt1＝ αt2
一对斜齿轮的正确啮合条件，除了
模数和压力角应分别相等外，其螺
旋角必须匹配。
= mn (z1+ z2) /2 cosβ
= xn mn = xn mt cosβ
,内啮合, β 1＝ β 2
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5,斜齿轮传动的重合度
直齿轮,ε ＝ L /pb
斜齿轮,
ε γ ＝ (L+△ L)/pbt
ε 的 增量,
ε β ＝ △ L/pbt
tgβ b＝ πdb /l
代入得,
ε β ＝ Btgβ cosαt /pt cosαt
＝ (Bsinβ /cosβ ) /( pn/cosβ )
＝ Bsinβ /π mn
ε β － 轴面重合度
ε α－ 端面重合度,与直齿轮的计算公式相同。
分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入
啮合 (B2 B2)和退出啮合 (B1 B1)的情形。
△ L L
B1
B1
B
B2
B2
B
B2
B2
β b β b
ε α =[Z1 (tgα at1-tgα t’)+z2 (tgα at2-tgα t’)]/2π
＝ πdcosαt /l
B1
B1
＝ Btgβ b/pbt
＝ ε α+ε β
=tgβ cosαt
若 B＝ 100,β ＝ 20° mn＝ 2,则 ε β ＝ 5.45
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c
d
β
ρ
6.斜齿圆柱齿轮的当量齿数
用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与
所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因
此，有必要知道一个齿数为 z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮
的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。
定义,与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称
为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。
过分度圆 C点
作轮齿的法剖
面得一椭圆，
以 C点曲率半
径 ρ 作为当量
齿轮的分度圆
半径。
rv =ρ
得,zv ＝ 2rv /mn
斜齿轮不发生根切的最少齿数,
zmin=zvmincos3β
＝ d/mn cos2β
＝ zmt/ mn cos2β
＝ z/ cos3β
a
椭圆长半轴 a=d/2cosβ
齿槽
短半轴 b=d/2 由高数知,C点的曲率半径为,
b
n n
＝ a2/b =d/2cos2β
若 β=20 ° zvmin =17 zmin=14
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β Fn Ft
β β
Ft Fn
7,斜齿轮的主要优缺点
① 啮合性能好、传动平稳，噪音小。
② 重合度大，承载能力高。
③ zmin< zvmin,机构更紧凑 。
④ 缺点是产生轴向力，且随 β 增大而增大,
一般取 β ＝ 8° ～ 20° 。
采用 人字齿轮,可使 β ＝ 25° ～ 40° 。
常用于高速大功率传动中 (如船用齿轮箱 )。
β β
Fs Fs
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1
O1 O1
P
O1
r1 ω
1
1
§ 10－ 12 交错轴斜齿轮 (螺旋齿轮 )传动
结构特点,
两轮在啮合处的齿向一致。 强调 t-t线在两轮之间。轮 2在上
定义,两轴线在平行于两轴线之平面上的投影所夹锐角称为
交错角 ∑ 。
∑
t
t
β 1
β 2
交错角与螺旋角的关系,
两螺旋角同向
两轴呈空间交错，单个齿轮与斜齿轮相同。
∑= β 1+β 2
任意角
O2
O2
2
O2
O2
r2
ω 2
2
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两螺旋角反向时,
∑
t
t
β 1
β 2
轮 1右、轮 2左
通用计算公式,∑ ＝ |β 1＋ β 2|
式中 β 1,β 2取代数值，两螺旋角
同向时，符号相同，否则异号。
若 β 1＝－ β 2, 则 ∑ ＝ 0
若 β 1＝ β 2＝ 0,→ ∑ ＝ 0
→ 斜齿轮传动
→ 直齿轮传动 。
a=r 1＋ r2
其它参数与斜齿轮相同 。
∑ ＝ β 1－ β 2
O2
O2
O1 O1 P
2
1
O1
r1 ω
1
1
O2
O2
r2
ω 2
2
a
中心距, 为两轮分度圆半径之和
2,正确啮合条件
啮合过程在法面内进行，两轮的
法面参数应相同,
由 mn=mtcosβ 知，当 β 1≠ β 2 时,
mn1=mn2=m, αn1 =αn1=α
端面模数和压力角不一定相等 。
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3,传动比及从动轮 ω2的转向
由 d =mtz
得,i12=ω1/ω2
与斜齿轮的不同点,i12由两个参数决定。
从动轮的转向只能通过作图法确定。
在主动轮转向不变时，通过改变螺旋角的旋向来改变从动轮
的转向。
vp1
vp2
vp2
速度关系,vp2 = vp1 + vp2p1
vp1
t
t
同为右旋 同为左旋
z=d/mt
1
2
O2
O2
O1 O1
P
t
t
1
2
O2
O2
O1 O1
P
=zmn/cosβ,=dcosβ /mn
=z2/z1 = d2cosβ 2/d1cosβ 1
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4.优缺点及应用场合
优点,适当选择螺旋角使两轮分度圆大小近似相等，从而
接近等强度。
缺点,
① 相对滑动速度较大，磨损较快,
传动效率低。
③ 产生轴向力。
② 点接触，承载能力小。 节圆柱交错,切于一点
r'2
r'1
P
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1
ω1
§ 10－ 13 蜗杆传动
形成,在交错轴斜齿轮中，当小齿轮的齿数很少 （如 z1=1）
而且 β 1很大时,轮齿在圆柱体上构成多圈完整的螺旋,
蜗杆头数：螺旋数 z1（从端面数）。
蜗杆
蜗杆与螺旋相似有 左 旋 右 旋之分，常
用为右旋。
小齿轮称为蜗杆，而啮合件称为蜗轮。
作用,传递两交错轴之间的运动和动力,∑ ＝ 90° 。
点接触
改进措施,将刀具做成蜗杆状，用范成
法切制蜗轮，所得蜗轮蜗杆为 线接触 。 2
ω2
蜗轮
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P
优点,
1) 传动平稳，振动、冲击和噪音很小。 蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿
3) 单级可获得较大的传动比，结构紧凑。 因为蜗杆齿数通常为 1～ 4
减速用,5≤i 12≤70, 常用,15≤i 12≤50 。
相对滑动速度大，摩擦损耗大，易发热，
效率低。蜗轮用耐磨材料做，成本高。
4)当 γ 1<φ v 时，反行程具有自锁性 〔 起重机用 〕
2) 线接触，可传递较大的动力。 蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿
增速用,1/5≤i 21≤1/15
缺点,vp
1
vp2
vp1 p2
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2,类型
圆柱形蜗杆
环面蜗杆 马上链接
锥蜗杆
阿基米德蜗杆－端面齿形为阿基米德螺线
渐开线蜗杆－端面齿形为渐开线 。
圆弧齿圆柱蜗杆 －轴剖面内的齿廓为凹圆弧 。蜗杆
类型
渐开线蜗杆 阿基米德蜗杆
γ
阿基米德螺线 渐开线 基圆
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圆弧齿圆柱蜗杆
锥蜗杆
环面蜗杆
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3,正确啮合条件
中间平面,过蜗杆轴线垂直于蜗轮轴线 。
正确啮合条件是中间平面内参数分别相等,
mt2=mx1=m, αt1 =αx1=α
蜗轮蜗杆轮齿旋向相同,
γ 1
在此平面内, 蜗轮蜗杆相当于齿轮齿条啮合 。
∵ ∑ ＝ β 1+β 2 ＝ 90° γ 1+β 1 ＝ 90°
∴ γ 1＝ β 2 β
1
中间平面
螺旋升角
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4,主要参数及几何尺寸
1)压力角,α=20°
2)模数。取标准值，与齿轮模数系列不同。见 P346表 10－ 6。
分度传动，推荐用 α=15° 。
动力传动，推荐,α=25°
第一系列 1,1.25,1.6,2,2.5,3.15,4,5,6.3 8 10,12.5,16,20,25,31.5,40
第二系列 1.5,3,3.5,4.5,5.5 6,7,12,14
表 10－ 6 蜗杆模数 m值 GB10088-88
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d
3)导程角 (螺旋升角 ),
将分度圆柱展开得,
π d1
l
px1
γ 1
β 1
= z1 px1/π d1 = mz1/d1
γ 1
4)蜗杆直径系数 q
加工时滚刀直径等参数与蜗杆分度圆直径等参数相同，为了
限制滚刀的数量,国标规定分度圆直径只能取标准值，并与
模数相配。
q为蜗杆特性系数。匹配系列见表 10－ 7 P346 定义,q=d1/m
一般取 q=8～ 18。
tgγ 1=l/π d1
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摘自 GB10085-88,括号中的数字尽可能不采用
表 10－ 7 蜗杆分度圆直径与其模数的匹配标准系列 mm
m
1
1.25
1.6
2
d1
18
20
22.4
20
28
(18)
22.4
(28)
35.5
m
2.5
3.15
4
d1
(22.4)
28
(35.5)
45
(28)
35.5
(45)
56
(31.5)
m
4
5
6.3
d1
40
(50)
71
(40)
50
(63)
90
(50)
63
m
6.3
8
10
d1
(80)
112
(63)
80
(100)
140
(71)
90
…
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分析,m一定时,q↑
q=d1/m
5)蜗杆头数和蜗轮齿数,
z1= 1,2,4,6,
要求自锁时，取小值。要求有传动效率或速度较高时，则
取大值。
z2=29～ 70
z1一定时,q↓
→ 强度、刚度 ↑
→ 传动效率 ↑ 原因是
6)分度圆直径
蜗杆,查 P325表 8-9选定。
蜗轮,d2=mz2
7)中心距,a=r 1＋ r2
→ d1↑
→ γ 1↑
ω 1 p
ω 2
a r2
r1
∵ 蜗轮蜗杆相当于 螺旋副, 故其机械效率为,
η ＝ tg(γ 1) /tg(γ 1＋ φ v )
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ω 1
p
2 1
ω 1
1
2
p ω 1
1
2
p
一般蜗杆为主动，其转向是已知的,蜗轮的
转向可通过画速度矢量确定。 5,蜗轮转向的确定
用作图法确定,
右旋蜗杆,伸出左手, 四指顺蜗杆转向, 则
蜗轮的切向速 度 vp2的方向与拇指指向相同 。
手势确定,因蜗轮蜗杆相当于螺旋副的运动, 有一
种实用且简便的转向判别方法,
vp2= vp1 + vp2p1
左旋蜗杆,用右手判断, 方法一样 。
ω 2 ω 2
vp2 vp2
t
t ω 2
vp1
vp2
蜗轮的转向
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§ 10－ 14 圆锥齿轮传动
1.应用, 特点和分类
作用,传递两相交轴之间的运动和动力 。
结构特点,轮齿分布在圆锥外表面上, 轮齿大小逐渐由大变小 。
轴交角 ∑, 根据需要确定
为了计算和测量的方便, 取大端参数 (如 m)为标准值 。
名称变化,圆柱 → 圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。
δ 2
δ 1
=90°
∑
相当于齿轮齿条啮合
冠轮
分度圆锥角 δ 。
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轴交角 ∑, 根据需要确定
圆锥齿
轮类型
按齿形分有,直齿, 斜齿, 曲齿 (圆弧齿, 螺旋齿 )
∑ =90°
，常用 ∑ =90°
直齿 斜齿 曲齿
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渐缩齿 等高齿 等顶隙齿
平面啮合
内啮合 外啮合
圆锥齿
轮类型
按齿形分有,直齿, 斜齿, 曲齿 (圆弧齿, 螺旋齿 )
按啮合方式分有,外啮合, 内啮合, 平面啮合
按轮齿高度分有,渐缩齿, 等高齿, 等顶隙齿
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2,理论齿廓
球面渐开线,
一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时, 平面上任一点的轨迹, 到
锥顶距离相等, 形成一条 球面渐开线 。 圆平面称发生面, 圆锥
称基圆锥 。
由于两锥齿轮作定点运动, 只有到定点距离相等的点
（ 球面上的点 ） 才能啮合, 故共轭齿廓分布在球面上 。
齿廓曲面,圆平面上某一条半径上所有点的轨迹 。 演示模型
基圆锥
球面渐开线 发生面
O1
O2
公共锥顶
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3.背锥及当量齿轮
过大端作母线与分度圆锥母线垂直
的圆锥, 将球面齿往该圆锥上投影,
则球面齿形与锥面上的投影非常接
近 。 锥面可以展开, 故用锥面上的
齿形代替球面齿 。 该圆锥称为 背锥 。
演示纸片模型 。
将背锥展开得扇形齿轮, 补全, 得
当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的
球面齿形相当, 两者 m和 α相同 。
当量齿轮的参数,
rv=O1 P
r
rv
rv
p
又 rv=zvm/2
得,zv＝ z/cosδ
因球面不能展开, 给锥齿轮的设计和制造带来困难, 不
得已用近似方法研究其齿廓曲线 。
δ 1
δ 1
= r /cosδ =zm/2 cosδ
R
e
f
O1
e’
f’
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引入当量齿轮的概念后, 一对锥齿轮的啮合传动问题就转化
为一对圆柱直齿轮啮合传动 。 故可直接引用直齿轮的结论,
正确啮合条件,m1=m2,α1=α2
重合度,ε =[Zv1(tgα a1-tgα ’)+Zv2(tgα a2-tgα ’)]/2π
不根切最少齿数,zvmin=17,z=17cosδ,
4,几何参数和尺寸计算
大端参数 m取标准值 (P326), α =20 °
δ = 45° z=12
锥齿轮模数（ GB12368-90） mm
… 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3
3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 6 6.5 7 8 9 10…
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ha h
f
θ
f
R－锥距 δ －分度圆锥角 。
δ a－齿顶圆锥角 。 B－ 齿宽
d－分度圆 da－齿顶圆
df－齿根圆
r1=Rsinδ 1,
r2=Rsinδ 2,
B
R d
1
δ a1
δ a2
da2
d2
df 2
δ 2 δ 1
分度圆直径,
传动比,i12＝ ω1 /ω2
当 ∑ ＝ 90° 时,
＝ z2 /z1
＝ d2 /d1
＝ sinδ 2 /sinδ 1
＝ ctgδ 1 i12 ＝ tgδ2
d1=2Rsinδ 1,d2=2Rsinδ 2
∑=90 °
δ 1 r1
r2
δ 2 R
δ 2 +δ 1 ＝ 90°
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设计时, 如果给定 i12,据此可确定 δ 。
GB12369-90规定, 多采用等顶隙圆锥齿轮传动 。
其他参数的计算公式, 详见 P329-P330。
5,变位修正
为了改善传动性能, 也可以采用变位修正的方法加工圆锥齿轮 。
工程上多采用等变位修正, 其计算按照当量齿轮进行 。 采用等
变位修正时 的齿数条件如下,
Zv1+Zv2=2Zvmin
不根切最少齿数,zvmin=17,zv=17cosδ,
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1.圆弧齿轮传动
2.抛物线齿轮传动
3.摆线齿轮传动 (仅用于钟表 )
§ 10－ 15 其它曲线齿廓的齿轮传动
4.球齿轮传动
圆弧齿轮
a2
b2
b1
a1 抛物线
滚刀齿廓 齿轮齿廓
摆线齿廓
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本章重点,
⑴ 名词：五个圆,r, ra, rf, rb, r’； 两个角,α,α’ ； 两
条线：啮合线、中心距（连心线）； pn＝ pb；齿距 p＝ e+s、
标准齿轮、标准安装、标准中心距。
⑵ 齿廓啮合基本定律和渐开线的性质、方程。
⑶ 熟记表 10－ 2计算公式，齿轮齿条传动的特点。
⑷ 啮合特性：定传动比、运动可分性, acosα＝ a’ cosα’。
⑸ 正确啮合条件,pn1＝ pn2 pb1＝ pb2 → m1＝ m2 α1＝ α2。
⑹ 连续传动条件；重合度及其物理含义，要求能绘制单齿
和双齿啮合区图。
⑺ 仿形法切齿原理、刀具种类和特点；范成加工原理、所
需运动；
⑻ 根切现象及原因、不根切最少齿数,zmin＝ 17；
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⑼ 变位齿轮传动的概念,xmin的含义，哪些参数有变化或不变；
齿厚和无侧隙啮合方程不要求记。
⑽ 变位的传动类型及优缺点；
⑾ 斜齿轮形成，基本参数的计算,端面法面参数之间的关系,
正确啮合条件，重合度与直齿轮的不同之处、当量齿数（何
用？）、优缺点等；
⑿ 交错轴斜齿轮交错角与螺旋角的关系, ∑ =|β 1+β 2|,从
动轮转向的判定 ;
⒀ 蜗杆传动：正确啮合条件、蜗杆直径系数 q，基本参数及
蜗轮转向的判断方法（右旋左手、左旋右手）；
⒁ 圆锥齿轮：轮齿的形成（球面渐开线，圆柱 → 圆锥）、背锥,
标准参数（大端）、当量齿轮 zv=z/cosδ 。
第十章 齿 轮机构及其设计
§ 10－ 1 齿轮机构的应用和分类
§ 10－ 2 齿轮的齿廓曲线
§ 10－ 3 渐开线的形成及其特性
§ 10－ 4 渐开线齿廓的啮合特性
§ 10－ 6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚
§ 10－ 5 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
§ 10－ 7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
§ 10－ 8 渐开线齿轮的切制
§ 10－ 9 变位齿轮概述
§ 10－ 11 斜齿圆柱齿轮传动
§ 10－ 12 交错轴斜齿轮传动
§ 10－ 13 蜗杆传动
§ 10－ 14 圆锥齿轮传动传动
§ 10－ 15 其他曲线齿廓的齿轮传动简介
§ 10－ 10 变位齿轮传动
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§ 10－ 1 齿轮机构的应用和分类
作用,传递空间任意两轴（ 平行, 相交, 交错 ）的旋转运动,
或将 转动转换为移动 。
结构特点,圆柱体外（或内）均匀分布有大小一样的 轮齿 。
优点,
① 传动比准确、传动平稳。
② 圆周速度大，高达 300 m/s。
③ 传动功率范围大，从几瓦到 10万千瓦。
④ 效率高 (η→0.99 )、使用寿命长、工作安全可靠。
缺点,加工成本高、不适宜远距离传动 (如单车 )。
分类,
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平面齿轮传动
（ 轴线平行 ）
外齿轮 传动
内齿轮 传动
齿轮齿条
直齿
斜齿
人字齿
圆柱齿轮
非圆柱齿轮
空间齿轮传动
（ 轴线不平行 ）
按相对
运动分
按齿廓曲线分
直齿
斜齿
曲线齿
圆锥齿轮 两轴相交
两轴交错
蜗轮蜗杆 传动
交错轴斜齿轮
准双曲面齿轮 渐开线齿轮 (1765年 )
摆线齿轮 (1650年 )
圆弧齿轮 (1950年 )
按速度高低分,
按传动比分,
按封闭形式分,
齿
轮
传
动
的
类
型 应用实例：提问参观对
象, SZI型统一机芯手
表有 18个齿轮, 炮塔,
内然机 。
高 速, 中 速, 低 速齿轮传动 。
定 传动比, 变 传动比齿轮传动 。
开 式齿轮传动, 闭 式齿轮传动 。
球齿轮
抛物线齿轮 (近年 )
分类,
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准双曲面齿轮 曲线齿圆锥齿轮
斜齿圆锥齿轮 2
ω 2
1
ω 1
非圆齿轮
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共轭齿廓,一对能实现预定传动比 (i12=ω 1/ω2)规律的啮合齿廓 。
§ 10－ 2 齿轮的齿廓曲线
1.齿廓啮合基本定律
一对齿廓在 K点接触时,
有,i12=ω 1/ω 2＝ O2 P /O1P
齿廓啮合基本定律,
互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动
比, 都与连心线 O1O2被其啮合齿廓的在接
触处的公法线所分成的两段成反比 。
vk2
vk1
如果要求传动比为常数, 则应使 O2 P /O1P为常数 。
节圆,设想在 P点放一只笔, 则笔尖在两个齿轮运动平面内所
留轨迹 。
o2
ω 2
o1
ω 1
n
n
t
t
P
但其法向分量应相同 。 否则要么分离, 要么嵌入
根据三心定律可知,P点为相对瞬心 。
其相对速度 vk2k1方向, 只能
是沿齿廓接触点的公法线方
向 。
k
由于 O2, O1为定点, 故 P必为一个定点 。
两节圆相切于 P点, 且两轮节点处速度相同, 故 两节圆作纯滚动 。
vk1≠ vk2
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----应用最广 渐开线
2.齿廓曲线的选择 理论上, 满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多, 但考虑到便于制造和检测等因素, 工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线, 如渐开线, 其中应用最广的是渐开线, 其
次是摆线 (仅用于钟表 )和变态摆线 。 (摆线针轮减速器 ),近年来提出了圆弧和抛物线 。
渐开线 具有很好的传动性能, 而且便于 制造, 安装, 测量 和 互
换 使用等优点 。 本章只研究渐开线齿轮 。
摆线
变态摆线
圆弧
抛物线
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。
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r
b
§ 10－ 3 渐开线的形成及其特性
1,渐开线的 形成
― 条直线在圆上作纯滚动时，直线上
任一点的轨迹
2.渐开线的特性
② 渐开线上任意点的法线切于基圆 纯滚动时,
B为瞬心，速度沿 t-t线，是渐开线的切线，故 BK为法线
③ B点 为曲率中心,BK为曲率半径。
④ 渐开线形状取决于基圆
⑤ 基圆内无渐开线。
BK－发生线,
① AB = BK;
渐开线起始点 A处曲率半径为 0。 可以证明
t
t
发生线
B
k
基圆
O
A rk θ
k 基圆－ rb
θ k－ AK段的展角
A1
B1
o1
θ k
K
B3
o3
θ k
A2
B2
o2
－ 渐开线
渐开线
⑥ 同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。
当 rb→∞,变成直线。
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rb
O
⑥ 同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。
A
C
B
C’
由性质①和②有,
两条反向渐开线,
两条同向渐开线,
B1E1 = A1E1－ A1B1
B2E2 = A2E2－ A2B2
B1E1 = B2E2
∴ A1B1 = A2B2
A1E1 = A2E2
AB = AN1 + N1B = A1N1 + N1B1 = A1B1
AB = AN2 + N2B = A2N2 + N2B2 = A2B2
A1
B1
N1
A2
B2 N2 E2
E
E1
C”
顺口溜,
弧长等于发生线, 基圆切线是法线,
曲线形状随基圆, 基圆内无渐开线 。
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为使用方便, 已制成函数表待查 。
3.渐开线方程式
tgα k= BK/rb
θ k = tgα k-α k
上式称为渐开线函数, 用 invα k 表示,
θ k ＝ invα k
直角坐标方程,
x = OC-DB
y =BC+DK
rk
θ k
rb
α k
= rb sinu
极坐标方程,
= rb cosu
= rb(θ k+α k)/rb
式中 u称为滚动角, u=θ k+α k
α k
vk 定义：啮合时 K点正压力方向与速度方向所
夹锐角为渐开线上该点之 压力角 α k。
有,α k =∠ BOK
B
A
K(x,y)
y
x
rb
O C
u u
D u
rb＝ rk cosα k
＝ tgα k-α k
- rbucosu
+ rbusinu
=AB/rb )
O
A
B
k
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ω 1
ω 2
O2
rb1
rb2
§ 10－ 4 渐开线齿廓的啮合特性
1.渐开线齿廓能保证定传动比传动
N2
N1
K’ P C1
要使两齿轮作定传
动比传动, 则两轮
的齿廓无论在任何
位置接触, 过接触
点所作公法线必须
与两轮的连心线交
于一个定点 。
两齿廓在任意点 K啮合时, 过 K作两齿廓
的法线 N1N2,是基圆的切线, 为定直线 。
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const
工程意义,i12为常数可减少因速度变化所产生的
附加动载荷, 振动和噪音, 延长齿轮的使用寿命,
提高机器的工作精度 。
2.齿廓间正压力方向不变
N1N2是啮合点的轨迹, 称为 啮合线
该线又是接触点的法线, 正压力总是沿法线方向,
故正压力方向不变 。 该特性对传动的平稳性有利 。
C2 两轮中心连线也为定直线, 故交点 P必
为 定点 。 在位置 K’时同样有此结论 。
K
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3.运动可分性
△ O1N1P≌ △ O2N2P
由于上述特性, 工程上广泛采用渐开线作为齿轮
的齿廓曲线 。
实际安装中心距略有变化时, 不影响 i12，
这一特性称为 运动可分性, 对加工和装
配很有利 。
O1
ω 1
ω 2
O2
rb1
rb2
N2
N1
P C1 C
2
K 故传动比又可写成,
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P = rb2 /rb1
－基圆之反比。 基圆半径是定值
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§ 10－ 5 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
一, 外齿轮
1.名称与符号
pn
r
齿顶圆－ da,ra
齿根圆－ df,rf
齿厚－ sk 任意圆上的 弧长
齿槽宽－ ek 弧长
齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓 弧长
齿顶高 ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf
齿宽－ B
ha
hf h
rb
O
B
p
ra
pb
分度圆－－ 人为规定的计算基准圆
表示符号,d,r,s,e,p= s+e
法向齿距 （周节）－ pn
s e sk
ek
= pb
rf
pk
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2.基本参数
② 模数－ m
① 齿数－ z 为了计算, 制造和检验的方便
分度圆 周长,πd=zp,d=zp/π,出现无理数,不方便
称为模数 m 。
模数的单位,mm，
它是决定齿轮尺
寸的一个基本参
数 。 齿数相同的
齿轮, 模数大,
尺寸也大 。
于是有,d=mz,r = mz/2
人为规定,m=p/π 只能取某些简单值,
m=4 z=16
m=2 z=16
m=1 z=16
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0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75)
第二系列 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22
28 (30) 36 45
表 10-1 标准模数系列表（ GB1357－ 87）
0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8
第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8
10 12 16 20 25 32 40 50
为了便于制造, 检验和互换使用,国标 GB1357-87规定了
标准模数系列。 P306。
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O ω rb N
③ 分度圆压力角
得,α i＝ arccos(rb/ri) 由 rb＝ ri cosα i
对于分度圆大小相同的齿轮, 如果 α
不同, 则基圆大小将不同, 因而其齿
廓形状也不同 。
α 是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数 。
定义分度圆压力角为齿轮的压力角,
或 rb ＝ rcosα,
对于同一条渐开线,→ α i ↓ α b＝ 0
α 1
A
α i
α i
B1
K1
r1
α ＝ arccos(rb/r)
O
rf
ra
rb
r
db＝ dcosα
Bi
Ki
ri
ri ↓
α
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由 d=mz知,m和 z一定时, 分度圆是一个大小唯一确定的圆 。
规定标准值,α ＝ 20°
某些场合采用 α ＝ 14.5°, 15°, 22.5°, 25° 。 如航空齿轮
由 db＝ dcosα 可知, 基圆也是一个大小唯一确定的圆。
称 m,z,α 为渐开线齿轮的三个基本参数 。
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pn
rf r
ha
hf h
rb
O
ra
pb N
α
s e
齿轮各部分尺寸的计算公式,
齿顶高,ha=ha*m
齿根高,hf=(ha* +c*)m
全齿高,h= ha+hf
齿顶圆直径,da=d+2ha
ha* － 齿顶高 系数,
取标准值 ha*＝ 1
齿 根 圆直径,df=d-2hf
基圆直径,db=dcosα
法向齿距,pn=pb
ca* －顶隙系数,
取标准值 c*=0.25
标准齿轮,
详细计算公式见表 10－ 2(P307)
一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后, 其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了 。
分度圆直径,d=mz
=mzcosα
=π db/z =π mcosα =pcosα 统一用 pb表示
=(2ha* +c*)m
=(z+2ha*)m
=(z-2ha*-2c*)m
m, α, ha*, c* 取标准值, 且 e=s的齿轮 。
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二, 齿条
特点,齿廓是直线, 各点法线和速度方向线平行
1)压力角处处相等, 且等于齿形角,
2)齿距处处相等, p=π m
其它参数的计算与外齿轮相同,如,
s=π m/2 e=π m/2
e s
p
pn
B
ha
hf
z→∞ 的特例 。 齿廓曲线 （ 渐开线 ） → 直线
ha=ha*m hf=(ha* +c*)m
pn=pcosα
α 为常数 。
α
α
α
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1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反 。
2)df>d>da
三, 内齿轮
3) 为保证齿廓全部为渐开线, 要求 da>db。
,da＝ d-2ha,df＝ d+2hf
结构特点,轮齿分布在空心圆柱体内表面上 。 不同点,
r rb
rf
ra
p
n
h N
α
s e
ha hf
p B
O
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B B
r ra
A A
rb
O
§ 10－ 6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚
设计和检验齿轮时, 常需要知道某些圆上的齿厚 。 如为了检查轮齿
齿顶的强度, 就需要计算齿顶圆上的齿厚；为了确定齿侧间隙, 就需要计算节圆上的齿厚 。
一般表达式,
si=CC=riφ 求出 φ 则可解
φ =∠BOB -2∠BOC
φ
Si=riφ
其中,α i=arccos(rb/ri)
顶圆齿厚,Sa=(sra/r)-2ra(invα a-invα )
节圆齿厚,S’=(sr’/r)-2r’(invα ’-invα )
基圆齿厚,Sb=(srb/r)+2rbinvα
=cosα (s+mzinvα )
=scosα +2rcosα invα
=(sri/r)-2ri(invα i-invα )
=(s/r)
=(s/r)-2( N
α i
α
s
ri
C C si
θ
sb
- 2(θ i-θ )
sa
invα i -invα )
θ i
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pb1
pb1<pb2 pb1>pb2 pb1=pb2
pb1
pb1
不能正确啮合 ! 不能正确啮合 ! 能正确啮合 !
rb1
r1
O1
ω 1
rb2 r2
O2
ω 2
rb1
r1
O1
ω 1 rb1
r1
O1
ω 1
rb2 r2
O2
ω 2
rb2 r2
O2
ω 2
P
N1
N2
B2
B1 P
N1
N2
B2
B1 P
N1
N2
B1
B2
§ 10－ 7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
一对齿轮传动时, 所有啮合点都在 啮合线 N1N2上 。
渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律, 那么, 是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
m1<m2
从外观看齿
1比齿 2小
m1>m2
外观齿 1
比齿 2大
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要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合, 两齿轮
的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等,
1.正确啮合条件
pb1= pb2
将 pb=πmcosα 代入得,
m1cosα 1=m2cosα 2
因 m和 α 都取标准值, 使上式成立的条件为,
m1=m2, α 1=α 2
结论,一对渐开线齿轮的正确啮合条件
是它们 模数 和 压力角 应分别相等 。
pb1
rb2 r2
O2
rb1
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
B2
B1
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2.中心距 a及啮合角 α ’
2.1外啮合传动
对标准齿轮, 确定中心距 a时, 应满足两个要求,
2 )顶隙 c为标准值 。 储油用
两轮节圆总相切,a=r’1+ r’2
此时有,
a=ra1+c+rf2
=r1+ha*m+c*m + r2-(ha*m+c*m)
=r1+ r2 =m(z1+z2)/2
a =r1+ r2
=r1+ r2
两轮的传动比,i12 = r’2 /r’1
r’1 = r1
r’2 = r2 节圆与分度圆重合 = r2 /r1
标准中心距
为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引
起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证 1)理论上齿侧间隙为零 。
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rb2 r2
O2
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1 ra1 ra1
rf2
rf2
c
a a’ > a
O1
rb2 r2
O2
r1
ω 1
ω 2
P
N2
rb1
ra1
rf2
N1
r'2
r’1
α ’=α α ’>α
定义,N1N2 线与 VP 之间的夹角, 称为啮合角 α ’,
即 节圆压力角 。
标准安装时,α ’＝ α,
非 标准安装时,由于 a’>a 此时 α ’ >α 。,两分度圆将分离,
强调
提问,a’<a
可能吗？
rb1＋ rb2 = (r1 +r2)cosα = a cosα
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r1
N2 v
2 2
非 标准安装时,由于 a’>a,两分度圆将分离, 此时 α ’ >α
但基圆不变,
比较后有,
2.2齿轮齿条传动
标准安装,
非 标准安装,
O1
1
N1
rf1
ra1 ω 1
α ’=α
N2 v
2 2
r1
O1
1
N1
rf1
ra1 ω 1
B1
B2
α ’=α
B1
B2
P
节圆与分度圆重合, 节线与分度线重合,
= a’cosα ’
P
无穷远
α ’＝ α
N1N2 线与齿廓垂直, 故节点位置不变, 且
r1’ = r1
rb1＋ rb2 = (r1’+r2’)cosα ’
a’cosα ’ = a cosα 重要结论
标准安装时,rb1＋ rb2= a cosα
α ’＝ α 节线与分度线不重合
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N1
N2
O1
rb1
P
rb2
ω 2
ω 1
O2
3.一对轮齿的啮合过程
B1B2 －实际啮合线
轮齿在从动轮顶圆与 N1N2 线交点 B2处进
入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。
N1N2,理论上可能的最长啮合线段 因基圆内无渐开线
N1,N 2 －啮合极限点
阴影线部分 － 齿廓的实际工作段。
ra1
ra2
随着传动的进行，啮合点沿 N1N2 线移动。
在主动轮顶圆与 N1N2 线交点处 B1脱离啮
合 。 主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好
相反。 B1
B2
－ 理论啮合线段
N2
1
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O1
N2
N1
K
O2
ω 2
ω 1
pb 4.连续传动条件
为保证连续传动，要求,
实际啮合线段 B1B2≥ pb (齿轮的法向齿距 ),B1
B2
定义, ε α = B1B2/pb 为一对齿轮的 重合度
一对齿轮的连续传动条件是,
为保证可靠工作，工程上要求,
表 10-3 [ε α ]的推荐值,
使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机
[ε α ] 1.4 1.1～ 1.2 1.3
从理论上讲，重合度为 1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差
即,B1B2/pb≥1
ε α ≥[ ε α ]
ε α ≥1
一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱
离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。因此有一个连续传动的问题。
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α ’
α a2
计算公式,
ε α = B1B2/pb ＝ (PB1+P B2)
∴ ε α =[z1(tgα a1-tgα ’) + z2(tgα a2-tgα ’)]/2π
N1
N2
O1
rb1
rb2
O2
P
其中,PB1＝ B1 N1-PN1 ＝ rb1tgα a1
＝ z1mcosα (tgα a1-tgα ’)/2
PB2＝ B2 N2-PN2 ＝ rb2tgα a2
＝ z2mcosα (tgα a2-tgα ’)/2
① 外啮合传动
B2
ra2
ra1
B1
- rb1tgα ’
α ’
α a1
- rb2tgα ’
/π mcosα
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P
N1
O1
② 齿轮齿条传动,
PB1 ＝ z1mcosα (tgα a1-tgα ’)/2
PB2＝ h*am/sinα
h*am
代入得,ε α =[z1 (tgα a1-tgα ’ )]/2π
+ h*a /π cosαsinα
B1
B2
ε α = B1B2/pb ＝ (PB1+P B2) /π mcosα
α ’
α ’
α a1
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ε α = B1B2/pb ＝ (PB1+P B2)/π mcosα
∴ ε α =[Z1(tgα a1-tgα ’)-Z2(tgα a2-tgα ’)]/2π
PB2＝ PN2 - B2 N2 ＝ rb2tgα ’
＝ - z2mcosα (tgα a2-tgα ’)/2
③ 内啮合传动
PB1 ＝ B1 N1- PN1 α a1
α ’
α a2<α ’
＝ z1mcosα (tgα a1-tgα ’)/2 同上
ε α 的物理意义,
表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。
N2
P
O2
ra2 r
b2
B2 N
1
O1
ra1
rb1
B1
- rb2tgα a2
α ’
α a2
-rb1tgα ’ =rb1tgα a1
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rb2
rb2
单齿啮合区
双齿啮合区 双齿啮合区
ε α = 1.45
B1B2=ε α P b = 1.45 Pb
第一对齿在 B2点进入啮合
第一对齿从 B2运动到 B3点时；
第一对齿从 B3运动到 B1点时；
第一对齿在 B1点脱离啮合后；
只有第二对齿处于啮合状态。
当第二对齿从 B4点运动到 B3点时；
第三对正好在 B2点进入啮合。
开始一个新的循环。
1
2 2 3
单齿啮合区长度,
L1＝ ε α P b － 2(ε α － 1) P b
＝ (2－ ε α ) P b
双齿啮合区长度,
L2＝ 2(ε α － 1) P b
1
2
第二对齿在 B2点恰好进入啮合。
第二对齿从 B2运动到 B4点时。
N2
N1
P B
1
B3
1
B4
B2
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双 双
T单 / T =[B1B2-2(B1B2-pb)]/ B1B2
则双齿啮合所占时间的百分比为,
T双 / T
单齿啮合所占时间的百分比为,
设一对轮齿从 B2点进入啮合到 B1点退出啮合的时间为 T,
单
ε α pb
pb
pb
B1 B2
=2-2/ε α =2(B1B2-pb)/ B1B2
=(2pb - B1B2)/B1B2
= 2/ε α -1
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ra1
ra2
B2 B1
O1
O2
影响 ε α 的因素,
ε α ↑ → 啮合齿对 ↑ → 平稳性、承载能力 ↑ 希望 ε 大好
① ε α 与 z,ha*,α ’,α 有关而与 m无关。
α a＝ arccos(rb/ra)
② ha*↑
④ α ’↑
③ z↑
⑤ α ↑
分析,ε α =[Z1(tgα a1-tgα ’)+Z2(tgα a2-tgα ’)]/2π
N2
O1
ra1
B1
N1
rb1
rb2
O2
P B2
ra2
B2
ra2
→ d a↑ → B1B2↑ → ε α ↑
→ α a↑ → ε α ↑
α ’
α ’ > α ’
B1B2 < B1B2
α ’ B2
B1
→ B1B2 ↓ → ε α ↓
→ α a↑ → ε α ↑
＝ arccos[mzcosα /(mz+2ha* m)]
＝ arccos[zcosα /(z+2ha*)]
＝ arccos(db/da)
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P
当 Z1,,Z2 → ∞ 时
ε αmax =(PB1+PB2 )/pb
PB1＝ PB2
=4 ha*/π sin2α
h*am
α
取,α =20°,ha*=1
,ε α → ε αmax
ε αmax =1.981,
＝ ha*m/sinα
B1
B2
=2 ha*m/(sinα π mcosα)
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铣刀号数 1 2 3 4 5 6 7 8
所切齿轮齿数 12～ 13 14～ 16 17～ 20 21～ 25 26～ 34 35～ 54 55～ 134 ≥ 135
8把一组各号铣刀切制齿轮的齿数范围
§ 10－ 8 渐开线齿轮的切制
1.齿廓切制的基本原理
齿轮加
工方法
仿形法
范成法
(展成法
共轭法
包络法 )
盘铣刀
指状铣刀
插齿
滚齿
剃齿
磨齿
铸造法
热轧法
冲压法
模锻法
粉末冶金法
切制法
最常用
铣削
拉削
产生齿形误差和分度误差,
精度较低，加工不连续，生
产效率低。适于单件生产。
一种模数只需要一把刀具
连续切削，生产效率高,
精度高，用于批量生产。
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指状铣刀加工
盘铣刀加工
铣刀旋转，工件进给
分度、断续切削。
适用于加工大模数
m>20 的齿轮和人字
齿轮。
由 db=mzcosα 可知，渐开线
形状随齿数变化。要想获得
精确的齿廓，加工一种齿数
的齿轮，就需要一把刀具。
这在工程上是不现实的。
分度
进给
分度
切削
ω
进给
切削
ω
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齿轮插刀加工
i=ω 0 /ω=z/z 0
让刀运动
切
削
运
动
ω ω
0
范成运动
ω 0
ω
共轭齿廓互为包络线
齿条插刀加工
进给
切削
让刀
ω
v
范成
V＝ ωr ＝ ωmz/2
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滚刀
滚齿加工
进给
进给
ω 0
ω v
ω 0
ω
范成运动
V＝ ωr ＝ ωmz/2
γ
滚刀倾斜 t
t
滚刀轴剖面
相当于齿条
相当于齿轮齿
条啮合传动
ω 0 切削
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2.用标准齿条型刀具加工标准齿轮
标准齿条型刀具比基准齿形高
出 c*m一段切出齿根 过渡曲线 。
非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。
GB1356-88规定了标准齿条
型刀具的基准齿形。
2.1标准齿条型刀具
2.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮
h* a
m
h* a
m
c* m
π m/2 π m/2
α=20 °
c* m
分度线
分度圆
hf=(h*a+ c*)m
ha=h*am
加工标准齿轮,
刀具分度线刚好与轮坯
的分度圆作纯滚动。
加工结果,s＝ e＝ π m/2
顶线
e
s
ha=h*am
hf=(h*a+ c*)m
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P α
α
N1
rb r
b
r
O1
3 2 B1
B2
3.渐开线齿廓的根切
图示现象称为轮齿的根切。
根切的后果,
①削弱轮齿的抗弯强度；,
3.1产生根切的原因
P α
α
rb
r ra
N1
O1
2 3
B2
B1
PB2<PN1 不根切
1
PB2=PN1 不根切
刀具在位置 1开始切削齿间； 在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
② 使重合度 ε 下降。
1
分度圆
基圆
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3
O1
P
α
α
N1
rb
r
结论,刀具齿顶线与啮合线的交点 B2落在极限啮合点 N1的右上
方，必发生根切。根切条件为,
4 发生根切
M
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
已加工好的齿廓根部落
在刀刃的左侧，被切掉；
刀具沿水平方向移动的距离,
N1M ＝ rφ
沿法线移动的距离,
N1K ＝ N1Mcosα
弧长与直线长度相等,
N1K ＝ N1N’1
到达位置 4时, 轮坯转过 φ 角,
PB2>PN1
2
B1
B2
φ
N’1 K
在位置 3切削完全部齿廓； 强调 B
2的位置
强调 N’1是齿廓
起始点,并证明该
点落在刀刃左边
α
基圆转过的弧长为,
N1 N’1＝ rbφ
50分钟
1
＝ rφ cosα
＝ rφ cosα
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3.2渐开线齿轮不发生根切的最少齿数
在齿高相同的情况下，刀具齿越多，越容易发生根切
齿条型刀具比齿轮型刀具更容易发生根切。
凡齿条刀不根切，则齿轮刀肯定不会发生根切，故只讨论齿条型刀具。
ra2
N1
rb1
O1
P
当被加工齿轮的模数 m确定之后，其刀
具齿顶线与啮合线的交点 B2就唯一确定,ra1
B2
这时极限啮合点 N1的位置随基圆大小变动,
当 N1 B2两点重合时，正好不根切。
不根切的条件,
在 △ PN1O1 中有,
在 △ PB2B’ 中有,
代入求得,z≥2 h a*/ sin2α
取 α =20°,ha*=1,得, zmin=17
h*am
ra3
∞
B’
rb
N1
O1
P
rb1
N1
rb3
N1 B
2
r
α
h*am
α
即,zmin＝ 2 ha*/ sin2α
P N1≥P B2
=mzsinα /2 PN1=rsinα
PB2=ha*m/sinα
不根切
刚好不根切 根切
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r
P
rb1
N1
3.3避免根切的措施
a)减小 ha* ↓
b)加大刀具角 α ↑
c)变位修正，刀具远离轮坯中心。
α 2
α 2 α 1
α 1
B2
r
P
rb1
N1 B2
Ft =M/r
Fr2 F
n2
α 2 α 1
Fn1 Fr1
→ ε α ↓
→ 正压力 Fn↑
增大压力角后有副作用
→ 功耗 ↑,
这两种方法都不现实
rb2
N1
B2
所得齿轮为 变位齿轮。
→ 连续性、平稳性 ↓, 得用非标准刀具。
得用非标准刀具。
r
P
rb1
N1 B2
B2
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§ 10－ 9 变位齿轮概述
标准齿轮的优点：计算简单, 互换性好 。
缺点,
① 当 z<zmin时, 产生根切 。 但实际生产中经常要用到 z<zmin的齿轮 。
② 不适合 a’≠a的场合 。 a’<a 时, 不能安装 。 当 a’>a时, 产生过
大侧隙, 且 ε α ↓
③ 小齿轮容易坏 。 原因,ρ 小, 滑动系数大, 齿根
薄 。 希望两者寿命接 近 。 为改善上述不足, 就必须对齿
轮进行变位修正 。
一, 加工齿轮时刀具的变位 从避免根切引入
为避免根切, 可径向移动刀具 xm
h*
am
N
1
α
α
B2
刀具
中线
称 x为径向变位系数 。 齿高有变化
规定,
远离轮坯中心时, x>0,称正变位齿轮 。
靠近轮坯中心时, x<0,称负变位齿轮 。
B2
xm
xm
发生根切时，移动刀具可避免,问题是刀具要移动多大距离才能不根切？
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Q
二, 最小变位系数 xmin
当 z<zmin时, 为避免根切, 刀具的
齿顶线应移到 N1或以下的位置,
N1Q≥ha*m-xm
∵ N1Q＝ N1 Psinα
∴ x≥h a*- zsin2α /2
由 zmin＝ 2 ha*/ sin2α 有,
得,x≥h a*(zmin- z)
刀具最小变位系数为,xmin=ha*(zmin- z)
＝ rsinα sinα
＝ mzsin2α /2
xm
xm
xminm
α
r
N1
α
O1
P
B2
h*
am
或 xm≥ha*m- N1Q
(sin2α) /2＝ ha*/zmin
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三, 变位齿轮的几何尺寸
1.变位齿轮 的基本参数 m,z,α 与标准齿轮相同, 故 d,db与
标准齿轮也相同, 齿廓曲线取自 同一条渐开线 的不同段 。
齿根高,hf= ha*m＋ c*m－ xm
2.齿顶高和齿根高与标准齿轮不同
顶圆半径,ra =r+ ha =r+(ha*+x)m
齿顶高,由毛坯大小确定, 如果保证全齿高不变, 则有,
ha
hf
ha= (ha*+x)m
分度圆
标准齿轮 x＝ 0 正变位齿轮 x>0 负变位齿轮 x<0
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3.齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同
齿厚,s=πm/2
xmtgα
K J
I
α
正变位：齿厚变宽, 齿槽宽减薄 。
xm
xm 刀具分度线
刀具节线
分度圆
P N1
基圆
O1
α
rb
变位后与轮坯分度圆相切的不是刀
具的分度线，而是刀具节线，刀具
节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，
则轮坯分度圆上的齿厚将增大。
S=π m/2
s’
齿槽宽,e=πm/2
+ 2xmtgα
－ 2xmtgα
负变位,正好相反 。
采用变位修正法加工变
位齿轮, 不仅可以避免
根切, 而且与标准齿轮
相比, 齿厚等参数发生
了变化, 因而, 可以用
这种方法来改善齿轮的
传动质量和满足其他要
求 。 且加工所用刀具与
标准齿轮的一样, 所以
变位齿轮在各类机械中
获得了广泛地应用 。
B2
100分钟
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§ 10－ 10 变位齿轮传动
1.正确啮合条件和连续传动条件
与标准齿轮相同, 即,m1=m2,α 1=α 2,ε α ≥[ ε α ]
2.中心距与啮合角
无侧隙啮合时,s'1=e'2
故有,p'＝ s'1+ e'1
由任意圆齿厚公式得,
s'1= s1r'1 / r1 -2 r'1 (invα '-invα )
式中,s1＝ m(π/2+2x1 tgα)
又 r'i / ri
代入 p '= s'1+ s'2 得,
)(c o sc o s2c o sc o s)(c o sc o s2c o sc o sc o sc o s ''2'2''1'1' ?????????????? i n vi n vrsi n vi n vrsp ??????
)(2)(2 '22'11 ???? i n vi n vrsi n vi n vrsp ??????或：
= s'2 + e'2 = s'1+ s'2
s'2= s2r'2 / r2 -2 r'2 (invα '-invα )
,s'2= e'1
s2＝ m(π/2+2x2 tgα)
＝ ( rbi /cosα ') / (rb i /cosα ) = cosα / cosα ’ i =1,2
本节讨论变位齿轮的
啮合传动与设计问题
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0))(()(2 '2121 ????? ??? invinvzzmxxm t g简化得：
)()22/(,'11 ????? i n vi n vmztgxmm ????即
??? invzzxxtginv ???? )/()(2 2121'
)()22/( '22 ???? invinvmztgxm ????
上式称无侧隙啮合方程。
分析：若 x1+ x2≠0
即分度圆与节圆不重合，两分度圆分离或相交。
a’≠a
aaym ?? '设
)1
c o s
c o s(
2 '
21 ????
?
?zzy －中心距变动系数
无侧隙啮合时有,
ymaa ??'
由 a’cosα ’ =acosα 知：,则 α ’≠ α
aa ??
'co s
co s
?
? )1
co s
co s(
2
)(
'
21 ???
?
?zzm
ymzzm ??? 2/)( 21
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为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙,c=c*m,则两轮的中心距为,
如果无侧隙和标准顶隙同时满足，则应使,
mxxzzm )(2/)( 2121 ????
21" fa rcra ???
mxchmcmxhrr aa )()( 2***1*21 ????????
可以证明,只要 x1+ x2≠0
两个要求不能同时得到满足。 解决办法：将轮齿削顶。
'" aam ???
mxmmhh aa ???? *齿顶高为：
0)( 21 ??? yxx＝得,?
除了 x1+ x2＝ 0之外，总有 x1+ x2> y,即 ? > 0,轮齿总要削顶 。
－－称为齿顶高变动系数
2211 fa hrchr ?????
a'=a'' 即,y=x1+x2
则 x1+ x2>y, 即 a'' >a'。
ymmxx ??? )( 21
mxh a )( * ????
构造函数 f(α ’)= x1+ x2 –y
则当 α ’=α 时有极小值
x1+ x2＝ y
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3.变位齿轮传动类型及其特点
标准齿轮传动 x1＝ x2＝ 0
等变位齿轮传动 x1＝ -x2≠0
不等变位齿轮传动
零传动 x1＋ x2＝ 0
正传动 x1＋ x2>0
负传动 x1＋ x2<0
变位齿轮
传动类型
1,x1+ x2＝ 0,且 x1＝ x2＝ 0
标准齿轮传动（ 变位齿轮传动的特例 ）
2,x1+ x2＝ 0，且 x1＝ -x2≠0
等变位齿轮传动（ 高度变位齿轮传动 ）
有,a’=a y=0 ? =0 α ’=α r’=r
小齿轮采用正变位,x1>0，大齿轮采用负变位,x2<0
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两轮不产生根切的条件,
x1≥h a*(zmin-z1)/zmin
x2≥h a*(zmin-z2)/zmin
两式相加，设 ha*＝ 1，则有,
x1 +x2≥[2z min-( z1+ z2)]/zmin
∵ x1+ x2＝ 0
∴ z1+ z2≥2z min
优缺点,
① 可采用 z1≤z min的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。
② 改善小齿轮的磨损情况。
③ 相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。
④ 缺点是,没有互换性，必须成对使用,ε α 略有减小。
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3,x1+x2≠0
不等变位齿轮传动（ 角度变位齿轮传动 ）
当 x1+ x2 >0 称正传动,当 x1+ x2 <0 称负传动。
b)负传动时有,
a’<a y<0 ? >0 α ’ <α r’ <r 齿高降低 ? m。
优点,
可以采用 z1+ z2<2zmin 而不根切，结构紧凑。其余同上 。
a)正传动时有,
a’ >a y>0 ? >0 α ’>α r’ >r 齿高降低 ? m
优缺点,与正传动相反。仅用于配凑中心距的场合。
缺点,没有互换性，必须成对使用，因齿顶降低使 ε α ↓ 。
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4.变位齿轮传动的设计步骤
一、已知中心距的设计
1)计算啮合角,α ’＝ arccos(acosα / a’)
2)确定变位系数之和,x1+ x2＝ (invα ’－ invα )( z1+ z2)/2tgα
3)确定中心距变动系数,y=(a’－ a)/m
4)确定齿顶高变动系数,? ＝ (x1+ x2) -y
5)分配变位系数。
6)按表 10－ 4(P327)计算两轮的几何尺寸 。
二、已知变位系数的设计
1)计算啮合角,invα ’＝ 2tgα (x1+ x2)/( z1+ z2)+ invα
2)确定中心距, a’＝ acosα / cosα ’
3)确定 y和 ?, y=(a’－ a)/m,? ＝ x1+ x2－ y
4)按表 10－ 4(P327)计算两轮的几何尺寸。
已知条件是,z1,z2,m,x1,x2,其设计步骤如下,
已知条件是,z1,z2,m,a’, 其设计步骤如下,
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发生面
§ 10－ 11 斜齿圆柱 齿轮传动
1.斜齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点 考虑齿轮宽度, 则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时, 发生面内一
条与轴线平行的直线 KK所展成的曲面 。 直齿轮,啮合线 → 啮合面 两基圆的内公切面
啮合点 → 接触线, 即啮合面与齿廓曲面的交线 。
啮合特点 → 沿齿宽同时进入或退出啮合 。 突然加载或卸载,
运动平稳性差, 冲击, 振动和噪音大 。
斜直线 KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面,
啮合特点,
螺旋渐开面
A
K
K
A
发生面
K
K
β b
A
A
基圆柱
β b － 基圆柱上的 螺旋角
接触线长度的变化,
短 → 长 → 短。 。
优点,传动平稳、冲击、
振动和噪音较小，适宜
高速、重载传动。
加载、卸载过程是逐渐
进行的。
KK线上每一点都产生一条渐开线,
其形状相同而起始点不在同一条母线上
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2
1
β b
啮合面
基圆柱 渐开线螺旋面
K
K
齿面接触线
齿面接触线始终与 K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。
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β
2.斜齿轮的基本参数
2.1 斜齿轮的螺旋角
将分度圆柱展开, 得
一矩形, 有,
tgβ =π d/l
其中 α t为端面压力角 。 π d
β
π db
β b
同理, 将基圆柱展开,
也得一矩形, 有,
tgβ b=π db/l
l
得,tgβ b /tgβ =db/ d
∴ tgβ b = tgβ cosα t
d
=cosα t
β
左旋
β 右旋
β
定义 分度圆柱上的螺旋角
为斜齿轮的螺旋角 β 。
判别方法
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B
斜齿轮,
法面内的齿形与刀具的齿形一样, 取标准值 。
2.2 模数 mn,mt
将分度圆柱展开, 得一矩形,
pn=ptcosβ
将 pn＝ π mn,pt＝ π mt 代入得,
mn=mtcosβ
π d
β
pt p
n
β
可求得端面齿距与法面齿距之间的关系,
斜齿轮的齿面为螺旋渐开面, 其法面齿形和端面齿形不一样, 参数也不一样 。 切削加工
时, 刀具沿齿槽方向运动, 故法面内的齿形与刀具的齿形一样, 取标准值 。 计算时,
按端面参数进行, 故应建立两者之间的关系 。 端面是圆, 而法面不是圆
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2.3 压力角,αn,αt
用斜齿条说明,
αn α
t
β β
在 △ a’b’c’中, 有,
∠ a’b’c=αn
在 △ abc中,有,
∠ abc=αt
由 ab=a’b’,a’c=accosβ 得,
tgαn = tgαt cosβ
3,斜齿轮传动的几何尺寸
不论在法面还是端面, 其齿顶高和齿根高一样,
h*an－法面齿顶高系数,han*＝ 1
c*n－法面顶隙系数,c*n＝ 0.25
过 c点作轮齿的法剖面
在法面和端面内
齿高一样
b'
a'
c a
b,tgα
n =a’c/a’b’
tgαt =ac/ab
ha=h*anmn
hf= (h*an+c * n) m n
c a
a’
β
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分度圆直径,d=zmt=z mn / cosβ
中心距,a=r1+r2
可通过改变 β 来调整 a的大小 。
变位修正, 刀具移动量 △ r＝ △ n＝ △ t,有,
△ r＝ xt mt
得,xt = xn cosβ
其他尺寸详见 P336表 10－ 5
4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件
啮合处的齿向相同 。
外啮合,β 1＝ -β 2
mn1=mn2, αn1 =αn1
mt1=mt2, αt1＝ αt2
一对斜齿轮的正确啮合条件，除了
模数和压力角应分别相等外，其螺
旋角必须匹配。
= mn (z1+ z2) /2 cosβ
= xn mn = xn mt cosβ
,内啮合, β 1＝ β 2
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5,斜齿轮传动的重合度
直齿轮,ε ＝ L /pb
斜齿轮,
ε γ ＝ (L+△ L)/pbt
ε 的 增量,
ε β ＝ △ L/pbt
tgβ b＝ πdb /l
代入得,
ε β ＝ Btgβ cosαt /pt cosαt
＝ (Bsinβ /cosβ ) /( pn/cosβ )
＝ Bsinβ /π mn
ε β － 轴面重合度
ε α－ 端面重合度,与直齿轮的计算公式相同。
分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入
啮合 (B2 B2)和退出啮合 (B1 B1)的情形。
△ L L
B1
B1
B
B2
B2
B
B2
B2
β b β b
ε α =[Z1 (tgα at1-tgα t’)+z2 (tgα at2-tgα t’)]/2π
＝ πdcosαt /l
B1
B1
＝ Btgβ b/pbt
＝ ε α+ε β
=tgβ cosαt
若 B＝ 100,β ＝ 20° mn＝ 2,则 ε β ＝ 5.45
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c
d
β
ρ
6.斜齿圆柱齿轮的当量齿数
用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与
所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因
此，有必要知道一个齿数为 z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮
的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。
定义,与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称
为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。
过分度圆 C点
作轮齿的法剖
面得一椭圆，
以 C点曲率半
径 ρ 作为当量
齿轮的分度圆
半径。
rv =ρ
得,zv ＝ 2rv /mn
斜齿轮不发生根切的最少齿数,
zmin=zvmincos3β
＝ d/mn cos2β
＝ zmt/ mn cos2β
＝ z/ cos3β
a
椭圆长半轴 a=d/2cosβ
齿槽
短半轴 b=d/2 由高数知,C点的曲率半径为,
b
n n
＝ a2/b =d/2cos2β
若 β=20 ° zvmin =17 zmin=14
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β Fn Ft
β β
Ft Fn
7,斜齿轮的主要优缺点
① 啮合性能好、传动平稳，噪音小。
② 重合度大，承载能力高。
③ zmin< zvmin,机构更紧凑 。
④ 缺点是产生轴向力，且随 β 增大而增大,
一般取 β ＝ 8° ～ 20° 。
采用 人字齿轮,可使 β ＝ 25° ～ 40° 。
常用于高速大功率传动中 (如船用齿轮箱 )。
β β
Fs Fs
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1
O1 O1
P
O1
r1 ω
1
1
§ 10－ 12 交错轴斜齿轮 (螺旋齿轮 )传动
结构特点,
两轮在啮合处的齿向一致。 强调 t-t线在两轮之间。轮 2在上
定义,两轴线在平行于两轴线之平面上的投影所夹锐角称为
交错角 ∑ 。
∑
t
t
β 1
β 2
交错角与螺旋角的关系,
两螺旋角同向
两轴呈空间交错，单个齿轮与斜齿轮相同。
∑= β 1+β 2
任意角
O2
O2
2
O2
O2
r2
ω 2
2
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两螺旋角反向时,
∑
t
t
β 1
β 2
轮 1右、轮 2左
通用计算公式,∑ ＝ |β 1＋ β 2|
式中 β 1,β 2取代数值，两螺旋角
同向时，符号相同，否则异号。
若 β 1＝－ β 2, 则 ∑ ＝ 0
若 β 1＝ β 2＝ 0,→ ∑ ＝ 0
→ 斜齿轮传动
→ 直齿轮传动 。
a=r 1＋ r2
其它参数与斜齿轮相同 。
∑ ＝ β 1－ β 2
O2
O2
O1 O1 P
2
1
O1
r1 ω
1
1
O2
O2
r2
ω 2
2
a
中心距, 为两轮分度圆半径之和
2,正确啮合条件
啮合过程在法面内进行，两轮的
法面参数应相同,
由 mn=mtcosβ 知，当 β 1≠ β 2 时,
mn1=mn2=m, αn1 =αn1=α
端面模数和压力角不一定相等 。
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3,传动比及从动轮 ω2的转向
由 d =mtz
得,i12=ω1/ω2
与斜齿轮的不同点,i12由两个参数决定。
从动轮的转向只能通过作图法确定。
在主动轮转向不变时，通过改变螺旋角的旋向来改变从动轮
的转向。
vp1
vp2
vp2
速度关系,vp2 = vp1 + vp2p1
vp1
t
t
同为右旋 同为左旋
z=d/mt
1
2
O2
O2
O1 O1
P
t
t
1
2
O2
O2
O1 O1
P
=zmn/cosβ,=dcosβ /mn
=z2/z1 = d2cosβ 2/d1cosβ 1
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4.优缺点及应用场合
优点,适当选择螺旋角使两轮分度圆大小近似相等，从而
接近等强度。
缺点,
① 相对滑动速度较大，磨损较快,
传动效率低。
③ 产生轴向力。
② 点接触，承载能力小。 节圆柱交错,切于一点
r'2
r'1
P
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1
ω1
§ 10－ 13 蜗杆传动
形成,在交错轴斜齿轮中，当小齿轮的齿数很少 （如 z1=1）
而且 β 1很大时,轮齿在圆柱体上构成多圈完整的螺旋,
蜗杆头数：螺旋数 z1（从端面数）。
蜗杆
蜗杆与螺旋相似有 左 旋 右 旋之分，常
用为右旋。
小齿轮称为蜗杆，而啮合件称为蜗轮。
作用,传递两交错轴之间的运动和动力,∑ ＝ 90° 。
点接触
改进措施,将刀具做成蜗杆状，用范成
法切制蜗轮，所得蜗轮蜗杆为 线接触 。 2
ω2
蜗轮
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P
优点,
1) 传动平稳，振动、冲击和噪音很小。 蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿
3) 单级可获得较大的传动比，结构紧凑。 因为蜗杆齿数通常为 1～ 4
减速用,5≤i 12≤70, 常用,15≤i 12≤50 。
相对滑动速度大，摩擦损耗大，易发热，
效率低。蜗轮用耐磨材料做，成本高。
4)当 γ 1<φ v 时，反行程具有自锁性 〔 起重机用 〕
2) 线接触，可传递较大的动力。 蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿
增速用,1/5≤i 21≤1/15
缺点,vp
1
vp2
vp1 p2
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2,类型
圆柱形蜗杆
环面蜗杆 马上链接
锥蜗杆
阿基米德蜗杆－端面齿形为阿基米德螺线
渐开线蜗杆－端面齿形为渐开线 。
圆弧齿圆柱蜗杆 －轴剖面内的齿廓为凹圆弧 。蜗杆
类型
渐开线蜗杆 阿基米德蜗杆
γ
阿基米德螺线 渐开线 基圆
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圆弧齿圆柱蜗杆
锥蜗杆
环面蜗杆
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3,正确啮合条件
中间平面,过蜗杆轴线垂直于蜗轮轴线 。
正确啮合条件是中间平面内参数分别相等,
mt2=mx1=m, αt1 =αx1=α
蜗轮蜗杆轮齿旋向相同,
γ 1
在此平面内, 蜗轮蜗杆相当于齿轮齿条啮合 。
∵ ∑ ＝ β 1+β 2 ＝ 90° γ 1+β 1 ＝ 90°
∴ γ 1＝ β 2 β
1
中间平面
螺旋升角
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4,主要参数及几何尺寸
1)压力角,α=20°
2)模数。取标准值，与齿轮模数系列不同。见 P346表 10－ 6。
分度传动，推荐用 α=15° 。
动力传动，推荐,α=25°
第一系列 1,1.25,1.6,2,2.5,3.15,4,5,6.3 8 10,12.5,16,20,25,31.5,40
第二系列 1.5,3,3.5,4.5,5.5 6,7,12,14
表 10－ 6 蜗杆模数 m值 GB10088-88
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d
3)导程角 (螺旋升角 ),
将分度圆柱展开得,
π d1
l
px1
γ 1
β 1
= z1 px1/π d1 = mz1/d1
γ 1
4)蜗杆直径系数 q
加工时滚刀直径等参数与蜗杆分度圆直径等参数相同，为了
限制滚刀的数量,国标规定分度圆直径只能取标准值，并与
模数相配。
q为蜗杆特性系数。匹配系列见表 10－ 7 P346 定义,q=d1/m
一般取 q=8～ 18。
tgγ 1=l/π d1
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摘自 GB10085-88,括号中的数字尽可能不采用
表 10－ 7 蜗杆分度圆直径与其模数的匹配标准系列 mm
m
1
1.25
1.6
2
d1
18
20
22.4
20
28
(18)
22.4
(28)
35.5
m
2.5
3.15
4
d1
(22.4)
28
(35.5)
45
(28)
35.5
(45)
56
(31.5)
m
4
5
6.3
d1
40
(50)
71
(40)
50
(63)
90
(50)
63
m
6.3
8
10
d1
(80)
112
(63)
80
(100)
140
(71)
90
…
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分析,m一定时,q↑
q=d1/m
5)蜗杆头数和蜗轮齿数,
z1= 1,2,4,6,
要求自锁时，取小值。要求有传动效率或速度较高时，则
取大值。
z2=29～ 70
z1一定时,q↓
→ 强度、刚度 ↑
→ 传动效率 ↑ 原因是
6)分度圆直径
蜗杆,查 P325表 8-9选定。
蜗轮,d2=mz2
7)中心距,a=r 1＋ r2
→ d1↑
→ γ 1↑
ω 1 p
ω 2
a r2
r1
∵ 蜗轮蜗杆相当于 螺旋副, 故其机械效率为,
η ＝ tg(γ 1) /tg(γ 1＋ φ v )
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ω 1
p
2 1
ω 1
1
2
p ω 1
1
2
p
一般蜗杆为主动，其转向是已知的,蜗轮的
转向可通过画速度矢量确定。 5,蜗轮转向的确定
用作图法确定,
右旋蜗杆,伸出左手, 四指顺蜗杆转向, 则
蜗轮的切向速 度 vp2的方向与拇指指向相同 。
手势确定,因蜗轮蜗杆相当于螺旋副的运动, 有一
种实用且简便的转向判别方法,
vp2= vp1 + vp2p1
左旋蜗杆,用右手判断, 方法一样 。
ω 2 ω 2
vp2 vp2
t
t ω 2
vp1
vp2
蜗轮的转向
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§ 10－ 14 圆锥齿轮传动
1.应用, 特点和分类
作用,传递两相交轴之间的运动和动力 。
结构特点,轮齿分布在圆锥外表面上, 轮齿大小逐渐由大变小 。
轴交角 ∑, 根据需要确定
为了计算和测量的方便, 取大端参数 (如 m)为标准值 。
名称变化,圆柱 → 圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。
δ 2
δ 1
=90°
∑
相当于齿轮齿条啮合
冠轮
分度圆锥角 δ 。
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轴交角 ∑, 根据需要确定
圆锥齿
轮类型
按齿形分有,直齿, 斜齿, 曲齿 (圆弧齿, 螺旋齿 )
∑ =90°
，常用 ∑ =90°
直齿 斜齿 曲齿
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渐缩齿 等高齿 等顶隙齿
平面啮合
内啮合 外啮合
圆锥齿
轮类型
按齿形分有,直齿, 斜齿, 曲齿 (圆弧齿, 螺旋齿 )
按啮合方式分有,外啮合, 内啮合, 平面啮合
按轮齿高度分有,渐缩齿, 等高齿, 等顶隙齿
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2,理论齿廓
球面渐开线,
一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时, 平面上任一点的轨迹, 到
锥顶距离相等, 形成一条 球面渐开线 。 圆平面称发生面, 圆锥
称基圆锥 。
由于两锥齿轮作定点运动, 只有到定点距离相等的点
（ 球面上的点 ） 才能啮合, 故共轭齿廓分布在球面上 。
齿廓曲面,圆平面上某一条半径上所有点的轨迹 。 演示模型
基圆锥
球面渐开线 发生面
O1
O2
公共锥顶
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3.背锥及当量齿轮
过大端作母线与分度圆锥母线垂直
的圆锥, 将球面齿往该圆锥上投影,
则球面齿形与锥面上的投影非常接
近 。 锥面可以展开, 故用锥面上的
齿形代替球面齿 。 该圆锥称为 背锥 。
演示纸片模型 。
将背锥展开得扇形齿轮, 补全, 得
当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的
球面齿形相当, 两者 m和 α相同 。
当量齿轮的参数,
rv=O1 P
r
rv
rv
p
又 rv=zvm/2
得,zv＝ z/cosδ
因球面不能展开, 给锥齿轮的设计和制造带来困难, 不
得已用近似方法研究其齿廓曲线 。
δ 1
δ 1
= r /cosδ =zm/2 cosδ
R
e
f
O1
e’
f’
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引入当量齿轮的概念后, 一对锥齿轮的啮合传动问题就转化
为一对圆柱直齿轮啮合传动 。 故可直接引用直齿轮的结论,
正确啮合条件,m1=m2,α1=α2
重合度,ε =[Zv1(tgα a1-tgα ’)+Zv2(tgα a2-tgα ’)]/2π
不根切最少齿数,zvmin=17,z=17cosδ,
4,几何参数和尺寸计算
大端参数 m取标准值 (P326), α =20 °
δ = 45° z=12
锥齿轮模数（ GB12368-90） mm
… 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3
3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 6 6.5 7 8 9 10…
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ha h
f
θ
f
R－锥距 δ －分度圆锥角 。
δ a－齿顶圆锥角 。 B－ 齿宽
d－分度圆 da－齿顶圆
df－齿根圆
r1=Rsinδ 1,
r2=Rsinδ 2,
B
R d
1
δ a1
δ a2
da2
d2
df 2
δ 2 δ 1
分度圆直径,
传动比,i12＝ ω1 /ω2
当 ∑ ＝ 90° 时,
＝ z2 /z1
＝ d2 /d1
＝ sinδ 2 /sinδ 1
＝ ctgδ 1 i12 ＝ tgδ2
d1=2Rsinδ 1,d2=2Rsinδ 2
∑=90 °
δ 1 r1
r2
δ 2 R
δ 2 +δ 1 ＝ 90°
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设计时, 如果给定 i12,据此可确定 δ 。
GB12369-90规定, 多采用等顶隙圆锥齿轮传动 。
其他参数的计算公式, 详见 P329-P330。
5,变位修正
为了改善传动性能, 也可以采用变位修正的方法加工圆锥齿轮 。
工程上多采用等变位修正, 其计算按照当量齿轮进行 。 采用等
变位修正时 的齿数条件如下,
Zv1+Zv2=2Zvmin
不根切最少齿数,zvmin=17,zv=17cosδ,
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1.圆弧齿轮传动
2.抛物线齿轮传动
3.摆线齿轮传动 (仅用于钟表 )
§ 10－ 15 其它曲线齿廓的齿轮传动
4.球齿轮传动
圆弧齿轮
a2
b2
b1
a1 抛物线
滚刀齿廓 齿轮齿廓
摆线齿廓
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本章重点,
⑴ 名词：五个圆,r, ra, rf, rb, r’； 两个角,α,α’ ； 两
条线：啮合线、中心距（连心线）； pn＝ pb；齿距 p＝ e+s、
标准齿轮、标准安装、标准中心距。
⑵ 齿廓啮合基本定律和渐开线的性质、方程。
⑶ 熟记表 10－ 2计算公式，齿轮齿条传动的特点。
⑷ 啮合特性：定传动比、运动可分性, acosα＝ a’ cosα’。
⑸ 正确啮合条件,pn1＝ pn2 pb1＝ pb2 → m1＝ m2 α1＝ α2。
⑹ 连续传动条件；重合度及其物理含义，要求能绘制单齿
和双齿啮合区图。
⑺ 仿形法切齿原理、刀具种类和特点；范成加工原理、所
需运动；
⑻ 根切现象及原因、不根切最少齿数,zmin＝ 17；
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⑼ 变位齿轮传动的概念,xmin的含义，哪些参数有变化或不变；
齿厚和无侧隙啮合方程不要求记。
⑽ 变位的传动类型及优缺点；
⑾ 斜齿轮形成，基本参数的计算,端面法面参数之间的关系,
正确啮合条件，重合度与直齿轮的不同之处、当量齿数（何
用？）、优缺点等；
⑿ 交错轴斜齿轮交错角与螺旋角的关系, ∑ =|β 1+β 2|,从
动轮转向的判定 ;
⒀ 蜗杆传动：正确啮合条件、蜗杆直径系数 q，基本参数及
蜗轮转向的判断方法（右旋左手、左旋右手）；
⒁ 圆锥齿轮：轮齿的形成（球面渐开线，圆柱 → 圆锥）、背锥,
标准参数（大端）、当量齿轮 zv=z/cosδ 。
