§ 1.0 基本预备知识
? 教学目标：
使学生进一步了解集合的运算，集合的映射和相
关概念，了解数环数域的相关概念，为后续学习
提供必备的基本知识，温故知新，实现承上启下
的目的。
? 重点：
集合的各种运算及集合的映射（象与原象，单射，
满射，双射）的概念。
? 难点：
集合概念的反面叙述和单射满射的证明技巧。
(一 ) 集合的运算，集合的映射主要概念。
?
?
""?
""?
（表示任意的）
（表示存在）
（表示由此推出）
（表示当且仅当）
先介绍几个符号：
? 定义 设 A,B是两个集合,a 是集合 A的元素，记作
aA? 。
反面叙述, a 不是集合 A 的元素，记作
aA?
。
（可举例说明）
A是 B的子集可表示为,AB? ? （ 对一切,x x A x B? ? ?）
反面叙述,如果 A不是 B的子集,
因此,A不是 B的子集 ? A中至少有一个元素不属于 B,
即
AB?
就记作
AB? ?,xA? xB?（存在一个元素 但 ）
()AB? ? （对一切,x x A x B? ? ?）
由 A的一切元素和 B的一切元素所成的集合叫做 A
与 B的并集 (简称并 ),记作 AB
根据定义有,()x A B x A x B? ? ? ?或
反面叙述,x A B? ()x A x B? ? ?且 （可举例说明）
由 A与 B的公共元素所成的集合叫做 A与 B的交集
(简称交 ),记作,AB 显然，,A B A?,A B B?
根据定义有,()x A B x A x B? ? ? ?且
反面叙述,x A B? ()x A x B? ? ?或
? 请同学们抓住特征，注意“交”与“并”的定义，正反两
方面的叙述，特别注意逻辑语言“或”与“且”的正反两
方面的表述，进一步巩固中学已学过的内容。同时注意上
述概念可以推广到 n个集合上去。
? 另外还需要了解下面的两个概念：
由一切属于 A但不属于 B的元素所组成的集合叫做
A与 B的差集，记作,A－ B，根据定义有：
{,}A B x x A x B? ? ? ?但
(,)ab a
{ (,),}A B a b a A b B? ? ? ?
由一切元素对 所成的集合，其中 取自 A，
b取自 B）叫作 A与 B的笛卡尔积（简称积）
根据定义有
? 定义 设 A,B是两个非空集合,A到 B的一个映
射指的是一个对应法则，通过这个法则对于集
合 A中的每一个元素 x有集合 B中一个唯一确定的
元素 y与它对应。
常用记号
:f A B
表示 f是 A到 B的一个映射。用元素表示为
:f x y (,)x A y B??
如果 ( ),f x y B?? 则 y称为 x在 f下的像，称 x为 y在 f
下的原像。 A的所有元素在 f下的像构成的 B的子
集，称为 A在 f下的像，记作 ( ).fA
即
( ) { ( ) }f A f x x A??
注意 ( ),f A B? 那么就称 f是 A到 B上的一个映射，也称 f
是一个满射。根据定义有：
:f A B 是满射 ? 对,y B x A? ? ? ? 使得 ()f x y?
如果对于 A中任意两个元素 1x 2,x 12xx? 就有
12( ) ( ),f x f x?
则称 f是 A到 B的一个单射。
只要和
注意：证明中常用到单射的逆否命题：
f是 AB 的单射 ? 对
12,,x x A??
由 12( ) ( )f x f x? ? 12xx?
如果 f既是单射又是满射，则称 f为双射，或一一映射，
此时 f存在逆映射
1,f B A?
用
Aj
和
Bj
表示 A和 B的恒等映射，则有：
,ABf j f j f f??
f是双射
?等 价 于 11,
ABf f j f f j
????
?
（二） 数环和数域
? 提出问题引入新课：整数集，有理数集，通过
加减乘除四则运算还仍然是整数有理数吗？
? 通过提问总结规律引入数环数域的定义
定义 1 设 S是复数集 C的一个非空子集如果对于
S中任意两个数,ab 来说，,,a b a b a b??
那么就称 S是一个数环（加、减、乘运算封闭）
都在 S内,
显然上述问题中的整数集，有理数集都是数环。
注意抓住共性：① S是非空数集
②加、减、乘运算封闭
例 1 验证 {,S n a n Z a?? 是一取定整数 }是一个数环（略）
例 2 验证 2{,,1 }S a b i a b Z i? ? ? ? ?是一个数环。
定义 2 设 F是一个数环，如果（ i） F含有一个不等于
零的数；（ ii）如果,,a b F? 且 0,b? 则称 F是一个
数域。
注意：数域的三个特性：
（ 1） F必是数环；
（ 2） F中存在非零元素；
（ 3）除法（分母不为零时）封闭。
例 3 验证 { 2 }F a b a b Q? ? ? ?是一个数域，本例中
注意 20cd?? ? 20cd??
定理 1 任何数域都包含有理数域。
证明：设 F是一个数域，由条件（ i）可知，
aF? 且 0a ? 于是 0,a a F? ? ? 1,a F
a??
而对于,mZ??? 有
1 1 1
m
mF? ? ? ? ?
个
进而对
,,,0m m mm n Z F Fn n n?? ? ? ? ? ? ?
? QF?
证毕。
第一章 行列式
?一、教学目标：
? 1．掌握排列、反序、反序数、对换等概念，理解一个对换变
排列的奇偶性；
? 2．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会计算行列式；
? 3．掌握余子式和代数余子式的定义，掌握行列式依行（列）
展开定理的证明及应用，进而总结出行列式的计算方法；
? 4．掌握 Vandermonde行列式的计算及应用；
? 5．理解 Cramer规则及应用。
二、重点：
排列、反序数、奇排列、偶排列、行列
式的定义，余子式和代数余子式，克莱姆法则；
三、难点：
n阶行列式的定义，先列式的计算技巧；
四、课时,16学时。
§ 1,1 线性方程组和行列式
?
?
?
?
?
???
??????????
???
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
?
?
11
11111
nxx ?1
定义 1 形如,(1)
其中,是未知量,),,2,1;,,2,1( njmia
ij ?? ??
是未知量系数，
mbb ?1
是常数，称（ 1）为线性
说明,方程组（ 1）的未知量个数与方程个数
不一定相等。
方程组。
定义 2
线性方程组（ 1）的一个解指的是这样一组数
)( 1 nkk ?,用它依次代替（ 1）中的未知量
nxx ?1
后，（ 1）的每个方程都是恒等式。
关于线性方程组的我们主要讨论以下几个问题：
1．判定一个方程组是否有解？
2．在有解的情况下，确定解的个数，并求出
一切解来。
§ 1,2 排列
定义 1 由 1,2,3,…, n个数码组成一 个
有序数组称为一个 n阶排列。
如,2431 是 1,2,3,4这四个数码组成的
一个四阶排列。
45321是 1,2,3,4,5这五个数码组成的
一个五阶排列。
说明,① n个数码的不同排列共有 n!个。
② 1,2,3,4…n 是 n个数码的一个 n阶排列，
称为自然顺序排列。
定义 2
在一个排列 njj ?1 中，如果前面的数大
于后面的数，那么它们就称为一个反序。一
个排列中出现的反序数之和称为这个排列的
反序数，记为,)(
1 njj ??
定义 3
反序数为偶数的排列称为偶排列，反序
数为奇数的排列称为奇排列。
定义 4
把一个排列中的两个数 i与 j的位量互换，而
其余的不动，就得到另一个排列，这样的一个
变换称为一个对换；记为,。)(ij
定理 1 对换改变排列的奇偶性。
定理 2 任一个 n阶排列都可以经过一系列
对换变成 1,2,3……n,反过来也可行。
说明,由定理得出：
与设 nii ?1 n
jj ?1 是两个 n阶排列，则
它们可以经过一系列对换互变。 事实上，
n
n
jj
nii
?
??
1
2
2
1 123
?? ??
?? ??
定理
定理
nn jjii ?? 11 ??? ???
一系列对换
定理 3 2?n 时,n个数码的奇排列与偶排
列各半，即都为 2!n 个。
证明,设 n个数码的奇排列共有 p个，偶排列
对 p个奇排列施行同一个对换,ij)( 由定理 1就得
到 p个偶排列。于是
共有 q个。
qp ?
q
个偶排列施行同一个
对换 。ij )( 则得到 q个奇排列，又由于奇排列的
总数为 p,pq ??
。nqp
2
!???
1.4 子式和代数余子式
定义 1.
在一个 n阶行列式 D中，任意划去 K行 K列，
位于这些行和列交界的元素按原来的排法构成一
个 K阶行列式，叫做 D的一个 K阶子式
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?如
划去二、三两行和一、四列，则相交处得到一
个二阶子式
3431
2421
aa
aa
M ?
定义 2,在 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
中划去元素 aij所在的行和列,剩下的 n-1阶
行列式称为元素 aij的余子式,记为 Mij
nnnjnjn
nijijii
nijijaii
njj
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
??
??????
??
??
??????
??
111
,11,11,11,1
,11,11,1,1
1111111
??
??????
??????
??
?即
如在四阶行列式中,余子式是
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
定义 3,n阶行列式 D的元素的 余子式
附以符号 后叫元素 的数余子式，
记为,即 ija
ijM
ji?? )1(
ijA ijjiij MA ??? )1(
ija
定理 1,若在一个 n阶行列式
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
中第 行（或第 列）的元素除 外
都是零，那么这个行列式等于 与
的乘积，即
j
i j ija
ija ijA
ijij AaD ?
证明,特殊情形：若 D的第一行中除 外全
都 是零，即
11a
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
????
?
?
21
22221
11
00
?
nnn
n
aa
aa
aMaAaD
?
???
?
2
222
111111111111
)1( ????
?
要证
? ??
n
ni
n
jj
njjj
jj aaaD
?
? ??
1
2
1
21
)()1( ?
是 的一个排列，当 时，
故这一项为零
∴ 只能是 1，于是 是 的一个排列，
njj ?1 n,,2,1 ? nj i,,3,2 ??
01 ?
ij
a
njj ?1
n,,3,2 ?
? ???
n
ni
n
jj
njjj
jj aaaD
?
? ?
1
2
1
21
)()1( ?
111111
11
111111
2
)(
11
211
)(
)1(
)1(
)1(
2
2
1
2
2
1
AaMaMa
aaa
aaa
n
n
n
n
n
n
jj
nj
j
jj
njj
jj
jj
????
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1j
(2) 一般情形, 设
nnnjnjnjn
inijijiji
njjj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
?????
??
?????
??
111
111
11111111
??
??
??
?
想办法把它变成另一种情形；首先把第 i行依次与第 i-1行、
i-2行,…, 2行,1行交换，这样经过了 i-1次交换的步骤，
就把 D的第 i换到了第一行的位置上了。然后再把第 j列依次
与第 j-1,j-2,…, 2,1列交换，一共经过了 j-1次交换两
列的步骤,aij就被换到了第一行第一列的位置上了，这时
的 D变为 D1：
nnnjnjnnj
nijijiiji
nijijiiji
njjj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
a
??????
???????????????
??
??
???????????????
??????
???????????????
???????????
111
11111111
11111111
11111111
0000
??
???????
???????
??
、、、、、
、、、、、
D1=
∵ D1是由 D经过 i-1次行变换和 j-1次列变
换而得到的。故
D=(-1)(i-1)+(j-1)D1=(-1)i+jD1
又由（ 1）
ijij
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
ij
Ma
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aD ??
??
??????
??????
??
????
?????????????
??
??
?????????????
????
111
1111111
1111111
1111111
、、
、、、、
、、、、
、、
∴
ijijij
ji
ijijij
ji AaMaMaD ????? ?? )1()1(
定理 2 行列式 D等于它的任一行（列）的所有
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211
（ i=1,2,…, n） （ 1）
（ j=1,2,…, n） （ 2）
元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。
即：
说明,任一个 n阶行列式都可由 n个 n-1阶行列式
表出。即任一个 n阶行列式可以降为 n-1阶行列
式来计算。不过定理的主要实质是：如果行列
式的某一行（列）有一部分是零，则用此定理
去计算就显得简单了。
例 4 计算四阶行列式
3 1 1 2
5 1 3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
D
?
??
?
?
??
解,第三行有一个零，由第 4列 × 2加到
第一列，第 4列 × 1加到第三列上去，得：
7 1 1 2
7 1 1 7 6 1
1 3 1 1 4
1 3 1 1 1 3 1 4 1
0 0 0 1
5 5 0 5 0 0
5 5 0 3
61
5 5 ( 6 1 4 ) 5 ( 8 ) 4 0
1 4 1
D
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
例 5 计算 n阶行列式
1 2 3 2 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
n
n n n n
x
x
x
x
a a a a a x a
? ? ?
?
?
?
??
?
?
解：
0100
000
001
0001
)1(
10000
00100
00010
00001
1
124321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?????
?
?
?
?
?
???????
?
?
?
x
x
a
axaaaaa
x
x
x
x
x
n
n
nnnn
n
这里第一个 n-1阶行列式和
n?
有相同
的形式，记为
1n??
则,? ? ? ?11
1111
nn
n n n n nx a x a
??
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
而
1 2 1 2 1 2n n nx a x a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
因此有：
nn
nn
nnnnnnnn
nnnnnnnnn
axaaxx
axaaxxaxaxx
axaxaaxxax
?????
?
???????????
????????????
?
??
??????
?????
12
2
1
1
12
2
3
3
123
2
12
2
121
)(
)(
?
??
111
12
1 2 1
1
11
()
nn
n n n
nn
nn
x a x a
x x a a x a x a
x a x a x a
??
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
说明,此例是把行列式的计算归纳为形式相似
的阶数较低的行列式来计算。这种递推的证明
方法比较常用。
例 6：计算行列式：
12
1 2 1
12
1 1 1
n
n
n n n
n
a a a
D
a a a
? ? ?
?
此行列式叫范德蒙行列式。
解,( )
1n ? 行乘
1a?
第
1a?
2n ?
1a?
加到第 n行上去，第 行乘 ( )加到第
1n ? 行上去 ……,第二行乘 ( )加到第
1a?
)加到第三行上去。三行上去。第一行乘 (
)倍。
1a?
地加到第一行的 (即由下而上依次
得到：
2 1 1
2 2 1 1
22
2 2 1 1
1 1 1
0
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
n
n nn
nn
nn
a a a a
D a a a a a a
a a a a a a
??
??
? ? ? ???
??
23
2 2 2
2 1 3 1 1 2 3
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
nn
n n n
n
a a a
a a a a a a a a a
a a a
? ? ?
? ? ?
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
nn
n n n
nn
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
=
最后的因子是 1n ? 阶范德蒙行列式，
2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )n n nD a a a a a a D ?? ? ? ?
记为：
1nD ?
。则：
。
1 3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )n n nD a a a a a a D??? ? ? ?
同样
2nD ? 2n ?
是一个
阶范德蒙行列式，如此下去，
如此下去，
即：
2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )n n nD a a a a a a D ?? ? ? ?
2 1 3 1 1 3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a a a D ?? ? ? ? ? ?
==
1
()ij
n i j
aa
? ? ?
??
=
2 1 1 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?
=
2 1 1 3 2 2 4 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a a a a a D ?? ? ? ? ? ? ?
=
说明,1 naa n① 范德蒙行列式等于 这
个数的所有可能的差。
)1)(( ???? jinaa ji 的乘积。
中至少有两个相等。
10 nD a a??
② 由 得：
)( ji aaD ?? ?
1.5 克莱姆法则
定义 1,设给定一个含有 n个未知成量,n个方程线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
)1(
2211
11212111
nnnnnn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
则由 (1)的系数组成的一个 n阶行列式,
nnn
n
aa
aa
D
?
???
?
1
111
?
叫这个方程组的行列式。
定理 2,(克莱姆 Ciumes法则 )一个含有 n个未知方程
的线性方程组 (1)当它的行列式 D≠0时,有
仅有一个解,
)2(2211
D
D
x
D
D
x
D
D
x nn ??? ?
其中 D1是把 D的第 j列元素换以方程组的
常数项 b1…b n 而得到的 n阶行列式
nnnn
n
j
aba
aba
D
??
?????
??
1
1111
?
说明：①定理包含了三个结论：
10 方程组（ 1）有解；
20 解是唯一的；
30 解由公式（ 2）给出。
②克莱姆法则只对 D≠0时才能有应用，
并且只对未知数，方程的个数相同时才能用此
定理。例：解方程组：
?
?
?
?
?
????
???
????
0674
963
852
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxx
解,∵ 方程组的行列式是
,27
6741
2120
6031
1512
?
?
?
??
?
?D
即方程组有唯一解0?? D
27,27,108,81 4321 ?????? DDDD又
1
27
27,1
27
27,4
27
108,3
27
81
4321 ????
???????? xxxx
? 教学目标：
使学生进一步了解集合的运算，集合的映射和相
关概念，了解数环数域的相关概念，为后续学习
提供必备的基本知识，温故知新，实现承上启下
的目的。
? 重点：
集合的各种运算及集合的映射（象与原象，单射，
满射，双射）的概念。
? 难点：
集合概念的反面叙述和单射满射的证明技巧。
(一 ) 集合的运算，集合的映射主要概念。
?
?
""?
""?
（表示任意的）
（表示存在）
（表示由此推出）
（表示当且仅当）
先介绍几个符号：
? 定义 设 A,B是两个集合,a 是集合 A的元素，记作
aA? 。
反面叙述, a 不是集合 A 的元素，记作
aA?
。
（可举例说明）
A是 B的子集可表示为,AB? ? （ 对一切,x x A x B? ? ?）
反面叙述,如果 A不是 B的子集,
因此,A不是 B的子集 ? A中至少有一个元素不属于 B,
即
AB?
就记作
AB? ?,xA? xB?（存在一个元素 但 ）
()AB? ? （对一切,x x A x B? ? ?）
由 A的一切元素和 B的一切元素所成的集合叫做 A
与 B的并集 (简称并 ),记作 AB
根据定义有,()x A B x A x B? ? ? ?或
反面叙述,x A B? ()x A x B? ? ?且 （可举例说明）
由 A与 B的公共元素所成的集合叫做 A与 B的交集
(简称交 ),记作,AB 显然，,A B A?,A B B?
根据定义有,()x A B x A x B? ? ? ?且
反面叙述,x A B? ()x A x B? ? ?或
? 请同学们抓住特征，注意“交”与“并”的定义，正反两
方面的叙述，特别注意逻辑语言“或”与“且”的正反两
方面的表述，进一步巩固中学已学过的内容。同时注意上
述概念可以推广到 n个集合上去。
? 另外还需要了解下面的两个概念：
由一切属于 A但不属于 B的元素所组成的集合叫做
A与 B的差集，记作,A－ B，根据定义有：
{,}A B x x A x B? ? ? ?但
(,)ab a
{ (,),}A B a b a A b B? ? ? ?
由一切元素对 所成的集合，其中 取自 A，
b取自 B）叫作 A与 B的笛卡尔积（简称积）
根据定义有
? 定义 设 A,B是两个非空集合,A到 B的一个映
射指的是一个对应法则，通过这个法则对于集
合 A中的每一个元素 x有集合 B中一个唯一确定的
元素 y与它对应。
常用记号
:f A B
表示 f是 A到 B的一个映射。用元素表示为
:f x y (,)x A y B??
如果 ( ),f x y B?? 则 y称为 x在 f下的像，称 x为 y在 f
下的原像。 A的所有元素在 f下的像构成的 B的子
集，称为 A在 f下的像，记作 ( ).fA
即
( ) { ( ) }f A f x x A??
注意 ( ),f A B? 那么就称 f是 A到 B上的一个映射，也称 f
是一个满射。根据定义有：
:f A B 是满射 ? 对,y B x A? ? ? ? 使得 ()f x y?
如果对于 A中任意两个元素 1x 2,x 12xx? 就有
12( ) ( ),f x f x?
则称 f是 A到 B的一个单射。
只要和
注意：证明中常用到单射的逆否命题：
f是 AB 的单射 ? 对
12,,x x A??
由 12( ) ( )f x f x? ? 12xx?
如果 f既是单射又是满射，则称 f为双射，或一一映射，
此时 f存在逆映射
1,f B A?
用
Aj
和
Bj
表示 A和 B的恒等映射，则有：
,ABf j f j f f??
f是双射
?等 价 于 11,
ABf f j f f j
????
?
（二） 数环和数域
? 提出问题引入新课：整数集，有理数集，通过
加减乘除四则运算还仍然是整数有理数吗？
? 通过提问总结规律引入数环数域的定义
定义 1 设 S是复数集 C的一个非空子集如果对于
S中任意两个数,ab 来说，,,a b a b a b??
那么就称 S是一个数环（加、减、乘运算封闭）
都在 S内,
显然上述问题中的整数集，有理数集都是数环。
注意抓住共性：① S是非空数集
②加、减、乘运算封闭
例 1 验证 {,S n a n Z a?? 是一取定整数 }是一个数环（略）
例 2 验证 2{,,1 }S a b i a b Z i? ? ? ? ?是一个数环。
定义 2 设 F是一个数环，如果（ i） F含有一个不等于
零的数；（ ii）如果,,a b F? 且 0,b? 则称 F是一个
数域。
注意：数域的三个特性：
（ 1） F必是数环；
（ 2） F中存在非零元素；
（ 3）除法（分母不为零时）封闭。
例 3 验证 { 2 }F a b a b Q? ? ? ?是一个数域，本例中
注意 20cd?? ? 20cd??
定理 1 任何数域都包含有理数域。
证明：设 F是一个数域，由条件（ i）可知，
aF? 且 0a ? 于是 0,a a F? ? ? 1,a F
a??
而对于,mZ??? 有
1 1 1
m
mF? ? ? ? ?
个
进而对
,,,0m m mm n Z F Fn n n?? ? ? ? ? ? ?
? QF?
证毕。
第一章 行列式
?一、教学目标：
? 1．掌握排列、反序、反序数、对换等概念，理解一个对换变
排列的奇偶性；
? 2．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会计算行列式；
? 3．掌握余子式和代数余子式的定义，掌握行列式依行（列）
展开定理的证明及应用，进而总结出行列式的计算方法；
? 4．掌握 Vandermonde行列式的计算及应用；
? 5．理解 Cramer规则及应用。
二、重点：
排列、反序数、奇排列、偶排列、行列
式的定义，余子式和代数余子式，克莱姆法则；
三、难点：
n阶行列式的定义，先列式的计算技巧；
四、课时,16学时。
§ 1,1 线性方程组和行列式
?
?
?
?
?
???
??????????
???
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
?
?
11
11111
nxx ?1
定义 1 形如,(1)
其中,是未知量,),,2,1;,,2,1( njmia
ij ?? ??
是未知量系数，
mbb ?1
是常数，称（ 1）为线性
说明,方程组（ 1）的未知量个数与方程个数
不一定相等。
方程组。
定义 2
线性方程组（ 1）的一个解指的是这样一组数
)( 1 nkk ?,用它依次代替（ 1）中的未知量
nxx ?1
后，（ 1）的每个方程都是恒等式。
关于线性方程组的我们主要讨论以下几个问题：
1．判定一个方程组是否有解？
2．在有解的情况下，确定解的个数，并求出
一切解来。
§ 1,2 排列
定义 1 由 1,2,3,…, n个数码组成一 个
有序数组称为一个 n阶排列。
如,2431 是 1,2,3,4这四个数码组成的
一个四阶排列。
45321是 1,2,3,4,5这五个数码组成的
一个五阶排列。
说明,① n个数码的不同排列共有 n!个。
② 1,2,3,4…n 是 n个数码的一个 n阶排列，
称为自然顺序排列。
定义 2
在一个排列 njj ?1 中，如果前面的数大
于后面的数，那么它们就称为一个反序。一
个排列中出现的反序数之和称为这个排列的
反序数，记为,)(
1 njj ??
定义 3
反序数为偶数的排列称为偶排列，反序
数为奇数的排列称为奇排列。
定义 4
把一个排列中的两个数 i与 j的位量互换，而
其余的不动，就得到另一个排列，这样的一个
变换称为一个对换；记为,。)(ij
定理 1 对换改变排列的奇偶性。
定理 2 任一个 n阶排列都可以经过一系列
对换变成 1,2,3……n,反过来也可行。
说明,由定理得出：
与设 nii ?1 n
jj ?1 是两个 n阶排列，则
它们可以经过一系列对换互变。 事实上，
n
n
jj
nii
?
??
1
2
2
1 123
?? ??
?? ??
定理
定理
nn jjii ?? 11 ??? ???
一系列对换
定理 3 2?n 时,n个数码的奇排列与偶排
列各半，即都为 2!n 个。
证明,设 n个数码的奇排列共有 p个，偶排列
对 p个奇排列施行同一个对换,ij)( 由定理 1就得
到 p个偶排列。于是
共有 q个。
qp ?
q
个偶排列施行同一个
对换 。ij )( 则得到 q个奇排列，又由于奇排列的
总数为 p,pq ??
。nqp
2
!???
1.4 子式和代数余子式
定义 1.
在一个 n阶行列式 D中，任意划去 K行 K列，
位于这些行和列交界的元素按原来的排法构成一
个 K阶行列式，叫做 D的一个 K阶子式
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?如
划去二、三两行和一、四列，则相交处得到一
个二阶子式
3431
2421
aa
aa
M ?
定义 2,在 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
中划去元素 aij所在的行和列,剩下的 n-1阶
行列式称为元素 aij的余子式,记为 Mij
nnnjnjn
nijijii
nijijaii
njj
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
??
??????
??
??
??????
??
111
,11,11,11,1
,11,11,1,1
1111111
??
??????
??????
??
?即
如在四阶行列式中,余子式是
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
定义 3,n阶行列式 D的元素的 余子式
附以符号 后叫元素 的数余子式，
记为,即 ija
ijM
ji?? )1(
ijA ijjiij MA ??? )1(
ija
定理 1,若在一个 n阶行列式
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
中第 行（或第 列）的元素除 外
都是零，那么这个行列式等于 与
的乘积，即
j
i j ija
ija ijA
ijij AaD ?
证明,特殊情形：若 D的第一行中除 外全
都 是零，即
11a
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
????
?
?
21
22221
11
00
?
nnn
n
aa
aa
aMaAaD
?
???
?
2
222
111111111111
)1( ????
?
要证
? ??
n
ni
n
jj
njjj
jj aaaD
?
? ??
1
2
1
21
)()1( ?
是 的一个排列，当 时，
故这一项为零
∴ 只能是 1，于是 是 的一个排列，
njj ?1 n,,2,1 ? nj i,,3,2 ??
01 ?
ij
a
njj ?1
n,,3,2 ?
? ???
n
ni
n
jj
njjj
jj aaaD
?
? ?
1
2
1
21
)()1( ?
111111
11
111111
2
)(
11
211
)(
)1(
)1(
)1(
2
2
1
2
2
1
AaMaMa
aaa
aaa
n
n
n
n
n
n
jj
nj
j
jj
njj
jj
jj
????
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1j
(2) 一般情形, 设
nnnjnjnjn
inijijiji
njjj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
?????
??
?????
??
111
111
11111111
??
??
??
?
想办法把它变成另一种情形；首先把第 i行依次与第 i-1行、
i-2行,…, 2行,1行交换，这样经过了 i-1次交换的步骤，
就把 D的第 i换到了第一行的位置上了。然后再把第 j列依次
与第 j-1,j-2,…, 2,1列交换，一共经过了 j-1次交换两
列的步骤,aij就被换到了第一行第一列的位置上了，这时
的 D变为 D1：
nnnjnjnnj
nijijiiji
nijijiiji
njjj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
a
??????
???????????????
??
??
???????????????
??????
???????????????
???????????
111
11111111
11111111
11111111
0000
??
???????
???????
??
、、、、、
、、、、、
D1=
∵ D1是由 D经过 i-1次行变换和 j-1次列变
换而得到的。故
D=(-1)(i-1)+(j-1)D1=(-1)i+jD1
又由（ 1）
ijij
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
ij
Ma
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aD ??
??
??????
??????
??
????
?????????????
??
??
?????????????
????
111
1111111
1111111
1111111
、、
、、、、
、、、、
、、
∴
ijijij
ji
ijijij
ji AaMaMaD ????? ?? )1()1(
定理 2 行列式 D等于它的任一行（列）的所有
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211
（ i=1,2,…, n） （ 1）
（ j=1,2,…, n） （ 2）
元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。
即：
说明,任一个 n阶行列式都可由 n个 n-1阶行列式
表出。即任一个 n阶行列式可以降为 n-1阶行列
式来计算。不过定理的主要实质是：如果行列
式的某一行（列）有一部分是零，则用此定理
去计算就显得简单了。
例 4 计算四阶行列式
3 1 1 2
5 1 3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
D
?
??
?
?
??
解,第三行有一个零，由第 4列 × 2加到
第一列，第 4列 × 1加到第三列上去，得：
7 1 1 2
7 1 1 7 6 1
1 3 1 1 4
1 3 1 1 1 3 1 4 1
0 0 0 1
5 5 0 5 0 0
5 5 0 3
61
5 5 ( 6 1 4 ) 5 ( 8 ) 4 0
1 4 1
D
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
例 5 计算 n阶行列式
1 2 3 2 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
n
n n n n
x
x
x
x
a a a a a x a
? ? ?
?
?
?
??
?
?
解：
0100
000
001
0001
)1(
10000
00100
00010
00001
1
124321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?????
?
?
?
?
?
???????
?
?
?
x
x
a
axaaaaa
x
x
x
x
x
n
n
nnnn
n
这里第一个 n-1阶行列式和
n?
有相同
的形式，记为
1n??
则,? ? ? ?11
1111
nn
n n n n nx a x a
??
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
而
1 2 1 2 1 2n n nx a x a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
因此有：
nn
nn
nnnnnnnn
nnnnnnnnn
axaaxx
axaaxxaxaxx
axaxaaxxax
?????
?
???????????
????????????
?
??
??????
?????
12
2
1
1
12
2
3
3
123
2
12
2
121
)(
)(
?
??
111
12
1 2 1
1
11
()
nn
n n n
nn
nn
x a x a
x x a a x a x a
x a x a x a
??
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
说明,此例是把行列式的计算归纳为形式相似
的阶数较低的行列式来计算。这种递推的证明
方法比较常用。
例 6：计算行列式：
12
1 2 1
12
1 1 1
n
n
n n n
n
a a a
D
a a a
? ? ?
?
此行列式叫范德蒙行列式。
解,( )
1n ? 行乘
1a?
第
1a?
2n ?
1a?
加到第 n行上去，第 行乘 ( )加到第
1n ? 行上去 ……,第二行乘 ( )加到第
1a?
)加到第三行上去。三行上去。第一行乘 (
)倍。
1a?
地加到第一行的 (即由下而上依次
得到：
2 1 1
2 2 1 1
22
2 2 1 1
1 1 1
0
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
n
n nn
nn
nn
a a a a
D a a a a a a
a a a a a a
??
??
? ? ? ???
??
23
2 2 2
2 1 3 1 1 2 3
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
nn
n n n
n
a a a
a a a a a a a a a
a a a
? ? ?
? ? ?
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
nn
n n n
nn
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
=
最后的因子是 1n ? 阶范德蒙行列式，
2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )n n nD a a a a a a D ?? ? ? ?
记为：
1nD ?
。则：
。
1 3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )n n nD a a a a a a D??? ? ? ?
同样
2nD ? 2n ?
是一个
阶范德蒙行列式，如此下去，
如此下去，
即：
2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )n n nD a a a a a a D ?? ? ? ?
2 1 3 1 1 3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a a a D ?? ? ? ? ? ?
==
1
()ij
n i j
aa
? ? ?
??
=
2 1 1 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?
=
2 1 1 3 2 2 4 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a a a a a D ?? ? ? ? ? ? ?
=
说明,1 naa n① 范德蒙行列式等于 这
个数的所有可能的差。
)1)(( ???? jinaa ji 的乘积。
中至少有两个相等。
10 nD a a??
② 由 得：
)( ji aaD ?? ?
1.5 克莱姆法则
定义 1,设给定一个含有 n个未知成量,n个方程线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
)1(
2211
11212111
nnnnnn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
则由 (1)的系数组成的一个 n阶行列式,
nnn
n
aa
aa
D
?
???
?
1
111
?
叫这个方程组的行列式。
定理 2,(克莱姆 Ciumes法则 )一个含有 n个未知方程
的线性方程组 (1)当它的行列式 D≠0时,有
仅有一个解,
)2(2211
D
D
x
D
D
x
D
D
x nn ??? ?
其中 D1是把 D的第 j列元素换以方程组的
常数项 b1…b n 而得到的 n阶行列式
nnnn
n
j
aba
aba
D
??
?????
??
1
1111
?
说明：①定理包含了三个结论：
10 方程组（ 1）有解；
20 解是唯一的；
30 解由公式（ 2）给出。
②克莱姆法则只对 D≠0时才能有应用，
并且只对未知数，方程的个数相同时才能用此
定理。例：解方程组：
?
?
?
?
?
????
???
????
0674
963
852
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxx
解,∵ 方程组的行列式是
,27
6741
2120
6031
1512
?
?
?
??
?
?D
即方程组有唯一解0?? D
27,27,108,81 4321 ?????? DDDD又
1
27
27,1
27
27,4
27
108,3
27
81
4321 ????
???????? xxxx
