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第三章 平面机构的运动分析
§ 3－ 1机构运动分析的目的与方法
§ 3－ 2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
§ 3－ 3用矢量方程图解法作机构速度和加速度
分析
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复
杂机构进行速度分析
§ 3－ 5 用解析法作机构的运动分析
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所谓机构运动分析，就是不考虑引起机构
的外力、构件变形、运动副中的间隙等因素，
仅从几何的角度研究已知原动件的运动规律时，
如何求其他构件的运动参数，如 点的轨迹、构
件位置、速度和加速度 等。
§ 3－ 1 机构运动分析的目的与方法
设计任何新的机械, 都必须进行运动分析工
作 。 以确定机械是否满足工作要求 。
1.位置分析
分析内容,位置分析, 速度分析和加速度分析 。
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① 确定机构的位置 （ 位形 ）, 绘制机构位置图 。
② 确定构件的运动空间, 判断是否发生干涉 。 50分
③ 确定构件 (活塞 )行程,
找出上下极限位置 。
④ 确定点的轨迹 （ 连杆曲
线 ）, 如 鹤式吊 。
2.速度分析
① 通过分析, 了解从动件
的速度变化规律是否满足
工作要求 。 如 牛头刨
② 为加速度分析作准备 。
A
C
B
E D
HD HE
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3.加速度分析的目的是为确定惯性力作准备 。
方法,
图解法 －简单, 直观, 精度低, 求系列位置
时繁琐 。
解析法 －正好与以上相反 。
实验法 －试凑法, 配合连杆曲线图册, 用于
解决实现预定轨迹问题 。
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1 2
A2(A1)
B2(B1)
§ 3－ 2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
机构速度分析的图解法有：
速度瞬心法, 相对运动法, 线图
法 。 瞬心法尤其适合于简单机构
的运动分析 。
一, 速度瞬心
绝对瞬心 －重合点绝对速度为零 。
P21
相对瞬心 －重合点绝对速度不为零 。
VA2A1
VB2B1
Vp2=Vp1≠ 0
Vp2=Vp1=0
两个作平面运动构件上 速
度相同 的一对 重合点, 在某一
瞬时 两构件相对于该点作 相对
转动, 该点称瞬时速度中心 。
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特点,
① 该点涉及两个构件 。
② 绝对速度相同, 相对速度为零 。
③ 相对回转中心 。
二, 瞬心数目
∵ 每两个构件就有一个瞬心
∴ 根据排列组合有
P12 P23
P13
构件数 4 5 6 8
瞬心数 6 10 15 28
1 2 3 若机构中有 n个构件, 则
N＝ n(n-1)/2
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1 2
1
2
1 2 t t 1
2
三, 机构瞬心位置的确定
1.直接观察法
适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置 。
n
n
P12
P12
P12 ∞
2.三心定律
V12
定义,三个彼此作平面运动的构件共有 三个瞬
心, 且它们 位于同一条直线上 。 此法特别适用
于两构件不直接相联的场合 。
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1
2
3
P21
P31 E3
D3
VE3
VD3
A2
B2
VA2
VB2
A’2
E’3 P32
结论,P21, P 31, P 32 位于同一条直线上。
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举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。
∞
P14 3
2
1
4
1
2
3
4
P12 P34
P13
P24 P23
解：瞬心数为,N＝ n(n-1)/2＝ 6 n=4
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
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1
2
3
4
5
6
1
2
3
4 6 5
P23
P34
∞
P16
∞
P56
P45
P14
P24
P13
P15
P25
P26
P35
举例：求图示六杆机构的速度瞬心。
解：瞬心数为,N＝ n(n-1)/2＝ 15 n=6
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
P12
P46
P36
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四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
1.求线速度。
已知凸轮转速 ω1，求推杆的速度。
P23 ∞
解,
①直接观察求瞬心 P13,P23 。 V2
③ 求瞬心 P12的速度 。
1
2
3
ω 1
V2＝ V P12＝ μ l(P13P12)·ω1
长度 P13P12直接从图上量取。 100分钟
n
n
P12 P13 ② 根据三心定律和公法线
n－ n求瞬心的位置 P12 。
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2.求角速度。
解：①瞬心数为 6个
② 直接观察能求出 4个
余下的 2个用三心定律求出。
P24
P13
③ 求瞬心 P24的速度 。
VP24＝ μ l(P24P14)·ω 4
ω 4 ＝ ω 2· (P24P12)/ P24P14
a)铰链机构
已知构件 2的转速 ω2，求构件 4的角速度 ω4 。
2
3 4
1
ω 2 ω 4
VP24＝ μ l(P24P12)·ω 2
VP24
P12
P23
P34
P14
方向, CW,与 ω2相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同
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b)高副机构
已知构件 2的转速 ω2，求构件 3的角速度 ω3 。
1
2
ω 2 3
P23
n
n
解, 用三心定律求出 P23 。
求瞬心 P23的速度,
VP23＝ μ l(P23P13)·ω3
∴ ω3＝ ω2·(P13P23/P12P23)
ω 3 P12
P13
方向, CCW,与 ω2相反。
VP23
VP23＝ μ l(P23P12)·ω2
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
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1
2
3
P23
P12 P
13
3.求传动比
定义：两构件角速度之比传动比。
ω3 /ω2 ＝ P12P23 / P13P23
推广到一般,
ωi /ωj ＝ P1jPij / P1iPij
结论,
① 两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的
距离之反比 。
② 角速度的方向为,
ω 2 ω 3
相对瞬心位于两绝对瞬心的 同一侧 时，两构件 转向相同 。
相对瞬心位于两绝对瞬心 之间 时，两构件 转向相反 。
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4.用瞬心法解题步骤
① 绘制机构运动简图；
② 求瞬心的位置；
③ 求出相对瞬心的速度 ;
瞬心法的优缺点,
① 适合于求简单机构的速度, 机构复杂时因
瞬心数急剧增加而求解过程复杂 。
② 有时瞬心点落在纸面外。
③ 仅适于求速度 V,使应用有一定局限性。
④ 求构件绝对速度 V或角速度 ω。
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C D
§ 3－ 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
一, 基本原理和方法
1.矢量方程图解法
因每一个矢量具有 大小 和 方向 两个参数, 根据
已知条件的不同, 上述方程有以下四种情况,
设有矢量方程,D＝ A + B + C
D＝ A + B + C
大小,√？？ √
方向,√ √ √ √
D
A
B
C A
B
D＝ A + B + C
大小,？ √ √ √
方向,？ √ √ √
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C D
B
C
B
D＝ A + B + C
大小,√ √ √ √
方向,√ √？？
D＝ A + B + C
大小,√？ √ √
方向,√ √？ √
D
A A
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2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系
1) 速度之间的关系
选速度比例尺 μ v m/s/mm,
在任意点 p作图使 VA＝ μ vpa,a
b 同理有,V
C＝ VA+VCA
大小,? √?
方向,? √ ⊥CA
相对速度为,VBA＝ μ vab
A B
C
VB＝ VA+VBA
按图解法得,VB＝ μ vpb,
不可解！
p
设已知大小,
方向,⊥BA
√
√
√
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c
a
p
b
同理有,VC＝ VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ ⊥CB
A B
C
VC＝ VA+VCA ＝ VB+VCB
大小,? √? √?
方向,? √ ⊥CA √ ⊥CB
不可解！
联立方程有,
作图得,VC＝ μ v pc
VCA＝ μ v ac
VCB＝ μ v bc
方向,p → c
方向,a → c
方向,b → c
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A B
C
ω＝ VBA/LBA＝ μ vab/μ l AB
同理,ω＝ μ vca/μ l CA,
ω＝ μ vcb/μ l CB,
a
c
b 称 pabc为 速度多边形 （ 或速度图解 ) p为 极点 。
得,ab/AB＝ bc/ BC＝ ca/CA
∴ △ abc∽ △ ABC
ω
方向,CW
p
强调用相对速度求
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速度多边形 的性质,
① 联接 p点和任一点的向量代表该点在
机构图中同名点的绝对速度, 指向为
p→ 该点 。
② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构
图中同名点的相对速度，指向与速度的下
标相反。如 bc代表 VCB而不是 VBC,常用
相对速度来求构件的角速度。
A
a
C
c
B
b
③ ∵ △ abc∽ △ ABC,称 abc为 ABC的速度影象,
两者相似且 字母顺序一致 。 前者沿 ω方向转
过 90° 。 称 pabc为 PABC的速度影象 。
ω
特别注意,影象与构件相似而不是与机构位
形相似 ！
p
P
④ 极点 p代表机构中所有速度为零的点－
绝对瞬心的影象 。
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速度多边形的用途,
由两点的速度求任意点的速度 。
A
a
C
c
B
b
例如, 求 BC中间点 E的速度 VE时,
bc上中间点 e为 E点的影象, 联接
pe就是 VE
E
e
ω
p 思考题,两连架杆的速度影像在何处？
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2) 加速度关系
A B
C
求得,aB＝ μ ap’b’
选加速度比例尺 μ a m/s2/mm,
在任意点 p’作图使 aA＝ μ ap’a’
b”
设已知角速度 ω,A点加速度和 aB的方向
a’
aA a
B
b’
A B两点间加速度之间的关系有,
aB＝ aA + anBA+ atBA
ω
atBA＝ μ ab”b’
方向, b” → b’
p’
aBA＝ μ ab’ a’ 方向, a’ →b ’
大小,
方向,
⊥BA
√
√
√ B→A
ω2lAB
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b”
b’ c’
c”
c”’
aC＝ aA + anCA+ atCA ＝ aB + anCB+ atCB
同理,aC＝ aB + anCB+ atCB
大小,? √ ω2lCB?
方向,? √ C→B ⊥CB
不可解！
联立方程,
同理,aC＝ aA + anCA+ atCA
大小,? √ ω2lCA?
方向,? √ C→A ⊥CA
不可解！
a’
p’
A B
C
aA a
B
ω
作图得,aC＝ μ ap’c’
atCA＝ μ ac”’c’
atCB＝ μ ac’c”
方向,c”’ → c’
方向,c” → c’
方向,p’ → c’
大小,
方向,
√ √? √ √?
√ √ √ √ √ √
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角加速度,α ＝ atBA/ lAB
得,a’b’/ lAB＝ b’c’/ lBC＝ a’ c’/ lCA
p’a’b’c’－加速度多边形 （ 或
速度图解 ）, p’－极点
∴ △ a’b’c’∽ △ ABC
A B
C
b”
aA a
B
b’ c’
c”
c”’
ω
加速度多边形的特性,
① 联接 p’点和任一点的向量代表该
点在机构图中同名点的绝对加速
度, 指向为 p’→ 该点 。
aBA＝ (atBA)2+ (anBA)2＝ lAB α 2 +ω 4 ＝ μ aa’b’
aCA＝ (atCA)2+ (anCA)2＝ lCA α 2 +ω 4 ＝ μ a a’c’
aCB＝ (atCB)2+ (anCB)2＝ lCB α 2 +ω 4 ＝ μ a b’c’ α
方向,CW
a’
p’
＝ μa b”b’ /μ l AB
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② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同
名点的相对加速度, 指向与速度的下标相反 。 如
a’b’代表 aBA而不 aAB, 常用相对切向加速度来求构
件的角加速度 。
③ ∵ △ a’b’c’∽ △ ABC,称 a’b’c’为 ABC
的加速度影象, 称 p’a’b’c’为 PABC的 加
速度影象, 两者相似且字母顺序一致 。
④ 极点 p’代表机构中所有 加 速度为零的点 。
特别注意：影象与构件相似而不
是与机构位形相似 ！
b”
p’
aA
aB
A B
C
a’
b’ c’
c”
c”’
ω
用途, 根据相似性原理由两点的 加 速
度求任意点的 加 速度 。
例如, 求 BC中间点 E的 加 速度 aE时, b’c’上
中间点 e’为 E点的影象, 联接 p’e’就是 aE。
c’
E α
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B
1
2
2.两构件重合点的速度及加速度的关系
1)回转副
① 速度关系
VB1=VB2 aB1=aB2
1 2
B
公共点
VB1≠ VB2 aB1≠ aB2
具体情况由其他已知条件决定 仅考虑移动副
2)高副和移动副
VB3＝ VB2+VB3B2
p
b2
b3
VB3B2 的方向, b2 → b3 ω3 = μ vpb3 / lCB
ω1
B
ω3
1
3
2
A
C
大小,
方向,
√
√
√
∥BC
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② 加速度关系
图解得,
aB3 =μ ap’b3’,
结论,当两构件构成移动副时, 重
合点的加速度不相等, 且移动副有
转动分量时, 必然存在哥氏加速度
分量 。
p
b2
b3
B
ω1
ω3
1
3
aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2 + akB3B2
大小,
方向,
A
C
b’ 2 k’
b’ 3 p’
b” 3
α 3
ak B3B2
2
方向,VB3B2顺 ω3转过 90° 。
α 3＝ atB3/lBC＝ μ ab3’’b3’ /lBC
arB3B2 =μ ak’b3’ B → C
ω23lBC
B→C
√
l1ω21
B→A
∥BC
2 VB3B2ω3
√
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二, 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
已知摆式运输机运动简图, 各构件尺寸, ω2,求,
解,1)速度分析
VB＝ LABω2, μ V＝ VB /pb
图解上式得 pbc,
VCB ＝ μ Vbc,
VC＝ VB+ VCB
大小,? √?
方向,⊥ CD √ ⊥BC
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
b
① VF,aF,ω3,ω4,ω5,α 3,α 4,α 5
② 构件 3,4,5中任一速度为 Vx的点 X3,X4,X5的位置
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
④ 构件 3,5上加速度为零的点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度。 I3 Q5
c
ω2 ω3 ω4
VC＝ μ Vpb,
ω3＝ VCB/lCB 方向,CW
ω4＝ VC/lCD 方向,CCW
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利用速度影象与构件相似的原理,
可求得影象点 e。
图解上式得 pef,VF ＝ μ v pf,
VF＝ VE+ VFE
大小,? √?
方向,√ √ ⊥ EF b
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
c
求构件 6的速度,
e
f 加速度分析,
aC = anC+ atC = aB + anCB+ atCB
P’
c”’
b’
c’
c”
ω5 ω3
ω4
大小,
方向,
ω24lCD
C→D
√
√
√
ω23lCB
√
⊥ BC
VFE ＝ μ v ef,e→ f,
方向,p→ f,
ω5＝ VFE/lFE 方向,CW
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图解上式得 p’c’b’,aC =μ a p’c’
b
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
e’
e 求构件 6的加速度,
f
aF = aE + anFE + atFE
大小,? √ √?
方向,√ √ ‖ FE ⊥FE
其中,anFE＝ ω25lFE
P’
c”’
b’
c’
c”
利用影象法求得 p’c’e’
aE =μ a p’e’
c
f’ 求得, aF =μ a p’f’
ω5 ω3
ω4
α 4
α 3
atFE =μ a f”f’
f”
α 5
α 5= atFE/ lFE 方向,CCW
α 4= atC / lCD
α 3 = atCB/ lCB
方向,CCW
方向,CCW
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b
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
e
f
c
利用速度影象和加速度影象求特殊点
的速度和加速度,
② 求构件 3,4,5中任一速度
为 Vx的 X3,X4,X5点的位置。 ω4
α 4
α 3
x3
x4
x
x5
ω3 ω5
利用影象法求特殊点的运动参数,
求作 △ bcx∽ △ BCX3 得 X3
I3
I5
α 5
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
△ cex∽ △ CEX4 得 X4
△ efx∽ △ EFX5 得 X5
求作 △ bcp∽ △ BCI3 得 I3
△ efp∽ △ EFI5 得 I5
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Q3
e’
p’
c”’
b’
c’
c”
c
f’
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω5 ω3
ω4
α 4
α 3
④ 构件 3,5上加速度为零的
点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度 aI3,aQ5
C
Q5
i3’
i5’
I3
I5
求得,aI3=μ a p’i3’
aI5=μ a p’i5’
α 5 求作 △ b’c’p’∽ △ BCQ3 得 Q3
△ e’f’p’∽ △ EFQ5 得 Q5
求作 △ b’c’i3’∽ △ BCI3
△ e’f’p’∽ △ EFQ5
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A
B
C
D
G
ω
H
解题关键,
1.以作 平面运动 的构件为突破
口,基准点和 重合点都应选取
该构件上的铰接点,否 则已知
条件不足而使无法求解。
E F
如,VE=VF+VEF
如选取铰链点作为基点时，所列方程仍
不能求解，则此时应联立方程求解。
如,VG=VB+VGB
大小,? √?
方向,? √ √
VC=VB+VCB
√?
√ √ √
VC+VGC = VG
√
√ √?
＝
大小,
方向, √
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A
B
C
D 4
3
2
1
重合点的选取原则, 选已知参数较多
的点 （ 一般为 铰链点 ）
A B
C
D
1
2
3
4 应将构件扩大至包含 B点 ！
不可解 ！
此机构, 重合点应选在何处？ B点 !
VB4 = VB3+VB4B3
√?
√ √ √
如,VC3 = VC4+VC3C4
大小,
方向,? √ √
下图中取 C为重合点,
有, VC3=VC4+VC3C4
大小,?？?
方向,? √ √
当取 B点为重合点时,
VB4 = VB3 + VB4B3
大小,? √?
方向,√ √ √ 方程可解 。
t
t
t
t
1
A
B
C 2
3
4
构件 3上 C,B的关系,
= VB3+VC3B3
√?
√ √
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2.正确判哥式加速度的存在及其方向
B
1
2 3
B 1
2 3 B
1 2
3
B 1
2
3
1 B
2
3
B 1
2
3
B 1
2
3
B
1 2 3
无 ak 无 a
k
有 ak
有 ak
有 ak 有 ak
有 ak 有 a
k
② 动坐标平动时, 无 ak 。
判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak
当两构件构成移动副,
① 且动坐标含有 转动分量 时, 存在 ak ；
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A
B C
D
E
F G 1
2 3 4
5 6
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法
对复杂机构进行速度分析
对于某些复杂机构, 单独运用瞬心法或矢量方程图解法解
题时, 都很困难, 但将两者结合起来用, 将使问题的到简化 。
如图示 Ⅲ 级机构中, 已知机构
尺寸和 ω2,进行运动分析 。
不可解 ！
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ √
若用瞬心法确定 C点的方向后,
则有,I4
t
t
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,√ √ √ 可解 ！
此方法常用于 Ⅲ 级机构的运动分析 。
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§ 3－ 5 用解析法作机构的运动分析
图解法的缺点,
1.分析结果精度低；
随着计算机应用的普及, 解析法得到了广泛的应用 。
2.作图繁琐, 费时, 不适用于一个运动周期的分析 。
方法,复数矢量法, 矩阵法, 杆组法等 。
3.不便于把机构分析与综合问题联系起来 。
思路,
由机构的几何条件, 建立机构的位置方程, 然后就位
置方程对时间求一阶导数, 得速度方程, 求二阶导数得
到机构的加速度方程 。
，,
置方程对时间求一阶导数, 得速度方程, 求二阶导数得
到机构的加速度方程 。
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j
i
y
x
一, 矢量方程解析法
1.矢量分析基本知识
其中,l－矢量的模, θ －幅角, 各 幺矢量为,
e－ 矢量 L的幺矢量,
en－ 法向幺矢量,
et－ 切向幺矢量
i－ x轴的幺矢量
??? ee?
'ee t ?? ?
)'( tn ee ?? ?
et
θ
L en
i
j
)90s i n ()90c o s ( ?????? ?? ji ??
)90( ???? ?e
)180s i n ()180c o s ( ?????? ?? ji ??
ee ??????? )180( ?
)s i nc o s( ?? jil ?? ????? lL? el??
则任意平面矢量的可表示为,
幺矢量 单位矢量
j－ y轴的幺矢量
e
?ded /?? ?? c o ss i n ji ?? ???
?? s inc o s ji ?? ??
"e?? ?? s inc o s ji ?? ???
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j
i
y
x
θ
e
i
j
ej
幺矢量的点积运算,
e · i
e · j
e · e = e2
e1· e2t
e1· e2n
e1 · e2
ei
= ei ＝ cosθ
= ej ＝ sinθ
j
i
y
x θ 2
θ 1
e2
e1
= - sin (θ 2 － θ 1 )
= -cos (θ 2 － θ 1 )
=cos (θ 2 － θ 1 )
e · et
et
= 0
＝ 1
e2n
e2t
e · en=
en
－ 1
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dt
dleel t ??? ?? ?
dt
dle
dt
ldeelel tt ???????? ??? 222 ????
求一阶导数有,
求二阶导数有,
dt
eld
dt
LdL )(' ?
??
?? vr
L
θ
ar
an
ak
哥式加速度 ak
对于同一个构
件, l为常数,
有,
L
2
2
"
dt
LdL
??
?
dt
dl
dt
ed
dt
lde ??? ?? 2
dt
dle
dt
d
d
edl ?? ??? ?
?
dt
dle t???? tel ?????
dt
edl t????
dt
dle
dt
edl ?? ??
离心 (相对 )加速度 ar
ar=0
ak=0
离心 (相对 )速度 v r vt
vr=0
切向加速度 at
at
dt
el
dt
dl
ed t ][
???
??
?
切向速度 v t
向心加速度 an
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2.平面机构的运动分析
一, 位置分析
将各构件用杆矢量表示, 则有,
已知图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,
求 θ 2,θ 3,ω2,ω3,α 2,α 2 。
D x
y
A
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
L1+ L2 ＝ L3+ L4
大小,√ √ √ √
方向 √ θ 2? θ 3? √
移项得,L2 ＝ L3+ L4 － L1 (1)
化成直角坐标形式有,
)s i nc o s( ?? jilL ??? ??
l2 cosθ 2＝ l3 cosθ 3+ l4 cosθ 4－ l1 cosθ 1 (2)
l2 sinθ 2＝ l3 sinθ 3+ l4 sinθ 4－ l1 sinθ 1 (3)
(2),(3)平方后相加得,
l22＝ l23+ l24+ l21＋ 2 l3 l4cosθ 3
― 2 l1 l3(cosθ 3 cosθ 1- sinθ 3 sinθ 1)― 2 l1 l4cosθ 1
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整理后得, Asinθ 3+Bcosθ 3+C=0 (4)
其中, A=2 l1 l3 sinθ 1
B=2 l3 (l1 cosθ 1- l4)
C= l22－ l23－ l24－ l21＋ 2 l1 l4cosθ 1
解三角方程得,tg(θ 3 / 2)=[A± sqrt(A2+B2－ C2)] / (B－ C)由 连续性确定
同理, 为了求解 θ 2, 可将矢量方程写成如下形式,
L3 ＝ L1+ L2 － L4 (5)
化成直角坐标形式,
l3 cosθ 3＝ l1 cosθ 1+ l2 cosθ 2－ l4 (6)
l3 sinθ 3＝ l1 sinθ 1+ l2 sinθ 2－ 0 (7)
(6),(7)平方后相加得,
l23＝ l21+ l22+ l24＋ 2 l1 l2cosθ 1
― 2 l1 l4(cosθ 1 cosθ 2 - sinθ 1 sinθ 2 )― 2 l1 l2cosθ 1
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整理后得, Dsinθ 2+Ecosθ 2+F=0 (8)
其中, D=2 l1 l2 sinθ 1
E=2 l2 (l1 cosθ 1- l4 )
F= l21+l22+l24－ l23- 2 l1 l4 cosθ 1
解三角方程得,tg(θ 2 / 2)=[D± sqrt(D2+E2－ F2)] / (E－ F)
二, 速度分析
将 L3 ＝ L1+ L2 － L4 对时间求导得,
l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
用 e2点积 (9)式, 可得,
l3θ 3 e3t · e2= l1θ 1 e1t · e2 (10)
ω3 l3 sin (θ 3 － θ 2 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 )
ω3 = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3点积 (9)式, 可得,
- l2θ 2 e2t · e3= l1θ 1 e1t · e3 (11)
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-ω2 l2 sin (θ 2 － θ 3 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 )
ω2 = - ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 ) / l2sin (θ 2－ θ 3 )
三, 加速度分析
将 （ 9） 式对时间求导得,
l3θ 32 e3n + l3θ 3 e3t = l1θ 12 e1n + l2θ 22 e2n + l2θ 2 e2t (12)
acn act aB aCBn aCBt
l3ω32 e3n ·e2 + l3α 3 e3t ·e2 = l1ω12 e1n ·e2 + l2ω22 e2n ·e2
上式中只有两个未知量
-ω32 l3 cos (θ 3 － θ 2 ) -α 3 l3 sin (θ 3 － θ 2 )
= - ω12 l1 cos (θ 1 － θ 2 ) - ω22 l2
α 3 =ω 12 l1 cos (θ 1 - θ 2 ) + ω 22 l2 -ω 32 l3 cos (θ 3 - θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3点积 (12)式, 整理后可得,
α 2 =ω 12 l1 cos (θ 1 - θ 3 ) + ω 32 l3 -ω 22 l2 cos (θ 2 - θ 3 ) / l2 sin (θ 2 － θ 3 )
,用 e2点积 (12)式, 可得,
速度方程, l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
＝ 0
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二, 矩阵法
思路, 在直角坐标系中建立机构的位置方程, 然后将位置方程
对时间求一阶导数, 得到机构的速度方程 。 求二阶导数便得到
机构加速度方程 。
1.位置分析
改写成直角坐标的形式,
L1+ L2 ＝ L3+ L4, 或 L2－ L3＝ L4－ L1
已知图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,
求,θ 2,θ 3,ω2,ω3,α 2,α 2, xp、
yp,vp, ap 。
D x
y
A
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
a
b P
连杆上 P点的坐标为,
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 ) (14)
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2.速度分析
将 （ 13） 式对时间求导得,
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1 (15)
写成矩阵形式,
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3 ω2 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3 ω3 -l1 cosθ 1 (16) ＝ ω1
从动件的位置参数矩阵 [A]
从动件的 角速度列阵 {ω }
原动件的 角速度 ω1
原动件的位置参数矩阵 [B]
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
重写位置方程组
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将 （ 14） 式对时间求导得,
(17) vpx v
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 ) ＝ ＝
ω1
ω2
速度合成,
vp ＝ v2px ＋ v2py α pv＝ tg-1(vpy / vpx )
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 ) (14)
重写 P点位置方程组
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3.加速度分析
将 （ 15） 式对时间求导得以下矩阵方程,
l1 ω1 sinθ 1
l1 ω3 cosθ 1
＝
ω2
ω3
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3
α 2
α 3
- l2 ω2 cosθ 2 l3 ω3 cosθ 3
- l 2 ω2 sinθ 2 l3 ω3 sinθ 3 +ω1
(18)
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1 (15)
重写速度方程组
[A] {α } [A] [B] ω1 = + {ω}
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将 （ 17） 式对时间求导得以下矩阵方程,
加速度合成,
ap ＝ a2px ＋ a2py α pa＝ tg-1(apy / apx )
(17) vpx v
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 ) ＝ ＝
ω1
ω2
重写 P点速度方程组
(19)
apx
apy
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 ) ＝ ＝
0
α 2
l1 cosθ 1 a cosθ 2 + b cos (90o+θ 2 )
-l1 sinθ 1 -a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
ω22
ω32 －
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解析法作机构运动分析的关键,正确建立机构的位置方程 。
至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数
学运算而已 。 本例所采用的分析方法同样适用复杂机构 。
速度方程的一般表达式,
其中 [A]－－ 机构从动件的位置参数矩阵；
{ω}－－ 机构从动件的角速度矩阵；
{B}－－ 机构 原 动件的位置参数矩阵；
ω1 －－ 机构 原 动件的角速度 。
加速度方程的一般表达式,
{α }－－ 机构从动件的加角速度矩阵；
[A]＝ d[A]/dt； [B]＝ d[B]/dt；
[A]{α } = -[A]{ω}+ω1{B}
[A]{ω} =ω1{B}
该方法的缺点是对于每种机构都要作运动学模型的推导, 模
型的建立比较繁琐 。
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全部为转动副
类型 简 图 运动副 矢量三角形中的已知量
A
三, 杆组分析法
原理,将基本杆组的运动分析模型编成通用的子程序, 根据机构
的组成情况依次调用杆组分析子程序, 就能完成整个机构的运动
分析 。
a = R + b
√ √ √
√?
a b R
a = R + b
√ √?
√ √
a = R + b
√?
√ √ √
特点,运动学模型是通用的, 适用于任意复杂的平面连杆机构 。
a = R + b
√ √?
√?
a b
a = R + b
√?
√ √? a b
内,1个移动副
外,2个转动副 B
内,1个转动副
外,1转 1移 C
内,1个移动副
外,1转 1移 D
内,1个转动副
外,2个移动移 E
a b R
a b R
a b R
a b R
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本章重点,
1,瞬心位置的确定 （ 三心定律 ） ；
2,用瞬心法求构件的运动参数；
3.用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析,
熟练掌握影象法及其应用；
4.用矢量方程解析法建立机构的运动学模型；
第三章 平面机构的运动分析
§ 3－ 1机构运动分析的目的与方法
§ 3－ 2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
§ 3－ 3用矢量方程图解法作机构速度和加速度
分析
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复
杂机构进行速度分析
§ 3－ 5 用解析法作机构的运动分析
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所谓机构运动分析，就是不考虑引起机构
的外力、构件变形、运动副中的间隙等因素，
仅从几何的角度研究已知原动件的运动规律时，
如何求其他构件的运动参数，如 点的轨迹、构
件位置、速度和加速度 等。
§ 3－ 1 机构运动分析的目的与方法
设计任何新的机械, 都必须进行运动分析工
作 。 以确定机械是否满足工作要求 。
1.位置分析
分析内容,位置分析, 速度分析和加速度分析 。
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① 确定机构的位置 （ 位形 ）, 绘制机构位置图 。
② 确定构件的运动空间, 判断是否发生干涉 。 50分
③ 确定构件 (活塞 )行程,
找出上下极限位置 。
④ 确定点的轨迹 （ 连杆曲
线 ）, 如 鹤式吊 。
2.速度分析
① 通过分析, 了解从动件
的速度变化规律是否满足
工作要求 。 如 牛头刨
② 为加速度分析作准备 。
A
C
B
E D
HD HE
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3.加速度分析的目的是为确定惯性力作准备 。
方法,
图解法 －简单, 直观, 精度低, 求系列位置
时繁琐 。
解析法 －正好与以上相反 。
实验法 －试凑法, 配合连杆曲线图册, 用于
解决实现预定轨迹问题 。
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1 2
A2(A1)
B2(B1)
§ 3－ 2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
机构速度分析的图解法有：
速度瞬心法, 相对运动法, 线图
法 。 瞬心法尤其适合于简单机构
的运动分析 。
一, 速度瞬心
绝对瞬心 －重合点绝对速度为零 。
P21
相对瞬心 －重合点绝对速度不为零 。
VA2A1
VB2B1
Vp2=Vp1≠ 0
Vp2=Vp1=0
两个作平面运动构件上 速
度相同 的一对 重合点, 在某一
瞬时 两构件相对于该点作 相对
转动, 该点称瞬时速度中心 。
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特点,
① 该点涉及两个构件 。
② 绝对速度相同, 相对速度为零 。
③ 相对回转中心 。
二, 瞬心数目
∵ 每两个构件就有一个瞬心
∴ 根据排列组合有
P12 P23
P13
构件数 4 5 6 8
瞬心数 6 10 15 28
1 2 3 若机构中有 n个构件, 则
N＝ n(n-1)/2
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1 2
1
2
1 2 t t 1
2
三, 机构瞬心位置的确定
1.直接观察法
适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置 。
n
n
P12
P12
P12 ∞
2.三心定律
V12
定义,三个彼此作平面运动的构件共有 三个瞬
心, 且它们 位于同一条直线上 。 此法特别适用
于两构件不直接相联的场合 。
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1
2
3
P21
P31 E3
D3
VE3
VD3
A2
B2
VA2
VB2
A’2
E’3 P32
结论,P21, P 31, P 32 位于同一条直线上。
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举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。
∞
P14 3
2
1
4
1
2
3
4
P12 P34
P13
P24 P23
解：瞬心数为,N＝ n(n-1)/2＝ 6 n=4
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
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1
2
3
4
5
6
1
2
3
4 6 5
P23
P34
∞
P16
∞
P56
P45
P14
P24
P13
P15
P25
P26
P35
举例：求图示六杆机构的速度瞬心。
解：瞬心数为,N＝ n(n-1)/2＝ 15 n=6
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
P12
P46
P36
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四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
1.求线速度。
已知凸轮转速 ω1，求推杆的速度。
P23 ∞
解,
①直接观察求瞬心 P13,P23 。 V2
③ 求瞬心 P12的速度 。
1
2
3
ω 1
V2＝ V P12＝ μ l(P13P12)·ω1
长度 P13P12直接从图上量取。 100分钟
n
n
P12 P13 ② 根据三心定律和公法线
n－ n求瞬心的位置 P12 。
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2.求角速度。
解：①瞬心数为 6个
② 直接观察能求出 4个
余下的 2个用三心定律求出。
P24
P13
③ 求瞬心 P24的速度 。
VP24＝ μ l(P24P14)·ω 4
ω 4 ＝ ω 2· (P24P12)/ P24P14
a)铰链机构
已知构件 2的转速 ω2，求构件 4的角速度 ω4 。
2
3 4
1
ω 2 ω 4
VP24＝ μ l(P24P12)·ω 2
VP24
P12
P23
P34
P14
方向, CW,与 ω2相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同
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b)高副机构
已知构件 2的转速 ω2，求构件 3的角速度 ω3 。
1
2
ω 2 3
P23
n
n
解, 用三心定律求出 P23 。
求瞬心 P23的速度,
VP23＝ μ l(P23P13)·ω3
∴ ω3＝ ω2·(P13P23/P12P23)
ω 3 P12
P13
方向, CCW,与 ω2相反。
VP23
VP23＝ μ l(P23P12)·ω2
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
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1
2
3
P23
P12 P
13
3.求传动比
定义：两构件角速度之比传动比。
ω3 /ω2 ＝ P12P23 / P13P23
推广到一般,
ωi /ωj ＝ P1jPij / P1iPij
结论,
① 两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的
距离之反比 。
② 角速度的方向为,
ω 2 ω 3
相对瞬心位于两绝对瞬心的 同一侧 时，两构件 转向相同 。
相对瞬心位于两绝对瞬心 之间 时，两构件 转向相反 。
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4.用瞬心法解题步骤
① 绘制机构运动简图；
② 求瞬心的位置；
③ 求出相对瞬心的速度 ;
瞬心法的优缺点,
① 适合于求简单机构的速度, 机构复杂时因
瞬心数急剧增加而求解过程复杂 。
② 有时瞬心点落在纸面外。
③ 仅适于求速度 V,使应用有一定局限性。
④ 求构件绝对速度 V或角速度 ω。
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C D
§ 3－ 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
一, 基本原理和方法
1.矢量方程图解法
因每一个矢量具有 大小 和 方向 两个参数, 根据
已知条件的不同, 上述方程有以下四种情况,
设有矢量方程,D＝ A + B + C
D＝ A + B + C
大小,√？？ √
方向,√ √ √ √
D
A
B
C A
B
D＝ A + B + C
大小,？ √ √ √
方向,？ √ √ √
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C D
B
C
B
D＝ A + B + C
大小,√ √ √ √
方向,√ √？？
D＝ A + B + C
大小,√？ √ √
方向,√ √？ √
D
A A
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2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系
1) 速度之间的关系
选速度比例尺 μ v m/s/mm,
在任意点 p作图使 VA＝ μ vpa,a
b 同理有,V
C＝ VA+VCA
大小,? √?
方向,? √ ⊥CA
相对速度为,VBA＝ μ vab
A B
C
VB＝ VA+VBA
按图解法得,VB＝ μ vpb,
不可解！
p
设已知大小,
方向,⊥BA
√
√
√
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c
a
p
b
同理有,VC＝ VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ ⊥CB
A B
C
VC＝ VA+VCA ＝ VB+VCB
大小,? √? √?
方向,? √ ⊥CA √ ⊥CB
不可解！
联立方程有,
作图得,VC＝ μ v pc
VCA＝ μ v ac
VCB＝ μ v bc
方向,p → c
方向,a → c
方向,b → c
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A B
C
ω＝ VBA/LBA＝ μ vab/μ l AB
同理,ω＝ μ vca/μ l CA,
ω＝ μ vcb/μ l CB,
a
c
b 称 pabc为 速度多边形 （ 或速度图解 ) p为 极点 。
得,ab/AB＝ bc/ BC＝ ca/CA
∴ △ abc∽ △ ABC
ω
方向,CW
p
强调用相对速度求
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速度多边形 的性质,
① 联接 p点和任一点的向量代表该点在
机构图中同名点的绝对速度, 指向为
p→ 该点 。
② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构
图中同名点的相对速度，指向与速度的下
标相反。如 bc代表 VCB而不是 VBC,常用
相对速度来求构件的角速度。
A
a
C
c
B
b
③ ∵ △ abc∽ △ ABC,称 abc为 ABC的速度影象,
两者相似且 字母顺序一致 。 前者沿 ω方向转
过 90° 。 称 pabc为 PABC的速度影象 。
ω
特别注意,影象与构件相似而不是与机构位
形相似 ！
p
P
④ 极点 p代表机构中所有速度为零的点－
绝对瞬心的影象 。
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速度多边形的用途,
由两点的速度求任意点的速度 。
A
a
C
c
B
b
例如, 求 BC中间点 E的速度 VE时,
bc上中间点 e为 E点的影象, 联接
pe就是 VE
E
e
ω
p 思考题,两连架杆的速度影像在何处？
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2) 加速度关系
A B
C
求得,aB＝ μ ap’b’
选加速度比例尺 μ a m/s2/mm,
在任意点 p’作图使 aA＝ μ ap’a’
b”
设已知角速度 ω,A点加速度和 aB的方向
a’
aA a
B
b’
A B两点间加速度之间的关系有,
aB＝ aA + anBA+ atBA
ω
atBA＝ μ ab”b’
方向, b” → b’
p’
aBA＝ μ ab’ a’ 方向, a’ →b ’
大小,
方向,
⊥BA
√
√
√ B→A
ω2lAB
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b”
b’ c’
c”
c”’
aC＝ aA + anCA+ atCA ＝ aB + anCB+ atCB
同理,aC＝ aB + anCB+ atCB
大小,? √ ω2lCB?
方向,? √ C→B ⊥CB
不可解！
联立方程,
同理,aC＝ aA + anCA+ atCA
大小,? √ ω2lCA?
方向,? √ C→A ⊥CA
不可解！
a’
p’
A B
C
aA a
B
ω
作图得,aC＝ μ ap’c’
atCA＝ μ ac”’c’
atCB＝ μ ac’c”
方向,c”’ → c’
方向,c” → c’
方向,p’ → c’
大小,
方向,
√ √? √ √?
√ √ √ √ √ √
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角加速度,α ＝ atBA/ lAB
得,a’b’/ lAB＝ b’c’/ lBC＝ a’ c’/ lCA
p’a’b’c’－加速度多边形 （ 或
速度图解 ）, p’－极点
∴ △ a’b’c’∽ △ ABC
A B
C
b”
aA a
B
b’ c’
c”
c”’
ω
加速度多边形的特性,
① 联接 p’点和任一点的向量代表该
点在机构图中同名点的绝对加速
度, 指向为 p’→ 该点 。
aBA＝ (atBA)2+ (anBA)2＝ lAB α 2 +ω 4 ＝ μ aa’b’
aCA＝ (atCA)2+ (anCA)2＝ lCA α 2 +ω 4 ＝ μ a a’c’
aCB＝ (atCB)2+ (anCB)2＝ lCB α 2 +ω 4 ＝ μ a b’c’ α
方向,CW
a’
p’
＝ μa b”b’ /μ l AB
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② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同
名点的相对加速度, 指向与速度的下标相反 。 如
a’b’代表 aBA而不 aAB, 常用相对切向加速度来求构
件的角加速度 。
③ ∵ △ a’b’c’∽ △ ABC,称 a’b’c’为 ABC
的加速度影象, 称 p’a’b’c’为 PABC的 加
速度影象, 两者相似且字母顺序一致 。
④ 极点 p’代表机构中所有 加 速度为零的点 。
特别注意：影象与构件相似而不
是与机构位形相似 ！
b”
p’
aA
aB
A B
C
a’
b’ c’
c”
c”’
ω
用途, 根据相似性原理由两点的 加 速
度求任意点的 加 速度 。
例如, 求 BC中间点 E的 加 速度 aE时, b’c’上
中间点 e’为 E点的影象, 联接 p’e’就是 aE。
c’
E α
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B
1
2
2.两构件重合点的速度及加速度的关系
1)回转副
① 速度关系
VB1=VB2 aB1=aB2
1 2
B
公共点
VB1≠ VB2 aB1≠ aB2
具体情况由其他已知条件决定 仅考虑移动副
2)高副和移动副
VB3＝ VB2+VB3B2
p
b2
b3
VB3B2 的方向, b2 → b3 ω3 = μ vpb3 / lCB
ω1
B
ω3
1
3
2
A
C
大小,
方向,
√
√
√
∥BC
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② 加速度关系
图解得,
aB3 =μ ap’b3’,
结论,当两构件构成移动副时, 重
合点的加速度不相等, 且移动副有
转动分量时, 必然存在哥氏加速度
分量 。
p
b2
b3
B
ω1
ω3
1
3
aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2 + akB3B2
大小,
方向,
A
C
b’ 2 k’
b’ 3 p’
b” 3
α 3
ak B3B2
2
方向,VB3B2顺 ω3转过 90° 。
α 3＝ atB3/lBC＝ μ ab3’’b3’ /lBC
arB3B2 =μ ak’b3’ B → C
ω23lBC
B→C
√
l1ω21
B→A
∥BC
2 VB3B2ω3
√
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二, 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
已知摆式运输机运动简图, 各构件尺寸, ω2,求,
解,1)速度分析
VB＝ LABω2, μ V＝ VB /pb
图解上式得 pbc,
VCB ＝ μ Vbc,
VC＝ VB+ VCB
大小,? √?
方向,⊥ CD √ ⊥BC
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
b
① VF,aF,ω3,ω4,ω5,α 3,α 4,α 5
② 构件 3,4,5中任一速度为 Vx的点 X3,X4,X5的位置
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
④ 构件 3,5上加速度为零的点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度。 I3 Q5
c
ω2 ω3 ω4
VC＝ μ Vpb,
ω3＝ VCB/lCB 方向,CW
ω4＝ VC/lCD 方向,CCW
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利用速度影象与构件相似的原理,
可求得影象点 e。
图解上式得 pef,VF ＝ μ v pf,
VF＝ VE+ VFE
大小,? √?
方向,√ √ ⊥ EF b
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
c
求构件 6的速度,
e
f 加速度分析,
aC = anC+ atC = aB + anCB+ atCB
P’
c”’
b’
c’
c”
ω5 ω3
ω4
大小,
方向,
ω24lCD
C→D
√
√
√
ω23lCB
√
⊥ BC
VFE ＝ μ v ef,e→ f,
方向,p→ f,
ω5＝ VFE/lFE 方向,CW
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图解上式得 p’c’b’,aC =μ a p’c’
b
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
e’
e 求构件 6的加速度,
f
aF = aE + anFE + atFE
大小,? √ √?
方向,√ √ ‖ FE ⊥FE
其中,anFE＝ ω25lFE
P’
c”’
b’
c’
c”
利用影象法求得 p’c’e’
aE =μ a p’e’
c
f’ 求得, aF =μ a p’f’
ω5 ω3
ω4
α 4
α 3
atFE =μ a f”f’
f”
α 5
α 5= atFE/ lFE 方向,CCW
α 4= atC / lCD
α 3 = atCB/ lCB
方向,CCW
方向,CCW
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b
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
p
e
f
c
利用速度影象和加速度影象求特殊点
的速度和加速度,
② 求构件 3,4,5中任一速度
为 Vx的 X3,X4,X5点的位置。 ω4
α 4
α 3
x3
x4
x
x5
ω3 ω5
利用影象法求特殊点的运动参数,
求作 △ bcx∽ △ BCX3 得 X3
I3
I5
α 5
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
△ cex∽ △ CEX4 得 X4
△ efx∽ △ EFX5 得 X5
求作 △ bcp∽ △ BCI3 得 I3
△ efp∽ △ EFI5 得 I5
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Q3
e’
p’
c”’
b’
c’
c”
c
f’
A
B
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω5 ω3
ω4
α 4
α 3
④ 构件 3,5上加速度为零的
点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度 aI3,aQ5
C
Q5
i3’
i5’
I3
I5
求得,aI3=μ a p’i3’
aI5=μ a p’i5’
α 5 求作 △ b’c’p’∽ △ BCQ3 得 Q3
△ e’f’p’∽ △ EFQ5 得 Q5
求作 △ b’c’i3’∽ △ BCI3
△ e’f’p’∽ △ EFQ5
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A
B
C
D
G
ω
H
解题关键,
1.以作 平面运动 的构件为突破
口,基准点和 重合点都应选取
该构件上的铰接点,否 则已知
条件不足而使无法求解。
E F
如,VE=VF+VEF
如选取铰链点作为基点时，所列方程仍
不能求解，则此时应联立方程求解。
如,VG=VB+VGB
大小,? √?
方向,? √ √
VC=VB+VCB
√?
√ √ √
VC+VGC = VG
√
√ √?
＝
大小,
方向, √
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A
B
C
D 4
3
2
1
重合点的选取原则, 选已知参数较多
的点 （ 一般为 铰链点 ）
A B
C
D
1
2
3
4 应将构件扩大至包含 B点 ！
不可解 ！
此机构, 重合点应选在何处？ B点 !
VB4 = VB3+VB4B3
√?
√ √ √
如,VC3 = VC4+VC3C4
大小,
方向,? √ √
下图中取 C为重合点,
有, VC3=VC4+VC3C4
大小,?？?
方向,? √ √
当取 B点为重合点时,
VB4 = VB3 + VB4B3
大小,? √?
方向,√ √ √ 方程可解 。
t
t
t
t
1
A
B
C 2
3
4
构件 3上 C,B的关系,
= VB3+VC3B3
√?
√ √
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2.正确判哥式加速度的存在及其方向
B
1
2 3
B 1
2 3 B
1 2
3
B 1
2
3
1 B
2
3
B 1
2
3
B 1
2
3
B
1 2 3
无 ak 无 a
k
有 ak
有 ak
有 ak 有 ak
有 ak 有 a
k
② 动坐标平动时, 无 ak 。
判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak
当两构件构成移动副,
① 且动坐标含有 转动分量 时, 存在 ak ；
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A
B C
D
E
F G 1
2 3 4
5 6
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法
对复杂机构进行速度分析
对于某些复杂机构, 单独运用瞬心法或矢量方程图解法解
题时, 都很困难, 但将两者结合起来用, 将使问题的到简化 。
如图示 Ⅲ 级机构中, 已知机构
尺寸和 ω2,进行运动分析 。
不可解 ！
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ √
若用瞬心法确定 C点的方向后,
则有,I4
t
t
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,√ √ √ 可解 ！
此方法常用于 Ⅲ 级机构的运动分析 。
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§ 3－ 5 用解析法作机构的运动分析
图解法的缺点,
1.分析结果精度低；
随着计算机应用的普及, 解析法得到了广泛的应用 。
2.作图繁琐, 费时, 不适用于一个运动周期的分析 。
方法,复数矢量法, 矩阵法, 杆组法等 。
3.不便于把机构分析与综合问题联系起来 。
思路,
由机构的几何条件, 建立机构的位置方程, 然后就位
置方程对时间求一阶导数, 得速度方程, 求二阶导数得
到机构的加速度方程 。
，,
置方程对时间求一阶导数, 得速度方程, 求二阶导数得
到机构的加速度方程 。
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j
i
y
x
一, 矢量方程解析法
1.矢量分析基本知识
其中,l－矢量的模, θ －幅角, 各 幺矢量为,
e－ 矢量 L的幺矢量,
en－ 法向幺矢量,
et－ 切向幺矢量
i－ x轴的幺矢量
??? ee?
'ee t ?? ?
)'( tn ee ?? ?
et
θ
L en
i
j
)90s i n ()90c o s ( ?????? ?? ji ??
)90( ???? ?e
)180s i n ()180c o s ( ?????? ?? ji ??
ee ??????? )180( ?
)s i nc o s( ?? jil ?? ????? lL? el??
则任意平面矢量的可表示为,
幺矢量 单位矢量
j－ y轴的幺矢量
e
?ded /?? ?? c o ss i n ji ?? ???
?? s inc o s ji ?? ??
"e?? ?? s inc o s ji ?? ???
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j
i
y
x
θ
e
i
j
ej
幺矢量的点积运算,
e · i
e · j
e · e = e2
e1· e2t
e1· e2n
e1 · e2
ei
= ei ＝ cosθ
= ej ＝ sinθ
j
i
y
x θ 2
θ 1
e2
e1
= - sin (θ 2 － θ 1 )
= -cos (θ 2 － θ 1 )
=cos (θ 2 － θ 1 )
e · et
et
= 0
＝ 1
e2n
e2t
e · en=
en
－ 1
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dt
dleel t ??? ?? ?
dt
dle
dt
ldeelel tt ???????? ??? 222 ????
求一阶导数有,
求二阶导数有,
dt
eld
dt
LdL )(' ?
??
?? vr
L
θ
ar
an
ak
哥式加速度 ak
对于同一个构
件, l为常数,
有,
L
2
2
"
dt
LdL
??
?
dt
dl
dt
ed
dt
lde ??? ?? 2
dt
dle
dt
d
d
edl ?? ??? ?
?
dt
dle t???? tel ?????
dt
edl t????
dt
dle
dt
edl ?? ??
离心 (相对 )加速度 ar
ar=0
ak=0
离心 (相对 )速度 v r vt
vr=0
切向加速度 at
at
dt
el
dt
dl
ed t ][
???
??
?
切向速度 v t
向心加速度 an
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2.平面机构的运动分析
一, 位置分析
将各构件用杆矢量表示, 则有,
已知图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,
求 θ 2,θ 3,ω2,ω3,α 2,α 2 。
D x
y
A
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
L1+ L2 ＝ L3+ L4
大小,√ √ √ √
方向 √ θ 2? θ 3? √
移项得,L2 ＝ L3+ L4 － L1 (1)
化成直角坐标形式有,
)s i nc o s( ?? jilL ??? ??
l2 cosθ 2＝ l3 cosθ 3+ l4 cosθ 4－ l1 cosθ 1 (2)
l2 sinθ 2＝ l3 sinθ 3+ l4 sinθ 4－ l1 sinθ 1 (3)
(2),(3)平方后相加得,
l22＝ l23+ l24+ l21＋ 2 l3 l4cosθ 3
― 2 l1 l3(cosθ 3 cosθ 1- sinθ 3 sinθ 1)― 2 l1 l4cosθ 1
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整理后得, Asinθ 3+Bcosθ 3+C=0 (4)
其中, A=2 l1 l3 sinθ 1
B=2 l3 (l1 cosθ 1- l4)
C= l22－ l23－ l24－ l21＋ 2 l1 l4cosθ 1
解三角方程得,tg(θ 3 / 2)=[A± sqrt(A2+B2－ C2)] / (B－ C)由 连续性确定
同理, 为了求解 θ 2, 可将矢量方程写成如下形式,
L3 ＝ L1+ L2 － L4 (5)
化成直角坐标形式,
l3 cosθ 3＝ l1 cosθ 1+ l2 cosθ 2－ l4 (6)
l3 sinθ 3＝ l1 sinθ 1+ l2 sinθ 2－ 0 (7)
(6),(7)平方后相加得,
l23＝ l21+ l22+ l24＋ 2 l1 l2cosθ 1
― 2 l1 l4(cosθ 1 cosθ 2 - sinθ 1 sinθ 2 )― 2 l1 l2cosθ 1
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整理后得, Dsinθ 2+Ecosθ 2+F=0 (8)
其中, D=2 l1 l2 sinθ 1
E=2 l2 (l1 cosθ 1- l4 )
F= l21+l22+l24－ l23- 2 l1 l4 cosθ 1
解三角方程得,tg(θ 2 / 2)=[D± sqrt(D2+E2－ F2)] / (E－ F)
二, 速度分析
将 L3 ＝ L1+ L2 － L4 对时间求导得,
l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
用 e2点积 (9)式, 可得,
l3θ 3 e3t · e2= l1θ 1 e1t · e2 (10)
ω3 l3 sin (θ 3 － θ 2 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 )
ω3 = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3点积 (9)式, 可得,
- l2θ 2 e2t · e3= l1θ 1 e1t · e3 (11)
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-ω2 l2 sin (θ 2 － θ 3 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 )
ω2 = - ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 ) / l2sin (θ 2－ θ 3 )
三, 加速度分析
将 （ 9） 式对时间求导得,
l3θ 32 e3n + l3θ 3 e3t = l1θ 12 e1n + l2θ 22 e2n + l2θ 2 e2t (12)
acn act aB aCBn aCBt
l3ω32 e3n ·e2 + l3α 3 e3t ·e2 = l1ω12 e1n ·e2 + l2ω22 e2n ·e2
上式中只有两个未知量
-ω32 l3 cos (θ 3 － θ 2 ) -α 3 l3 sin (θ 3 － θ 2 )
= - ω12 l1 cos (θ 1 － θ 2 ) - ω22 l2
α 3 =ω 12 l1 cos (θ 1 - θ 2 ) + ω 22 l2 -ω 32 l3 cos (θ 3 - θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3点积 (12)式, 整理后可得,
α 2 =ω 12 l1 cos (θ 1 - θ 3 ) + ω 32 l3 -ω 22 l2 cos (θ 2 - θ 3 ) / l2 sin (θ 2 － θ 3 )
,用 e2点积 (12)式, 可得,
速度方程, l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
＝ 0
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二, 矩阵法
思路, 在直角坐标系中建立机构的位置方程, 然后将位置方程
对时间求一阶导数, 得到机构的速度方程 。 求二阶导数便得到
机构加速度方程 。
1.位置分析
改写成直角坐标的形式,
L1+ L2 ＝ L3+ L4, 或 L2－ L3＝ L4－ L1
已知图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,
求,θ 2,θ 3,ω2,ω3,α 2,α 2, xp、
yp,vp, ap 。
D x
y
A
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
a
b P
连杆上 P点的坐标为,
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 ) (14)
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2.速度分析
将 （ 13） 式对时间求导得,
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1 (15)
写成矩阵形式,
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3 ω2 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3 ω3 -l1 cosθ 1 (16) ＝ ω1
从动件的位置参数矩阵 [A]
从动件的 角速度列阵 {ω }
原动件的 角速度 ω1
原动件的位置参数矩阵 [B]
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
重写位置方程组
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将 （ 14） 式对时间求导得,
(17) vpx v
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 ) ＝ ＝
ω1
ω2
速度合成,
vp ＝ v2px ＋ v2py α pv＝ tg-1(vpy / vpx )
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 ) (14)
重写 P点位置方程组
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3.加速度分析
将 （ 15） 式对时间求导得以下矩阵方程,
l1 ω1 sinθ 1
l1 ω3 cosθ 1
＝
ω2
ω3
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3
α 2
α 3
- l2 ω2 cosθ 2 l3 ω3 cosθ 3
- l 2 ω2 sinθ 2 l3 ω3 sinθ 3 +ω1
(18)
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1 (15)
重写速度方程组
[A] {α } [A] [B] ω1 = + {ω}
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将 （ 17） 式对时间求导得以下矩阵方程,
加速度合成,
ap ＝ a2px ＋ a2py α pa＝ tg-1(apy / apx )
(17) vpx v
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 ) ＝ ＝
ω1
ω2
重写 P点速度方程组
(19)
apx
apy
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 ) ＝ ＝
0
α 2
l1 cosθ 1 a cosθ 2 + b cos (90o+θ 2 )
-l1 sinθ 1 -a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
ω22
ω32 －
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解析法作机构运动分析的关键,正确建立机构的位置方程 。
至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数
学运算而已 。 本例所采用的分析方法同样适用复杂机构 。
速度方程的一般表达式,
其中 [A]－－ 机构从动件的位置参数矩阵；
{ω}－－ 机构从动件的角速度矩阵；
{B}－－ 机构 原 动件的位置参数矩阵；
ω1 －－ 机构 原 动件的角速度 。
加速度方程的一般表达式,
{α }－－ 机构从动件的加角速度矩阵；
[A]＝ d[A]/dt； [B]＝ d[B]/dt；
[A]{α } = -[A]{ω}+ω1{B}
[A]{ω} =ω1{B}
该方法的缺点是对于每种机构都要作运动学模型的推导, 模
型的建立比较繁琐 。
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全部为转动副
类型 简 图 运动副 矢量三角形中的已知量
A
三, 杆组分析法
原理,将基本杆组的运动分析模型编成通用的子程序, 根据机构
的组成情况依次调用杆组分析子程序, 就能完成整个机构的运动
分析 。
a = R + b
√ √ √
√?
a b R
a = R + b
√ √?
√ √
a = R + b
√?
√ √ √
特点,运动学模型是通用的, 适用于任意复杂的平面连杆机构 。
a = R + b
√ √?
√?
a b
a = R + b
√?
√ √? a b
内,1个移动副
外,2个转动副 B
内,1个转动副
外,1转 1移 C
内,1个移动副
外,1转 1移 D
内,1个转动副
外,2个移动移 E
a b R
a b R
a b R
a b R
青岛科技大学专用 潘存云教授研制
本章重点,
1,瞬心位置的确定 （ 三心定律 ） ；
2,用瞬心法求构件的运动参数；
3.用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析,
熟练掌握影象法及其应用；
4.用矢量方程解析法建立机构的运动学模型；
