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第七章 机械的运转及其速度波动的调节
§ 7－ 1 研究目的及方法
§ 7－ 2 机械的运动方程式
§ 7－ 3 机械运动方程的求解
§ 7－ 4 机械周期性速度波动及其调节
§ 7－ 5 机械非周期性速度波动及其调节
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§ 7－ 1 研究的目的及方法
一、研究内容及目的
1.研究在外力作用下机械的真实运动规律，目的是为运动分
析作准备。 前述运动分析曾假定是常数，但实际上是变化的
概述,设计新的机械，或者分析现有机械的工作性能时，往往想
知道机械运转的稳定性、构件的惯性力以及在运动副中产生的反
力的大小,Vmax amax的大小，因此要对机械进行运动分析。而前面
所介绍的运动分析时，都假定原动件作匀速运动 (ω＝ const)。但
在大多数情况下,ω≠const,而是力、力矩、机构位置、构件质
量、转动惯量等参数的函数,ω＝ F(P,M,φ, m,J)。 只有确定
了的原动件运动 ω的变化规律之后，才能进行运动分析和力分析，
从而为设计新机械提供依据。 这就是研究机器运转的目的 。
2.研究机械运转速度的波动及其调节方法，目的是使机械的转
速在允许范围内波动，而保证正常工作。 速度波动过大，会产生恶果
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2.机械的运转
稳定运转阶段的状况有,
① 匀速稳定运转,ω＝常数
t
ω
稳定运转
② 周期 变速稳定运转,ω(t)=ω(t+Tp)
启动
三个阶段：启动, 稳定运转, 停车 。
③ 非 周期 变速稳定运转
停止
ωm
t
ω
稳定运转 启动 停止
ωm
t
ω
稳定运转 启 动 停止
匀速稳定运转时, 速度 不需要调节 。
后两种情况由于速度的波动, 会产生以下不良后果,
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速度波动产生的不良后果,
① 在运动副中引起附加动压力，加剧磨损，使工作可靠性降低。
② 引起弹性振动，消耗能量，使机械效率降低。
③ 影响机械的工艺过程，使产品质量下降。
④ 载荷突然减小或增大时，发生飞车或停车事故
为了减小这些不良影响，就必须对速度波动范围进行调节。
二、速度波动调节的方法
1.对周期性速度波动，可在转动轴上安装一个质量较大的回转
体（俗称飞轮）达到调速的目的。
2.对非周期性速度波动，需采用专门的调速器才能调节。
本章仅讨论飞轮调速问题。
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三、作用在机械上的驱动力和生产阻力
驱动力是由原动机提供的动力，根据其特性的不同，它们可以是
不同运动参数的函数,
蒸汽机与内然机发出的驱动力是活塞位置的函数,
电动机提供的驱动力矩是转子角速度 ?的函数,
机械特性曲线－ 原动机发出的驱动力
（或力矩）与运动参数之间的函数关系
曲线。 当用解析法研究机械在外力作用下，驱
动力必须以解析表达式给出。 一般较复杂
工程上常将特性曲线作近似处理，如
Md=M(s)
Md=M(?) B
N
ω
Md
交流异步电动机的机械特性曲线
A
C
用通过额定转矩点 N的 直线 NC代替 曲线 NC
ωn
ω0 ω
Md=Mn(?0－ ?)/ (?0－ ?n)
其中 Mn－ 额定转矩,?n － 额定角速度,?0 － 同步角速度 机器铭牌
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生产阻力取决于生产工艺过程的特点，有如下几种情况,
① 生产阻力为常数，如车床；
② 生产阻力为机构位置的函数，如压力机 ;
③ 生产阻力为执行构件速度的函数，如鼓风机、搅拌机等；
驱动力和生产阻力的确定，涉及到许多专门知识，已超出本课程的范围。
本课程所讨论机械在外力作用下运动时，假定外力为已知。
④ 生产阻力为时间的函数，如球磨机、揉面机等；
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一, 机器运动方程的一般表达式
动能定律,机械系统在时间 △ t内的的动能增量 △ E应等于作用
于该系统所有各外力的元功 △ W。
举例：图示曲柄滑块机构中，设已知各构
件角速度、质量、质心位置、质心速度、
转动惯量,驱动力矩 M1，阻力 F3。
动能增量为,
外力所作的功,dW=Ndt
dE=d(J1ω21 /2
§ 7－ 2 机械的运动方程式
写成微分形式,dE=dW
瞬时功率为,N=M1ω1+F3 v3cosα 3
= M1ω1－ F3 v3
ω2
＋ Js2ω22 /2＋ m2v2s2 /2 ＋ m3v23 /2)
M1
ω1
x
y
1
2
3 s2 O
A
B
φ 1 v3
v2
F3
=(M1ω1+F3 v3cosα 3 ) dt
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运动方程为,
d(J1ω21/2＋ Jc2ω22/2＋ m2v2c2 /2＋ m3v23 /2)
推广到一般，设机械系统有 n个活动构件，用 Ei表示其动能。则有,
设作用在构件 i上的外力为 Fi，力矩 Mi为，力 Fi 作用点的速度
为 vi。则瞬时功率为,
机器运动方程的一般表达式为,
式中 α i为 Fi与 vi之间的夹角,Mi与 ωi方向相同时取, ＋,,
相反时取, －, 。
?
?
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n
i
iEE
1
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n
i
iNN
1
上述方程，必须首先求出 n个构件的动能与功率的总和，然后
才能求解。此过程相当繁琐，必须进行简化处理。
＝ (M1ω1－ F3 v3)dt
?
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n
i
iciii Jvm
1
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2
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1 1
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iciii Jvmd ? dtMvF
n
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iiiii ]c o s[
1 1
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??? ??
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二, 机械系统的等效动力学模型
d(J1ω21/2＋ Jc2ω22/2＋ m2v2c2 /2＋ m3v23 /2)
上例有结论,
重写为,
右边括号内具有转动惯量的量纲
d[ω21/2 (J1＋ Jc2ω22 /ω21＋ m2v2c2 /ω21＋ m3v23 /ω21 ) ]
则有,d(Jeω21 /2 )= Meω1 dt
令,Je=( J1＋ Jc2ω22 /ω21…… ),
＝ (M1ω1－ F3 v3)dt
＝ ω1 (M1 － F3 v3 /ω1)dt
M e= M 1－ F3 v3 /ω1
=Medφ
,左边括号内具有力矩的量纲 。
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称图 (c)为原系统的等效动力学模型, 而把假想构件 1称为等
效构件, Je为等效转动惯量, Me为等效力矩 。
同理, 可把运动方程重写为,
右边括号内具有质量的量纲
d[v23 /2 (J1ω21 / v23＋ Jc2ω22 / v23＋ m2v2c2 / v23＋ m3 ) ]
＝ v3 (M1ω1 / v3 － F3) dt
ω2
M1
ω1
x
y
1
2
3 s2 O
A
B
φ 1 v3
v2
F2
假想把原系统中的所有外力去掉，而只在构件 1上作用有 Me，且构件 1的转动惯量为 Je，其
余构件无质量，如图 (b)。则两个系统具有的动能相等，外力所作的功也相等，即两者的
动力学效果完全一样。图 (b)还可以进一步简化成图 (c)。
(a) (b)
Me
ω1
Je
Me
(c)
ω1
Je
令,me=( J1ω21 / v23＋ Jc2ω22 / v23＋ m2v2c2 / v23＋ m3)
F e= M 1ω1 / v3－ F3
,左边括号内具有力的量纲 。
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则有,d(me v23 /2 )= Fe v3 dt
同样可知，图 (d)与图 (a)的动力学效果等效。称构件 3为等
效构件，为等效质量 me,Fe为等效力。
ω2
M1
ω1
x
y
1
2
3 s2 O
A
B
φ 1 v3
v2
F2
(a) (b)
Fe v
3
me
(d)
Fe v3 me
等效替换的条件,
2.等效构件所具有的动能应等于原系统所有运动构件的动能之和 。
1.等效力或力矩所作的功与原系统所有外力和外力矩所作的功相等,
Ne＝ ΣNi
Ee＝ ΣEi
＝ Fe ds
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一般结论, 取转动构件作为等效构件,
?eMN ?
? ?
? ?
???
n
i
n
i
i
i
ii
ie M
vFM
1 1
c o s
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2
1 1
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i
i
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2
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取移动构件作为等效构件,
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vmm
1
2
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i
i
i
n
i
iie vMv
vFF
11
)]([)(c o s ??
由两者动能相等
由两者功率相等
求得等效力矩,
得等效转动惯量,
? ??
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???
n
i
n
i
iiiii
n
i
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1 11
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n
i
n
i
n
i
iciciii JvmE
1 1 1
22
2
1
2
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由两者功率相等
由两者动能相等
求得等效力,
得等效质量,
vFN e?
2
2
1 vmE
e?
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n
i
n
i
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n
i
i MvFN
1 11
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? ? ?
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n
i
n
i
n
i
iciciii JvmE
1 1 1
22
2
1
2
1 ?
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分析,由于各构件的质量 mi和转动惯量 Jci是定值, 等效质量
me和等效转动惯量 Je只与速度比的平方有关,而与真实运动规
律无关, 而速度比又随机构位置变化, 即,
??
??
??
n
i
i
ci
n
i
ci
ie vJv
vmm
1
2
1
2 )()( ?
me=me (φ)
而 Fi,Mi可能与 φ, ω, t有关，因此，等效力 Fe和等效力矩 Me
也是这些参数的函数,
也可将驱动力和阻力分别进行等效处理，得出等效驱动力矩
Med或等效驱动力 Fed和等效阻力矩 Mer和等效阻力 Fer，则有,
Je=Je (φ)
Fe=Fe(φ,ω,t)
Me= Med –Mer
Me=Me(φ,ω,t)
Fe= Fed –Fer
2
1 1
2 )()(? ?
? ?
??
n
i
n
i
i
ci
ci
ie J
vmJ
?
?
?
特别强调：等效质量和等效转动惯量只是一个
假想的质量或转动惯量它并不是机器所有运动
构件的质量或转动惯量代数之和。
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三, 运动方程的推演
称 为能量微分形式的运动方程式 。
若已知初始条件,
t=t0时,φ =φ 0,ω ＝ ω 0,Je=Je0,v＝ v0,me=me0
则对以上两表达式积分得,
若对微分形式进行变换得,
?? dMJd ee ?]21[ 2
???
?
?
???
0
2
00
2
2
1
2
1 dMJJ
eee
称为能量积分形式的运动方程。
?
??
?
?
d
dt
dt
dJ
d
dJM
e
e
e ?? 2
2
称为力矩 (或力 )形式的运动方程。
dsFvmd ee ?]21[ 2
ds
dt
dt
dvvm
ds
dmvF
e
e
e ?? 2
2
回转构件,
移动构件,
dt
dJ
d
dJ
e
e ?
?
? ?? 2
2
1
dt
dvm
ds
dmv
e
e ?? 2
2
1
???
s
s eee
dFvmvm
0
2
00
2
2
1
2
1 ?
或 把表达式,
对于以上三种运动方程，在实际应用中，
要根据边界条件来选用。
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一, Je=Je (φ),Me=Me (φ) 是机构位置的函数
如由内燃机驱动的压缩机等 。 设它们是可积分的 。 边界条件,
可求得,
t=t0时,φ =φ 0,ω ＝ ω 0,Je=Je0
由 ω(φ )=dφ /dt 有,
§ 7－ 3 机械运动方程的求解
??
?
?
??????
0
)(
2
1)()(
2
1 2
00
2 dMJJ
eee ＋
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?
?
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?
?
?
?
0
)(
)(
2
)(
2
0
0 dM
JJ
J
e
ee
e＝
联立求解得,ω＝ ω(t)
等效构件的加速度,
?? ? ?? ?? ?
00 )(
ddtt
t
边界条件,
???
?
? ??
?
0 )(
0
dtt即：
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若 Me＝常数, Je＝常数,由力矩形式的运动方程得,
Jedω/dt=Me
积分得,ω＝ ω0＋ α t
即,α=dω/dt=Me/Je=常数
再次积分得,φ ＝ φ 0＋ ω0t＋ α t2/2
二,Je=const,Me＝ Me (ω) 如电机驱动的鼓风机和搅拌机等。
应用力矩形式的运动方程解题较方便。
?
???
?
???
d
d
dt
d
d
d
dt
d ??＝
Me (ω)＝ Med(ω)- Mer(ω)
变量分离,dt=Jedω/ Me (ω)
???
?
? ?
?
0 )(
0
e
e M
dJtt积分得,
＝ Jedω/dt
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若 t=t0=0,ω0=0 则,
可求得 ω＝ ω(t),
若 t=t0,φ 0=0
三,Je=Je (φ), Me=Me (φ,ω)
运动方程, d(Je (φ)ω21/2 )=Me (φ, ω)dφ
为非线性方程，一般不能用解析法求解，只能用数值解法。
不作介绍。
??
?
?
?
0 )(
e
e M
dJt
?
t
t
dtt
0
)(0 ??? ＝－
? t dtt0 )(?? ＝则有：
加速度为,α =dω/dt,
由 dφ =ωdt积分得位移,
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§ 7－ 4 机械周期性速度波动及其调节
一、产生周期性波动的原因
作用在机械上的驱动力矩和阻力
矩往往是原动机转角的周期性函
数, 其等效力矩 Med= Med (φ )，
Mer= Mer (φ ) 必然也 是周期性函
数 。 分别绘出在一个运动循环内
的变化曲线 。
??? ?
?
dMW
a
edd ?? )()(
??? ?
?
dMW
a
err ?? )()(
)()( ?? rd WWE ???
22
2
1)()(
2
1
aeae JJ ???? ??
动能增量为,
Med M
er
a b c d e a' φ
Mer
φ
Med
φ
? ?? ?? ???0 )]()([a dMM ered
则等效驱动力矩和
等效阻力矩所作的功分别为,
分析以上积分所代表的的物理含义
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φ
Med M
er
a b c d e a' (a)
等效力矩所作功及动能变化,
Md<Mr
亏功, －,
↓
↓
a-b
Md>Mr
盈功, ＋,
↑
↑
b-c
Md<Mr
亏功, －,
↓
↓
c-d
Md>Mr
盈功, ＋,
↑
↑
d-e
Md<Mr
亏功, －,
↓
↓
e-a’
在一个运动循环内,
? ?' )(aa aered dMM?? ?
经过一个运动循环之后，机械又回
复到初始状态,其运转速度呈现周期
性波动。
Wd=Wr
即,
= 0
动能的变化曲线 E(φ )如图 b所示
φ
E
(b)
ω
φ (c)
22
'' 2
1
2
1
aeaaea JJ ?? ??
△ E=0
速度曲线如图 c所示
ω a ωa’
区 间
外力矩所作功
等效构件的 ω
动能 E
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二,周期性速度波动的调节
平均角速度 ωm和速度不均匀系数 δ
?? T d
T
m
?
??
?
?
0
1
不容易求得，工程上常采用算术平均值,
ω m＝ (ω max +ω min)/2
对应的转速,n=60ω m /2π,rpm
绝对不均匀度,ω max－ ω min 表示了机器主轴速度波动范围的大小 。
ω max－ ω min＝ π, ω m1＝ 10π, ω m2＝ 100π
则,δ 1＝ (ωmax－ ωmin)/ ω m1 =0.1
δ 2＝ (ωmax－ ω min)/ ω m2 =0.01
平均角速度,
ω
φ
ωmin
ωmax
φ T
但在差值相同的情况下，对平均速度的影响是不一样的。如,
→ 10 %
→ 1 %
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ω max＝ ω m(1+δ /2)
可知，当 ωm一定时,δ 愈小，则差值 ω max－ ωmin也愈小，
说明机器的运转愈平稳。
对于不同的机器，因工作性质不同而取不同的值 [δ ]。
设计时要求,δ ≤[ δ ]
造纸织布 1/40～ 1/50
纺纱机 1/6～ 1/100
发电机 1/100～ 1/300
定义,δ ＝ (ω max－ ω min)/ ω m 为机器运转速度不均匀系数，
它表示了机器速度波动的程度。
ω min＝ ω m(1-δ /2)
ω2max－ ω2min=2δω2m
机械名称 [δ ] 机械名称 [δ ] 机械名称 [δ ]
由 ω m＝ (ω max +ω min)/2 以及上式可得,
碎石机 1/5～ 1/20 汽车拖拉机 1/20～ 1/60
冲床、剪床 1/7～ 1/10 切削机床 1/30～ 1/40
轧压机 1/10～ 1/2 水泵、风机 1/30～ 1/50
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三、飞轮的简易设计
为什么加装飞轮之后就能减小速度的波动呢？
① 飞轮调速原理
J=Je+JF
由于速度波动，机械系统的动能随位
置 φ 的变化而变化。在位置 b处为
Emin, ωmin，而在 c处为 Emax, ωmax。
设在等效构件上加装飞轮之后，其
总的转动惯量变为,
由动能积分形式的机器运动方程有,
?? ? m a x
m in
m a x
m in
)
2
1( 2?
?
?
?
?JddE
?? c
b
dM e?
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? ? ?? c
b
dMM ered?
?
?)(
飞轮设计的基本问题，就是根据机器实际所需的 ω m和 δ 来确
定其转动惯量 JF,加 装飞轮的目的就是为了增加机器的转动惯
量进而起到调节速度波动的目的。
对于周期性速度波动的机械，加装飞轮可以对
速度波动的范围进行调节。
φ
Med M
er
a b c d e a' (a)
φ
E
(b)
ω
φ (c) ωmin
ωmax
Emax
Emin
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左边积分得最大动能及其增量为,
Emax =( Je+JF)ω2max/2
Emin =( Je+JF)ω2min/2
△ Emax＝ Emax－ Emin
＝ ( Je+JF)δω2m
＝ (Je+JF)(ω2max-ω2min)/2
而方程右边的积分对应区间 bc之间的
阴影面积 。在 b点处，机械出现能量
最小值 Emin，而在 c点出现动能最大值
Emax。故在区间 φ b,φ c 之间将出现
最大盈亏功 △ Wmax，即驱动力与阻力
功之差的最大值。
φ
Med M
er
a b c d e a' (a)
φ
E
(b)
ω
φ (c) ωmin
ωmax
Emax
Emin
? m a x
m in
)
2
1( 2?
?
?Jd ? ??
c
b
dMM ered?
?
?)(
? ??? c
b
dMMW ered?
?
??? )]()([m a x 强调△ Emax =△ Wmax
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由△ Emax＝△ Wmax得,
( Je+JF)δω2m＝△ Wmax
对于一台具体的机械而言,△ Wmax,ω m,Je 都是定值。
δ ＝△ Wmax /( Je+JF)ω2m
当 JF↑ → 运转平稳。
② JF的近似计算
所设计飞轮的 JF应满足,δ ≤[ δ ],于是有,
一般情况下,Je<< JF,故 Je可以忽略，于是有,
JF≥ △ Wmax/[δ ]ω2m
用转速 n表示,JF≥900 △ Wmax/[δ ]n2π 2 [δ ]从表中选取。
JF≥ △ Wmax/[δ ]ω2m － Je
→ δ ↓
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③△ Wmax的确定方法
在交点位置的动能增量 △ E正好是从起
始点 a到该交点区间内各代表盈亏功的
阴影面积代数和。 可用折线代替曲线求得 △ E
φ
Med M
er
a b c d e a'
φ
E
由 △ Emax＝ Emax－ Emin ＝ △ Wmax可知,
不必知道 E(φ )的实际变化情况,而只
需要知道两个极值点 Emax,Emin就行。
而极值点 Emax,Emin必然出现在曲线 Mde与
Mer的交点处。 E(φ )曲线上从一个极值
点跃变到另一个极值点的高度，正好等
于两点之间的阴影面积 (盈亏功 )。
作图法求△ Wmax,任意绘制一水平线，并分割成对应的区间，
从左至右依次向下画箭头表示亏功，向上画箭头表示盈功，箭
头长度与阴影面积相等，由于循环始末的动能相等，故能量指
示图为一个封闭的台阶形折线。则最大动能增量及最大盈亏功
等于指示图中 最低点 到 最高点 之间的高度值。 不一定是相邻点
Emax
Emin
△ Wmax
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分析,
1.当 △ Wmax和 ωm一定时，如 [δ ]取得
过小，则飞轮的 JF就需很大。因此，
过分追求机械运转速度的平稳性，将
使飞轮过于笨重。
2.由于 JF不可能为无穷大，而 △ Wmax和 ω m又都是有限值，则 [δ ]
不可能为零。所以，即使安装了飞轮，仍存在速度波动。
3,为了减小 JF，飞轮最好装在机械的高速轴上。
理由,以上求得的 JF是指将飞轮装在等效构件上，如果将飞轮
装在机器中其它轴上，则应保证两者的动能相等，即,
2
2
1
mFF JE ?? 2
2
x
m
FFx JJ ?
???2
2
1
xFxJ ??
当 ω x > ω m时，则 JFx < JF,故将飞轮装在高速轴上，可减小飞
轮的转动惯量，从而减小飞轮的结构尺寸。
△ Wmax
强调 △ Wmax不一定出现在相邻点
JF≥ △ Wmax/[δ ]ω2m
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飞轮调速的实质,起能量储存器的作用。转速增高时，将多于能
量转化为飞轮的动能储存起来，限制增速的幅度；转速降低时，
将能量释放出来，阻止速度降低。
锻压机械 在一个运动循环内，工作时间短，但载荷峰值
大，利用飞轮在非工作时间内储存的能量来克服尖峰载荷，选
用小功率原动机以降低成本。
④ 飞轮尺寸的确定
a)轮形飞轮
这种飞轮一般较大，由 轮毂, 轮辐 和 轮缘 三部分组成。其轮
毂和轮缘的转动惯量较小，可忽略不计。其转动惯量为,
轮毂
轮幅 轮缘
JA
应用,玩具小车
帮助机械越过死点，如缝纫机。
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2?
g
QJJ A
AF ??
g
DQJ A
F 4
2
?
)(4 22 HDgQ A ??
因为 H<<D,故忽略 H2,于是上式可简化为,
FA gJDQ 42 ? 2Nm
D1 D2 D
H
b
)4(21
2
2
2
1 DD
g
Q A ???
])2/()2/[(8 22 HDHDgQ A ????
A
ρ为惯性半径
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式中 QAD2称为飞轮矩，当选定飞轮的平均直径 D之后，就可求
得飞轮的重量 QA。
D<60[v] /πn
其中 [v]按下表中的安全值选取，以免轮缘因离心力过大而破裂,
铸铁制飞轮 钢制飞轮
轮缘轮辐整铸
轮缘轮辐分铸
30～ 50 m/s
145～ 55 m/s
轮缘轮辐整铸
整铸盘形飞轮
140～ 60 m/s
轧钢制盘形飞轮
170～ 90 m/s
100～ 120 m/s
设轮缘的宽度为 b，比重为 γ (N/m3),则,
QA＝ Vγ =π DHbγ 于是 Hb＝ QA/π Dγ
对较大的飞轮，取 H≈1.5b ；对较小的飞轮，取 H≈2b 。
当选定 H或 b之后，另一参数即可求得。
D由圆周速度,v=πDn/60 确定,
QAD2＝ 4gJF
<[v]
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b)盘形飞轮
当选定飞轮材料和直径 D之后，可确定飞轮宽度 B。
2)
2
(
2
1 D
g
QJ A
F ?
FA gJDQ 82 ??
g
DQ A
8
2
?
?VQ A ?式中：
?? 2
4
D
QB A?或
?? BD4
2
?
B
D
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举例,已知等效驱动力矩为常数，等效阻力矩如图所示，等效
构件的平均角速度为,ωm=25 1/s,不均匀系数 δ ＝ 0.05，求
飞轮的转动惯量 JF。
解,1)求 Md,。在一个循环内，
Md和 Mr所作的功相等，于是,
??
?
?
?
2
02
1 dMM
rd
5)]10221(21021[2 1 ??????? ???
作代表 Md的直线如图。
2)求△ Wmax
各阴影三角形的面积分别为,
三个三角形
面积之和 \
0～ π/4 π /4～ 3π /4 3π /4～ 9π /8 9π /8～ 11π/8 11π/8～13π/8 13π/8～15π/8 15π/8～
2π
10π /16 -10π /8 15π /16 -5π /8 10π /16 -5π /8 5π /16
区间
面积
10
Mr
Md
2π φ
kN-m
π 3π /2 0
作能量指示图
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由能量指示图，得,
△ Wmax＝ 10π/8＝ 3.93 KN-m
JF ＝△ Wmax /[δ ]ω2m
＝ 3.93× 10/(0.05× 252)
△ Wmax
＝ 126 kgm2
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发动机用油
§ 7－ 5 机械非周期性速度波动及其调节
对于非周期性速度波动必须用调速器进行调节。
离心式调速器的工作原理,
油箱供油 油箱供油
进油减少
速度降低
开口增大
回油增加
第七章 机械的运转及其速度波动的调节
§ 7－ 1 研究目的及方法
§ 7－ 2 机械的运动方程式
§ 7－ 3 机械运动方程的求解
§ 7－ 4 机械周期性速度波动及其调节
§ 7－ 5 机械非周期性速度波动及其调节
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§ 7－ 1 研究的目的及方法
一、研究内容及目的
1.研究在外力作用下机械的真实运动规律，目的是为运动分
析作准备。 前述运动分析曾假定是常数，但实际上是变化的
概述,设计新的机械，或者分析现有机械的工作性能时，往往想
知道机械运转的稳定性、构件的惯性力以及在运动副中产生的反
力的大小,Vmax amax的大小，因此要对机械进行运动分析。而前面
所介绍的运动分析时，都假定原动件作匀速运动 (ω＝ const)。但
在大多数情况下,ω≠const,而是力、力矩、机构位置、构件质
量、转动惯量等参数的函数,ω＝ F(P,M,φ, m,J)。 只有确定
了的原动件运动 ω的变化规律之后，才能进行运动分析和力分析，
从而为设计新机械提供依据。 这就是研究机器运转的目的 。
2.研究机械运转速度的波动及其调节方法，目的是使机械的转
速在允许范围内波动，而保证正常工作。 速度波动过大，会产生恶果
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2.机械的运转
稳定运转阶段的状况有,
① 匀速稳定运转,ω＝常数
t
ω
稳定运转
② 周期 变速稳定运转,ω(t)=ω(t+Tp)
启动
三个阶段：启动, 稳定运转, 停车 。
③ 非 周期 变速稳定运转
停止
ωm
t
ω
稳定运转 启动 停止
ωm
t
ω
稳定运转 启 动 停止
匀速稳定运转时, 速度 不需要调节 。
后两种情况由于速度的波动, 会产生以下不良后果,
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速度波动产生的不良后果,
① 在运动副中引起附加动压力，加剧磨损，使工作可靠性降低。
② 引起弹性振动，消耗能量，使机械效率降低。
③ 影响机械的工艺过程，使产品质量下降。
④ 载荷突然减小或增大时，发生飞车或停车事故
为了减小这些不良影响，就必须对速度波动范围进行调节。
二、速度波动调节的方法
1.对周期性速度波动，可在转动轴上安装一个质量较大的回转
体（俗称飞轮）达到调速的目的。
2.对非周期性速度波动，需采用专门的调速器才能调节。
本章仅讨论飞轮调速问题。
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三、作用在机械上的驱动力和生产阻力
驱动力是由原动机提供的动力，根据其特性的不同，它们可以是
不同运动参数的函数,
蒸汽机与内然机发出的驱动力是活塞位置的函数,
电动机提供的驱动力矩是转子角速度 ?的函数,
机械特性曲线－ 原动机发出的驱动力
（或力矩）与运动参数之间的函数关系
曲线。 当用解析法研究机械在外力作用下，驱
动力必须以解析表达式给出。 一般较复杂
工程上常将特性曲线作近似处理，如
Md=M(s)
Md=M(?) B
N
ω
Md
交流异步电动机的机械特性曲线
A
C
用通过额定转矩点 N的 直线 NC代替 曲线 NC
ωn
ω0 ω
Md=Mn(?0－ ?)/ (?0－ ?n)
其中 Mn－ 额定转矩,?n － 额定角速度,?0 － 同步角速度 机器铭牌
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生产阻力取决于生产工艺过程的特点，有如下几种情况,
① 生产阻力为常数，如车床；
② 生产阻力为机构位置的函数，如压力机 ;
③ 生产阻力为执行构件速度的函数，如鼓风机、搅拌机等；
驱动力和生产阻力的确定，涉及到许多专门知识，已超出本课程的范围。
本课程所讨论机械在外力作用下运动时，假定外力为已知。
④ 生产阻力为时间的函数，如球磨机、揉面机等；
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一, 机器运动方程的一般表达式
动能定律,机械系统在时间 △ t内的的动能增量 △ E应等于作用
于该系统所有各外力的元功 △ W。
举例：图示曲柄滑块机构中，设已知各构
件角速度、质量、质心位置、质心速度、
转动惯量,驱动力矩 M1，阻力 F3。
动能增量为,
外力所作的功,dW=Ndt
dE=d(J1ω21 /2
§ 7－ 2 机械的运动方程式
写成微分形式,dE=dW
瞬时功率为,N=M1ω1+F3 v3cosα 3
= M1ω1－ F3 v3
ω2
＋ Js2ω22 /2＋ m2v2s2 /2 ＋ m3v23 /2)
M1
ω1
x
y
1
2
3 s2 O
A
B
φ 1 v3
v2
F3
=(M1ω1+F3 v3cosα 3 ) dt
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运动方程为,
d(J1ω21/2＋ Jc2ω22/2＋ m2v2c2 /2＋ m3v23 /2)
推广到一般，设机械系统有 n个活动构件，用 Ei表示其动能。则有,
设作用在构件 i上的外力为 Fi，力矩 Mi为，力 Fi 作用点的速度
为 vi。则瞬时功率为,
机器运动方程的一般表达式为,
式中 α i为 Fi与 vi之间的夹角,Mi与 ωi方向相同时取, ＋,,
相反时取, －, 。
?
?
?
n
i
iEE
1
?
?
?
n
i
iNN
1
上述方程，必须首先求出 n个构件的动能与功率的总和，然后
才能求解。此过程相当繁琐，必须进行简化处理。
＝ (M1ω1－ F3 v3)dt
?
?
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n
i
iciii Jvm
1
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2
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1 1
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1
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iciii Jvmd ? dtMvF
n
i
n
i
iiiii ]c o s[
1 1
? ?
? ?
??? ??
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二, 机械系统的等效动力学模型
d(J1ω21/2＋ Jc2ω22/2＋ m2v2c2 /2＋ m3v23 /2)
上例有结论,
重写为,
右边括号内具有转动惯量的量纲
d[ω21/2 (J1＋ Jc2ω22 /ω21＋ m2v2c2 /ω21＋ m3v23 /ω21 ) ]
则有,d(Jeω21 /2 )= Meω1 dt
令,Je=( J1＋ Jc2ω22 /ω21…… ),
＝ (M1ω1－ F3 v3)dt
＝ ω1 (M1 － F3 v3 /ω1)dt
M e= M 1－ F3 v3 /ω1
=Medφ
,左边括号内具有力矩的量纲 。
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称图 (c)为原系统的等效动力学模型, 而把假想构件 1称为等
效构件, Je为等效转动惯量, Me为等效力矩 。
同理, 可把运动方程重写为,
右边括号内具有质量的量纲
d[v23 /2 (J1ω21 / v23＋ Jc2ω22 / v23＋ m2v2c2 / v23＋ m3 ) ]
＝ v3 (M1ω1 / v3 － F3) dt
ω2
M1
ω1
x
y
1
2
3 s2 O
A
B
φ 1 v3
v2
F2
假想把原系统中的所有外力去掉，而只在构件 1上作用有 Me，且构件 1的转动惯量为 Je，其
余构件无质量，如图 (b)。则两个系统具有的动能相等，外力所作的功也相等，即两者的
动力学效果完全一样。图 (b)还可以进一步简化成图 (c)。
(a) (b)
Me
ω1
Je
Me
(c)
ω1
Je
令,me=( J1ω21 / v23＋ Jc2ω22 / v23＋ m2v2c2 / v23＋ m3)
F e= M 1ω1 / v3－ F3
,左边括号内具有力的量纲 。
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则有,d(me v23 /2 )= Fe v3 dt
同样可知，图 (d)与图 (a)的动力学效果等效。称构件 3为等
效构件，为等效质量 me,Fe为等效力。
ω2
M1
ω1
x
y
1
2
3 s2 O
A
B
φ 1 v3
v2
F2
(a) (b)
Fe v
3
me
(d)
Fe v3 me
等效替换的条件,
2.等效构件所具有的动能应等于原系统所有运动构件的动能之和 。
1.等效力或力矩所作的功与原系统所有外力和外力矩所作的功相等,
Ne＝ ΣNi
Ee＝ ΣEi
＝ Fe ds
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一般结论, 取转动构件作为等效构件,
?eMN ?
? ?
? ?
???
n
i
n
i
i
i
ii
ie M
vFM
1 1
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1 1
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i
n
i
i
ci
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2
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取移动构件作为等效构件,
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i
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n
i
ci
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vmm
1
2
2
1
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i
i
i
i
n
i
iie vMv
vFF
11
)]([)(c o s ??
由两者动能相等
由两者功率相等
求得等效力矩,
得等效转动惯量,
? ??
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???
n
i
n
i
iiiii
n
i
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1 11
c o s ??
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n
i
n
i
n
i
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1 1 1
22
2
1
2
1 ?
由两者功率相等
由两者动能相等
求得等效力,
得等效质量,
vFN e?
2
2
1 vmE
e?
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n
i
n
i
iiiii
n
i
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1 11
c o s ??
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n
i
n
i
n
i
iciciii JvmE
1 1 1
22
2
1
2
1 ?
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分析,由于各构件的质量 mi和转动惯量 Jci是定值, 等效质量
me和等效转动惯量 Je只与速度比的平方有关,而与真实运动规
律无关, 而速度比又随机构位置变化, 即,
??
??
??
n
i
i
ci
n
i
ci
ie vJv
vmm
1
2
1
2 )()( ?
me=me (φ)
而 Fi,Mi可能与 φ, ω, t有关，因此，等效力 Fe和等效力矩 Me
也是这些参数的函数,
也可将驱动力和阻力分别进行等效处理，得出等效驱动力矩
Med或等效驱动力 Fed和等效阻力矩 Mer和等效阻力 Fer，则有,
Je=Je (φ)
Fe=Fe(φ,ω,t)
Me= Med –Mer
Me=Me(φ,ω,t)
Fe= Fed –Fer
2
1 1
2 )()(? ?
? ?
??
n
i
n
i
i
ci
ci
ie J
vmJ
?
?
?
特别强调：等效质量和等效转动惯量只是一个
假想的质量或转动惯量它并不是机器所有运动
构件的质量或转动惯量代数之和。
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三, 运动方程的推演
称 为能量微分形式的运动方程式 。
若已知初始条件,
t=t0时,φ =φ 0,ω ＝ ω 0,Je=Je0,v＝ v0,me=me0
则对以上两表达式积分得,
若对微分形式进行变换得,
?? dMJd ee ?]21[ 2
???
?
?
???
0
2
00
2
2
1
2
1 dMJJ
eee
称为能量积分形式的运动方程。
?
??
?
?
d
dt
dt
dJ
d
dJM
e
e
e ?? 2
2
称为力矩 (或力 )形式的运动方程。
dsFvmd ee ?]21[ 2
ds
dt
dt
dvvm
ds
dmvF
e
e
e ?? 2
2
回转构件,
移动构件,
dt
dJ
d
dJ
e
e ?
?
? ?? 2
2
1
dt
dvm
ds
dmv
e
e ?? 2
2
1
???
s
s eee
dFvmvm
0
2
00
2
2
1
2
1 ?
或 把表达式,
对于以上三种运动方程，在实际应用中，
要根据边界条件来选用。
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一, Je=Je (φ),Me=Me (φ) 是机构位置的函数
如由内燃机驱动的压缩机等 。 设它们是可积分的 。 边界条件,
可求得,
t=t0时,φ =φ 0,ω ＝ ω 0,Je=Je0
由 ω(φ )=dφ /dt 有,
§ 7－ 3 机械运动方程的求解
??
?
?
??????
0
)(
2
1)()(
2
1 2
00
2 dMJJ
eee ＋
??
?
?
??
?
?
?
?
0
)(
)(
2
)(
2
0
0 dM
JJ
J
e
ee
e＝
联立求解得,ω＝ ω(t)
等效构件的加速度,
?? ? ?? ?? ?
00 )(
ddtt
t
边界条件,
???
?
? ??
?
0 )(
0
dtt即：
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若 Me＝常数, Je＝常数,由力矩形式的运动方程得,
Jedω/dt=Me
积分得,ω＝ ω0＋ α t
即,α=dω/dt=Me/Je=常数
再次积分得,φ ＝ φ 0＋ ω0t＋ α t2/2
二,Je=const,Me＝ Me (ω) 如电机驱动的鼓风机和搅拌机等。
应用力矩形式的运动方程解题较方便。
?
???
?
???
d
d
dt
d
d
d
dt
d ??＝
Me (ω)＝ Med(ω)- Mer(ω)
变量分离,dt=Jedω/ Me (ω)
???
?
? ?
?
0 )(
0
e
e M
dJtt积分得,
＝ Jedω/dt
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若 t=t0=0,ω0=0 则,
可求得 ω＝ ω(t),
若 t=t0,φ 0=0
三,Je=Je (φ), Me=Me (φ,ω)
运动方程, d(Je (φ)ω21/2 )=Me (φ, ω)dφ
为非线性方程，一般不能用解析法求解，只能用数值解法。
不作介绍。
??
?
?
?
0 )(
e
e M
dJt
?
t
t
dtt
0
)(0 ??? ＝－
? t dtt0 )(?? ＝则有：
加速度为,α =dω/dt,
由 dφ =ωdt积分得位移,
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§ 7－ 4 机械周期性速度波动及其调节
一、产生周期性波动的原因
作用在机械上的驱动力矩和阻力
矩往往是原动机转角的周期性函
数, 其等效力矩 Med= Med (φ )，
Mer= Mer (φ ) 必然也 是周期性函
数 。 分别绘出在一个运动循环内
的变化曲线 。
??? ?
?
dMW
a
edd ?? )()(
??? ?
?
dMW
a
err ?? )()(
)()( ?? rd WWE ???
22
2
1)()(
2
1
aeae JJ ???? ??
动能增量为,
Med M
er
a b c d e a' φ
Mer
φ
Med
φ
? ?? ?? ???0 )]()([a dMM ered
则等效驱动力矩和
等效阻力矩所作的功分别为,
分析以上积分所代表的的物理含义
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φ
Med M
er
a b c d e a' (a)
等效力矩所作功及动能变化,
Md<Mr
亏功, －,
↓
↓
a-b
Md>Mr
盈功, ＋,
↑
↑
b-c
Md<Mr
亏功, －,
↓
↓
c-d
Md>Mr
盈功, ＋,
↑
↑
d-e
Md<Mr
亏功, －,
↓
↓
e-a’
在一个运动循环内,
? ?' )(aa aered dMM?? ?
经过一个运动循环之后，机械又回
复到初始状态,其运转速度呈现周期
性波动。
Wd=Wr
即,
= 0
动能的变化曲线 E(φ )如图 b所示
φ
E
(b)
ω
φ (c)
22
'' 2
1
2
1
aeaaea JJ ?? ??
△ E=0
速度曲线如图 c所示
ω a ωa’
区 间
外力矩所作功
等效构件的 ω
动能 E
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二,周期性速度波动的调节
平均角速度 ωm和速度不均匀系数 δ
?? T d
T
m
?
??
?
?
0
1
不容易求得，工程上常采用算术平均值,
ω m＝ (ω max +ω min)/2
对应的转速,n=60ω m /2π,rpm
绝对不均匀度,ω max－ ω min 表示了机器主轴速度波动范围的大小 。
ω max－ ω min＝ π, ω m1＝ 10π, ω m2＝ 100π
则,δ 1＝ (ωmax－ ωmin)/ ω m1 =0.1
δ 2＝ (ωmax－ ω min)/ ω m2 =0.01
平均角速度,
ω
φ
ωmin
ωmax
φ T
但在差值相同的情况下，对平均速度的影响是不一样的。如,
→ 10 %
→ 1 %
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ω max＝ ω m(1+δ /2)
可知，当 ωm一定时,δ 愈小，则差值 ω max－ ωmin也愈小，
说明机器的运转愈平稳。
对于不同的机器，因工作性质不同而取不同的值 [δ ]。
设计时要求,δ ≤[ δ ]
造纸织布 1/40～ 1/50
纺纱机 1/6～ 1/100
发电机 1/100～ 1/300
定义,δ ＝ (ω max－ ω min)/ ω m 为机器运转速度不均匀系数，
它表示了机器速度波动的程度。
ω min＝ ω m(1-δ /2)
ω2max－ ω2min=2δω2m
机械名称 [δ ] 机械名称 [δ ] 机械名称 [δ ]
由 ω m＝ (ω max +ω min)/2 以及上式可得,
碎石机 1/5～ 1/20 汽车拖拉机 1/20～ 1/60
冲床、剪床 1/7～ 1/10 切削机床 1/30～ 1/40
轧压机 1/10～ 1/2 水泵、风机 1/30～ 1/50
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三、飞轮的简易设计
为什么加装飞轮之后就能减小速度的波动呢？
① 飞轮调速原理
J=Je+JF
由于速度波动，机械系统的动能随位
置 φ 的变化而变化。在位置 b处为
Emin, ωmin，而在 c处为 Emax, ωmax。
设在等效构件上加装飞轮之后，其
总的转动惯量变为,
由动能积分形式的机器运动方程有,
?? ? m a x
m in
m a x
m in
)
2
1( 2?
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b
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b
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飞轮设计的基本问题，就是根据机器实际所需的 ω m和 δ 来确
定其转动惯量 JF,加 装飞轮的目的就是为了增加机器的转动惯
量进而起到调节速度波动的目的。
对于周期性速度波动的机械，加装飞轮可以对
速度波动的范围进行调节。
φ
Med M
er
a b c d e a' (a)
φ
E
(b)
ω
φ (c) ωmin
ωmax
Emax
Emin
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左边积分得最大动能及其增量为,
Emax =( Je+JF)ω2max/2
Emin =( Je+JF)ω2min/2
△ Emax＝ Emax－ Emin
＝ ( Je+JF)δω2m
＝ (Je+JF)(ω2max-ω2min)/2
而方程右边的积分对应区间 bc之间的
阴影面积 。在 b点处，机械出现能量
最小值 Emin，而在 c点出现动能最大值
Emax。故在区间 φ b,φ c 之间将出现
最大盈亏功 △ Wmax，即驱动力与阻力
功之差的最大值。
φ
Med M
er
a b c d e a' (a)
φ
E
(b)
ω
φ (c) ωmin
ωmax
Emax
Emin
? m a x
m in
)
2
1( 2?
?
?Jd ? ??
c
b
dMM ered?
?
?)(
? ??? c
b
dMMW ered?
?
??? )]()([m a x 强调△ Emax =△ Wmax
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由△ Emax＝△ Wmax得,
( Je+JF)δω2m＝△ Wmax
对于一台具体的机械而言,△ Wmax,ω m,Je 都是定值。
δ ＝△ Wmax /( Je+JF)ω2m
当 JF↑ → 运转平稳。
② JF的近似计算
所设计飞轮的 JF应满足,δ ≤[ δ ],于是有,
一般情况下,Je<< JF,故 Je可以忽略，于是有,
JF≥ △ Wmax/[δ ]ω2m
用转速 n表示,JF≥900 △ Wmax/[δ ]n2π 2 [δ ]从表中选取。
JF≥ △ Wmax/[δ ]ω2m － Je
→ δ ↓
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③△ Wmax的确定方法
在交点位置的动能增量 △ E正好是从起
始点 a到该交点区间内各代表盈亏功的
阴影面积代数和。 可用折线代替曲线求得 △ E
φ
Med M
er
a b c d e a'
φ
E
由 △ Emax＝ Emax－ Emin ＝ △ Wmax可知,
不必知道 E(φ )的实际变化情况,而只
需要知道两个极值点 Emax,Emin就行。
而极值点 Emax,Emin必然出现在曲线 Mde与
Mer的交点处。 E(φ )曲线上从一个极值
点跃变到另一个极值点的高度，正好等
于两点之间的阴影面积 (盈亏功 )。
作图法求△ Wmax,任意绘制一水平线，并分割成对应的区间，
从左至右依次向下画箭头表示亏功，向上画箭头表示盈功，箭
头长度与阴影面积相等，由于循环始末的动能相等，故能量指
示图为一个封闭的台阶形折线。则最大动能增量及最大盈亏功
等于指示图中 最低点 到 最高点 之间的高度值。 不一定是相邻点
Emax
Emin
△ Wmax
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分析,
1.当 △ Wmax和 ωm一定时，如 [δ ]取得
过小，则飞轮的 JF就需很大。因此，
过分追求机械运转速度的平稳性，将
使飞轮过于笨重。
2.由于 JF不可能为无穷大，而 △ Wmax和 ω m又都是有限值，则 [δ ]
不可能为零。所以，即使安装了飞轮，仍存在速度波动。
3,为了减小 JF，飞轮最好装在机械的高速轴上。
理由,以上求得的 JF是指将飞轮装在等效构件上，如果将飞轮
装在机器中其它轴上，则应保证两者的动能相等，即,
2
2
1
mFF JE ?? 2
2
x
m
FFx JJ ?
???2
2
1
xFxJ ??
当 ω x > ω m时，则 JFx < JF,故将飞轮装在高速轴上，可减小飞
轮的转动惯量，从而减小飞轮的结构尺寸。
△ Wmax
强调 △ Wmax不一定出现在相邻点
JF≥ △ Wmax/[δ ]ω2m
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飞轮调速的实质,起能量储存器的作用。转速增高时，将多于能
量转化为飞轮的动能储存起来，限制增速的幅度；转速降低时，
将能量释放出来，阻止速度降低。
锻压机械 在一个运动循环内，工作时间短，但载荷峰值
大，利用飞轮在非工作时间内储存的能量来克服尖峰载荷，选
用小功率原动机以降低成本。
④ 飞轮尺寸的确定
a)轮形飞轮
这种飞轮一般较大，由 轮毂, 轮辐 和 轮缘 三部分组成。其轮
毂和轮缘的转动惯量较小，可忽略不计。其转动惯量为,
轮毂
轮幅 轮缘
JA
应用,玩具小车
帮助机械越过死点，如缝纫机。
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2?
g
QJJ A
AF ??
g
DQJ A
F 4
2
?
)(4 22 HDgQ A ??
因为 H<<D,故忽略 H2,于是上式可简化为,
FA gJDQ 42 ? 2Nm
D1 D2 D
H
b
)4(21
2
2
2
1 DD
g
Q A ???
])2/()2/[(8 22 HDHDgQ A ????
A
ρ为惯性半径
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式中 QAD2称为飞轮矩，当选定飞轮的平均直径 D之后，就可求
得飞轮的重量 QA。
D<60[v] /πn
其中 [v]按下表中的安全值选取，以免轮缘因离心力过大而破裂,
铸铁制飞轮 钢制飞轮
轮缘轮辐整铸
轮缘轮辐分铸
30～ 50 m/s
145～ 55 m/s
轮缘轮辐整铸
整铸盘形飞轮
140～ 60 m/s
轧钢制盘形飞轮
170～ 90 m/s
100～ 120 m/s
设轮缘的宽度为 b，比重为 γ (N/m3),则,
QA＝ Vγ =π DHbγ 于是 Hb＝ QA/π Dγ
对较大的飞轮，取 H≈1.5b ；对较小的飞轮，取 H≈2b 。
当选定 H或 b之后，另一参数即可求得。
D由圆周速度,v=πDn/60 确定,
QAD2＝ 4gJF
<[v]
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b)盘形飞轮
当选定飞轮材料和直径 D之后，可确定飞轮宽度 B。
2)
2
(
2
1 D
g
QJ A
F ?
FA gJDQ 82 ??
g
DQ A
8
2
?
?VQ A ?式中：
?? 2
4
D
QB A?或
?? BD4
2
?
B
D
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举例,已知等效驱动力矩为常数，等效阻力矩如图所示，等效
构件的平均角速度为,ωm=25 1/s,不均匀系数 δ ＝ 0.05，求
飞轮的转动惯量 JF。
解,1)求 Md,。在一个循环内，
Md和 Mr所作的功相等，于是,
??
?
?
?
2
02
1 dMM
rd
5)]10221(21021[2 1 ??????? ???
作代表 Md的直线如图。
2)求△ Wmax
各阴影三角形的面积分别为,
三个三角形
面积之和 \
0～ π/4 π /4～ 3π /4 3π /4～ 9π /8 9π /8～ 11π/8 11π/8～13π/8 13π/8～15π/8 15π/8～
2π
10π /16 -10π /8 15π /16 -5π /8 10π /16 -5π /8 5π /16
区间
面积
10
Mr
Md
2π φ
kN-m
π 3π /2 0
作能量指示图
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由能量指示图，得,
△ Wmax＝ 10π/8＝ 3.93 KN-m
JF ＝△ Wmax /[δ ]ω2m
＝ 3.93× 10/(0.05× 252)
△ Wmax
＝ 126 kgm2
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发动机用油
§ 7－ 5 机械非周期性速度波动及其调节
对于非周期性速度波动必须用调速器进行调节。
离心式调速器的工作原理,
油箱供油 油箱供油
进油减少
速度降低
开口增大
回油增加
