一、教学目标：
使学生了解矩阵的相关概念，熟练的掌握矩阵的
各种运算法则和运算规律。
二、重点：
矩阵的乘法运算和相关性质。
三、难点：
矩阵的乘法法则和运算律。
第三章 矩阵
? 3.0 矩阵的概念及应用
? 3.1 矩阵的运算
? 3.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
? 3.3 矩阵的分块
3.0 矩阵的概念
引言
矩阵这概念最早由 1850年，英国数
学家西尔维斯特
最先使用了“矩阵”一词。 1858年，
英国数学家凯莱
首先将矩阵作为一个独立的数学对
象加以研究，因而被认为是矩阵论
的创立者。
(,,,1 8 1 4 1 8 9 7 )J J S y l v e s t e r ?
(,,1 8 2 1 1 8 9 5 )A C a y l e y ?
矩阵的应用
? 随着社会的进步和科学技术的发展，矩阵在现
实生活，国民经济和现代科技中有着特殊重要
的地位和广泛的应用。
? 我们在讨论线性方程组时已经看到矩阵所起的
作用，但是矩阵的应用不仅限于线性方程组，
而是多方面的。因此矩阵已成为线性代数的主
要研究对象之一。
? 在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用。
我们在这一章里，将要讨论有关矩阵运算的一
些基本事实 。
?
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????????
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
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21
22221
11211
3.1 矩阵的运算
令 F是一个数域。用 F的元素 作成的一个 m行
n列矩阵叫做一个 F上的矩阵。
叫做一个 F上的矩阵。 A 也记作 。为了
指明 A的行数和列数，有时也把它记作 A
或
?
mn
ija
()i j m na
()ija
? 一个 m行 n列矩阵称为一个 m× n矩阵。特别，把一个
n× n矩阵叫做一个 n阶方阵，或 n阶矩阵。
? 以下我们引入三种运算：
? 数与矩阵的乘法，
? 矩阵的加减
? 矩阵的乘法。
pqmnA ?? ijij baqnpm ????,,
? 定义 1
数域 F的数 a与 F上一个 m× n矩阵 A=（ a ）的乘积 a A指
的是 m× n矩阵（ a） 。求数与矩阵乘积的运算叫做数
与矩阵的乘法。
? 注意,用 a去乘以的每一个元素 a
ij
ij
ij
? 定义 2 两个 m× n矩阵 A=（ a ）的和 指的
是 m× n矩阵 （ a,求两个矩阵和的运算
叫做矩阵的加法
? 注意,我们只能把行数相同，列数相同的两个
矩阵相加（同型可加性）
ij
???
)ijij b?
? 我们把由 F的 n个数所组成的数列 α 叫
做 F上一个 n元数列。这样的一个 n元数列可以
理解为一个一行 n列矩阵
（ α ），
? 也可以理解为一个 n行一列矩阵
naa,,,21 ?
naa,,,21 ?
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?
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n
a
a
a
?
2
1
? 这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得
到 F的数与 n元数列的乘法以及两个 n元数列的
加法：
a（ a ） =（ aa
（ a ）
+ （ b
? 现在回到一般的矩阵，我们把元素全是零的矩
阵叫做零矩阵，记作 O，如果矩阵 =（ a ），
我们就把（ -a ）叫做的负矩阵，记作 -A。
naa,,,21 ?
),,,,21 naaaa ?
naa,,,21 ?
),,,(),,,221121 nnn babababb ???? ??
ij
ij
由 定义 1和 2，容易推出以下运算规律：
这里 和 C表示任意 m× n矩阵，而 a和 b表示 F
中的任意数
???
??????
???????
?????
????
?????????
???????
)()(
)(
)(
0)(
0
)()(
abba
baba
aaa
CC
,??
? 利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：
)( ????????
于是有
????????? CC
?注,由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对
于数列也成立
? 以下我们将引入矩阵的乘法，这是矩阵运算中
最重要的一种
? 在作矩阵的乘法时，用求和符号 比较简便，
我们在这里先作几点说明。
? 一重求和符号是我们所熟悉的，我们只指出
以下等式成立：
??
??
??
?
??
?
? n
i
i
n
i
i abb
11
??
??
??
?
??
?
? n
i
i
n
i
i abb
11
?这里的 a与 i无关。
? 我们常要用形如 的双重求和符号。
双重求和符号的意思是，先对第二个求和符号
求和，再对第一个求和符号求和。这样，
?
?
m
i 1
?n jiba
??
?
?
??
?
?
? ????
????
n
j
j
m
i
i
n
j
ji
m
i
baba
1111
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????
m
i
ni bbba
1
21( ?
nbaba 2211 ab ???? ?
nbabab 22212a ???? ?
nmnnm babab ????????? ?2 a.,,
如果交换求和符号的秩序，那么就有
这两个等式的右端显然相等，因此有
这就是说，双重求和符号可以交换次序
????
????
?
m
i
ji
n
j
n
j
ji
m
i
baba
1111
j
m
i
i
n
j
m
i
i
n
j
babja ?
?
??
?
?? ????
???? 1111
221211 bababa m???? ? 22221a babab m???? ?
nmnn babab ????? ?21a...,,,,,,,,,
? 现在我们来定义矩阵的乘法
? 定义 3,数域 F上 m× n矩阵 与 n× p矩
阵 乘积 指的是这样的一个 m× p矩
阵，这个矩阵的第 i行第 j列（ i=1,2，
的元素 c 等于 A的第 i行的元素与 B的第 j列的对
应元素的乘积的和：
)( ija??
)( ijb??
),,3 p?
njinjijiij bababaC ???? ?2211
??
ij
? 这个乘积可以图示如下：
? 注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于
第二个矩阵的行数时才能相乘。
ij
j
j
j
j
inii
c
b
b
b
b
aaa ?
?
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?
?
?
?
?
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4
3
2
1
21
）（ ?
我们看一个例子（可乘性）
例 1：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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05
12
31
213
012
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?
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??????????????
??????????????
?
021133522113
001132502112
）（）（）（）（
）（）（）（）（
??
?
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??
?
?
?
?
?
815
70
对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘
法来说并不都成立。值得提出的是以下两点。
（ 1）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例如：
（ 2）矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 时，
有意义，但 没有意义。其次
和 虽然都有意义，但是当
时，第一个乘积是 m阶矩阵而第二个是 n阶矩
阵，他们不相等。最后,和 虽然都
是 n阶矩阵，但它们也未必相等。例如，
0
00
00
00
21
21
11
11
11
?
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pm ?
npmn BA mnnp
AB
nmmn BA mnnm AB nm ?
nnnn BA nnnn AB
? 例 2：
? 但是矩阵乘法满足结合律：
（ AB） C=A（ BC）
证明：可以假定
那么（ AB） C和 A（ BC）都是 矩阵，我们
来证明它们的对应元素相等，
??
?
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?
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?
???
?
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? ?
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57
18
13
32
12
21
??
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? ?
???
?
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??
?
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??
?
?
??
?
? ?
75
14
12
21
13
32
,,,pqcCbBaA ijnpijmnij ）（）（）（ ???
qm ?
令,
又矩阵乘法知，
因此（ AB） C=BC的第 i行和第 j的元素是
（ 1）
另一方面，（ AB） C=AV的第 i行第 j列的元素是
ijA B U u?? （ ） ）（ ijvVBC ??
??
??
??
p
i
ljklkj
n
k
klikil cbvbau
11
,
lj
n
k
klik
p
l
p
l
ljil cbacu ）（ ???
???
?
111
??
??
?
n
k
ljklik
p
l
cba
11
? （ 2）
? 由于双重求和符号可以交换次序，所以（ 1）
和（ 2）的右端相等。这就是证明了结合律。
? 我们知道，数 1乘任何数 仍得 。对矩
? 阵的乘法来说，存在这样的矩阵，它们有类
似于数 1的性质。
? 我们把主对称线（从左上角到右下角的对角线）
上元素都是 1，而其他元素都是 0的 n阶
方阵
）（ ???
???
?
p
l
ljkl
n
k
ik
n
k
kjik cbava
111
??
??
?
p
l
ljklik
n
k
cba
11
a a
叫做 n阶单位矩阵，记作,有时简记作 。
显然有以下性质：
A（ B+C） =AB+AC （ B+C） A=BA+CA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
100
010
001
?
????
?
?
nI
nI
mnnmnnpnpn AIAAAI ??,
矩阵的乘法和加法满足交换律：
I
a（ AB） =（ aA） B=A（ aB）。
给了任意 r个矩阵,只要前个
矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，就可以把
它们依次相乘。由于矩阵的乘法满足结合律，
作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，
而乘积 有完全确定的意义。特别，
一个 n阶方阵 A的 r方（ r是正整数）有意义：
这两个式子的验证比较简单，我们留给学生
练习注意，由于矩阵的乘法不满足交换律，所以
这两个式子并不能互推。
矩阵的乘法和数与矩阵的乘法显然满足以下
运算规律：
rAAA,，,?21
rAAA ?21
? 我们再约定
? 这样一来，一个 n阶方阵的任意非负整数次
方有意义。
设,
是 F（ x）中一个多项式，而 A是一个 n阶方阵，
那么 有确定的意义，
??? ??
?
个r
AAAA ?
IA ?0
m
m xaxaaxf ???? ?10）（
m
m AaAaIa ??? ?10
如果 f（ x）,g（ x） F[x]，而 A是一个 n阶方阵。
令
m
m AaAaIaAf ???? ?10）（
）（）（）（）（）（）（ xgxfxvxgxfxu ???,
那么有矩阵的运算规律容易得出
）（）（）（）（）（）（ AgAfAvAgAfAu ???,
它仍是 F上一个 n阶方阵，们将它记作 f（ x）：
最后我们引入矩阵的转置
? 定义 4 设 矩阵
? 把 A的行变为列所得到的 矩阵
? 叫作矩阵 A的转置。
nm ?
?
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mnmm
aaa
aaaa
aaaa
A
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????
21
24232221
14131211
mn?
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2/
12
m
m
n n m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
? 矩阵的转置满足以下规律：
? （ 3） (A')'=A,
? （ 4） (A+B)'=A'+B',
? （ 5） (AB)'=B'A',
? （ 6） (aA)'=aA',
? 我们只验证（ 5），其它三个规律容易验证。
? 假设：
?
?
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?
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?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
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?
22
22221
11211
?
?
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?
?
?
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npnn
p
p
bbb
bbb
bbb
B
?
????
?
?
21
22221
11211
首先容易看出,和 都是 矩阵。其
次，位于 的第 i行第 j列的元素就是位于 AB
的第 i行第 j列的元素，因而等于
位于 的的第 i行第 j列的元素等于 第 i行的
元素与 的第 j列的对应元素的乘积之和,因
而等于 B的第 i行的元素与 A的第 j列的对应元素
的乘积之和：
)'( AB
'' AB)'( AB
nijnijij bababa ??? ?2211
'' AB 'B
'A
mp?
1计算：
,''')'( 2121 nn AAAAAA ??????? ??
'''')'( 121121 AAAAAAAA nnnn ?? ?? ?
?
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???
???
?
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421
421
421
963
642
321
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??
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??
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??
?
412
503
310
231
4102
2013
等式（ 4）和（ 5）显然可以推广到个矩阵的情
形，也就是说以下电脑故事成立：
2 证明，两个矩阵 A与 B的乘积 AB的第 i行等
于 A的第 i行 乘以 B，第 j列等于 B的第 j列左乘
以 A。;,,,(;),,,(
)21
2
1
2
1
21 n
nn
n
bbb
a
a
a
b
b
b
aaa ?
??
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?
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113
210
121
121
011
132
113
210
121
（ i）设 是一个 矩阵，令
是 B的第 i列等于 B的第 j列,j=1,2,…,p,
又设 是任意一个 矩阵。
证明：
（ ii）设 A是一个 mxn矩阵。利用（ i）及习题 2的结
果，证明,
)( ijbB ? pn? )',,( 21 njjj bbbj ???
)',,( 21 pxxx ??? 1?p
ppxxxB ???? ???? 2211
?? )()( ABBA ?
3 可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：
? （ iii）设 是一个 矩阵，利用（ ii），证明：
? 4.
? 证明：当且仅当
C qp?
CABBCA )()( ?
?
?
?
?
?
?
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0000
1000
0100
0010
A
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?
?
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a
ba
cba
dcba
B
000
00
0
时。 BAAB ?
7．举例证明，当 时，未必
阶单位。
5．令 是第 行第 列的元素的 1而其余严肃
都是零的 n阶矩阵。求ij
E i j
klij EE
ACAB ? CB ?
6．求满足以下条件的所有 n阶矩阵 A。这里 B
是任意 n阶矩阵。
阶矩阵，证明 是 阶矩阵，而 是任意,9 nInA令
mm AIAAAIAI ??????? ? ))(( 12 ?
',' CCBB ???
10．对任意 n阶矩阵 A，必有 n阶矩阵 B和 C，
使 A=B+C，并且
8．证明，对任意 n阶矩阵 A和 B都有 。
[提示 的对角线上元素矩阵。 ]。
IBAAB ??
BAAB ?
2、可逆矩阵的性质
（ 1）若是矩阵 A可逆，那么 A的逆矩阵 A-1由唯
一决定
',',CCB：B ???可逆矩阵的定义和性质一
IBAAB ??
3.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式
1、定义 1 令 A是数域 F上一个 n阶矩阵，若是
在 F上 n阶矩阵 B，使得
那么 A叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），
B叫做 A的逆矩阵。用 A-1来表示
事实上，设 B和 C都是 A的逆矩阵：
ICAACIBAAB ????,
那么
CICCBAACBBIB ????? )()(
（ 2）可逆矩阵 A的逆矩阵 A-1也可逆，并且
AA ??? 11 )(
由算式
IAAAA ?? ?? 11 可以直接推出。
（ 3） 两个可逆矩阵 A和 B的乘积 AB也可逆，并且
111)( ??? ? ABAB
因为
IABABABAB ?? ???? ))(())(( 1111
推广,m个可逆矩阵 的乘积
可逆，且
mAAA,,,21 ?
mAAA ?21
1
1
1
2
11
21 )(
???? ? AAAAAA
mm ??
（ 4）可逆矩阵 A的转置 也可逆，且'A
)'()'( 11 ?? ? AA
注意,一个 n阶矩阵未必可逆。例如，令
??
?
?
??
?
?
?
00
1211 aaA
中三个相等的矩阵的转置，得
IIAAAA ??? ?? ')'('')'( 11
将等式
IAAAA ?? ?? 11
§ 3.3矩阵的分块
矩阵分块的概念和分块矩阵各种运算的基本法则
矩阵分块的基本思想和方法
矩阵的分块乘法
?主导思想,
? 将高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵, 达到简化计算
的目的 。
? 在这一节里, 我们将介绍矩阵运算的一种有用的技
巧 —— 矩阵的分块, 这种技巧在处理某些 较高阶
的矩阵时常常被用到 。
设 A是一个 4× 3矩阵,我们可以 在它的行或列之间加
上一些线,如下地把它分成四块：
用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩
阵 。
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
a a a
a a a
A
a a a
a a a
??
??
??
?
??
??
??
??
在一个分块矩阵里, 每一小块也可以看成一矩
阵, 例如, 上面的分块矩阵是由以下四个矩阵
组成的：
1 1 1 311
1 1 1 2
2 2 2 321
,,
aaa
AA
aaa
????
?? ????
?? ??
3 2 3 331
2 1 2 2
4 2 4 341
,
aaa
AA
aaa
????
?? ????
?? ??
我们可以把 A 简单地分成
给了一个矩阵, 可以有各种不同的分块方法,
例如, 我们也可以把上面的矩阵 A 分成两块：
1 1 1 2
2 1 2 2
AA
A
AA
??
? ??
??
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
a a a
a a a
A
a a a
a a a
??
??
??
?
??
??
??
或者分成六块：
等等，每一分块的方法叫做 A的一种分法。
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
a a a
a a a
A
a a a
a a a
??
??
??
? ??
??
??
??
根据矩阵的加法和数与矩阵的乘法的定义,
如果 A,B是两个矩阵，并且对于 A,B都用
同样的分法来分块：
1 1 1 1 1 1
11
,
qq
p p q p p q
A A B B
AB
A A B B
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
而
a
是一个数，那么
1 1 1 1 1 1
11
qq
p p p q p q
A B A B
AB
A B A B
????
??
??
????
??
1 1 1
1
q
p p q
a A a A
aA
a A a A
??
??
?
??
??
??
注意, 两个同型的矩阵 A,B,如果按同一种分法
进行分块, 那么 A与 B相加时, 只需把对应位置的小块
相加,
用一个数乘一个分块矩阵时, 只要用这个数遍乘各小
块 。
最常用到的是矩阵的分块乘法,为了说明这个方法,
先看一个例子,设
1 1 1 2
11
2 1 2 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
21
3 1 3 2
bb
B
B b b
B
bb
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
1 1 1 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _____
2 1 2 2
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
|
|
|
|
a a a
a a a
AA
A
AA
a a a
a a a
??
??
????
??
????
????
??
??
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1
A A B
AB
A A B
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
分块乘法就是在计算 AB时, 把各个小块看成矩阵
的元素, 然后按照通常矩阵乘法把它们相乘, 用
式子写出, 就是
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 1 2 1
A B A B C
A B A B C
?? ? ? ?
??? ? ? ?
?? ? ? ?
? 注意,要求 A 的列的分法和 B 的行的分法
是一致的，所以 A
11
B
11
,A
1 2
B
2 1
有意义，都是
2 × 2 矩阵，因而 A
11
B
11
+ A
1 2
B
2 1
是一个 2 × 2 矩阵,
同样,A
2 1
B
11
+ A
22
B
2 1
也是 2 × 2 矩阵，这样,
结果
11
21
C
C
??
??
??
是一个 4 × 2 矩阵，通过验证，得到的结果
和用通常矩阵乘法得到的结果是一 样
的,
设用同通常矩阵乘法得
? ?ijA B c?
那么 ? ?
ijc
的元素
32c
，它是 A 的第三行与 B 的第二
列的积：
? ?
12
22
3 2 3 1 3 2 3 3
32
,
b
b
c a a a
b
??
??
??
?
??
??
??
— —
与它对应的是
2 1 2 1 1 1 2 2 2 1C A B A B??
12c
中第一行第二列的元素, 亦即 A21的第一行
与 B11 的第二行的积加上 A22 的第一行与 B11的
第二列的积：
? ?
12
1 2 3 1 3 2 3 3 3 2
22
,
b
c a a a b
b
??
?? ??
??
由于 A21 的第一行与 A22 的第一行凑起来就
是 A 的第三行, 而 B11 的第二列与 B21 的第二列
凑起来就是 B 的第二列, 所以显然有
3 2 1 2cc?
ijc
其他 可以同样验证。
一般地说, 设 是一个 矩阵,
是一个 矩阵,把 A和 B 如下地分
块 。 使 A 的列的分法和 B 的行的分法一致：
? ?ijAa? mn?
? ?ijBb? np?
12
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
s
n n n
s
s
r r r s r
A A A m
A A A m
A
A A A m
??
??
??
?
??
??
??
一般地说，设 ? ?
ijAa?
是一个 mn? 矩阵,? ?
ijBb?
是一个
np? 矩阵,把 A和 B 如下地分块。
使 A 的列的分法和 B 的行的分法一致：
12
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
s
n n n
s
s
r r r s r
A A A m
A A A m
A
A A A m
??
??
??
?
??
??
??
tppp ?21
sstss
t
t
n
n
n
BBB
BBB
BBB
B
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
这里矩阵右面的数 m1 m2 … m r和 n1 n2 … n s分别
表示它们左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面的
数 p1 p2 …p t 和 n1 n2 …n s 分别表示它们下边的
小块矩阵的列数，因而
)1(
.
,
,
21
21
21
pppp
nnnn
mmmm
t
s
r
????
????
????
?
?
?
那么就有
tppp ?21)2(
rrtrr
t
t
m
m
m
CCC
CCC
CCC
AB
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
这里
tjriBABAC sjisjiij,,1.,,1,11 ??? ?????
应用举例,在某些情形, 对矩阵进行适当的分
块, 可以简化计算 。
例 1 设
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1011
0121
0010
0001
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0211
1401
1021
2301
B
为了求乘积 AB,我们可以对 A,B 如下分块
1
IO
AI
??
? ??
??
A
这里 I 是二阶单位矩阵,O 是二阶零矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
02
14
11
01
10
23
21
01
B
??
?
?
??
?
?
43
21
BB
BB=
按分块矩阵的乘法, 我们有
??
?
?
??
?
?
??
?
421311
21
BBABBA
BB
AB
这里
??
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
???
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?
??
11
42
11
01
21
01
11
21
311 BBA
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
? ?
??
35
11
02
14
10
23
11
21
421 BBA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3511
1142
1021
2301
AB
例 2 设
是一个 n阶方阵,并且 A,B分别为 r 阶
和 s 阶可逆方阵,r+s= n.
我们证明,P有逆矩阵 。
先假设 P有逆矩阵 X,将 X按 P的分法进行
分块：
??
?
?
??
?
?
?
BO
CA
P
??
?
?
??
?
?
?
43
21
XX
XX
A
由逆矩阵的定义有
于是得
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
s
r
IO
OI
XX
XX
BO
CA
43
21
rICXAX ?? 31 OCXAX ?? 42
OBX ?3 sIBX ?4
因为 B有逆矩阵，用 1?B
OX ?3 14 ?? BX
,
将 X3=0代入上面第一个等式得
rIAX ?1
再以 1?A 左乘，得
1
1
?? AX
再把
14 ?? BX
代入等式
OCXAX ?? 42
得
OCBAX ?? ? 12
左乘第二行的两个等式
得
将第二项移到等号右端，再以 1A? 左乘得
11
2X A C B
????
于是
1 1 1
1
A A C B
X
OB
? ? ?
?
???
? ??
??
直接验证可知
P X X P I??
形式如
的分块矩阵, 其中 Ai 是一个 ni 阶的方阵, 叫做一
个对角线分块矩阵, 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
AOO
OAO
OOA
?
????
?
?
2
1
1
2
S
A O O
O A O
A
O O A
??
??
??
?
??
??
??
1
2
S
B O O
O B O
B
O O B
??
??
??
?
??
??
??
是两个同阶的分块对角矩阵 。 并且有相同的分法, 那
么根据分块矩阵的运算, 我们有
11
22
SS
A B O O
O A B O
AB
O O A B
???
??
?
??
??
???
11
22
SS
A B O O
O A B O
AB
O O A B
??
??
?
??
??
如果每一个 Ai都有逆矩阵,那么 A也有逆矩阵,
并且
（转化为求
子块的逆）
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
1
S
AOO
OAO
OOA
?
????
?
?
使学生了解矩阵的相关概念，熟练的掌握矩阵的
各种运算法则和运算规律。
二、重点：
矩阵的乘法运算和相关性质。
三、难点：
矩阵的乘法法则和运算律。
第三章 矩阵
? 3.0 矩阵的概念及应用
? 3.1 矩阵的运算
? 3.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
? 3.3 矩阵的分块
3.0 矩阵的概念
引言
矩阵这概念最早由 1850年，英国数
学家西尔维斯特
最先使用了“矩阵”一词。 1858年，
英国数学家凯莱
首先将矩阵作为一个独立的数学对
象加以研究，因而被认为是矩阵论
的创立者。
(,,,1 8 1 4 1 8 9 7 )J J S y l v e s t e r ?
(,,1 8 2 1 1 8 9 5 )A C a y l e y ?
矩阵的应用
? 随着社会的进步和科学技术的发展，矩阵在现
实生活，国民经济和现代科技中有着特殊重要
的地位和广泛的应用。
? 我们在讨论线性方程组时已经看到矩阵所起的
作用，但是矩阵的应用不仅限于线性方程组，
而是多方面的。因此矩阵已成为线性代数的主
要研究对象之一。
? 在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用。
我们在这一章里，将要讨论有关矩阵运算的一
些基本事实 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
?
?
21
22221
11211
3.1 矩阵的运算
令 F是一个数域。用 F的元素 作成的一个 m行
n列矩阵叫做一个 F上的矩阵。
叫做一个 F上的矩阵。 A 也记作 。为了
指明 A的行数和列数，有时也把它记作 A
或
?
mn
ija
()i j m na
()ija
? 一个 m行 n列矩阵称为一个 m× n矩阵。特别，把一个
n× n矩阵叫做一个 n阶方阵，或 n阶矩阵。
? 以下我们引入三种运算：
? 数与矩阵的乘法，
? 矩阵的加减
? 矩阵的乘法。
pqmnA ?? ijij baqnpm ????,,
? 定义 1
数域 F的数 a与 F上一个 m× n矩阵 A=（ a ）的乘积 a A指
的是 m× n矩阵（ a） 。求数与矩阵乘积的运算叫做数
与矩阵的乘法。
? 注意,用 a去乘以的每一个元素 a
ij
ij
ij
? 定义 2 两个 m× n矩阵 A=（ a ）的和 指的
是 m× n矩阵 （ a,求两个矩阵和的运算
叫做矩阵的加法
? 注意,我们只能把行数相同，列数相同的两个
矩阵相加（同型可加性）
ij
???
)ijij b?
? 我们把由 F的 n个数所组成的数列 α 叫
做 F上一个 n元数列。这样的一个 n元数列可以
理解为一个一行 n列矩阵
（ α ），
? 也可以理解为一个 n行一列矩阵
naa,,,21 ?
naa,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
?
2
1
? 这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得
到 F的数与 n元数列的乘法以及两个 n元数列的
加法：
a（ a ） =（ aa
（ a ）
+ （ b
? 现在回到一般的矩阵，我们把元素全是零的矩
阵叫做零矩阵，记作 O，如果矩阵 =（ a ），
我们就把（ -a ）叫做的负矩阵，记作 -A。
naa,,,21 ?
),,,,21 naaaa ?
naa,,,21 ?
),,,(),,,221121 nnn babababb ???? ??
ij
ij
由 定义 1和 2，容易推出以下运算规律：
这里 和 C表示任意 m× n矩阵，而 a和 b表示 F
中的任意数
???
??????
???????
?????
????
?????????
???????
)()(
)(
)(
0)(
0
)()(
abba
baba
aaa
CC
,??
? 利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：
)( ????????
于是有
????????? CC
?注,由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对
于数列也成立
? 以下我们将引入矩阵的乘法，这是矩阵运算中
最重要的一种
? 在作矩阵的乘法时，用求和符号 比较简便，
我们在这里先作几点说明。
? 一重求和符号是我们所熟悉的，我们只指出
以下等式成立：
??
??
??
?
??
?
? n
i
i
n
i
i abb
11
??
??
??
?
??
?
? n
i
i
n
i
i abb
11
?这里的 a与 i无关。
? 我们常要用形如 的双重求和符号。
双重求和符号的意思是，先对第二个求和符号
求和，再对第一个求和符号求和。这样，
?
?
m
i 1
?n jiba
??
?
?
??
?
?
? ????
????
n
j
j
m
i
i
n
j
ji
m
i
baba
1111
?
?
????
m
i
ni bbba
1
21( ?
nbaba 2211 ab ???? ?
nbabab 22212a ???? ?
nmnnm babab ????????? ?2 a.,,
如果交换求和符号的秩序，那么就有
这两个等式的右端显然相等，因此有
这就是说，双重求和符号可以交换次序
????
????
?
m
i
ji
n
j
n
j
ji
m
i
baba
1111
j
m
i
i
n
j
m
i
i
n
j
babja ?
?
??
?
?? ????
???? 1111
221211 bababa m???? ? 22221a babab m???? ?
nmnn babab ????? ?21a...,,,,,,,,,
? 现在我们来定义矩阵的乘法
? 定义 3,数域 F上 m× n矩阵 与 n× p矩
阵 乘积 指的是这样的一个 m× p矩
阵，这个矩阵的第 i行第 j列（ i=1,2，
的元素 c 等于 A的第 i行的元素与 B的第 j列的对
应元素的乘积的和：
)( ija??
)( ijb??
),,3 p?
njinjijiij bababaC ???? ?2211
??
ij
? 这个乘积可以图示如下：
? 注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于
第二个矩阵的行数时才能相乘。
ij
j
j
j
j
inii
c
b
b
b
b
aaa ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
3
2
1
21
）（ ?
我们看一个例子（可乘性）
例 1：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
05
12
31
213
012
??
?
?
??
?
?
??????????????
??????????????
?
021133522113
001132502112
）（）（）（）（
）（）（）（）（
??
?
?
??
?
?
?
?
?
815
70
对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘
法来说并不都成立。值得提出的是以下两点。
（ 1）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例如：
（ 2）矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 时，
有意义，但 没有意义。其次
和 虽然都有意义，但是当
时，第一个乘积是 m阶矩阵而第二个是 n阶矩
阵，他们不相等。最后,和 虽然都
是 n阶矩阵，但它们也未必相等。例如，
0
00
00
00
21
21
11
11
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
pm ?
npmn BA mnnp
AB
nmmn BA mnnm AB nm ?
nnnn BA nnnn AB
? 例 2：
? 但是矩阵乘法满足结合律：
（ AB） C=A（ BC）
证明：可以假定
那么（ AB） C和 A（ BC）都是 矩阵，我们
来证明它们的对应元素相等，
??
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
?
?
??
?
?
57
18
13
32
12
21
??
?
?
??
?
? ?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
? ?
75
14
12
21
13
32
,,,pqcCbBaA ijnpijmnij ）（）（）（ ???
qm ?
令,
又矩阵乘法知，
因此（ AB） C=BC的第 i行和第 j的元素是
（ 1）
另一方面，（ AB） C=AV的第 i行第 j列的元素是
ijA B U u?? （ ） ）（ ijvVBC ??
??
??
??
p
i
ljklkj
n
k
klikil cbvbau
11
,
lj
n
k
klik
p
l
p
l
ljil cbacu ）（ ???
???
?
111
??
??
?
n
k
ljklik
p
l
cba
11
? （ 2）
? 由于双重求和符号可以交换次序，所以（ 1）
和（ 2）的右端相等。这就是证明了结合律。
? 我们知道，数 1乘任何数 仍得 。对矩
? 阵的乘法来说，存在这样的矩阵，它们有类
似于数 1的性质。
? 我们把主对称线（从左上角到右下角的对角线）
上元素都是 1，而其他元素都是 0的 n阶
方阵
）（ ???
???
?
p
l
ljkl
n
k
ik
n
k
kjik cbava
111
??
??
?
p
l
ljklik
n
k
cba
11
a a
叫做 n阶单位矩阵，记作,有时简记作 。
显然有以下性质：
A（ B+C） =AB+AC （ B+C） A=BA+CA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
?
????
?
?
nI
nI
mnnmnnpnpn AIAAAI ??,
矩阵的乘法和加法满足交换律：
I
a（ AB） =（ aA） B=A（ aB）。
给了任意 r个矩阵,只要前个
矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，就可以把
它们依次相乘。由于矩阵的乘法满足结合律，
作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，
而乘积 有完全确定的意义。特别，
一个 n阶方阵 A的 r方（ r是正整数）有意义：
这两个式子的验证比较简单，我们留给学生
练习注意，由于矩阵的乘法不满足交换律，所以
这两个式子并不能互推。
矩阵的乘法和数与矩阵的乘法显然满足以下
运算规律：
rAAA,，,?21
rAAA ?21
? 我们再约定
? 这样一来，一个 n阶方阵的任意非负整数次
方有意义。
设,
是 F（ x）中一个多项式，而 A是一个 n阶方阵，
那么 有确定的意义，
??? ??
?
个r
AAAA ?
IA ?0
m
m xaxaaxf ???? ?10）（
m
m AaAaIa ??? ?10
如果 f（ x）,g（ x） F[x]，而 A是一个 n阶方阵。
令
m
m AaAaIaAf ???? ?10）（
）（）（）（）（）（）（ xgxfxvxgxfxu ???,
那么有矩阵的运算规律容易得出
）（）（）（）（）（）（ AgAfAvAgAfAu ???,
它仍是 F上一个 n阶方阵，们将它记作 f（ x）：
最后我们引入矩阵的转置
? 定义 4 设 矩阵
? 把 A的行变为列所得到的 矩阵
? 叫作矩阵 A的转置。
nm ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
aaa
aaaa
aaaa
A
?
????
21
24232221
14131211
mn?
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2/
12
m
m
n n m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
? 矩阵的转置满足以下规律：
? （ 3） (A')'=A,
? （ 4） (A+B)'=A'+B',
? （ 5） (AB)'=B'A',
? （ 6） (aA)'=aA',
? 我们只验证（ 5），其它三个规律容易验证。
? 假设：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
22
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
npnn
p
p
bbb
bbb
bbb
B
?
????
?
?
21
22221
11211
首先容易看出,和 都是 矩阵。其
次，位于 的第 i行第 j列的元素就是位于 AB
的第 i行第 j列的元素，因而等于
位于 的的第 i行第 j列的元素等于 第 i行的
元素与 的第 j列的对应元素的乘积之和,因
而等于 B的第 i行的元素与 A的第 j列的对应元素
的乘积之和：
)'( AB
'' AB)'( AB
nijnijij bababa ??? ?2211
'' AB 'B
'A
mp?
1计算：
,''')'( 2121 nn AAAAAA ??????? ??
'''')'( 121121 AAAAAAAA nnnn ?? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
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???
???
?
?
?
?
?
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?
?
?
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421
421
421
963
642
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
412
503
310
231
4102
2013
等式（ 4）和（ 5）显然可以推广到个矩阵的情
形，也就是说以下电脑故事成立：
2 证明，两个矩阵 A与 B的乘积 AB的第 i行等
于 A的第 i行 乘以 B，第 j列等于 B的第 j列左乘
以 A。;,,,(;),,,(
)21
2
1
2
1
21 n
nn
n
bbb
a
a
a
b
b
b
aaa ?
??
?
?
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?
?
?
?
?
113
210
121
121
011
132
113
210
121
（ i）设 是一个 矩阵，令
是 B的第 i列等于 B的第 j列,j=1,2,…,p,
又设 是任意一个 矩阵。
证明：
（ ii）设 A是一个 mxn矩阵。利用（ i）及习题 2的结
果，证明,
)( ijbB ? pn? )',,( 21 njjj bbbj ???
)',,( 21 pxxx ??? 1?p
ppxxxB ???? ???? 2211
?? )()( ABBA ?
3 可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：
? （ iii）设 是一个 矩阵，利用（ ii），证明：
? 4.
? 证明：当且仅当
C qp?
CABBCA )()( ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
1000
0100
0010
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
ba
cba
dcba
B
000
00
0
时。 BAAB ?
7．举例证明，当 时，未必
阶单位。
5．令 是第 行第 列的元素的 1而其余严肃
都是零的 n阶矩阵。求ij
E i j
klij EE
ACAB ? CB ?
6．求满足以下条件的所有 n阶矩阵 A。这里 B
是任意 n阶矩阵。
阶矩阵，证明 是 阶矩阵，而 是任意,9 nInA令
mm AIAAAIAI ??????? ? ))(( 12 ?
',' CCBB ???
10．对任意 n阶矩阵 A，必有 n阶矩阵 B和 C，
使 A=B+C，并且
8．证明，对任意 n阶矩阵 A和 B都有 。
[提示 的对角线上元素矩阵。 ]。
IBAAB ??
BAAB ?
2、可逆矩阵的性质
（ 1）若是矩阵 A可逆，那么 A的逆矩阵 A-1由唯
一决定
',',CCB：B ???可逆矩阵的定义和性质一
IBAAB ??
3.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式
1、定义 1 令 A是数域 F上一个 n阶矩阵，若是
在 F上 n阶矩阵 B，使得
那么 A叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），
B叫做 A的逆矩阵。用 A-1来表示
事实上，设 B和 C都是 A的逆矩阵：
ICAACIBAAB ????,
那么
CICCBAACBBIB ????? )()(
（ 2）可逆矩阵 A的逆矩阵 A-1也可逆，并且
AA ??? 11 )(
由算式
IAAAA ?? ?? 11 可以直接推出。
（ 3） 两个可逆矩阵 A和 B的乘积 AB也可逆，并且
111)( ??? ? ABAB
因为
IABABABAB ?? ???? ))(())(( 1111
推广,m个可逆矩阵 的乘积
可逆，且
mAAA,,,21 ?
mAAA ?21
1
1
1
2
11
21 )(
???? ? AAAAAA
mm ??
（ 4）可逆矩阵 A的转置 也可逆，且'A
)'()'( 11 ?? ? AA
注意,一个 n阶矩阵未必可逆。例如，令
??
?
?
??
?
?
?
00
1211 aaA
中三个相等的矩阵的转置，得
IIAAAA ??? ?? ')'('')'( 11
将等式
IAAAA ?? ?? 11
§ 3.3矩阵的分块
矩阵分块的概念和分块矩阵各种运算的基本法则
矩阵分块的基本思想和方法
矩阵的分块乘法
?主导思想,
? 将高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵, 达到简化计算
的目的 。
? 在这一节里, 我们将介绍矩阵运算的一种有用的技
巧 —— 矩阵的分块, 这种技巧在处理某些 较高阶
的矩阵时常常被用到 。
设 A是一个 4× 3矩阵,我们可以 在它的行或列之间加
上一些线,如下地把它分成四块：
用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩
阵 。
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
a a a
a a a
A
a a a
a a a
??
??
??
?
??
??
??
??
在一个分块矩阵里, 每一小块也可以看成一矩
阵, 例如, 上面的分块矩阵是由以下四个矩阵
组成的：
1 1 1 311
1 1 1 2
2 2 2 321
,,
aaa
AA
aaa
????
?? ????
?? ??
3 2 3 331
2 1 2 2
4 2 4 341
,
aaa
AA
aaa
????
?? ????
?? ??
我们可以把 A 简单地分成
给了一个矩阵, 可以有各种不同的分块方法,
例如, 我们也可以把上面的矩阵 A 分成两块：
1 1 1 2
2 1 2 2
AA
A
AA
??
? ??
??
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
a a a
a a a
A
a a a
a a a
??
??
??
?
??
??
??
或者分成六块：
等等，每一分块的方法叫做 A的一种分法。
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
a a a
a a a
A
a a a
a a a
??
??
??
? ??
??
??
??
根据矩阵的加法和数与矩阵的乘法的定义,
如果 A,B是两个矩阵，并且对于 A,B都用
同样的分法来分块：
1 1 1 1 1 1
11
,
p p q p p q
A A B B
AB
A A B B
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
而
a
是一个数，那么
1 1 1 1 1 1
11
p p p q p q
A B A B
AB
A B A B
????
??
??
????
??
1 1 1
1
q
p p q
a A a A
aA
a A a A
??
??
?
??
??
??
注意, 两个同型的矩阵 A,B,如果按同一种分法
进行分块, 那么 A与 B相加时, 只需把对应位置的小块
相加,
用一个数乘一个分块矩阵时, 只要用这个数遍乘各小
块 。
最常用到的是矩阵的分块乘法,为了说明这个方法,
先看一个例子,设
1 1 1 2
11
2 1 2 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
21
3 1 3 2
bb
B
B b b
B
bb
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
1 1 1 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _____
2 1 2 2
3 1 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3
|
|
|
|
a a a
a a a
AA
A
AA
a a a
a a a
??
??
????
??
????
????
??
??
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1
A A B
AB
A A B
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
分块乘法就是在计算 AB时, 把各个小块看成矩阵
的元素, 然后按照通常矩阵乘法把它们相乘, 用
式子写出, 就是
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 1 2 1
A B A B C
A B A B C
?? ? ? ?
??? ? ? ?
?? ? ? ?
? 注意,要求 A 的列的分法和 B 的行的分法
是一致的，所以 A
11
B
11
,A
1 2
B
2 1
有意义，都是
2 × 2 矩阵，因而 A
11
B
11
+ A
1 2
B
2 1
是一个 2 × 2 矩阵,
同样,A
2 1
B
11
+ A
22
B
2 1
也是 2 × 2 矩阵，这样,
结果
11
21
C
C
??
??
??
是一个 4 × 2 矩阵，通过验证，得到的结果
和用通常矩阵乘法得到的结果是一 样
的,
设用同通常矩阵乘法得
? ?ijA B c?
那么 ? ?
ijc
的元素
32c
，它是 A 的第三行与 B 的第二
列的积：
? ?
12
22
3 2 3 1 3 2 3 3
32
,
b
b
c a a a
b
??
??
??
?
??
??
??
— —
与它对应的是
2 1 2 1 1 1 2 2 2 1C A B A B??
12c
中第一行第二列的元素, 亦即 A21的第一行
与 B11 的第二行的积加上 A22 的第一行与 B11的
第二列的积：
? ?
12
1 2 3 1 3 2 3 3 3 2
22
,
b
c a a a b
b
??
?? ??
??
由于 A21 的第一行与 A22 的第一行凑起来就
是 A 的第三行, 而 B11 的第二列与 B21 的第二列
凑起来就是 B 的第二列, 所以显然有
3 2 1 2cc?
ijc
其他 可以同样验证。
一般地说, 设 是一个 矩阵,
是一个 矩阵,把 A和 B 如下地分
块 。 使 A 的列的分法和 B 的行的分法一致：
? ?ijAa? mn?
? ?ijBb? np?
12
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
s
n n n
s
s
r r r s r
A A A m
A A A m
A
A A A m
??
??
??
?
??
??
??
一般地说，设 ? ?
ijAa?
是一个 mn? 矩阵,? ?
ijBb?
是一个
np? 矩阵,把 A和 B 如下地分块。
使 A 的列的分法和 B 的行的分法一致：
12
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
s
n n n
s
s
r r r s r
A A A m
A A A m
A
A A A m
??
??
??
?
??
??
??
tppp ?21
sstss
t
t
n
n
n
BBB
BBB
BBB
B
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
这里矩阵右面的数 m1 m2 … m r和 n1 n2 … n s分别
表示它们左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面的
数 p1 p2 …p t 和 n1 n2 …n s 分别表示它们下边的
小块矩阵的列数，因而
)1(
.
,
,
21
21
21
pppp
nnnn
mmmm
t
s
r
????
????
????
?
?
?
那么就有
tppp ?21)2(
rrtrr
t
t
m
m
m
CCC
CCC
CCC
AB
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
这里
tjriBABAC sjisjiij,,1.,,1,11 ??? ?????
应用举例,在某些情形, 对矩阵进行适当的分
块, 可以简化计算 。
例 1 设
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1011
0121
0010
0001
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0211
1401
1021
2301
B
为了求乘积 AB,我们可以对 A,B 如下分块
1
IO
AI
??
? ??
??
A
这里 I 是二阶单位矩阵,O 是二阶零矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
02
14
11
01
10
23
21
01
B
??
?
?
??
?
?
43
21
BB
BB=
按分块矩阵的乘法, 我们有
??
?
?
??
?
?
??
?
421311
21
BBABBA
BB
AB
这里
??
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
???
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?
??
11
42
11
01
21
01
11
21
311 BBA
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
? ?
??
35
11
02
14
10
23
11
21
421 BBA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3511
1142
1021
2301
AB
例 2 设
是一个 n阶方阵,并且 A,B分别为 r 阶
和 s 阶可逆方阵,r+s= n.
我们证明,P有逆矩阵 。
先假设 P有逆矩阵 X,将 X按 P的分法进行
分块：
??
?
?
??
?
?
?
BO
CA
P
??
?
?
??
?
?
?
43
21
XX
XX
A
由逆矩阵的定义有
于是得
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
s
r
IO
OI
XX
XX
BO
CA
43
21
rICXAX ?? 31 OCXAX ?? 42
OBX ?3 sIBX ?4
因为 B有逆矩阵，用 1?B
OX ?3 14 ?? BX
,
将 X3=0代入上面第一个等式得
rIAX ?1
再以 1?A 左乘，得
1
1
?? AX
再把
14 ?? BX
代入等式
OCXAX ?? 42
得
OCBAX ?? ? 12
左乘第二行的两个等式
得
将第二项移到等号右端，再以 1A? 左乘得
11
2X A C B
????
于是
1 1 1
1
A A C B
X
OB
? ? ?
?
???
? ??
??
直接验证可知
P X X P I??
形式如
的分块矩阵, 其中 Ai 是一个 ni 阶的方阵, 叫做一
个对角线分块矩阵, 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
AOO
OAO
OOA
?
????
?
?
2
1
1
2
S
A O O
O A O
A
O O A
??
??
??
?
??
??
??
1
2
S
B O O
O B O
B
O O B
??
??
??
?
??
??
??
是两个同阶的分块对角矩阵 。 并且有相同的分法, 那
么根据分块矩阵的运算, 我们有
11
22
SS
A B O O
O A B O
AB
O O A B
???
??
?
??
??
???
11
22
SS
A B O O
O A B O
AB
O O A B
??
??
?
??
??
如果每一个 Ai都有逆矩阵,那么 A也有逆矩阵,
并且
（转化为求
子块的逆）
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
1
S
AOO
OAO
OOA
?
????
?
?
