第七章 欧氏空间
一、教学目标
1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念；
2．掌握 Schwarz不等式及应用；
3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交
补的概念及应用；
4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；
5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟
练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。
二、重点：
内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基，
正交变换，对称变换。
三、难点,正交变换，对称变换。
四、课时,20学时
§ ７．１向量的内积
定义 1 设 V是 R上一个向量空间，如果,V?? ??,
有一个确定的实数记作 ?? ??, 与它对应，并且
满足：;?? ? ?? ????,、１）,,,? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?２）
３）,,;aa? ? ? ?? ? ? ? ?４）
,? ? ? ?? ? ?当 时, ;0?
这里,,V a R? ? ? ? ?? ? ? ?、, 是 中 任 意 向 量, 则叫向量
??与 的内积，而 V叫做对这个内积来说的一个
欧氏空间，记作 ).,( ????、V
说明,①定义中的 1） —— 4）称为内积公理。
② 这里把内积的符号记为 ?? ??,主要是与
3V
中内积 相区别，也就是说,???? 是对实数域上
的所有向量空间通用的符号。
③ 今后，谈到欧氏空间 nR,如无特殊情况，
它的内积为：
1
,
n
nn
k
xy??
?
? ? ? ?
内积的性质：
（ 1） V???,有 00 ???,?
（ 2）如果 V?? ?,有 00 ????? ???,
特别地，若 00,????? ???
（ 3） 有RaV ????,,,???
?? ? ??????? ? ??? ???????????,,,,,aa；
（ 4） RbbaaV ；
nrnr ???? ???? 1111,,????
? ? ??
? ? ??
?????
n
j
r
i
n
j
jijijji
r
i
i baba：
1 1 11
,,????有
定义 2 设,V 为的长度，则 ??? ?
〉，〈 ??? ?
① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数
②
?? aa ?
③ 长度是 1的向量，称为单位向量。即
?? 则1?
为单位向量
④ 任一非零向量 ?,都可以化为单位向量
事实上：
?
?? ??? 则,0 即为单位向量
说明：
定理 1 在欧氏空间中,V?? ??,,有：
)1(,,2 ??????????? ??????,
当且仅当 ??与 线性相关，等式成立。
①,)(),(,
11
n
nn
n RbbaaR ??? ?? ??取中在
,,11 nn baba ????? ???则 由定理 1得：
))(()( 221221211 nnnn bbaababa ??? ?????
这正是大家熟知的 Cauchy（柯西）不等式。
说明：
因此我们也把不等式（１）叫 Cauchy
－ Shwarz不等式。
在 中，
[,]C a b ],[,baCgf ??,规定
,b
a
f g f g d x? ? ? ?
则 22b b b
a a a
f g d x f d x g d x?? ? ?
这也是大家熟知的 Shwarz(施瓦兹 )不等式。
②,V 则,,?? ??
? ? ? ?? ? ?,当 ??与
正交时，等式成立。
称为内积勾股定理。
设 ??,是欧氏空间 V 的两个非零向量,
??与 的夹角为 θ.定义,
??
?? ??
?
,
c o s
说明, ① ∵ 222,,,???????? ????????
∴
1
,
1 ?
??
??
??
??
∴ 这样定义是符合意义的,且 ??和 的夹角 θ
是唯一确定的 )],0[( 上在 ?
定义 3
② 由
??
??? ???,c o s 则,
??
??
?
??
?
,
a r c c o s
③ 当
.0,.0c o s,2 正交与称即时 ??????? ?????
补充定义, 零向量与任意向量均正交,
推广,在欧氏空间中，
n??? ?与向量
中每个向量正交,则 ??? ?
1与
的任意线性组
合也正交,即 0,0,
1
??????? ?
?
n
i
iii a ????
??与则V定义 4 在欧氏空间 中,,,V????
的距离
???? ??),(d
说明,① ??与 的距离实际是 ?? ? 的长度,
② 距离的性质,
（ i）正定性：当,0),(,?? ???? d时
(ii) 对称性,);,(),( ???? dd ?
(iii) 三角不等式,).,(),(),( ?????? ddd ??
称 (i),(ii),(iii)为距离公理。
（ iii）在解析几何中的意义是：三角形两边
之和大于第三边。
定理 2 如果 W是欧氏空间 V的一个子空间，那么
对 V的内积来说,W也是一个欧氏空间。
7.2 正交基
定义 1,欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量
叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单
位向量。则称为一个标准正交组。
说明,① 正交组是线性无关的向量组。
② 在ｎ维欧空间Ｖ中,两两正交的非零空间
向量个数不超过 n个,在面几何中,正交的非零向量
是有两个,在空间解几中,正交的非零向量是有 3个,
③ 特别,如果 是 n维欧氏空间Ｖ的一组正
交组,则称 为 V的一个正交基,如果 是
n维欧氏空间 V的标准正交基,则称为 V的一个标准正
交基,
n?? ?1
n?? ?1 n?? ?1
定理 1 向量 关于一个标准正交基的第 i个坐标等
于 与第ｉ个基向量的内积,
?
?
定理 2 设 是欧氏空间 v的一个线性无关组，
那么可以求出 v的一个正交组 使得 可由
线性表示出。（ k=1,2,m）。
maa ?1
m?? ?1
说明：
k?
maa ?1
① 此定理不仅给出标准正交组是存在的。而且给出
一个具体求正交组的方法。使得我们可由任一个线性无关
组出发得出一个标准正交组，这种方法叫正交化方法。有
的书上称为施密特正交化方法。
② 对于 n 维欧氏空间 v，如果 是 v的基。则由
正交化方法可得到 v的一个正交基。 进而得到 v 的
一个标准正交基 即 n维欧氏空间 v一定有正交基。
因而有标准正交基。
n??,,?1
}{ 1 n?? ??
??
???
??
??? ??
n
n
???? 11 1
1
③ 称为正交化公式。 1
11
1
1
11
1
?
??
??????
k
kk
kkk
kk ???
???
??
????
〉〈
〉〈
〉〈
〉〈
定义 2,一个 n阶实矩阵Ｕ叫做一个正交矩阵，如果：
IUUUU ????
说明：由定义得：
说明：
UU ??? 1
定理 3：维欧氏空间Ｖ的一个标准基到另一个标准
正交基的过渡矩阵Ｕ的正交矩阵。
（ 1）给出两个标准正交基的过渡矩阵所具有的属性。
（ 2）由定理可以得到：如果 是标
准正交基,Ｕ是正交矩阵，则由 =
Ｕ得到是标准正交基。
}{ 21 n???,，,?
},{ 21 n??? ?，，
},,{ 21 n??? ?，
定义 3、设 W是欧氏空间 V的一个非空子集,如果
,且 与 W中每一个向量正交，则称 与 W
正交，记为,
V?? ? ? ?
0,,??? WW ?? 或
说明,① V中与 W正交的向量所成的子集记为,?W
}0,/{ ????? WVW ??即
② WW ??
③ W是 V的一个子空间,
定理 4,令 W是欧氏空间 V的一个有限维子空间,
那么
??? WWV
因而 V中每一向量可以唯一写成
??? ??
这是,.是唯一的,W?? ?? W?
定理 5 设 W是欧氏空间 V的一个有限维子空间，
ξ是 V的任意向量,η是 ξ在 W上的正射
影，那么对于 W中任意向量,都有??? ?
? ? ? ? ?? ? ?
说明, 把在上的正射影叫做到的最佳逼近,
定义 4 欧氏空间 'VV与 是同构的，如果：
（ i）存在 'VV到 的一个同构映射,',VVf ?
（ ii）对,V???? 都有 ????? )(),(,???? ff
说明,① （ ii）称为保内积不变
② 如果 f 是欧氏空间 'VV到 的同构映射，则
f 是向量空间 'VV到 的同构映射，因而同构的
欧氏空间有相同维数。
定理 6
说明,① 任意 n维欧氏空间与 nR 同构。
两个有限维欧氏空间同构 ? 维数相等。
② 欧式空间的结构完全被它的维数所决定。
7.3 正交变换
定义 1.欧氏空间 的一个线性变换 叫做
一个正交变换。如果对于任意 。都有：
V ?
V??
|||)(| ??? ?
说明,保持向量长度不变的线性变换叫正交
变换。（旋转变换，镜面反射等都是正交变
换）。
定理 1,设 是欧氏空间的一个线性变换。则?
),.()(),(,V???? ? ?? ?????????
（保持内积不变）
是正交变换 （ ）? ? |||)(| ??? ? V?? （保持长度不变）
说明,正交变换保持夹角不变
? ? 把 的标准正交基仍旧变成标
准正交基。
V
? 关于 的标准正交基的矩阵
是正交矩阵。 V?
7.4 对称变换和对称矩阵
定义 2 若 是数域 上 阶矩阵，如果A F n A
等于它的转量，即,则称 是
对称矩阵。
'AA ? A
定义 1 设 是欧氏空间 的一个线性变换。? V
( ),,( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
则称 是一个对称变换。
如果对,有
?
V?? ??,
定理 1 设 是欧氏空间 的一个线性变换，? V
是对称变换 关于 的标准? ? ? V
正交基的矩阵是对称矩阵。
说明,对称变换与对称矩阵是 1-1对应的。
定理 2 实对称矩阵的特征根都是实数。
说明,由于我们是在实数域上引入向量的
“内积”概念，即欧氏空间都是在实数域
上进行讨论的，故对称变换 的特征多项
式的根都是 的特征根。
?
?
定理 3,n维欧氏空间的一个对称变换的属
于不同特征根的特征向量彼此正交。
说明,一个线性变换关于不同特征根的特征
向量是线性无关的。
定理 4,设 是 n维欧氏空间 的一个对称变换?
那么存在 的一个标准正交基，使得
关于这个基的矩阵是对角形式。?
V
V
说明,① 欧氏空间 的对称变换可以对角化。V
即如果 是对称变换，则存在 的标
准正交基。使得 关于这个基的矩阵
是对角形式。
? V
?
② 要使 有一个正交基，而 在这个基下的
矩阵是对角形式，则 一定是对称变换。即
对称变换 可以使 有一个由 的特征向量
组成的正交基。
V ?
??
?
V
③ 对称变换与对称矩阵 1-1对应，则由对称变
换可对角化到对称矩阵可对角化。即设 是一
个 n阶实对称矩阵。则存在一个 n阶正交矩阵
使得 是对角形式。
A
U
AUU '
最后我们给出具体求 U的方法,
由 故 第七章给
出的求可递矩阵 的方法。 是对角形式,
但这样求出的,一般说来还不是正交矩阵。
( 是过渡矩阵 ),然而,注意到 的列向量是
的特征向量,对于不同特征根的特征向量来说
是彼此正交的,因此,我们还需要再对 中同一
个特征根的线性无关向量施行正交化手续就
得到了要求的,具体步骤,
.' 1?? UU,1 AUUB ??? ?.~ BA
ATT 1?T
T
T T
T
A
U
1）求出 的特征根 是 的不同特征根 ;
2）对每一 ;解方程组, 得基础
解系,这就是 的一组基,由这组基施行正交
化,得到 的一组标准正交基 。
3）以这些标准正交基为到向量排成一列
即为所求 。
A A
t?? ?1
i?
1
0i
n
x
IA
x
?
??
??
????
??
??
（ ）
iV?
iV?
kii ?? ?,1
Uti tktikikk ?),,;;,;;,;,,( 11221111 21 ???????? ??????
7.5 酉空间
定义 1,设 V是复数域上一个向量空间，如果对
于 V中任意一对 ξ,η向量，有一个确定的复
数 与它们对应，则＜ ξ,η＞叫做 ξ与
η的内积，并且下列条件满足：
??,
1）, 是 的共轭复数；???,??,??,??,
2） ???????,,,???
3） ;,,???? aa ?
4） 是非负实数,并且当 时，, 是
V中任意向量,α是 C中任意数，那么 V叫做对于这个
内积来说是一个酉空间。
0????,0,??? ???,,
设 V是酉空间，则
（ 1）
（ 2）
???????,,,???
,,a a a? ? ? ??
_
a 是 的 共 轭
（ 3）
0,00,?? ??
（ 4）
ji
m
i
n
j
ji
n
j
jj
m
i
ii baba ????,,
1 111
? ???
? ???
??
定义 2 设 是酉空间,为 的长度。v ????,??? 则v
?
说明,① 当
00 ?? ?? 时
当
0,0 ?? ?? 时
② 当
的单位向量为称时 v??,1?
③
??? aavca ????? 则,
定理 1,设 是酉空间,
当且仅当 线性相关时，等式
成立,即：柯西 — 施瓦兹不等式在酉空间中也成立。
v ????????,,,,,2 ??? 则v
???? ??,??与
定义 3,设 是酉空间,时，
称 正交,v 0,,?? ???? 当v?? 与
说明：零向量与任意向量相交。
定义 4,的一组两两正交的向量组叫 的一组正交组，
的正交组中每一个向量都是单位向量，则称该正交组
为一个规范正交组。
v
v
v
说明：与欧氏空间一样,设 V是 n维酉空间则：
① 中两两正交的 n个线性无关的向量组 叫的
一个正交基。
v n?? ?1
v② 中两两正交的个线性无关的单位向量 叫的
一个标准正交基。
v n?? ?1
③ 中一组线性无关的向量组，总可以用施密特正交化
方法进行正交化，并扩充成一个标准正交基。 v
定义 5,设 是酉空间 的一个有限维子空间令
则
是 的子空间，称为 的正交补，且
.
w v
},0,/{ vvw ?????? ?????
?w
v w
??? wwv
定义 6,设 是 n阶复矩阵，如果 则称为一个
酉矩阵。
U IUUUU ?? ''
① （其中 的共轭）
ijijij UUUU 是),(?
② '1 UU ??
定理 2,n维酉空间一个规范正交基则另一个规范
正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵。
7.6 酉变换的对称变换
定义 1,酉空间的一个线性变换 σ是一个酉变换,
如果 都有,V????
? ? ? ?,,? ? ? ? ? ??
与欧氏空间平行,有,
σ是维的酉空间的一个线性变换,则
σ是酉变换 σ把规范正交基变为规范正交基
σ关于规范正交基的矩阵是酉矩
阵
?
?
说明,
定义 2,酉空间了 的一个线性变换 σ叫做一
个对称变换 (也称为厄米特变换 ).如果
对 都有
V
,V????
)(,),( ?????? ?
定义 3,阶复矩阵 是一个埃尔米特矩阵,如
果 。
n H
'HH?
1 实对称矩阵 是一个厄米特矩阵的特
殊情况,
H说明：
定理 1,σ是 维酉空间 的一个线性变
换,则 σ是对称变换 σ关于规范
正交基的矩阵是厄米特矩阵,
n V
?
定理 2,设 σ是 维酉空间的一个对称变
换,则 (1) σ的特征值都是实数,
(2)σ属于不同基特征值的本
征向量彼此正交,
n
此定理给出对称变换的性质,
定理 3,设 是一个 阶厄米特矩阵,则存在
一个 阶酉矩阵,使得
是一个实对角形式, 即, 任何一个
厄米特矩阵都“酉相似”一个实对角
阵,
H n
n ' 1U H U U H U??
说明,
一、教学目标
1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念；
2．掌握 Schwarz不等式及应用；
3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交
补的概念及应用；
4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；
5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟
练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。
二、重点：
内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基，
正交变换，对称变换。
三、难点,正交变换，对称变换。
四、课时,20学时
§ ７．１向量的内积
定义 1 设 V是 R上一个向量空间，如果,V?? ??,
有一个确定的实数记作 ?? ??, 与它对应，并且
满足：;?? ? ?? ????,、１）,,,? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?２）
３）,,;aa? ? ? ?? ? ? ? ?４）
,? ? ? ?? ? ?当 时, ;0?
这里,,V a R? ? ? ? ?? ? ? ?、, 是 中 任 意 向 量, 则叫向量
??与 的内积，而 V叫做对这个内积来说的一个
欧氏空间，记作 ).,( ????、V
说明,①定义中的 1） —— 4）称为内积公理。
② 这里把内积的符号记为 ?? ??,主要是与
3V
中内积 相区别，也就是说,???? 是对实数域上
的所有向量空间通用的符号。
③ 今后，谈到欧氏空间 nR,如无特殊情况，
它的内积为：
1
,
n
nn
k
xy??
?
? ? ? ?
内积的性质：
（ 1） V???,有 00 ???,?
（ 2）如果 V?? ?,有 00 ????? ???,
特别地，若 00,????? ???
（ 3） 有RaV ????,,,???
?? ? ??????? ? ??? ???????????,,,,,aa；
（ 4） RbbaaV ；
nrnr ???? ???? 1111,,????
? ? ??
? ? ??
?????
n
j
r
i
n
j
jijijji
r
i
i baba：
1 1 11
,,????有
定义 2 设,V 为的长度，则 ??? ?
〉，〈 ??? ?
① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数
②
?? aa ?
③ 长度是 1的向量，称为单位向量。即
?? 则1?
为单位向量
④ 任一非零向量 ?,都可以化为单位向量
事实上：
?
?? ??? 则,0 即为单位向量
说明：
定理 1 在欧氏空间中,V?? ??,,有：
)1(,,2 ??????????? ??????,
当且仅当 ??与 线性相关，等式成立。
①,)(),(,
11
n
nn
n RbbaaR ??? ?? ??取中在
,,11 nn baba ????? ???则 由定理 1得：
))(()( 221221211 nnnn bbaababa ??? ?????
这正是大家熟知的 Cauchy（柯西）不等式。
说明：
因此我们也把不等式（１）叫 Cauchy
－ Shwarz不等式。
在 中，
[,]C a b ],[,baCgf ??,规定
,b
a
f g f g d x? ? ? ?
则 22b b b
a a a
f g d x f d x g d x?? ? ?
这也是大家熟知的 Shwarz(施瓦兹 )不等式。
②,V 则,,?? ??
? ? ? ?? ? ?,当 ??与
正交时，等式成立。
称为内积勾股定理。
设 ??,是欧氏空间 V 的两个非零向量,
??与 的夹角为 θ.定义,
??
?? ??
?
,
c o s
说明, ① ∵ 222,,,???????? ????????
∴
1
,
1 ?
??
??
??
??
∴ 这样定义是符合意义的,且 ??和 的夹角 θ
是唯一确定的 )],0[( 上在 ?
定义 3
② 由
??
??? ???,c o s 则,
??
??
?
??
?
,
a r c c o s
③ 当
.0,.0c o s,2 正交与称即时 ??????? ?????
补充定义, 零向量与任意向量均正交,
推广,在欧氏空间中，
n??? ?与向量
中每个向量正交,则 ??? ?
1与
的任意线性组
合也正交,即 0,0,
1
??????? ?
?
n
i
iii a ????
??与则V定义 4 在欧氏空间 中,,,V????
的距离
???? ??),(d
说明,① ??与 的距离实际是 ?? ? 的长度,
② 距离的性质,
（ i）正定性：当,0),(,?? ???? d时
(ii) 对称性,);,(),( ???? dd ?
(iii) 三角不等式,).,(),(),( ?????? ddd ??
称 (i),(ii),(iii)为距离公理。
（ iii）在解析几何中的意义是：三角形两边
之和大于第三边。
定理 2 如果 W是欧氏空间 V的一个子空间，那么
对 V的内积来说,W也是一个欧氏空间。
7.2 正交基
定义 1,欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量
叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单
位向量。则称为一个标准正交组。
说明,① 正交组是线性无关的向量组。
② 在ｎ维欧空间Ｖ中,两两正交的非零空间
向量个数不超过 n个,在面几何中,正交的非零向量
是有两个,在空间解几中,正交的非零向量是有 3个,
③ 特别,如果 是 n维欧氏空间Ｖ的一组正
交组,则称 为 V的一个正交基,如果 是
n维欧氏空间 V的标准正交基,则称为 V的一个标准正
交基,
n?? ?1
n?? ?1 n?? ?1
定理 1 向量 关于一个标准正交基的第 i个坐标等
于 与第ｉ个基向量的内积,
?
?
定理 2 设 是欧氏空间 v的一个线性无关组，
那么可以求出 v的一个正交组 使得 可由
线性表示出。（ k=1,2,m）。
maa ?1
m?? ?1
说明：
k?
maa ?1
① 此定理不仅给出标准正交组是存在的。而且给出
一个具体求正交组的方法。使得我们可由任一个线性无关
组出发得出一个标准正交组，这种方法叫正交化方法。有
的书上称为施密特正交化方法。
② 对于 n 维欧氏空间 v，如果 是 v的基。则由
正交化方法可得到 v的一个正交基。 进而得到 v 的
一个标准正交基 即 n维欧氏空间 v一定有正交基。
因而有标准正交基。
n??,,?1
}{ 1 n?? ??
??
???
??
??? ??
n
n
???? 11 1
1
③ 称为正交化公式。 1
11
1
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?
??
??????
k
kk
kkk
kk ???
???
??
????
〉〈
〉〈
〉〈
〉〈
定义 2,一个 n阶实矩阵Ｕ叫做一个正交矩阵，如果：
IUUUU ????
说明：由定义得：
说明：
UU ??? 1
定理 3：维欧氏空间Ｖ的一个标准基到另一个标准
正交基的过渡矩阵Ｕ的正交矩阵。
（ 1）给出两个标准正交基的过渡矩阵所具有的属性。
（ 2）由定理可以得到：如果 是标
准正交基,Ｕ是正交矩阵，则由 =
Ｕ得到是标准正交基。
}{ 21 n???,，,?
},{ 21 n??? ?，，
},,{ 21 n??? ?，
定义 3、设 W是欧氏空间 V的一个非空子集,如果
,且 与 W中每一个向量正交，则称 与 W
正交，记为,
V?? ? ? ?
0,,??? WW ?? 或
说明,① V中与 W正交的向量所成的子集记为,?W
}0,/{ ????? WVW ??即
② WW ??
③ W是 V的一个子空间,
定理 4,令 W是欧氏空间 V的一个有限维子空间,
那么
??? WWV
因而 V中每一向量可以唯一写成
??? ??
这是,.是唯一的,W?? ?? W?
定理 5 设 W是欧氏空间 V的一个有限维子空间，
ξ是 V的任意向量,η是 ξ在 W上的正射
影，那么对于 W中任意向量,都有??? ?
? ? ? ? ?? ? ?
说明, 把在上的正射影叫做到的最佳逼近,
定义 4 欧氏空间 'VV与 是同构的，如果：
（ i）存在 'VV到 的一个同构映射,',VVf ?
（ ii）对,V???? 都有 ????? )(),(,???? ff
说明,① （ ii）称为保内积不变
② 如果 f 是欧氏空间 'VV到 的同构映射，则
f 是向量空间 'VV到 的同构映射，因而同构的
欧氏空间有相同维数。
定理 6
说明,① 任意 n维欧氏空间与 nR 同构。
两个有限维欧氏空间同构 ? 维数相等。
② 欧式空间的结构完全被它的维数所决定。
7.3 正交变换
定义 1.欧氏空间 的一个线性变换 叫做
一个正交变换。如果对于任意 。都有：
V ?
V??
|||)(| ??? ?
说明,保持向量长度不变的线性变换叫正交
变换。（旋转变换，镜面反射等都是正交变
换）。
定理 1,设 是欧氏空间的一个线性变换。则?
),.()(),(,V???? ? ?? ?????????
（保持内积不变）
是正交变换 （ ）? ? |||)(| ??? ? V?? （保持长度不变）
说明,正交变换保持夹角不变
? ? 把 的标准正交基仍旧变成标
准正交基。
V
? 关于 的标准正交基的矩阵
是正交矩阵。 V?
7.4 对称变换和对称矩阵
定义 2 若 是数域 上 阶矩阵，如果A F n A
等于它的转量，即,则称 是
对称矩阵。
'AA ? A
定义 1 设 是欧氏空间 的一个线性变换。? V
( ),,( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
则称 是一个对称变换。
如果对,有
?
V?? ??,
定理 1 设 是欧氏空间 的一个线性变换，? V
是对称变换 关于 的标准? ? ? V
正交基的矩阵是对称矩阵。
说明,对称变换与对称矩阵是 1-1对应的。
定理 2 实对称矩阵的特征根都是实数。
说明,由于我们是在实数域上引入向量的
“内积”概念，即欧氏空间都是在实数域
上进行讨论的，故对称变换 的特征多项
式的根都是 的特征根。
?
?
定理 3,n维欧氏空间的一个对称变换的属
于不同特征根的特征向量彼此正交。
说明,一个线性变换关于不同特征根的特征
向量是线性无关的。
定理 4,设 是 n维欧氏空间 的一个对称变换?
那么存在 的一个标准正交基，使得
关于这个基的矩阵是对角形式。?
V
V
说明,① 欧氏空间 的对称变换可以对角化。V
即如果 是对称变换，则存在 的标
准正交基。使得 关于这个基的矩阵
是对角形式。
? V
?
② 要使 有一个正交基，而 在这个基下的
矩阵是对角形式，则 一定是对称变换。即
对称变换 可以使 有一个由 的特征向量
组成的正交基。
V ?
??
?
V
③ 对称变换与对称矩阵 1-1对应，则由对称变
换可对角化到对称矩阵可对角化。即设 是一
个 n阶实对称矩阵。则存在一个 n阶正交矩阵
使得 是对角形式。
A
U
AUU '
最后我们给出具体求 U的方法,
由 故 第七章给
出的求可递矩阵 的方法。 是对角形式,
但这样求出的,一般说来还不是正交矩阵。
( 是过渡矩阵 ),然而,注意到 的列向量是
的特征向量,对于不同特征根的特征向量来说
是彼此正交的,因此,我们还需要再对 中同一
个特征根的线性无关向量施行正交化手续就
得到了要求的,具体步骤,
.' 1?? UU,1 AUUB ??? ?.~ BA
ATT 1?T
T
T T
T
A
U
1）求出 的特征根 是 的不同特征根 ;
2）对每一 ;解方程组, 得基础
解系,这就是 的一组基,由这组基施行正交
化,得到 的一组标准正交基 。
3）以这些标准正交基为到向量排成一列
即为所求 。
A A
t?? ?1
i?
1
0i
n
x
IA
x
?
??
??
????
??
??
（ ）
iV?
iV?
kii ?? ?,1
Uti tktikikk ?),,;;,;;,;,,( 11221111 21 ???????? ??????
7.5 酉空间
定义 1,设 V是复数域上一个向量空间，如果对
于 V中任意一对 ξ,η向量，有一个确定的复
数 与它们对应，则＜ ξ,η＞叫做 ξ与
η的内积，并且下列条件满足：
??,
1）, 是 的共轭复数；???,??,??,??,
2） ???????,,,???
3） ;,,???? aa ?
4） 是非负实数,并且当 时，, 是
V中任意向量,α是 C中任意数，那么 V叫做对于这个
内积来说是一个酉空间。
0????,0,??? ???,,
设 V是酉空间，则
（ 1）
（ 2）
???????,,,???
,,a a a? ? ? ??
_
a 是 的 共 轭
（ 3）
0,00,?? ??
（ 4）
ji
m
i
n
j
ji
n
j
jj
m
i
ii baba ????,,
1 111
? ???
? ???
??
定义 2 设 是酉空间,为 的长度。v ????,??? 则v
?
说明,① 当
00 ?? ?? 时
当
0,0 ?? ?? 时
② 当
的单位向量为称时 v??,1?
③
??? aavca ????? 则,
定理 1,设 是酉空间,
当且仅当 线性相关时，等式
成立,即：柯西 — 施瓦兹不等式在酉空间中也成立。
v ????????,,,,,2 ??? 则v
???? ??,??与
定义 3,设 是酉空间,时，
称 正交,v 0,,?? ???? 当v?? 与
说明：零向量与任意向量相交。
定义 4,的一组两两正交的向量组叫 的一组正交组，
的正交组中每一个向量都是单位向量，则称该正交组
为一个规范正交组。
v
v
v
说明：与欧氏空间一样,设 V是 n维酉空间则：
① 中两两正交的 n个线性无关的向量组 叫的
一个正交基。
v n?? ?1
v② 中两两正交的个线性无关的单位向量 叫的
一个标准正交基。
v n?? ?1
③ 中一组线性无关的向量组，总可以用施密特正交化
方法进行正交化，并扩充成一个标准正交基。 v
定义 5,设 是酉空间 的一个有限维子空间令
则
是 的子空间，称为 的正交补，且
.
w v
},0,/{ vvw ?????? ?????
?w
v w
??? wwv
定义 6,设 是 n阶复矩阵，如果 则称为一个
酉矩阵。
U IUUUU ?? ''
① （其中 的共轭）
ijijij UUUU 是),(?
② '1 UU ??
定理 2,n维酉空间一个规范正交基则另一个规范
正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵。
7.6 酉变换的对称变换
定义 1,酉空间的一个线性变换 σ是一个酉变换,
如果 都有,V????
? ? ? ?,,? ? ? ? ? ??
与欧氏空间平行,有,
σ是维的酉空间的一个线性变换,则
σ是酉变换 σ把规范正交基变为规范正交基
σ关于规范正交基的矩阵是酉矩
阵
?
?
说明,
定义 2,酉空间了 的一个线性变换 σ叫做一
个对称变换 (也称为厄米特变换 ).如果
对 都有
V
,V????
)(,),( ?????? ?
定义 3,阶复矩阵 是一个埃尔米特矩阵,如
果 。
n H
'HH?
1 实对称矩阵 是一个厄米特矩阵的特
殊情况,
H说明：
定理 1,σ是 维酉空间 的一个线性变
换,则 σ是对称变换 σ关于规范
正交基的矩阵是厄米特矩阵,
n V
?
定理 2,设 σ是 维酉空间的一个对称变
换,则 (1) σ的特征值都是实数,
(2)σ属于不同基特征值的本
征向量彼此正交,
n
此定理给出对称变换的性质,
定理 3,设 是一个 阶厄米特矩阵,则存在
一个 阶酉矩阵,使得
是一个实对角形式, 即, 任何一个
厄米特矩阵都“酉相似”一个实对角
阵,
H n
n ' 1U H U U H U??
说明,
