第二章 线性方程组
一、教学目标：
? 1．理解线性方程组的消元法与系数增广矩阵的初等
变换的关系；
? 2．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；
? 3．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变
换求矩阵秩的方法；
? 4．掌握线性方程组有解的判定定理及应用；
? 5．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
6．掌握基础解系概念，会求齐次线性方程组的基础解系；
7．掌握齐次方程组、非齐次方程组解的结构，会用特解及齐次线性
方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。
?二、重点：
? 线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，矩
阵的秩，齐次线性方程组，有解判定定理，基
础解系。
?三、教学难点：
? 矩阵的初等变换，矩阵的秩。
2,1消元法
? 定义 1,由 s× n个数排列 s行（横向）,n列（纵向）
的表,称为一个 S× N。 aij叫这个矩阵的第 i行
j列素。
说明：①矩阵与行列式在形式上很类似，但有完全不同的定义，一个
是表，一个是数的代数和。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nns
n
n
aa
aa
aa
?
????
?
?
1
221
111
② 一个 矩阵，可表示为 A或 。
? 定义 2,矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换：
1）交换矩阵的两行（列）。
?
? 2）用一个不等于零的数去乘矩阵的某一行（列）。
? 3）把矩阵的某一行乘上 C倍加到另一行上去。
? 说明, ① 分别叫第一、第二、第三种初等变换。
ns? )( ija
② 一般地一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个矩阵。
? 定义 3,一个矩阵的任一行的第一个非零元素所在的
列以下元素全为零的矩阵称为阶梯形矩阵。
? 定理 1 设 A是一个 m× n矩阵，
? 通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A化为以下
形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
A
?
???
?
1
111
r行 (1) 进而化为以下形式：
?
?
? （ 2）这里 r ≥ 0,r ≤m,r ≤ n,*表示矩阵的元素，但不同 位
置上的 *表示的元素未必相同。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
??
??
??
??
000000
000000
**1000
****10
*****1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
o
o
cc
cc
cc
rnr
nr
nr
??????
????????
??????
??
??
??
0
0
1000
0010
0001
33
222
111
证明,若矩阵 A的所有元素都是零。则 A也是
（ 1）的形式
若 A的某一个元素不为零，则通
过交换矩阵的行和列可以把 这个元素换到
左上方去，又 用 去乘第一行，使得左
上方的元素为１。然后由其余各行分别减去
第一行适当的倍数。矩阵Ａ就化为：
ija
1
在 B中，若除第一行外，其余各行的元素全为零，则 B
也是（ 1）的形式。若 B中右下行的一块
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**0
**0
**0
**1
?
????
?
?
?
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**
**
?
???
?
中有一个元素不为零，则把它换到第二行第二列
交点上。然后用与上面同样的方法可把 B化为：
? 如此继续下去，得到一个形如（ 1）的矩阵。
? 在形如（ 1）的矩阵中，由第一，第二 … 第 r-1，第 r-2
行分别减去第 r 行的适当倍数。
? 再由第一，第二 … 第 r-2行分别减去第 r-1行的适当倍
数。这样下去，就可以得到（ 2）的
? 形式。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**00
**00
**10
***1
1
?
?????
?
?
?
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
10782
5513
71391
3152
A
? ?? 12D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
10782
5513
3152
71391
?? ?????? ?? ??? )2()3()2( 141312 TTT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
2433260
2634260
1725130
71341
?? ???? ?? )2()2( 23
24
T
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101700
81600
1725130
71391
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101700
1200
1725130
71391
??? ??
? )
2
17(
34T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
75000
1200
1725130
71391
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0100
0010
0001
有关矩阵的基本概念，现在回过头来研究一般线性方程组。
? 定义 4 已知一般线性方程组：
)1(
11
11111
?
?
?
?
?
???
???
nnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
?
??
?
则由（ 1）的系数组成的矩阵：
A=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
?
??
?
1
111
称为方程组（ 1）的系数矩阵，而由（ 1）的系数和常
数项组成的矩阵：
A
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnm
n
baa
baa
?
??
?
1
1111
称为方程组（ 1）的增广矩阵。
? 说明：给了方程组就给了一个矩阵，而给了一个矩阵，可以对应一个线性
方程组。
定义 5 方程组（ 1）的一个解是指：由 n个数
nkk ?1
组成的有序数组 （
nkk ?1
） 当
nxx?1
分别用
nkk ?1
代入（ 1）后, （ 1） 中每一个等式都变成恒等式。
（ 1）的解的全体称为解集合 。 解方程组就是找出它的全解，
即求出解集合。如果两个方程组有相同的解集合,就称它们同解。
例 1 解方程组
?
?
?
?
?
??
???
???
622
4524
132
31
321
321
xx
xxx
xxx
解：第二个方程减去第一个方程的 2倍，第三个方程减去第一个方程
得：
?
?
?
?
?
??
??
???
5
24
132
32
32
321
xx
xx
xxx
3）（
第二个方程减去第三个方程的 4倍，且把第二个,第三个方程的
次序互换，得：
?
?
?
?
?
??
??
???
183
5
132
3
32
321
x
xx
xxx
（ 4）
?
解为：（ 9,-1,-6）。
可以取任何值。
系数是否全为零，
分析一下消元法，不难看出：它实际上是反复地对方程组
进行变换，而所作的变换也只是以下三种：
（ 1）交换两个方程的位置。
（ 2）用一个不等于零的数去乘某一个方程。
（ 3）用一个数去乘某一个方程后加到另一个方程上去。
这三种变换称为线性方程组的初等变换。
由例 1知道：（ 4）是（ 3）经过初等变换后得到得，且（ 4）、（ 3）
同解。故：
定理 2：初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线 性方
程组。
8,现在我们来说明：如何利用初等变换来解一般方程组。
对于方程组（ 1），先看
1x 如果全为零，
实际（ 1）对 1x
1x
没有任何限制；
而（ 1）可以看作
nxx ??2
的方程组来解,因此，一般
1x 的系数不全为零。
于是增广矩阵：
111 naa ??
不全为零,011 ?a不妨设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnm
n
baa
baa
A
?
????
?
1
1111
可以利用初等行变换，分别把第一行的 aai
11
1 倍加到第 行上去。
i
i
于是矩阵为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
'''
2
'
2
'
2
'
22
111211
1
0
0
mmnm
n
n
baa
baa
baaa
A
?
?????
?
?
1A
对应的方成组为：
（２）
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
'''
2
'
2
'
22
'
22
11212111
mmnm
n
nn
baa
baxa
bxaxaxa
?
????
?
?
（１）与（２）同解。 即（１）的解的问题归纳为（２）
的解的问题而（ 2）的解取决于方程组：
（ 3）
?
?
?
?
?
???
???
''
2
'
2
'
2
'
22
'
22
mmnm
nn
baxa
bxaxa
?
????
?
⑶ 有解，又⑴ 与⑵同解。即 ⑵ 有解 ?
? ⑴ 有解 ? ⑶ 有解，
又对⑶接上面考虑的方法进行，并且一步步作下去，最后得
到一个阶梯方程组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????????????????
?????
??????
?
00
0
1
222222
111212111
r
nnrr
nnrr
d
dxcxcxc
dxcxcxcxc
??
??
其中
,0?cij
ｉ =1,2 r,? ｊ =1,2 n,?
方程组⑷中,0=0”是一些恒等式,可以去掉并不影响方程组的解。
大家知道：（ 1）与（ 4）同解，由上分析，
（ 4）是否有解取决于其中最后一个方程,0=d
1?r
是否有解，即取决于是否是恒等式。
这就给出了一个判别方程组（ 1）是否有解的一个方法：
用初等变换把（ 1）变成（ 4），（ 1）各解的充分必要条件是：
d
1?r
=0 在有解的情况下，我们来求其解：
分两种情形来看：
当 r=n时：这时方程组（ 4）实际为：
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
nnnn
n
nn
dxc
dxncxc
dxcxcxc
??????
?
?
22222
11212111
其中 c
ij =0,i=1,2,…, n。 由最后一个方程开始
x
n
的值就可以唯一决定了，在这个情形下，方程组（ 5）
有唯一解。
当 r＜ n时，这时（ 4）实际为：
?
?
?
?
?
?
?
????
??????
???????
??
??
??
rnrnrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
dxcxcxc
dxcxcxcxc
dxcxcxcxcxc
?
?????????
??
??
11,
221122222
11111212111
其中 i=1,2,…,r 把它改写成：c
ij
?
0
?
?
?
?
?
?
?
????
??????
???????
??
??
??
nrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xcxcdxc
xcxcdxcxc
xcxcdxcxcxc
?
???????????
??
??
11,
211,222222
111,111212111
由此可以看出：任给
一 组值，就唯一的算出
1
rxx,,1 ?
nr xx,,1 ??
也就是算出方程组（ 7）的一个解
一般地：由（ 7）我们可以 通过
表出 r
xx ?1
nr xx ?1?
这样一组表达式称为方程组（ 1）的一般解。
nr xx ?1?
称为一组自由未知量。
例 2：解方程组
?
?
?
?
?
????
???
???
142
4524
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1412
4524
1312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2100
2100
1312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
2100
1312
?
?
?
?
??
???
2
132
3
321
x
xxx
??
?
?
?
??
???
2
31
2
1
3
321
x
xxx ）（
及
??
?
?
?
?
??
2
7
2
1
3
21
x
xx ）（
取
kx ?2
则
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
2
7
2
1
3
2
1
x
kx
kx ）（
就是一般解。
用消元法解线性方程组的整个过程是,
首先用行初等变换,化增广矩阵为 阶梯形矩阵,
把它对应的方程组解出, 对一些恒等式 0=0
去掉,如果剩下的方程当中最后的一个等
式是零等于一个非零常数,
则方程组无解,否则有解,
在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程个数 r等
于未知量个数 n,那么方程组有唯一解,
如果阶梯形方程组中方程个数 r小于未知量个数 n,
那么方程组有无穷多个解,
例 2 解方程组,
?
?
?
?
?
????
????
????
0563
1242
725
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
05631
12412
71215
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
71215
12412
05631
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
72432140
1121670
05631
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
50000
1121670
05631
得出最后矩阵对应的方程组：
?
?
?
?
?
?
????
????
50
312167
5562
4
432
4321
x
xxx
xxxx 无解
例 3 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
????
????
1592
2232
342
532
4321
4321
421
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
2661200
133600
133600
51321
125921
82321
31042
51321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
00000
00000
133600
51321
?
对应方程组：
?
?
?
???
????
0136
532
43
4321
xx
xxxx
?
?
?
????
????
43
4231
3136
253
xx
xxxx
即
得：
?
?
?
??
????
6/)313(
325
43
4321
xx
xxxx
1,0 42 ?? xx 3/5,1 31 ??? xx
令 得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
3/5
0
1
4
3
2
1
x
x
x
x
是一个解
令
2412,kxkx ??
：
得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
24
23
12
211
2/16/13
2/123/2
kx
kx
kx
kkx
是一般解。
4,2矩阵的秩
线形方程组可解的判别法
（甲）上节知道（ 1）的系数矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
mnm
n
aa
aa
A
1
111
? 可利用初等变换化为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
??????????????
????
????
?
?
?
00000
00000
100
010
001
1
212
111
rnrr
nrr
nr
cc
cc
cc
并且看到：
? 在矩阵 B中出现的系数 r在讨论中占有重要的地
位，但是我们对这个系数还没有什么了解,r
和系数矩阵 n究竟有什么关系？这是由 A决定，
还是依赖于所作的初等变换？
? （丙）我们没有得出线性方程组的解的公式，而解的
公式在理论上是很重要的。
? 下面我们对这一系列的问题进行讨论，在讨论中，行
列式的理论和矩阵的秩的概念都起着很重要、很基本
的作用。
（乙）关于方程组（ 1）什么时候有解，
什么时候 无解的原因还不清楚。
定义 1 在一个的矩阵中，任取 k行 k列位于这些行列交点处
的个元素按顺序构成 k阶行列式叫这个矩阵的一个 k阶子式。
? 说明 （ 1）矩阵的子是式行列式，而不是矩阵。
? （ 2）在矩阵中子式的阶数都不超过 s和 t。
? 如,
? 取第一、四行,2,4列，得到一 2阶子式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
16723
64130
32121
62
22
问题：在矩阵 （ 3）
? 中出现的整数 r和这个矩阵的子式间有什么关
系？
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
100
010
001
.1.
21.2
11.1
?????
???????
?????
??
???????
??
??
nrrr
nr
nr
cc
cc
cc
首先假设 r这时矩阵（ 3）含有一个 r子式,
? 实际上,在 r=m或 r=n时，矩阵根本不含有高
于 r阶的子式，而在 r时，矩阵（ 3）的任何一
个阶数高于 r的子式都至少有一行元素全为零，
因而子式等于零，故 r是矩阵（ 3）中不等于零
的子式的最大阶数。
100
010
001
?
????
?
?
这个子式等于零 又矩阵（ 3）不含有高于 r的不等零
的子式
定义 2,一个矩阵中不等于零的子式的最大
阶数叫这个矩阵的秩；若一个矩阵没有等于
零的子式，就认为这个矩阵的秩是零。
? 说明,
①由定义可知，一个矩阵的秩既不能超过列
数也不能超过行数。
②矩阵 A的秩记为“秩 A”
③ 秩 A=0 是零矩阵
定理 1 初等变换不改变矩阵的秩
? 证明：我们首先说明下列矩阵的秩，若是对矩阵
A 施行一种行变换或列变换而得到 B。那么对 B施
行同一种初等变换又可以得到 A。
? 事实上：
对列也同样成立。
ABBA ijij PP ? ??? ?? 则
ABBA kDkD ii ?? ???? ?? )
1(
)( 则
ABBA kTkT ijij ?? ???? ?? ? )()( 则
下列我们只证明第三种初等变换后，矩阵的秩不变：
设 秩 A=r
? 进行第三种行初等变换，即把 A 的第 j行乘以数 k后加到第 i行上去，
得到矩阵 B：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
A
?
???
?
1
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??? ??
mnm
jn
j
jninji
n
kT
aa
a
a
kaakaa
aa
BA
ji
?
?
?
??
?
??
?
1
1
11
111
)(
我们要证明：秩 B=秩 A，即证明秩 B即可。
? 若矩阵 B有 s阶子式 D，且 s>r,则有三种可能：
（ i） D不含第 i行元素，这时 D也是 A的一个 s
阶子式。
由于秩 A=r且 s>r ∴ 由 A所有大于 r阶
的子式为零 ∴ D=0
（ ⅰ ） D不含第 i行元素，这时 D也是 A的一
个 s阶子式。由于秩 A=r且 s>r
? ∴ 由 A所有大于 r阶的子式为零 ∴ D=0
? （ ⅱ ） D含第 i行也含第 j 行元素，这时 D为：
.,,.,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
.,,.,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
.,,.,,.,,.,,.,,
11
si
ss
jtjt
jtitjtit
aa
kaakaa
D
??
?
=
.
.,,.,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
...,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
.,,.,,.,,.,,.,,
1
1
s
s
jtjt
itit
aa
aa
=0
（因为后一行列式是 A的一个
S阶子式,）
(iii)D含 i行元素,但不含第 j行元
素,这时,
.........
...
.........
11 ss
jtitjtit
kaakaaD ??? 21 kDD ?
=
=
1D
s
itit
aa
.,,.,,.,,
.,,
.,,.,,.,,
1 2
D
.,,.,,.,,
.,,
.,,.,,.,,
1 s
jtjt
aa
其中
= =
1D?
是 A的一个 S阶子式,
=0又与 A的一个 S阶子式最多相
差一个符号,1D?
02 ?? D
故 D=0
? 在 B中,阶数大 r的子式都为 0
故 秩 B? 秩 A=r
下步我们将证明 秩 A
?
秩 B,
?? ?? )( kT ji由于 A B
故 B ?? ?? ? )( kT
ji A
于是可以用同样证明得到, 秩 A
?
秩 B
?
秩 A=秩 B.
对于另两种初等变换来说,可以完全
类似地证明
说明,
① 定理 1指出,一个矩阵的秩是由矩
阵唯一确定的,即一旦给定矩阵 A,A的秩
就确定了,
② 定理 1给出一个 求矩阵的秩的方
法,
利用初等变换把 A化为形式为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
**1000
***100
****10
*****1
?????
??
??
??
??
的矩阵，然后数一数有几个含有非零
元素的行的行数即为 A的秩。
定理 2 （线性方程组可解的判别法）线
性方程组（ 1）有解的充分且必要条件
是：
它有系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
证明：设系数矩阵为 A。增广矩阵为
A 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
?
???
?
1
111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnm
n
baa
baa
?
???
?
1
1111
即 A＝
＝
由前面所学的知识。矩阵 A可以进行初
等变换为：
Ｂ＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
100
010
001
1
212
111
?????
???????
?????
??
???????
??
??
rnrr
nr
nr
cc
cc
cc
A A对 施行同样的初等变换，使
转化为：
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
r
rrnrr
nr
nr
d
d
dcc
dcc
dcc
00
00
100
010
001
1
1
2212
1111
?????
???????
?????
??
???????
??
??
＝
? A B
秩Ａ＝秩Ｂ＝ r。秩 ＝秩 。
1?r md??
现在设线性方程组（１）有解。那么
r=m或（ r<m且 d = =0）
B
A
这两种情形都有秩 ＝ r.于是秩Ａ＝秩
A A
B
反过来：设秩Ａ＝秩,那么由秩
＝秩 得秩Ｂ＝ r.
由此得：或者 r=m 或者 r<m 而
1?rd
md??
=0
,因而方程组（１）有解。
说明：当（１）的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩 r时：
那么当 r等于方程组所含未知量的个数 n时方程组有唯一
的解；当 r<n时方程组有无穷多解,
4.3线性方程组的公式解
现在我们讨论线性方程组的公式解的问题
1.例子：
?
?
?
?
?
???
???
???
74
332
22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
G1
G2
G3
把这三个方程依次用
1G
，
2G
，
3G
来表示，那么在这三个方程之
间有以下关系：
3G
= 2
1G + 2G
这就是说：第三个方程是前两个方程的解,因此由中学代数知道
这第三个方程可以舍去,原方程组与
?
?
?
???
???
332
22
321
321
xxx
xxx 同解
同样,把方程组
，
?
?
?
?
?
????
???
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,, （ 1）
的 m个方程依次用
1G
，
2G
…,
mG
来表示,若是在这 m
个方程中，有一个方程
iG
iG
是其它 t个方程
1iG
,…,
itG
的线性组合，也就是说；若存在 t个数
1k
,…,
tk
使得：
iG1
= 1k
1iG
+…+
tk it
G
成立。那么我们可以在方程组（ 1）中舍去方程
iG
而把方程组
（ 1）化简。
那么可以在（ 1）的 n
定理 1 设线性方程组（ 1）有解，即它的系数矩阵 A
和增广矩阵 A 的秩都是 r
? 0
个方程中选出 r个方程，使得剩下的 n-r个 方程中每一个
都是这 r个方程的结果，因而方程组（ 1）可以归纳为解由
这 r个方程所组成的线性方程组。
证明：因为 （ 1）的系数矩阵 A的秩为 r,所以,A中至少
含有一个 r阶子式 D ≠ 0 为叙述方便不防假定 D位于 A的左上方．
因而也位于 A 的左上方．
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
mmnmrmrm
rnrrrrrr
rrnrrrrr
nrr
baaaa
baaaa
baaaa
D
baaaa
A
??
???????
??
??
??????
??
11
1111111
11
1111111
现在我们证明．方程组 (1)的原 m个方程中的每一个方程都是 (1)的第 r个方程
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
??
??
??
rrnrrrrrrr
nnrrr
nnrrrr
bxaxaxaxa
bxaxaxraxa
bxaxaxaxa
n
??
?????
??
??
1111
221122121
111111111
的结果．
(2)
例看 (1)的原 m个方程中的任一个．例如第 ）（ miri ??
我们要证明：存在 r个数
ininrirririi bxaxaxaxaxa ??????? ?? ?? 112211
个方程．
rkkk,,,21 ? 使得
rri GkGkGkG ???? ?2211
也即是：（ 3）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
???
???
irr
inrrnn
irrrrr
irrrrr
irr
bkbkb
akaka
akaka
akaka
akaka
?
?
???
?
?
???
?
11
11
11111
11
11111
为此，我们把
rkk?1
rkk ?1
看着未知量。来证明线性方程组（ 3）有解：
首先（ 3）的增广矩阵是：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
ir
inrnnn
irrrrr
irrrrr
ir
bbbb
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
?
?
?????
?
?
?????
?
21
21
111211
21
112111
B 的第 r 列作成 (3)的系数矩阵 B,我们要计算矩阵 B 和 B 的秩。
B
r
的某些行，矩阵 的左上方的注意,B 的列刚好是方程组（ 1）的增广矩阵 A
阶子式刚好是 A 的子式 D 的转置行列式。因而不等于零：
0
1
2211
?? ‘D
aa
aa
rrr ?
???
?
D' B B 和 r 另一方面,矩阵
B 式 B
B
B
B
由于 也是 的子式, 所以矩阵 B 的秩都至少是
的任一个 r+1阶子
1?rD
必然等于零,但 没有阶数等于 r+1的子式。所以,
和 的秩都是 r,从而方程组（ 3）有解。即存在 rkk ?1 使得
rrw GkGkG ??? ?11
成立。
这就证明了（ 1）的第 m-r个方程都是第 r个方程的结果。而解（ 1）归纳为解
方程组（ 2）。
说明：①由定理得：如果与的秩都是 r.则可用 r个方程代替原方程组,即（ 2）
代替（ 1）,
3.由方程组（ 1）给出（ 1）的公式解：
假定方程组（ 1）满足定理 1的条件,于是由定理 1.解方程组（ 1）只需
解方程组（ 2）,我们下面分别看 r=n和 r<n的情形,
若 r=n：那么（ 2）就是一个方程个数与未知量个数相等的线性方程组，
并且它的系数行列式 D0，所以（ 2）有唯一解，这个解可由克莱姆
法则给出，这个解也是（ 1）的唯一解。
若 r< n：这时 (2)的前 r个未知量的系数构成的行列式 D0,在方程组 (2)中
把含未知量的项移到右边,得到方程组（ 2）
（ 2）
?
?
?
??
?
?
??????
????????????????????
??????
??????
??
?
?
nrnrrrrrrrr
nnrrr
nnrrr
xaxabxaxa
xaasbxaxa
xaabxaxa
??
??
??
1111
21222121
11111111
暂时把 记为已知量,则（ 2）就是 r个未知量,r个方程的方程组,由克莱
姆法则可解出 来,
? (4)
rxx ?1
D
Drx
D
Dx
r ??
１ ?
1
rxx ?1
为自由未知量,只要给定的
自由未知量一组数,就可求出 的对
应值,并且 (1)的所有解都可以这样得到,
rrnrnrrrrr
rnnrr
rnnrr
j
axaxaba
axaxaba
axaxaba
D
???
???????????????
???
???
???
???
???
?
??
??
??
111
22112221
11111111
其中
??? ???? ?? 第 j列
nr xx ?1?
rxx ?1
故 (4)称为 (1)的公式解
说明,用公式来求线性方程组的解是比较
麻烦的,因为需要计算许多行列式,因此,实际
求解时,一般总是用消元法,但在对方程进行讨
论时,即它在理论上是很重要的,
例 2,已知线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
4444141
1411111
bxaxa
bxaxa
?
?????????
?
设系数矩阵和增广矩阵的秩都是 2，并且行
列式,求解这个方程组的公
式，并求一个解。
0
23
13
21
11 ??
a
a
a
a
D
解, 由定理 1 方程组（ 1）与下列方程组同解
?
?
?
?????
?????
2424121
1414111
)2(
bxaxa
bxaxa
0
23
13
21
11
?
a
a
a
a
?又
42,xx把?
作为自由未知量及：
?
?
?
????
????
4242222323112
4142121313111
xaxabxaxa
xaxabxaxa
D
a
a
xaxab
xaxab
x
23
13
4242222
4142121
1
??
??
?
D
xaxab
xaxab
a
a
x
4242222
4142121
21
11
3
??
??
?
4142324132231213222131231 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????即
4241114212221112211212113 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????
由克来姆法则：
令
1
0
4
2
?
?
x
x 则得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
1
)(
1
)(
1
0
)(
1
)(
1
4
242114211212113
2
142324132131231
x
aaaa
D
baba
D
x
x
aaaa
D
baba
D
x
定义 1 若一个线性方程组的所有常数项
等于零，则这个线性方程组称为齐次线性方
程组。
?
?
?
?
?
???
???
0
0
11
1111
nmnm
nn
xaxa
xaxa
?
??
?
即
就是它的一个解，这个
解称为零解。
说明：
① 齐次线性方程组永远有解。
.0,01 ?? nxx ??
② 如果齐次线性方程组还有其它解，则
称为非零解。
③ 由于齐次方程组的系数矩阵与增广矩阵有
相同的秩，故一定有解，这又一次说明齐次
线性方程组永远有解这个事实。
当 r=n时，有一个解，即零解。
当 r<n时，有无穷多个解，因而除零
解外，必然有非零解。
定理 2 一个齐次线性方程组有非零解的充
分且必要条件是：它的系数矩阵的秩 r小于它
的未知量个数 n。
证明,
推论 1 含有 n个未知量,n个方程的齐
次线性方程组有非零解的充分且必要条件
是：方程组的导数行列式等于零。
事实上,当系数行列式为零，说明秩
小于 n.
推论 2 在一个齐次线性方程组中，若
方程个数 m小于未知量个数 n，则有非零解。
事实上,系数矩阵的秩不超过 m，
因而小于 n，故有非零解。 ?
一、教学目标：
? 1．理解线性方程组的消元法与系数增广矩阵的初等
变换的关系；
? 2．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；
? 3．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变
换求矩阵秩的方法；
? 4．掌握线性方程组有解的判定定理及应用；
? 5．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
6．掌握基础解系概念，会求齐次线性方程组的基础解系；
7．掌握齐次方程组、非齐次方程组解的结构，会用特解及齐次线性
方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。
?二、重点：
? 线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，矩
阵的秩，齐次线性方程组，有解判定定理，基
础解系。
?三、教学难点：
? 矩阵的初等变换，矩阵的秩。
2,1消元法
? 定义 1,由 s× n个数排列 s行（横向）,n列（纵向）
的表,称为一个 S× N。 aij叫这个矩阵的第 i行
j列素。
说明：①矩阵与行列式在形式上很类似，但有完全不同的定义，一个
是表，一个是数的代数和。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nns
n
n
aa
aa
aa
?
????
?
?
1
221
111
② 一个 矩阵，可表示为 A或 。
? 定义 2,矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换：
1）交换矩阵的两行（列）。
?
? 2）用一个不等于零的数去乘矩阵的某一行（列）。
? 3）把矩阵的某一行乘上 C倍加到另一行上去。
? 说明, ① 分别叫第一、第二、第三种初等变换。
ns? )( ija
② 一般地一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个矩阵。
? 定义 3,一个矩阵的任一行的第一个非零元素所在的
列以下元素全为零的矩阵称为阶梯形矩阵。
? 定理 1 设 A是一个 m× n矩阵，
? 通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A化为以下
形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
A
?
???
?
1
111
r行 (1) 进而化为以下形式：
?
?
? （ 2）这里 r ≥ 0,r ≤m,r ≤ n,*表示矩阵的元素，但不同 位
置上的 *表示的元素未必相同。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
??
??
??
??
000000
000000
**1000
****10
*****1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
o
o
cc
cc
cc
rnr
nr
nr
??????
????????
??????
??
??
??
0
0
1000
0010
0001
33
222
111
证明,若矩阵 A的所有元素都是零。则 A也是
（ 1）的形式
若 A的某一个元素不为零，则通
过交换矩阵的行和列可以把 这个元素换到
左上方去，又 用 去乘第一行，使得左
上方的元素为１。然后由其余各行分别减去
第一行适当的倍数。矩阵Ａ就化为：
ija
1
在 B中，若除第一行外，其余各行的元素全为零，则 B
也是（ 1）的形式。若 B中右下行的一块
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**0
**0
**0
**1
?
????
?
?
?
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**
**
?
???
?
中有一个元素不为零，则把它换到第二行第二列
交点上。然后用与上面同样的方法可把 B化为：
? 如此继续下去，得到一个形如（ 1）的矩阵。
? 在形如（ 1）的矩阵中，由第一，第二 … 第 r-1，第 r-2
行分别减去第 r 行的适当倍数。
? 再由第一，第二 … 第 r-2行分别减去第 r-1行的适当倍
数。这样下去，就可以得到（ 2）的
? 形式。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**00
**00
**10
***1
1
?
?????
?
?
?
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
10782
5513
71391
3152
A
? ?? 12D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
10782
5513
3152
71391
?? ?????? ?? ??? )2()3()2( 141312 TTT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
2433260
2634260
1725130
71341
?? ???? ?? )2()2( 23
24
T
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101700
81600
1725130
71391
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101700
1200
1725130
71391
??? ??
? )
2
17(
34T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
75000
1200
1725130
71391
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0100
0010
0001
有关矩阵的基本概念，现在回过头来研究一般线性方程组。
? 定义 4 已知一般线性方程组：
)1(
11
11111
?
?
?
?
?
???
???
nnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
?
??
?
则由（ 1）的系数组成的矩阵：
A=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
?
??
?
1
111
称为方程组（ 1）的系数矩阵，而由（ 1）的系数和常
数项组成的矩阵：
A
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnm
n
baa
baa
?
??
?
1
1111
称为方程组（ 1）的增广矩阵。
? 说明：给了方程组就给了一个矩阵，而给了一个矩阵，可以对应一个线性
方程组。
定义 5 方程组（ 1）的一个解是指：由 n个数
nkk ?1
组成的有序数组 （
nkk ?1
） 当
nxx?1
分别用
nkk ?1
代入（ 1）后, （ 1） 中每一个等式都变成恒等式。
（ 1）的解的全体称为解集合 。 解方程组就是找出它的全解，
即求出解集合。如果两个方程组有相同的解集合,就称它们同解。
例 1 解方程组
?
?
?
?
?
??
???
???
622
4524
132
31
321
321
xx
xxx
xxx
解：第二个方程减去第一个方程的 2倍，第三个方程减去第一个方程
得：
?
?
?
?
?
??
??
???
5
24
132
32
32
321
xx
xx
xxx
3）（
第二个方程减去第三个方程的 4倍，且把第二个,第三个方程的
次序互换，得：
?
?
?
?
?
??
??
???
183
5
132
3
32
321
x
xx
xxx
（ 4）
?
解为：（ 9,-1,-6）。
可以取任何值。
系数是否全为零，
分析一下消元法，不难看出：它实际上是反复地对方程组
进行变换，而所作的变换也只是以下三种：
（ 1）交换两个方程的位置。
（ 2）用一个不等于零的数去乘某一个方程。
（ 3）用一个数去乘某一个方程后加到另一个方程上去。
这三种变换称为线性方程组的初等变换。
由例 1知道：（ 4）是（ 3）经过初等变换后得到得，且（ 4）、（ 3）
同解。故：
定理 2：初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线 性方
程组。
8,现在我们来说明：如何利用初等变换来解一般方程组。
对于方程组（ 1），先看
1x 如果全为零，
实际（ 1）对 1x
1x
没有任何限制；
而（ 1）可以看作
nxx ??2
的方程组来解,因此，一般
1x 的系数不全为零。
于是增广矩阵：
111 naa ??
不全为零,011 ?a不妨设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnm
n
baa
baa
A
?
????
?
1
1111
可以利用初等行变换，分别把第一行的 aai
11
1 倍加到第 行上去。
i
i
于是矩阵为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
'''
2
'
2
'
2
'
22
111211
1
0
0
mmnm
n
n
baa
baa
baaa
A
?
?????
?
?
1A
对应的方成组为：
（２）
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
'''
2
'
2
'
22
'
22
11212111
mmnm
n
nn
baa
baxa
bxaxaxa
?
????
?
?
（１）与（２）同解。 即（１）的解的问题归纳为（２）
的解的问题而（ 2）的解取决于方程组：
（ 3）
?
?
?
?
?
???
???
''
2
'
2
'
2
'
22
'
22
mmnm
nn
baxa
bxaxa
?
????
?
⑶ 有解，又⑴ 与⑵同解。即 ⑵ 有解 ?
? ⑴ 有解 ? ⑶ 有解，
又对⑶接上面考虑的方法进行，并且一步步作下去，最后得
到一个阶梯方程组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????????????????
?????
??????
?
00
0
1
222222
111212111
r
nnrr
nnrr
d
dxcxcxc
dxcxcxcxc
??
??
其中
,0?cij
ｉ =1,2 r,? ｊ =1,2 n,?
方程组⑷中,0=0”是一些恒等式,可以去掉并不影响方程组的解。
大家知道：（ 1）与（ 4）同解，由上分析，
（ 4）是否有解取决于其中最后一个方程,0=d
1?r
是否有解，即取决于是否是恒等式。
这就给出了一个判别方程组（ 1）是否有解的一个方法：
用初等变换把（ 1）变成（ 4），（ 1）各解的充分必要条件是：
d
1?r
=0 在有解的情况下，我们来求其解：
分两种情形来看：
当 r=n时：这时方程组（ 4）实际为：
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
nnnn
n
nn
dxc
dxncxc
dxcxcxc
??????
?
?
22222
11212111
其中 c
ij =0,i=1,2,…, n。 由最后一个方程开始
x
n
的值就可以唯一决定了，在这个情形下，方程组（ 5）
有唯一解。
当 r＜ n时，这时（ 4）实际为：
?
?
?
?
?
?
?
????
??????
???????
??
??
??
rnrnrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
dxcxcxc
dxcxcxcxc
dxcxcxcxcxc
?
?????????
??
??
11,
221122222
11111212111
其中 i=1,2,…,r 把它改写成：c
ij
?
0
?
?
?
?
?
?
?
????
??????
???????
??
??
??
nrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xcxcdxc
xcxcdxcxc
xcxcdxcxcxc
?
???????????
??
??
11,
211,222222
111,111212111
由此可以看出：任给
一 组值，就唯一的算出
1
rxx,,1 ?
nr xx,,1 ??
也就是算出方程组（ 7）的一个解
一般地：由（ 7）我们可以 通过
表出 r
xx ?1
nr xx ?1?
这样一组表达式称为方程组（ 1）的一般解。
nr xx ?1?
称为一组自由未知量。
例 2：解方程组
?
?
?
?
?
????
???
???
142
4524
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1412
4524
1312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2100
2100
1312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
2100
1312
?
?
?
?
??
???
2
132
3
321
x
xxx
??
?
?
?
??
???
2
31
2
1
3
321
x
xxx ）（
及
??
?
?
?
?
??
2
7
2
1
3
21
x
xx ）（
取
kx ?2
则
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
2
7
2
1
3
2
1
x
kx
kx ）（
就是一般解。
用消元法解线性方程组的整个过程是,
首先用行初等变换,化增广矩阵为 阶梯形矩阵,
把它对应的方程组解出, 对一些恒等式 0=0
去掉,如果剩下的方程当中最后的一个等
式是零等于一个非零常数,
则方程组无解,否则有解,
在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程个数 r等
于未知量个数 n,那么方程组有唯一解,
如果阶梯形方程组中方程个数 r小于未知量个数 n,
那么方程组有无穷多个解,
例 2 解方程组,
?
?
?
?
?
????
????
????
0563
1242
725
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
05631
12412
71215
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
71215
12412
05631
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
72432140
1121670
05631
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
50000
1121670
05631
得出最后矩阵对应的方程组：
?
?
?
?
?
?
????
????
50
312167
5562
4
432
4321
x
xxx
xxxx 无解
例 3 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
????
????
1592
2232
342
532
4321
4321
421
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
2661200
133600
133600
51321
125921
82321
31042
51321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
00000
00000
133600
51321
?
对应方程组：
?
?
?
???
????
0136
532
43
4321
xx
xxxx
?
?
?
????
????
43
4231
3136
253
xx
xxxx
即
得：
?
?
?
??
????
6/)313(
325
43
4321
xx
xxxx
1,0 42 ?? xx 3/5,1 31 ??? xx
令 得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
3/5
0
1
4
3
2
1
x
x
x
x
是一个解
令
2412,kxkx ??
：
得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
24
23
12
211
2/16/13
2/123/2
kx
kx
kx
kkx
是一般解。
4,2矩阵的秩
线形方程组可解的判别法
（甲）上节知道（ 1）的系数矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
mnm
n
aa
aa
A
1
111
? 可利用初等变换化为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
??????????????
????
????
?
?
?
00000
00000
100
010
001
1
212
111
rnrr
nrr
nr
cc
cc
cc
并且看到：
? 在矩阵 B中出现的系数 r在讨论中占有重要的地
位，但是我们对这个系数还没有什么了解,r
和系数矩阵 n究竟有什么关系？这是由 A决定，
还是依赖于所作的初等变换？
? （丙）我们没有得出线性方程组的解的公式，而解的
公式在理论上是很重要的。
? 下面我们对这一系列的问题进行讨论，在讨论中，行
列式的理论和矩阵的秩的概念都起着很重要、很基本
的作用。
（乙）关于方程组（ 1）什么时候有解，
什么时候 无解的原因还不清楚。
定义 1 在一个的矩阵中，任取 k行 k列位于这些行列交点处
的个元素按顺序构成 k阶行列式叫这个矩阵的一个 k阶子式。
? 说明 （ 1）矩阵的子是式行列式，而不是矩阵。
? （ 2）在矩阵中子式的阶数都不超过 s和 t。
? 如,
? 取第一、四行,2,4列，得到一 2阶子式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
16723
64130
32121
62
22
问题：在矩阵 （ 3）
? 中出现的整数 r和这个矩阵的子式间有什么关
系？
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
100
010
001
.1.
21.2
11.1
?????
???????
?????
??
???????
??
??
nrrr
nr
nr
cc
cc
cc
首先假设 r这时矩阵（ 3）含有一个 r子式,
? 实际上,在 r=m或 r=n时，矩阵根本不含有高
于 r阶的子式，而在 r时，矩阵（ 3）的任何一
个阶数高于 r的子式都至少有一行元素全为零，
因而子式等于零，故 r是矩阵（ 3）中不等于零
的子式的最大阶数。
100
010
001
?
????
?
?
这个子式等于零 又矩阵（ 3）不含有高于 r的不等零
的子式
定义 2,一个矩阵中不等于零的子式的最大
阶数叫这个矩阵的秩；若一个矩阵没有等于
零的子式，就认为这个矩阵的秩是零。
? 说明,
①由定义可知，一个矩阵的秩既不能超过列
数也不能超过行数。
②矩阵 A的秩记为“秩 A”
③ 秩 A=0 是零矩阵
定理 1 初等变换不改变矩阵的秩
? 证明：我们首先说明下列矩阵的秩，若是对矩阵
A 施行一种行变换或列变换而得到 B。那么对 B施
行同一种初等变换又可以得到 A。
? 事实上：
对列也同样成立。
ABBA ijij PP ? ??? ?? 则
ABBA kDkD ii ?? ???? ?? )
1(
)( 则
ABBA kTkT ijij ?? ???? ?? ? )()( 则
下列我们只证明第三种初等变换后，矩阵的秩不变：
设 秩 A=r
? 进行第三种行初等变换，即把 A 的第 j行乘以数 k后加到第 i行上去，
得到矩阵 B：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
A
?
???
?
1
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??? ??
mnm
jn
j
jninji
n
kT
aa
a
a
kaakaa
aa
BA
ji
?
?
?
??
?
??
?
1
1
11
111
)(
我们要证明：秩 B=秩 A，即证明秩 B即可。
? 若矩阵 B有 s阶子式 D，且 s>r,则有三种可能：
（ i） D不含第 i行元素，这时 D也是 A的一个 s
阶子式。
由于秩 A=r且 s>r ∴ 由 A所有大于 r阶
的子式为零 ∴ D=0
（ ⅰ ） D不含第 i行元素，这时 D也是 A的一
个 s阶子式。由于秩 A=r且 s>r
? ∴ 由 A所有大于 r阶的子式为零 ∴ D=0
? （ ⅱ ） D含第 i行也含第 j 行元素，这时 D为：
.,,.,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
.,,.,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
.,,.,,.,,.,,.,,
11
si
ss
jtjt
jtitjtit
aa
kaakaa
D
??
?
=
.
.,,.,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
...,,.,,.,,.,,
.,,.,,.,,
.,,.,,.,,.,,.,,
1
1
s
s
jtjt
itit
aa
aa
=0
（因为后一行列式是 A的一个
S阶子式,）
(iii)D含 i行元素,但不含第 j行元
素,这时,
.........
...
.........
11 ss
jtitjtit
kaakaaD ??? 21 kDD ?
=
=
1D
s
itit
aa
.,,.,,.,,
.,,
.,,.,,.,,
1 2
D
.,,.,,.,,
.,,
.,,.,,.,,
1 s
jtjt
aa
其中
= =
1D?
是 A的一个 S阶子式,
=0又与 A的一个 S阶子式最多相
差一个符号,1D?
02 ?? D
故 D=0
? 在 B中,阶数大 r的子式都为 0
故 秩 B? 秩 A=r
下步我们将证明 秩 A
?
秩 B,
?? ?? )( kT ji由于 A B
故 B ?? ?? ? )( kT
ji A
于是可以用同样证明得到, 秩 A
?
秩 B
?
秩 A=秩 B.
对于另两种初等变换来说,可以完全
类似地证明
说明,
① 定理 1指出,一个矩阵的秩是由矩
阵唯一确定的,即一旦给定矩阵 A,A的秩
就确定了,
② 定理 1给出一个 求矩阵的秩的方
法,
利用初等变换把 A化为形式为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
**1000
***100
****10
*****1
?????
??
??
??
??
的矩阵，然后数一数有几个含有非零
元素的行的行数即为 A的秩。
定理 2 （线性方程组可解的判别法）线
性方程组（ 1）有解的充分且必要条件
是：
它有系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
证明：设系数矩阵为 A。增广矩阵为
A 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnm
n
aa
aa
?
???
?
1
111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnm
n
baa
baa
?
???
?
1
1111
即 A＝
＝
由前面所学的知识。矩阵 A可以进行初
等变换为：
Ｂ＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
100
010
001
1
212
111
?????
???????
?????
??
???????
??
??
rnrr
nr
nr
cc
cc
cc
A A对 施行同样的初等变换，使
转化为：
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
r
rrnrr
nr
nr
d
d
dcc
dcc
dcc
00
00
100
010
001
1
1
2212
1111
?????
???????
?????
??
???????
??
??
＝
? A B
秩Ａ＝秩Ｂ＝ r。秩 ＝秩 。
1?r md??
现在设线性方程组（１）有解。那么
r=m或（ r<m且 d = =0）
B
A
这两种情形都有秩 ＝ r.于是秩Ａ＝秩
A A
B
反过来：设秩Ａ＝秩,那么由秩
＝秩 得秩Ｂ＝ r.
由此得：或者 r=m 或者 r<m 而
1?rd
md??
=0
,因而方程组（１）有解。
说明：当（１）的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩 r时：
那么当 r等于方程组所含未知量的个数 n时方程组有唯一
的解；当 r<n时方程组有无穷多解,
4.3线性方程组的公式解
现在我们讨论线性方程组的公式解的问题
1.例子：
?
?
?
?
?
???
???
???
74
332
22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
G1
G2
G3
把这三个方程依次用
1G
，
2G
，
3G
来表示，那么在这三个方程之
间有以下关系：
3G
= 2
1G + 2G
这就是说：第三个方程是前两个方程的解,因此由中学代数知道
这第三个方程可以舍去,原方程组与
?
?
?
???
???
332
22
321
321
xxx
xxx 同解
同样,把方程组
，
?
?
?
?
?
????
???
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,, （ 1）
的 m个方程依次用
1G
，
2G
…,
mG
来表示,若是在这 m
个方程中，有一个方程
iG
iG
是其它 t个方程
1iG
,…,
itG
的线性组合，也就是说；若存在 t个数
1k
,…,
tk
使得：
iG1
= 1k
1iG
+…+
tk it
G
成立。那么我们可以在方程组（ 1）中舍去方程
iG
而把方程组
（ 1）化简。
那么可以在（ 1）的 n
定理 1 设线性方程组（ 1）有解，即它的系数矩阵 A
和增广矩阵 A 的秩都是 r
? 0
个方程中选出 r个方程，使得剩下的 n-r个 方程中每一个
都是这 r个方程的结果，因而方程组（ 1）可以归纳为解由
这 r个方程所组成的线性方程组。
证明：因为 （ 1）的系数矩阵 A的秩为 r,所以,A中至少
含有一个 r阶子式 D ≠ 0 为叙述方便不防假定 D位于 A的左上方．
因而也位于 A 的左上方．
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
mmnmrmrm
rnrrrrrr
rrnrrrrr
nrr
baaaa
baaaa
baaaa
D
baaaa
A
??
???????
??
??
??????
??
11
1111111
11
1111111
现在我们证明．方程组 (1)的原 m个方程中的每一个方程都是 (1)的第 r个方程
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
??
??
??
rrnrrrrrrr
nnrrr
nnrrrr
bxaxaxaxa
bxaxaxraxa
bxaxaxaxa
n
??
?????
??
??
1111
221122121
111111111
的结果．
(2)
例看 (1)的原 m个方程中的任一个．例如第 ）（ miri ??
我们要证明：存在 r个数
ininrirririi bxaxaxaxaxa ??????? ?? ?? 112211
个方程．
rkkk,,,21 ? 使得
rri GkGkGkG ???? ?2211
也即是：（ 3）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
???
???
irr
inrrnn
irrrrr
irrrrr
irr
bkbkb
akaka
akaka
akaka
akaka
?
?
???
?
?
???
?
11
11
11111
11
11111
为此，我们把
rkk?1
rkk ?1
看着未知量。来证明线性方程组（ 3）有解：
首先（ 3）的增广矩阵是：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
ir
inrnnn
irrrrr
irrrrr
ir
bbbb
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
?
?
?????
?
?
?????
?
21
21
111211
21
112111
B 的第 r 列作成 (3)的系数矩阵 B,我们要计算矩阵 B 和 B 的秩。
B
r
的某些行，矩阵 的左上方的注意,B 的列刚好是方程组（ 1）的增广矩阵 A
阶子式刚好是 A 的子式 D 的转置行列式。因而不等于零：
0
1
2211
?? ‘D
aa
aa
rrr ?
???
?
D' B B 和 r 另一方面,矩阵
B 式 B
B
B
B
由于 也是 的子式, 所以矩阵 B 的秩都至少是
的任一个 r+1阶子
1?rD
必然等于零,但 没有阶数等于 r+1的子式。所以,
和 的秩都是 r,从而方程组（ 3）有解。即存在 rkk ?1 使得
rrw GkGkG ??? ?11
成立。
这就证明了（ 1）的第 m-r个方程都是第 r个方程的结果。而解（ 1）归纳为解
方程组（ 2）。
说明：①由定理得：如果与的秩都是 r.则可用 r个方程代替原方程组,即（ 2）
代替（ 1）,
3.由方程组（ 1）给出（ 1）的公式解：
假定方程组（ 1）满足定理 1的条件,于是由定理 1.解方程组（ 1）只需
解方程组（ 2）,我们下面分别看 r=n和 r<n的情形,
若 r=n：那么（ 2）就是一个方程个数与未知量个数相等的线性方程组，
并且它的系数行列式 D0，所以（ 2）有唯一解，这个解可由克莱姆
法则给出，这个解也是（ 1）的唯一解。
若 r< n：这时 (2)的前 r个未知量的系数构成的行列式 D0,在方程组 (2)中
把含未知量的项移到右边,得到方程组（ 2）
（ 2）
?
?
?
??
?
?
??????
????????????????????
??????
??????
??
?
?
nrnrrrrrrrr
nnrrr
nnrrr
xaxabxaxa
xaasbxaxa
xaabxaxa
??
??
??
1111
21222121
11111111
暂时把 记为已知量,则（ 2）就是 r个未知量,r个方程的方程组,由克莱
姆法则可解出 来,
? (4)
rxx ?1
D
Drx
D
Dx
r ??
１ ?
1
rxx ?1
为自由未知量,只要给定的
自由未知量一组数,就可求出 的对
应值,并且 (1)的所有解都可以这样得到,
rrnrnrrrrr
rnnrr
rnnrr
j
axaxaba
axaxaba
axaxaba
D
???
???????????????
???
???
???
???
???
?
??
??
??
111
22112221
11111111
其中
??? ???? ?? 第 j列
nr xx ?1?
rxx ?1
故 (4)称为 (1)的公式解
说明,用公式来求线性方程组的解是比较
麻烦的,因为需要计算许多行列式,因此,实际
求解时,一般总是用消元法,但在对方程进行讨
论时,即它在理论上是很重要的,
例 2,已知线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
4444141
1411111
bxaxa
bxaxa
?
?????????
?
设系数矩阵和增广矩阵的秩都是 2，并且行
列式,求解这个方程组的公
式，并求一个解。
0
23
13
21
11 ??
a
a
a
a
D
解, 由定理 1 方程组（ 1）与下列方程组同解
?
?
?
?????
?????
2424121
1414111
)2(
bxaxa
bxaxa
0
23
13
21
11
?
a
a
a
a
?又
42,xx把?
作为自由未知量及：
?
?
?
????
????
4242222323112
4142121313111
xaxabxaxa
xaxabxaxa
D
a
a
xaxab
xaxab
x
23
13
4242222
4142121
1
??
??
?
D
xaxab
xaxab
a
a
x
4242222
4142121
21
11
3
??
??
?
4142324132231213222131231 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????即
4241114212221112211212113 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????
由克来姆法则：
令
1
0
4
2
?
?
x
x 则得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
1
)(
1
)(
1
0
)(
1
)(
1
4
242114211212113
2
142324132131231
x
aaaa
D
baba
D
x
x
aaaa
D
baba
D
x
定义 1 若一个线性方程组的所有常数项
等于零，则这个线性方程组称为齐次线性方
程组。
?
?
?
?
?
???
???
0
0
11
1111
nmnm
nn
xaxa
xaxa
?
??
?
即
就是它的一个解，这个
解称为零解。
说明：
① 齐次线性方程组永远有解。
.0,01 ?? nxx ??
② 如果齐次线性方程组还有其它解，则
称为非零解。
③ 由于齐次方程组的系数矩阵与增广矩阵有
相同的秩，故一定有解，这又一次说明齐次
线性方程组永远有解这个事实。
当 r=n时，有一个解，即零解。
当 r<n时，有无穷多个解，因而除零
解外，必然有非零解。
定理 2 一个齐次线性方程组有非零解的充
分且必要条件是：它的系数矩阵的秩 r小于它
的未知量个数 n。
证明,
推论 1 含有 n个未知量,n个方程的齐
次线性方程组有非零解的充分且必要条件
是：方程组的导数行列式等于零。
事实上,当系数行列式为零，说明秩
小于 n.
推论 2 在一个齐次线性方程组中，若
方程个数 m小于未知量个数 n，则有非零解。
事实上,系数矩阵的秩不超过 m，
因而小于 n，故有非零解。 ?
