第五章
向量空间
主讲：彭乃霞
教学要求
1、理解向量空间的概念，并清楚线性代数所讨论的问题都是在向
量空间的基础上讨论的。
2、清楚向量空间是欧几里得几何空间的推广，能熟练的判定一个
向量空间，子空间。
3、能熟练判定一个向量组的线性相关性。
4、会求简单向量空间的基和维数，两个基下的过渡矩阵及坐标变
换公式的应用。
5、掌握同构定义及同构同维的关系。
6、会求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用。
向量空间的定义，子空间的
定义及判别，线性相关性，
基，维数，坐标；齐次线性
方程组的解空间及应用。
难点：对向量空间、子空间
的理解，向量的线性相关性。
重点
§ 5.1.1 定义和例子
3,R?? ?? ?? ? ?
k ?k
?
?
???
k?
复习上学期所学解析几何中向量的加法（,
与实数 的, 数量乘法, （ ）：
且关于这个, 加法, 满足 4条（分析并板书），
）及向量
一、定义与性质
关于这个“数量乘法”也满足 4条（分析并板书）。
F
?,,,cba V
?,,,???
定义 5.1.1 令 是一个数域,中的元素用小写的字母
来表示。令 是一个非空集合,中的元素用小
如果下列条件被满足，就称
是
一、定义与性质
F
来表示。
V F
V
写的希腊字母
上的一个向量空间：
01 V
??,
? ? ?? ?
在 中定义了一个加法：对于 中任意两个向量
，有 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量
与 的和，并且记做 。
V
V
叫做
02有一个标量与向量的乘法：对于 F中的每一个数
和a V中的每一个向量 ?中唯一确定的向量与它们
对应，这个向量叫做 的积，并且记做a ?与 ?a
向量的加法和标量于向量的乘法满足下列算律：
V?? ??,???? ???（ 1）加法交换律,有 ；
V?? ???,,)()( ?????? ?????（ 2）加法结合律,有 ；
0 V?,0V? ? ?? ? ? ?（ 3）存在, 零元,,即存在,使得 ；
V??? V? ? 0????（ 4）存在负元，即,存在,使得；
（ 5）分配律,,k K V??? ? ?，都有 ()k k k? ? ? ?? ? ?；
（ 6）分配律,,k l K V?? ? ?, 都有 ()k l k l? ? ?? ? ?；
（ 7）数乘结合律,,k l K V?? ? ?, 都有 ( ) ( ) ( )k l k l l k? ? ??? ；
（ 8）, 1律, 1 ???? 。
V F我们把 中的元素叫做向量,中的元素叫做标量。
我们现在从定义出发,来推导向量空间的一些简单性质,
根据零向量和负向量的定义,可以推出
V
?
性质 1 在一个向量空间 里，零向量是唯一的；对于
和中每一个向量, 的负向量由 唯一确定。
V
? ?
??与 ）（ ?? ?? ?? ?
定义 5.1.2
的差为,,并且记作 。定义向量
这样一来，在一个向量空间里，加法的逆运算 -减法可以实施，
并且有
（ 1） ?????? ?????
.
关于标量与向量的乘法有：
性质 2 对于任意向量 ? F
00 ??
和数域 中任意数 ?,我们有：
(2) 00 ?a,。
(3) ??? aaa ????? )()( 。
00 ??? aa ? 0??(4) 或 。
思 考
设 V是二元有序实数组所成的集合
{ (,) }nV a b a b R??,。
( a,b ) + ( c,d ) = ( a + c,b + d ),k ( a,b ) = ( k a,0 )
定义
。
V中的加法和数量乘法为：
R判断 是不是 上的向量空间。V
由此思考定义 5.1.1中的 8条中的 (8)不能少。
例子
nmCA ?? ? ?
0??? AXCXV n C
例 1、对固定,取,数域为
，并定义：
VyyyYxxxX nn ???? ),,,(),,,,( 2121 ?? Ca ??,有：
),,,( 2211 nn yxyxyxYX ????? ? ),,,(
21 naxaxaxaX ??
,。
V C则 关于这个加法和数乘构成复数域
上的向量空间。
§ 5.2、子空间
? 教学目标
了解子空间的内涵并会判断一个子空间,
? 教学重点
子空间的定义及其判断,
? 教学难点
子空间的性质及其应用,
§ 5.2、子空间
一、子空间的定义和判定
构成数域
定义 5.2.1 设 F 上的一个向量空间,
对于的一个非空子集 。
W V
W V
F W V
V 是数域 是
的加法和数量乘法也
上的向量空间，则称 是 的一个子空间 。
如果
W?? ??,W?? ?? W V1) 有
( 关于 的加法封闭 )；
W F V
W V
定理 5.2.1 设 是数域 上向量空间 的非空子集。
是 的子 空间的充分必要条件是：则
WFk ???? ?,Wk ?? W V有 （ 关于 中向量的数2)乘封闭）。
F V
V WFba ????? ??,,,.a b W????
定理 5.2.2 数域 上向量空间 中的一个非空子集是
的一个子 空间 有
二、子空间的交与和
V
V 21 WW,
21 WW ?
定理 5.2.3 向量空间 的两个子空间 的交
是 的一个子空间。
的一组子空间（个数
的一个子空间。 向量空间
的并集，一般来说不是子空间。
? ?iW V
ii W?
ii W?
V
V 21 WW 与
V ? ?
22112121 WWWW ????? ????,21
WW 与
一般，设 是向量空间
表示这些子空间的
也是
的两个子空间
的子集,为 的和
可以有限，也可以无限），令
交，可以证明,
称
V 1W 2W
21 WW ? V
定理 5.2.4 向量空间 的两个子空间 与 的和
是 的子 空间。
nWWW,，,?21 V
Win
i
i ??
?
??,
1
V
nWWW,，,?21
nWWW ?? ?21
两个子空间和的慨念也可以推广到任意有限多
是 的子空间,容
的向量作成 的一个 子
的和，并且
来表示。
个子空间的情形。设
易证明，一切形如
空间。这个子空间称为子空间
用符号
例子
的平凡子空间。V V
V V
一个向量空间 本身和零空间叫做
的非平凡子空 间叫做 的真子空间．
V
??0 V
V
例 1 向量空间 总是它自身的一个子空间,另一
显然对于 的加法
的一个子空间,
方面,单独一个零向量所成的集合
和量与向量的数乘封闭的,因而也是
称为零空间,
是
F 0?AX
? ?2,0 FXAXX ?? 2F
例 2 数域 上的齐次线性方程组 的解向量全体
的子空间。
nF F
in ?? ???? ),0,121 ?，，（
nF例 3 中一切形如 的向量作成
的一个子空间。
的多项式 全? ?xF n
? ?xF
例 4 中次数不超过一个给定的整数
的一个子空间。体连同零多项式一起作成
例 5 闭区间 上一切可微分函数作成? ?ba,? ?baC,的一个
子空间
21 WW ? ? ?22112121,WWWW ????? ????=？ 作图解释这课堂练习：
两种运算。
§ 5.3 向量的线性相关性 (4课时 )
? 教学目标
理解向量线性相关的定义及性质并能熟练
判定一个向量组的线性相关性。
? 教学重点：向量线性相关的应用。
? 教学难点：向量线性相关的判断,
§ 5.3 向量的线性相关性
一、定义、定理与性质
使得
r???,,,21 ? V
r raaa,,,21 ?
F r
定义 5.3.1 设 是向量空间 的 个向量，
是数域 中任意 个数。称和,rraaa ??? ??? ?2211
r???,,,21 ? ?
叫做向量
的一个 线性组合。若存在向量
rraaa ???? ???? ?2211
? r???,,,21 ?则称向量 可由向量 组 线性表示 。
1 1 2 2 0rra a a? ? ?? ? ? ?
r???,,,21 ?
线性相关。否则称 线性无关。称向量 r???,,,21 ?
中不全 为零的数
r???,,,21 ? V r
F raaa,,,21 ?
定义 5.3.2 设 是向量空间 的 个向量,如
使：果存在
性质 2 若向量 可由向量组? ? ?r???,,,21 ? 线性表示，
而每一个
i?
又都可以由向量
s???,,,21 ?
线性表示，则
? 可由 s???,,,21 ? 线性表示。
? ?r???,,,21 ?
i?
性质 1 向量组 中每一个向量
由这一组向量线性表示。
都可以
性质 3 如果向量组 ? ?
r???,,,21 ? 线性无关，则其任一
部分向量组也线性无关。如果向量组 ? ?
r???,,,21 ?
的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相
关。
即：整体无关 ? 部分无关；部分相关 ? 整体
相关。
性质 4 如果向量组 ? ?r???,,,21 ? 线性无关,而向量
组 ? ?????,,,,
21 r?
线性相关，那么 ? 一定可以由
向量组：
r???,,,21 ? 线性表示。
定理 5.3.1 向量
r???,,,21 ? )2( ?r
线性相关 ?
i??
可由其它向量线性表示。
证明略。（板书）
? 定义 5.3.3 设 和 是向量
空间 的两组个向量组。若每一个向量
都可以由 线性表示；而每一 也
可以由向量 线性表示。则称两向
量组等价。
i?
? ?r???,,,21 ? ? ?s???,,,21 ?
V
s???,,,21 ? i?
s???,,,21 ?
定理 5.3.2（替换定理）设向量组
———（ 2）
线性无关，且每一 均可由向量组：
———（ 3）
线性表示，则,并且必要时可以对（ 3）式新
编号，使得用 代替 后所得到
的向量组：
———（ 4）
与（ 3）等价。
? ?r???,,,21 ?
i?
? ?s???,,,21 ?
sr ?
r???,,,21 ? r???,,,21 ?
? ?srr ?????,,,,,,121 ?? ?
? 证明,时，因 线性无关，故,
则存在一组不全为零的数 使得
= 。不妨设,则 可由
线性表示。则
（ 3）等价。
1?r
1?
01 ??
saaa,,,21 ?
1?
i
s
i
ia ??
?1
01 ?a 1?
r???,,,21 ? ? ?
s???,,,21 ?
? 现假设 并且定理对于（ 2）中含有
个向量的情形成立。看 (2)中含 个向量的
情形。由于 线性无关，所以由命
题 3知,也线性无关。于是根据归
纳法的假设，,并且可以认为，用
代替（ 3）中前 个向量，得到
一个与（ 3）等价的向量组：
——（ 5）
1?r 1?r
r
r???,,,21 ?
121,,,?r??? ?
sr ?? 1
121,,,?r??? ? 1?r
? ?srrr ??????,,,,,,1121 ?? ??
由于 可以由（ 3）线性表示，所以由命 6.3.2，
它也可以由与（ 3）等价的向量组（ 5）线性表
示。因此有
———（ 6）
如果所有的 都等于零，那么（ 6）式变为
r?
??
?
?
?
??
s
rj
jj
r
i
iir ba ???
1
1
jb
?
?
?
?
1
1
r
i
iir a ??
? 这就是说, 可以由 线性表
示, 矛盾 。 因此至少有一个 。 这就
证明了, 从而 。 适当的
对编号, 不妨假定, 于是
r? 121,,,?r??? ?
0?jb
sr ?? 1 sr ?
srr ???,,,1 ??
0?rb
??
??
?
?
?????
s
rj
j
r
j
r
r
i
r
i r
i
r b
b
bb
a
1
1
1
)(1)( ????
? 这就是说,可以由向量组（ 4）线性表示。
而向量组（ 5）除 外，其余每一个向量
都在向量组（ 4）中出现，因此它们都可
以由（ 4）线性表示。这样，（ 5）的每一
个向量都可以由（ 4）线性表示，另一方
面，（ 4）中除 外，其余每一个向量都
在向量组（ 5）中出现，因此它们都可以
由（ 5）线性表示。而由等式（ 6）可知，
也可以由（ 5）线性表示。
r?
r?
r?
r?
? 因此，（ 4）的每一个向量都可以由（ 5）
线性表示。这就证明了（ 4）与（ 5）等价，
而由归纳假设知，（ 5）与（ 3）等价，所
以（ 4）与（ 3）等价。
? 推论 5.3.3 两个等价的线性无关的向量组
含有相同个数的向量。
? 设 是向量空间的一组不全为零
的向量。那么我们可以从中选出这样一个
线性无关的部分向量组,使
得 首先线性无关，而再添加原
向量组的任何一个向量就线性相关。于是
向量组 中每一个向量都可以由
线性表示。
? ?n???,,,21 ?
? ?riii ???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
定义 5.3.4、向量组的 ? ?n???,,,21 ? 一个部分组
riii ???,,,21 ?如果满足：
（ 1）
riii ???,,,21 ?
线性无关；
（ 2）每一个,1,.,,,,
j jn? ?
都可以由
riii ???,,,21 ?
线性表示。
则称其为原向量组的一个极大线性部分组（简称极大
无关组）
推论 5.3.4 等价的向量组的极大无关组含有相同个数
的向量。特别，一个向量组的任意两个极大无关组含
有相同个数的向量。
二、例子
例 1、判断向量组 )4,5,0,0(,)3,1,4,0(,)3,1,2,1(
321 ????? ???
)1,0,0,0(4 ??
?????? ???,,
例 2、设向量组 ???,,线性无关，证明
也线性无关。
例 3、把向量 (1,2,1,1 ),? ?
)1,1,1,1(4 ???? 的线性组合。
1 (1,1,1,1 ),? ? 2 (1,1,1,1 ),? ? ? ?
3 (1,1,1,1 ),? ? ? ?
§ 5.4基与维数
? 教学目标
了解向量空间的基和维数的定义，会求简
单向量空间的基和维数。
? 教学重点
掌握基和维数有关概念及性质。
? 教学难点
向量空间的基和维数的应用。
§ 5.4基与维数
一、定义、定理与性质
设
V 是数域上 F
的一个线性空间。 V
n ????,,,21 ?
考虑
n???,,,21 ?
的一切线性组合所成的集合。
这个集合显然不空，因为零向量属于这个
集合。又设
nnaaa ???? ???? ?2211 nnbbb ???? ???? ?2211
则 Fba ??,，
? 仍是 的一个线性组合。因此，
的一切线性组合作成 的一个
子空间。这个子空间叫做由 所
生成的子空间，并且用符号
表示。向量 叫做这个子空间
的一组生成元 。
nnn bbaabbaaba ???? )()( 111 ?????? ?
n???,,,21 ?
n???,,,21 ? V
n???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ?
n???,,,21 ?
? 设 是向量组 的
一个极大无关组。则 中的
任意一个向量都可以由 线性
表示。另一方面,的任意一个
线性组合自然是 中的向量。
因此我们有
定理 5.4.1 设 向量空间 的
一组不全为零的向量，而 是
? ?riii ???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ?
ri ii ???,,,21 ?
ri ii ???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ?
n???,,,21 ? V
ri ii ???,,,21 ?
? 的一个极大无关组。那么
根据这个定理，如果子空间
不等于零空间，那么它总可以由一组线性
无关的生成元生成。
一个向量空间 本身也可能由其中某 个
向量生成。因此有：
n???,,,21 ?
?),,,( 21 nL ??? ? ),,,(
21 ri ii
L ??? ?
? ?nL ???,,,21 ?
V n
上的一个线性空间。定义 5.4.1 设 V 是数域 F
如果在
V 中存在 n
个向量
12,,,n? ? ?
满足：
1）
12,,,n? ? ?
线性无关；
2）
V 中每一向量都可以由 12,,,n? ? ?
线性
表示。
则
V
称向量组
12,,,n? ? ?
为的一组基。
的一个极大
从而，向量空间
V 的一个基就是 V 的一组
线性无关的生成元，或基即是
V
线性无关组 。
一个向量空间如果有基的话，当然一般不会只
有一个基。根据基的定义，一个向量空间的任
意两个基是彼此等价的。于是可得：一个向量
空间的任意两个基所含向量的个数是相等的。
即：
定义 5.4.2 一个向量空间
V
的基所含向量
的个数
n
叫做向量空间
V
的维数。
零空间的维数定义为 0。
Vdim空间 V 的维数记作
nF这样，空间
2V 3V
的维数是 3；的维数是 2；
的维数是
n ； F
上一切矩阵所成的向量空间的
维数是 nm ? 。
如果一个向量空间不能由有限个向量生成
，那么它自然也不能由有限个线性无关的
向量生成。在这一情形，就说这个向量空
间是无限维的。
基的重要意义主要在于：
定理 5.4.2 设 ? ?
n???,,,21 ?
是向量空间的一个
基。那么
V
的每一个向量可以唯一地被表
成基向量
12,,,n? ? ?
的线性组合。
证明略。（板书）
由替换定理，我们可以得出以下结论：
定理 5.4.3 n 维向量空间中任意多于 n
个向量一定线性相关。
证明略。（板书）
? 定理 5.4.4 设 是 维向量空
间 中一组线性无关的向量。那么总可
以添加 个向量, 使得
作成 的一个基。特
别,维向量空间 中任意 个线性无
关的向量都可以取作基。
r???,,,21 ? n
V
rn ? nr ??,,1 ??
nrr ?????,,,,,,121 ?? ? V
V
n V n
? 证明,是 维向量 空间中的
一个基，那么每一 都可以由
线性表示。又因为
线性无关，所以由替换定理，适当对
编号，可以用 替换前
个基向量,得到一个与
等价的向量组,
且这 个向量线性无关，从而向量组
? ?n???,,,21 ? n V
),,1( nii ???
? ?n???,,,21 ? r???,,,21 ?
,1?
n??,,2 ? r???,,,21 ?
r???,,,21 ?,,21 ??
n?,? nrr ?????,,,,,,121 ?? ?
n
是 的一个基。取
，则定理被证明。
将定理 5.4.4应用到向量空间的有限维子
空间上，我们得到：
定理 5.4.5 设 和 都是数域 上向量空
间 的有限维子空间。那么 也是有
限维的，并且
。
?,,,,21 r??? ? ?nr ??,,1 ?? V jj ?? ?
nrj,,1 ???
1W 2W F
V 21 WW ?
2121 d imd im)d im ( WWWW ??? )d im ( 21W ??
同时是
1W 2W
证：先设 0)d im (
21 ?? rWW ?
。令
r???,,,21 ?
是
21 WW ?
的一个基，那么
r???,,,21 ?
1W
和
2W
里线性无关的向量。将它分别 扩充
为 和 的基：
? ? 1121,,,,,,Wsr ?????? ??
? ? 2121,,,,,,Wtr ?????? ??
这里
1d im Wsr ??
,。子空间
2d im Wtr ??
21 WW ?
由向量：
r???,,,21 ?
，
s??,,1 ?, t?? ?,1
生成。现在我们证明这一组向量线性无
假设关。
?
?
r
i
iia
1
?
+
j
s
j
jb ??
?1
+
k
t
k
kc ??
?1
=0————（ 1）
那么
?? ?
?
k
t
k
kc ?
1
?
?
r
i
iia
1
?
+
j
s
j
jb ??
?1
这就表明
1
1
Wc k
t
k
k ??
?
?
，因而
??
?
k
t
k
kc ?
1
21 WW ?
k
t
k
kc ??
?1
?
?
r
i
iid
1
?所以 = Fddd n ?,,,21 ?，
即,
??
?
k
t
k
kc ?
1
?
?
r
i
iia
1
?
=0。
? 因为, 线性无关。所以
都等于零。于是,+ =0。
又因为 线性无关，所以
都等于零。这样：
是 +
的一个基。
r???,,,21 ? t?? ?,1
tccc,,,21 ? ?
?
r
i
iia
1
? k
t
k
kc ??
?1
sr ????,,,,,11 ??
sr bbaa,,,,,11 ??
?,,,,21 r??? ?,,,1 s?? ? ?t??,,1 ? 1W 2W
所以
21 d imd im WW ?
= )()()( tsrrtrsr ???????
= ?)d im (
21 WW ? )d im ( 21 WW ?
? 当 时，可 设，且
和 的基分别为,；
可证：, 线性无关，从而
它组成 + 的一个基。所以
= 。
0?r sWrW ?? 21 d im,d im 1W
2W r???,,,21 ? 1W? s??,,1 ? 2W?
r???,,,21 ? s??,,1 ?
1W 2W
)d im ( 21 WW ? 21 d imd im WW ?
的子空间。定义 5.4.3 设 W, 'W 是向量空间 V
如果有：
(ⅰ ) 'WWV ??
(ⅱ ) ? ?
0' ?WW ?
则 V 的子空间
'W
叫做
W 的一个余子空间，
此时称 V 是子空间 W 与 'W 的直和，并记作
'WWV ??
很明显，如果 'W 是 W 的一个余子空间，那么 W
也是 'W 的一个余子空间。（举例说明）
的直和定理 5.4.6 设向量空间 V 是子空间 W 与 'W
那么 V 中每一向量 ? 可以唯一的表成：
'??? ?? W?? '' W??，, 。
证明（反证法）
定理 5.4.7 n 维向量空间
V
的任意一个
子空间
W 都有余子空间。如果
如果
'W 是
的一个余子空间，那么,
'd imd imd im WWV ??
证：当 0di m ?W 或
n
时命题显然成立设
,d im rW ? nr ??0 。
令
r???,,,21 ?
是子空间
W
的一个基。由
,存在
定理
6.4.4 rn ? 个向量 V
nr ?? ??,,1 ?
使得
构成 V 的一个基。取 ),,(
1' nrLW ?? ???
,显然
'WWV ?? 容易证明 ? ?0' ?WW ? 所以 'W 是 W
的一个余子空间。
定理的第二个论断是 TH 关于直和的概念可以
推广到多于两个子空间的情形。设
tWWW,,,21 ?
是向量空间
V
的子空间。如果：
（ 1）
tWWWV ???? ?21
（ 2） ? ?0)(
111 ?????? ?? tiii WWWWW ??? ti,,1 ??
那么就说 V 是子空间
tWWW,,,21 ?
的直和，并且
记作：
?V tWWW ??? ?21
的直和可以证明，如果 V 是子空间
tWWW,,,21 ?
那么 V 中每一向量
?
可以唯一的表成：
t???? ???? ?21
的形式，这里
tiW ii,,1,????
并且，当 V 是
有限维向量空间时，
?Vdi m
tWWW d imd imd im 21 ??? ?
例 1,nF 中如下的
n
个向量：
,,,1),0,0,1,0,0( nii
i
??? ???
则 n
n Faaa ??? ),,,( 21 ??
均可由
n???,,,21 ?
线性表示。
因此
),,,( 21 nn LF ??? ?? 而
n???,,,21 ?
是
nF 的一组生成元。
二、例子
例 2、在 ][xF 里，有多项式 1，
nxx,,? 所生
生成的子空间是 ?? FaxaxaaxxL
innn ???? |),,,1( 10 ??
就是 F 上一切次数不超过
n
的多项式连同
零多项式所成的子空间。
例 3、在空间 2R 里，任意两个不共线的向量
??,都构成一个基；在 3R
里，任意三个不
共面的向量 ???,,都构成一个基。
例 4、令例 4是数域 F上一切 nm ? 距阵所成
的相连空间。考虑如下的
mn
个距阵：
j
iE
ij
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
00100
0
0
?
??
?
在
ijE
里，除了第 i 行和第 j 列位置上是 1
外，其余位置上都是 0，
.,,1;,,1 njmi ?? ??
根据距阵的加法和数与距阵的乘法，每一
个 nm ? 距阵都可以表成
? ?
? ?
??
m
i
n
j
ijijij EA
1 1
.)( ??
如果
? ?
? ?
?
m
i
n
j
ijij E
1 1
0?
，那么
)( ij?
是零距阵，从
而一切 0?
ij?
。
这就是说,? ?njmiE
ij,,1;,,1| ?? ??
是 M
的一组线性无关的生成元，因而可以取作 M
的一个基。
例 6,][xF 作为 F 上的向量空间，不是有限
生成的，因而是无限维的。
§ 5.5 坐标
? 教学目标
了解向量在基下的坐标的定义，会求向量
在不同基下的坐标之间的关系。
? 教学重点
掌握过渡矩阵与坐标之间的关系。
? 教学难点
向量在不同基下的坐标之间的关系是由过
渡矩阵实现的。
一、定义、定理与性质
nnxxx ???? ???? ?2211
令
于是，
F
的一个基。
定义 5.5.1 V n是数域 上一个 维向量空间,? ?
n???,,,21 ?
V
是 V??? ?,都可以唯一地表成：
叫做向量
并且给定基向量的顺序（简称有序基）之后，
n 维向量空间
这样一来,V ? ?n???,,,21 ?取定 的一个基
V
?
对于
的每一个向量,
n ),,,(
21 nxxx ?
有唯一的 元序列
? ? ?
n???,,,21 ?
关于基 的坐标。
V ?
设
的向量,
? ? ?
n???,,,21 ?
关于基
),,,( 21 nxxx ? ),,,(
21 nyyy ?
的坐标分别是
和
nnxxx ???? ???? ?2211 nnyyy ???? ???? ?2211
那么
nnn yxyxyx ????? )()()( 222111 ???????? ?
如果 中一个数,那么
a F
是数域
nnaxaxaxa ???? )()()( 2211 ???? ?
于是就有：
定理 5.5.1
? ?n???,,,21 ? 是
个
是数域
V
),,,( 21 nxxx ?
就是：。。
V F n )0( ?n设 上一个 维向量空间,
的一个基。 V???,,它们关于基 ? ?n???,,,21 ? 的坐标分别是
),,,( 21 nyyy ?
和 。 那么 ?? ? 关于这个基的坐标就
),,,( 2211 nn yxyxyx ??? ?
由设 Fa ?,那么
?a 关于这
基的坐标就是：
),,,( 21 naxaxax ?
V
的两
基来说，同一个向量的坐标一般是不同的。
一个向量的坐标自然依赖于基的选取。对于向量空间
个
那么一个向量关于不同基的坐标有什么关系哪？。
设
个基。
? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?和 n V是 维向量空间 的两
那么向量
njj,,1,???,
可以由
12,,,n? ? ?
线性
表示。
设
（ 1）
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
????
????
????
????
????
????
?
?????????
?
?
2211
22221122
12211111
的坐标。这里
以这
),,,( 21 njjj aaa ? j? ? ?n???,,,21 ?是
关于基
n n
个坐标为列，做一个 阶矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
T
?
????
?
?
21
22221
11211
过渡矩阵。
矩阵 T ? ?
n???,,,21 ?
叫做由基 到基 ? ?
n???,,,21 ?
的
则 (1)式可写为：
(2) T
nn ),,,(),,,( 2121 ?????? ?? ?；
(3)
? ?n???,,,21 ?
则一方面：
V?? ? ?n???,,,21 ? ),,,( 21 nxxx ?关于基 的坐标是
),,,( 21 nyyy ?关于基 的坐标是 。
X
xxx
n
nn
),,,(
21
2211
???
????
?
?
?
????
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X ?
2
1
另一方面，
(4)
Y
yyy
n
nn
),,,( 21
2211
???
????
?
?
?
???? 其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
Y ?
2
1
把 (2)代入 (4)，得：
(5)
))(,,,(
)),,,((
21
21
TY
YT
n
n
???
????
?
?
?
?
关于基
等式 (5)表明，向量 ? ? ?
n???,,,21 ?
TY
关于基 的坐标是
。 ? ? ?
n???,,,21 ?
而向量 的坐标是唯一
确定的。从而有：
(6) TYX ?
故得：
定理 5..5.2
? ?n???,,,21 ?? ?n???,,,21 ? 到基 的过渡矩阵。
那么
V 中向量 ? ?n???,,,21 ?
关于基 的坐标
与关于另一基
? ?n???,,,21 ? 的坐标
),,,( 21 nxxx ??
是由基
V F
设 是数域 上一个
n )0( ?n
维向量空间,T
),,,( 21 nyyy ?
由等式（ 6）给出。
二、例子
例 1、取 2R 中两个彼此正交（垂直）的单位向量
'
2
'
1,??2R
作成 的一个基。 分别由 与
21,??
令
1? 2?
旋转角
?
所得。 ?
21,??
已知向量 在基 下的坐标是
),( yx, 求向量 ),( yx?? '
2
'
1,??
在新基 下的坐标。
§ 5.6 向量空间的同构
? 教学目标
掌握同构定义及同构同维的关系。
? 重点
同构定义、性质及其应用
? 难点
同构同维的关系
§ 5.6 向量空间的同构
一、定义、定理与性质
在数域 F 上 n 维空间 V 内取定一个基之后，
V 的每一
上 n 元数列，因此属于 nF 。 这样一来，取定了 V 的一个基
? ?n???,,21 ?，, 对于 V 的每一个向量 ? 令它关于这个基的坐
标 ? ?
nxxx,,21 ?，
与它对应，就得到
V
到 nF 的一个映射。
个向量 ? 有唯一确定的坐标 ? ?
nxxx,,21 ?，
。 向量的坐标是 F
? ?nxxxf,| 21 ?，，,??
反过来，对于 nF 中任意元素 ? ?12,,,nx x x，
?
?
?
n
i
iix
1
??
是 中唯一定的向量，并且V
? ? ? ?nxxxf,,,21 ???
因此,f 是 V 到 nF 的双射。如果,,V??? 并且
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,nnf x x x f y y y????，,,那么由坐标的唯一性
得,? ? ? ? ? ? ? ????? ffyxyxyxf
nn ???????,,?2211 并且对
于 Fa ?
? ? ? ? ? ?12,,nf a a x a x a x a f????，
这就是说，映射 f,保持向量的加法和标量与向量的
乘法”，如果两个向量空间之间存在这样一个映射，就
是说它们是同构的，确切地说，我们给出以下
到定义 5.6.1 V W F V
W
设 和 是数域 上两个向量空间。
的一个映射叫做一个同构映射，如果
f V W（ 1） 是 到 的一一映射；
（ 2）对于任意 ? ? ? ? ? ?V f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ?，, ；
之间建立一个同构映射，
（ 3）对于任意 ? ? ? ?a F V f a a f? ? ?? ? ?，, 。
如果数域 F 上两个向量空间 V 和 W
那么就说 V W与 同构，并且记作
WV ?
我们知道：一个向量空间就是一个带有加法和标量与
向量的乘法的集合。而我们的着眼点主要在于运算，至
于这个集合的元素是什么对我们来说是无关紧要的,从
这个意义上来讲，同构的向量空间本质上可以看成是一
样的。从而有：
定理 5.6.1 F n nF数域 上任意一个 维向量 空间都与
现在我们来推导出同构映射的若干基本性质。同构。
V W F f
V W
和 是数域 上两个向量空间，
是 到
定理 5.6.2 设
的一个同构映射,那么,
0)0( ?f 。⑴
,V? ? )()( ?? ff ???⑵ 对于任意
⑷ V
n ????,,,21 ?
线性相关 ? Wfff
n ?)(,),(),( 21 ??? ?
线性相关。
⑶ )()()()(
22112211 nnnn fafafaaaaf ?????? ??????? ??，
这里,
iaF?,i V? ? 1,2,,in?
。
f 1?f W V⑸ 的逆映射 是 到 的同构映射。
证明：⑴、⑵略。（板书）
⑶ 直接由定义 1，利用数学归纳法即得⑶。
不全为零使得,
n???,,,21 ? Faa n ??,,1 ?
⑷ 若 线性相关,则
02211 ???? nnaaa ??? ?
那么
)()()( 2211 nn fafafa ??? ??? ?
1 1 2 2()
( 0 )
nnf a a a
f
? ? ?? ? ? ?
?
反之，如果 )(,),(),( 21 nfff ??? ?线性相关,也则
Faa n ??,,1 ?
不全为零使得,
0)()()( 2211 ???? nn fafafa ??? ?
由⑶,0)(
2211 ???? nnaaaf ??? ?
。 因为 f
射,又由⑴,有
是单
02211 ???? nnaaa ??? ?。
1?f⑸ 是 到
1ff?W V 的双射，并且 是 W 到自身的恒
等映射,1ff? ? 是 V 到自身的恒等映射。 设
'',W?? ?, 由于
f V W是 到 的同构映射,所以
1 ' ' ' ' 1 ' 1 '( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )f f f f f f? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?
1 ' 1 '( ( ) ( ) )f f f??????
同理，对于
f 1 ' ' 1 ' 1 '( ) ( ) ( )f f f? ? ? ?? ? ?? ? ?因为 是单射，所以 。
WFa ?? ',?,我们有
1 ' 1 '( ) ( )f a a f?????
定理 5.6.3 F W V
? W V
数域 上两个有限维空间 与 同构
与 有相同的维数。
证明略。（板书）。
根据这个定理，数域 F 上具有同一维数的向量空间本
质上是一样的 (因为向量空间的本质就是加法和数量乘法 )。
因为 F 上每一个 n 维向量空间都与 nF nF
F n
同构，因此，
可以作为 上的 维向量空间的代表。
二、例子
例 1,证明：向量空间 ][xF 与他的一个真子空间同
构。
同
证：取 ? ?niFaxaxaxaaxF
inn,,1,)()()(][ 1212222102 ?? ??????? ??
可以证明 ][ 2xF 是 ][xF 的一个真子空间，且 2[]Fx 与 ][xF
构。
? 教学目标
掌握矩阵的行、列空间与矩阵的秩的关系，会
求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用。
? 教学重点
掌握矩阵的行、列空间与矩阵的秩的关系，会
求齐次线性方程组的基础解系及应用。
? 教学难点
齐次线性方程组的基础解系及应用。
§ 5.7矩阵的秩，齐次线性方程组
的解空间
设
一、定义、定理与性质
首先我们看一下矩阵的几何意义。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
F是数域 上的一个 nm ? 矩阵 。
AA 中的向量 )。nF的行向量 ——矩阵 的每一行（
AA 的列向量 ——矩阵 的每一列。
Am???,,21 ?,表示 的行向量：
miaaa iniii ??,），，，，（ 121 ???
由
m???,,21 ?，
所生成的 nF 的子空间 ),,(
21 mL ??? ?，
个列向量叫做矩阵 A 的行空 间。类似地，由 A 的
n
所生成的 mF 的子空间叫做 A 的列空间。
引理 5.7.1 设 A 是一个 nm ? 矩阵
量空间的子空间，但这两个子空间具有相同的维数。
是不同的向当 nm ? 时，矩阵 的行空间和列空间A
为此，先证明
Q
，
A
，
1)如果 PAB ? P
与
m 阶可逆矩
阵，那么 B A 有相同的行空间。
是一个
2)如果 AQC ? 是一个
n
阶可逆矩
阵，那么 C 与 有相同的列空间。
证：我们只证明（ 1），因为（ 2）的证
明完
B 的行空间。则由 PAB ? 知,B 的第 i 行等于 P
的第 i 行右乘矩阵 A,
? ? ? ?imiiiniii pppbbb ??,，，，,2121 ???
，mimi ppA ?? ??? ?11
是
? ? ? ? ? ? mnijmmijmnij bBpPaA ???,，
令 ? ?m???,21 ?，,A 的行向量,? ?m???,21 ?，,是
所以 B 的每一个行向量
i?
都是 A 的行向量
i?
类似。
全
的线性组合，但 P 可逆,所以 BPA 1?? 。这就是说
A 的每一个行向量
i?
也都是 B 的行向量
i?
的 线性
组合，从而得出向量组 ? ?m???,21 ?，,与 ? ?m???,21 ?，，
等价，所以它们生成 nF 的同一个子空间。
(1)
，??
?
?
??
?
?
?
OO
OI
PAQ r
阶可因为任意一个 nm ? 矩阵 A,一定存在 m
逆矩阵 P 和
n
阶可逆矩阵 Q,使
这里 r 等于 A 的秩，两边各乘以 1?Q 得
行的元素都是零，
1?
???
?
???
?? Q
OO
OIr
PA
右端乘积中后 rm ? 而前 r
行就是 1?Q 的前 r 行，由 于 1?Q 可逆，所以它的行
向量线性无关因而它的前 r 行也线性无关，于 是
PA 的行空间的维数等于 r,由引理 6.7.1,A 的
行空间的维数等于 r, 另一方面，将等式（１） 左
乘以 1?P 得
。??
?
?
??
?
?
? ?
OO
OI
PAQ r1
由此看出,AQ 的列空间的维数等于 r,从而
A 的列空间的维数也等于 r,这就是,
定理 5.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空
间的维数。等于这个矩阵的秩。
由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它
的行向量组的极大无关组所含向量的个数，也定
义为 它的列向量组的极大无关组所 含向量的个数。
利用上面的结论，现在我们来讨论线性方程组,
(2)
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
令
n??? ?，,21
表示 (2)的系数矩阵的列向量，
? ? '21 mbbb,，,??? 由 (2)得,
???? ???? nnxxx ?2211
如果 (2)有解，那么
?
可以由
n???,，,?21
线性表示。因而
? ? ? ????????,，，,nn LL,,,2121 ?? ?
的列空间，因而秩
的列空间等于增广矩阵即 (2)的系数矩阵 A A
A ＝秩 A,反过来，如果秩
A ＝秩 A
，那么 A 的列空间于 A 的列空间 重
合，即 ? ?
nL ????,，,?21?
，故 ? 可以由
n???,，,?21
线性表示，所以方程组 (2)有解，这样，我们就得
到线性方程组有解的另一个判别法：
?数域 F 上线性方程组 ??AX 有解 )()( ARAR ?
设数域 F 上一个齐次线性方程组为,
(3)
0
0
0
2211
2222121
1112111
????
????
????
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
令 A 是这个方程组的系数矩阵，那么 (3)可以写成
( )
3?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
2
1
??
n
x
x
x
A
3)的每一个解都可以可看作 nF 的一个向量，叫做
做方程 (3)的一个解向量，设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
y
y
y
x
x
x
??
2
1
2
1
??,
是 (3)的两个解向量,Fba ??,，由（ 3? ）知,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
0
)(
2
1
2
1
???
nn
y
y
y
bA
x
x
x
aAbaA ??
所以 ?? ba ? 也是（ 3）的一个解向量。
上一个
另外，齐次线性方程组永远有解 ——零解。从
而数域 F
n 元齐 次线性方程组的所有解
向量作成 nF 的一个子空间，这个子空间就是该齐
次线性方程组的解空间。
现在设（ 3）的系数矩阵的秩等于 r,那么通
过行初等变换，必要时交换列，可以将系数矩阵
A 化为以下形式的一个矩阵：
，
，
??
?
?
??
?
? ?
00
rnrr
CI
与这个矩阵相当的齐次线性方程组是
（ 4）
，
，
，
，，
，
，
0
0
0
11
21122
11111
????
????
????
??
??
??
nnrrrrr
nnrr
nnrr
ycycy
ycycy
ycycy
?
?????????????
?
?
这里,，，,nkxy
ikk ?21??
是
nxxx,，,?21
的重新编号，方程组（ 4）有 rn? 个自由未知量 nr yy,,?1?
依次让它们取值（ 1,0…, 0），（ 0,1,0…, 0）
… （ 0,… 0,1），我们得（ 4）的 rn ? 个解向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
21
2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
nr
n
n
rr
r
r
rr
r
r
c
c
c
c
c
c
，
，
，
，
，
，
，，,???
? 这 个解向量显然线性无关，另一方面，设
是（ 4）的任意一个解，代入
（ 4）得
于是
rn?
? ?nkkk,，,?21
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
nn
rr
nnrrrrr
nnrr
nnrr
kk
kk
kckck
kckck
kckck
1
1
11
11
21122
11111
?
?
????
????
????
??
??
??
??
?????????????
?
????????????
?
?
nnrrrrn kkkkkk ??? ???? ???? ?? 2211
'
21 ),,,(
? 因此,(4)的每一个解向量都可以由这
个解向量 线性表示，则构成 (4)
的解空间的一个基，重新排列每一解向量 中坐
标的秩序，就得到齐次线性方程组 (3)的解空间的
一个基，于是我们有
? 定理 5.7.3 数域上一个 个未知量的齐次线性
方程组的一切解作成 上的一个子空间，如果所
给的方程组的系数矩阵的秩是,那么解空间的
维数等于 。
齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方
程组的一个基础解系。
rn ?
nrr ???,，,?21 ??
i?
n
nF
r
rn ?
是数域 上任意一个线性方程组，
是一个 矩阵，把（ 5）的常数项都换
成零，就得到一个齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
b
b
b
x
x
x
A
??
2
1
2
1
(5)
F A
nm ?
1
2
0
0
0
n
x
x
A
x
?? ??
?? ??
?? ???
?? ??
?? ??
????
(6)
? 齐次方程组（ 6）叫做方程组（ 5）的导出齐次方程组。
? 定理 5.7.4 如果线性方程组 (5)有解，那么 (5)的一个解
与导出齐次方程组 (6)的一个解的和是 (5)的一个解,(5)
的任意解都可以写成 (5)的一个固定的解与 (6)的一解的
和。
? 证：设 是 (5)的一个解，
是 (6)的一个解，则
? ?nccc,，,?21??
? ?nddd,，,?21??
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n n n n n
c d c d b
c d c d b
A A A
c d c d b
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
，
? 所以 是 (5)的一个解,
? 设 是 (5)的任意一个解，那么
? 故是 (6)的一个解，从而 。
? 二、例子
? 例 1、求齐次线性方程组
?? ?
? ?nlll,，,?21??
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
???????
mmnnnn
b
b
b
b
b
b
c
c
c
A
l
l
l
A
c
c
c
l
l
l
A
??? ?? ??? ??
的一个基础解系。
，
，
，
，
0793
083
032
05
4321
4321
4321
4321
????
????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
向量空间
主讲：彭乃霞
教学要求
1、理解向量空间的概念，并清楚线性代数所讨论的问题都是在向
量空间的基础上讨论的。
2、清楚向量空间是欧几里得几何空间的推广，能熟练的判定一个
向量空间，子空间。
3、能熟练判定一个向量组的线性相关性。
4、会求简单向量空间的基和维数，两个基下的过渡矩阵及坐标变
换公式的应用。
5、掌握同构定义及同构同维的关系。
6、会求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用。
向量空间的定义，子空间的
定义及判别，线性相关性，
基，维数，坐标；齐次线性
方程组的解空间及应用。
难点：对向量空间、子空间
的理解，向量的线性相关性。
重点
§ 5.1.1 定义和例子
3,R?? ?? ?? ? ?
k ?k
?
?
???
k?
复习上学期所学解析几何中向量的加法（,
与实数 的, 数量乘法, （ ）：
且关于这个, 加法, 满足 4条（分析并板书），
）及向量
一、定义与性质
关于这个“数量乘法”也满足 4条（分析并板书）。
F
?,,,cba V
?,,,???
定义 5.1.1 令 是一个数域,中的元素用小写的字母
来表示。令 是一个非空集合,中的元素用小
如果下列条件被满足，就称
是
一、定义与性质
F
来表示。
V F
V
写的希腊字母
上的一个向量空间：
01 V
??,
? ? ?? ?
在 中定义了一个加法：对于 中任意两个向量
，有 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量
与 的和，并且记做 。
V
V
叫做
02有一个标量与向量的乘法：对于 F中的每一个数
和a V中的每一个向量 ?中唯一确定的向量与它们
对应，这个向量叫做 的积，并且记做a ?与 ?a
向量的加法和标量于向量的乘法满足下列算律：
V?? ??,???? ???（ 1）加法交换律,有 ；
V?? ???,,)()( ?????? ?????（ 2）加法结合律,有 ；
0 V?,0V? ? ?? ? ? ?（ 3）存在, 零元,,即存在,使得 ；
V??? V? ? 0????（ 4）存在负元，即,存在,使得；
（ 5）分配律,,k K V??? ? ?，都有 ()k k k? ? ? ?? ? ?；
（ 6）分配律,,k l K V?? ? ?, 都有 ()k l k l? ? ?? ? ?；
（ 7）数乘结合律,,k l K V?? ? ?, 都有 ( ) ( ) ( )k l k l l k? ? ??? ；
（ 8）, 1律, 1 ???? 。
V F我们把 中的元素叫做向量,中的元素叫做标量。
我们现在从定义出发,来推导向量空间的一些简单性质,
根据零向量和负向量的定义,可以推出
V
?
性质 1 在一个向量空间 里，零向量是唯一的；对于
和中每一个向量, 的负向量由 唯一确定。
V
? ?
??与 ）（ ?? ?? ?? ?
定义 5.1.2
的差为,,并且记作 。定义向量
这样一来，在一个向量空间里，加法的逆运算 -减法可以实施，
并且有
（ 1） ?????? ?????
.
关于标量与向量的乘法有：
性质 2 对于任意向量 ? F
00 ??
和数域 中任意数 ?,我们有：
(2) 00 ?a,。
(3) ??? aaa ????? )()( 。
00 ??? aa ? 0??(4) 或 。
思 考
设 V是二元有序实数组所成的集合
{ (,) }nV a b a b R??,。
( a,b ) + ( c,d ) = ( a + c,b + d ),k ( a,b ) = ( k a,0 )
定义
。
V中的加法和数量乘法为：
R判断 是不是 上的向量空间。V
由此思考定义 5.1.1中的 8条中的 (8)不能少。
例子
nmCA ?? ? ?
0??? AXCXV n C
例 1、对固定,取,数域为
，并定义：
VyyyYxxxX nn ???? ),,,(),,,,( 2121 ?? Ca ??,有：
),,,( 2211 nn yxyxyxYX ????? ? ),,,(
21 naxaxaxaX ??
,。
V C则 关于这个加法和数乘构成复数域
上的向量空间。
§ 5.2、子空间
? 教学目标
了解子空间的内涵并会判断一个子空间,
? 教学重点
子空间的定义及其判断,
? 教学难点
子空间的性质及其应用,
§ 5.2、子空间
一、子空间的定义和判定
构成数域
定义 5.2.1 设 F 上的一个向量空间,
对于的一个非空子集 。
W V
W V
F W V
V 是数域 是
的加法和数量乘法也
上的向量空间，则称 是 的一个子空间 。
如果
W?? ??,W?? ?? W V1) 有
( 关于 的加法封闭 )；
W F V
W V
定理 5.2.1 设 是数域 上向量空间 的非空子集。
是 的子 空间的充分必要条件是：则
WFk ???? ?,Wk ?? W V有 （ 关于 中向量的数2)乘封闭）。
F V
V WFba ????? ??,,,.a b W????
定理 5.2.2 数域 上向量空间 中的一个非空子集是
的一个子 空间 有
二、子空间的交与和
V
V 21 WW,
21 WW ?
定理 5.2.3 向量空间 的两个子空间 的交
是 的一个子空间。
的一组子空间（个数
的一个子空间。 向量空间
的并集，一般来说不是子空间。
? ?iW V
ii W?
ii W?
V
V 21 WW 与
V ? ?
22112121 WWWW ????? ????,21
WW 与
一般，设 是向量空间
表示这些子空间的
也是
的两个子空间
的子集,为 的和
可以有限，也可以无限），令
交，可以证明,
称
V 1W 2W
21 WW ? V
定理 5.2.4 向量空间 的两个子空间 与 的和
是 的子 空间。
nWWW,，,?21 V
Win
i
i ??
?
??,
1
V
nWWW,，,?21
nWWW ?? ?21
两个子空间和的慨念也可以推广到任意有限多
是 的子空间,容
的向量作成 的一个 子
的和，并且
来表示。
个子空间的情形。设
易证明，一切形如
空间。这个子空间称为子空间
用符号
例子
的平凡子空间。V V
V V
一个向量空间 本身和零空间叫做
的非平凡子空 间叫做 的真子空间．
V
??0 V
V
例 1 向量空间 总是它自身的一个子空间,另一
显然对于 的加法
的一个子空间,
方面,单独一个零向量所成的集合
和量与向量的数乘封闭的,因而也是
称为零空间,
是
F 0?AX
? ?2,0 FXAXX ?? 2F
例 2 数域 上的齐次线性方程组 的解向量全体
的子空间。
nF F
in ?? ???? ),0,121 ?，，（
nF例 3 中一切形如 的向量作成
的一个子空间。
的多项式 全? ?xF n
? ?xF
例 4 中次数不超过一个给定的整数
的一个子空间。体连同零多项式一起作成
例 5 闭区间 上一切可微分函数作成? ?ba,? ?baC,的一个
子空间
21 WW ? ? ?22112121,WWWW ????? ????=？ 作图解释这课堂练习：
两种运算。
§ 5.3 向量的线性相关性 (4课时 )
? 教学目标
理解向量线性相关的定义及性质并能熟练
判定一个向量组的线性相关性。
? 教学重点：向量线性相关的应用。
? 教学难点：向量线性相关的判断,
§ 5.3 向量的线性相关性
一、定义、定理与性质
使得
r???,,,21 ? V
r raaa,,,21 ?
F r
定义 5.3.1 设 是向量空间 的 个向量，
是数域 中任意 个数。称和,rraaa ??? ??? ?2211
r???,,,21 ? ?
叫做向量
的一个 线性组合。若存在向量
rraaa ???? ???? ?2211
? r???,,,21 ?则称向量 可由向量 组 线性表示 。
1 1 2 2 0rra a a? ? ?? ? ? ?
r???,,,21 ?
线性相关。否则称 线性无关。称向量 r???,,,21 ?
中不全 为零的数
r???,,,21 ? V r
F raaa,,,21 ?
定义 5.3.2 设 是向量空间 的 个向量,如
使：果存在
性质 2 若向量 可由向量组? ? ?r???,,,21 ? 线性表示，
而每一个
i?
又都可以由向量
s???,,,21 ?
线性表示，则
? 可由 s???,,,21 ? 线性表示。
? ?r???,,,21 ?
i?
性质 1 向量组 中每一个向量
由这一组向量线性表示。
都可以
性质 3 如果向量组 ? ?
r???,,,21 ? 线性无关，则其任一
部分向量组也线性无关。如果向量组 ? ?
r???,,,21 ?
的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相
关。
即：整体无关 ? 部分无关；部分相关 ? 整体
相关。
性质 4 如果向量组 ? ?r???,,,21 ? 线性无关,而向量
组 ? ?????,,,,
21 r?
线性相关，那么 ? 一定可以由
向量组：
r???,,,21 ? 线性表示。
定理 5.3.1 向量
r???,,,21 ? )2( ?r
线性相关 ?
i??
可由其它向量线性表示。
证明略。（板书）
? 定义 5.3.3 设 和 是向量
空间 的两组个向量组。若每一个向量
都可以由 线性表示；而每一 也
可以由向量 线性表示。则称两向
量组等价。
i?
? ?r???,,,21 ? ? ?s???,,,21 ?
V
s???,,,21 ? i?
s???,,,21 ?
定理 5.3.2（替换定理）设向量组
———（ 2）
线性无关，且每一 均可由向量组：
———（ 3）
线性表示，则,并且必要时可以对（ 3）式新
编号，使得用 代替 后所得到
的向量组：
———（ 4）
与（ 3）等价。
? ?r???,,,21 ?
i?
? ?s???,,,21 ?
sr ?
r???,,,21 ? r???,,,21 ?
? ?srr ?????,,,,,,121 ?? ?
? 证明,时，因 线性无关，故,
则存在一组不全为零的数 使得
= 。不妨设,则 可由
线性表示。则
（ 3）等价。
1?r
1?
01 ??
saaa,,,21 ?
1?
i
s
i
ia ??
?1
01 ?a 1?
r???,,,21 ? ? ?
s???,,,21 ?
? 现假设 并且定理对于（ 2）中含有
个向量的情形成立。看 (2)中含 个向量的
情形。由于 线性无关，所以由命
题 3知,也线性无关。于是根据归
纳法的假设，,并且可以认为，用
代替（ 3）中前 个向量，得到
一个与（ 3）等价的向量组：
——（ 5）
1?r 1?r
r
r???,,,21 ?
121,,,?r??? ?
sr ?? 1
121,,,?r??? ? 1?r
? ?srrr ??????,,,,,,1121 ?? ??
由于 可以由（ 3）线性表示，所以由命 6.3.2，
它也可以由与（ 3）等价的向量组（ 5）线性表
示。因此有
———（ 6）
如果所有的 都等于零，那么（ 6）式变为
r?
??
?
?
?
??
s
rj
jj
r
i
iir ba ???
1
1
jb
?
?
?
?
1
1
r
i
iir a ??
? 这就是说, 可以由 线性表
示, 矛盾 。 因此至少有一个 。 这就
证明了, 从而 。 适当的
对编号, 不妨假定, 于是
r? 121,,,?r??? ?
0?jb
sr ?? 1 sr ?
srr ???,,,1 ??
0?rb
??
??
?
?
?????
s
rj
j
r
j
r
r
i
r
i r
i
r b
b
bb
a
1
1
1
)(1)( ????
? 这就是说,可以由向量组（ 4）线性表示。
而向量组（ 5）除 外，其余每一个向量
都在向量组（ 4）中出现，因此它们都可
以由（ 4）线性表示。这样，（ 5）的每一
个向量都可以由（ 4）线性表示，另一方
面，（ 4）中除 外，其余每一个向量都
在向量组（ 5）中出现，因此它们都可以
由（ 5）线性表示。而由等式（ 6）可知，
也可以由（ 5）线性表示。
r?
r?
r?
r?
? 因此，（ 4）的每一个向量都可以由（ 5）
线性表示。这就证明了（ 4）与（ 5）等价，
而由归纳假设知，（ 5）与（ 3）等价，所
以（ 4）与（ 3）等价。
? 推论 5.3.3 两个等价的线性无关的向量组
含有相同个数的向量。
? 设 是向量空间的一组不全为零
的向量。那么我们可以从中选出这样一个
线性无关的部分向量组,使
得 首先线性无关，而再添加原
向量组的任何一个向量就线性相关。于是
向量组 中每一个向量都可以由
线性表示。
? ?n???,,,21 ?
? ?riii ???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
定义 5.3.4、向量组的 ? ?n???,,,21 ? 一个部分组
riii ???,,,21 ?如果满足：
（ 1）
riii ???,,,21 ?
线性无关；
（ 2）每一个,1,.,,,,
j jn? ?
都可以由
riii ???,,,21 ?
线性表示。
则称其为原向量组的一个极大线性部分组（简称极大
无关组）
推论 5.3.4 等价的向量组的极大无关组含有相同个数
的向量。特别，一个向量组的任意两个极大无关组含
有相同个数的向量。
二、例子
例 1、判断向量组 )4,5,0,0(,)3,1,4,0(,)3,1,2,1(
321 ????? ???
)1,0,0,0(4 ??
?????? ???,,
例 2、设向量组 ???,,线性无关，证明
也线性无关。
例 3、把向量 (1,2,1,1 ),? ?
)1,1,1,1(4 ???? 的线性组合。
1 (1,1,1,1 ),? ? 2 (1,1,1,1 ),? ? ? ?
3 (1,1,1,1 ),? ? ? ?
§ 5.4基与维数
? 教学目标
了解向量空间的基和维数的定义，会求简
单向量空间的基和维数。
? 教学重点
掌握基和维数有关概念及性质。
? 教学难点
向量空间的基和维数的应用。
§ 5.4基与维数
一、定义、定理与性质
设
V 是数域上 F
的一个线性空间。 V
n ????,,,21 ?
考虑
n???,,,21 ?
的一切线性组合所成的集合。
这个集合显然不空，因为零向量属于这个
集合。又设
nnaaa ???? ???? ?2211 nnbbb ???? ???? ?2211
则 Fba ??,，
? 仍是 的一个线性组合。因此，
的一切线性组合作成 的一个
子空间。这个子空间叫做由 所
生成的子空间，并且用符号
表示。向量 叫做这个子空间
的一组生成元 。
nnn bbaabbaaba ???? )()( 111 ?????? ?
n???,,,21 ?
n???,,,21 ? V
n???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ?
n???,,,21 ?
? 设 是向量组 的
一个极大无关组。则 中的
任意一个向量都可以由 线性
表示。另一方面,的任意一个
线性组合自然是 中的向量。
因此我们有
定理 5.4.1 设 向量空间 的
一组不全为零的向量，而 是
? ?riii ???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ?
ri ii ???,,,21 ?
ri ii ???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ?
n???,,,21 ? V
ri ii ???,,,21 ?
? 的一个极大无关组。那么
根据这个定理，如果子空间
不等于零空间，那么它总可以由一组线性
无关的生成元生成。
一个向量空间 本身也可能由其中某 个
向量生成。因此有：
n???,,,21 ?
?),,,( 21 nL ??? ? ),,,(
21 ri ii
L ??? ?
? ?nL ???,,,21 ?
V n
上的一个线性空间。定义 5.4.1 设 V 是数域 F
如果在
V 中存在 n
个向量
12,,,n? ? ?
满足：
1）
12,,,n? ? ?
线性无关；
2）
V 中每一向量都可以由 12,,,n? ? ?
线性
表示。
则
V
称向量组
12,,,n? ? ?
为的一组基。
的一个极大
从而，向量空间
V 的一个基就是 V 的一组
线性无关的生成元，或基即是
V
线性无关组 。
一个向量空间如果有基的话，当然一般不会只
有一个基。根据基的定义，一个向量空间的任
意两个基是彼此等价的。于是可得：一个向量
空间的任意两个基所含向量的个数是相等的。
即：
定义 5.4.2 一个向量空间
V
的基所含向量
的个数
n
叫做向量空间
V
的维数。
零空间的维数定义为 0。
Vdim空间 V 的维数记作
nF这样，空间
2V 3V
的维数是 3；的维数是 2；
的维数是
n ； F
上一切矩阵所成的向量空间的
维数是 nm ? 。
如果一个向量空间不能由有限个向量生成
，那么它自然也不能由有限个线性无关的
向量生成。在这一情形，就说这个向量空
间是无限维的。
基的重要意义主要在于：
定理 5.4.2 设 ? ?
n???,,,21 ?
是向量空间的一个
基。那么
V
的每一个向量可以唯一地被表
成基向量
12,,,n? ? ?
的线性组合。
证明略。（板书）
由替换定理，我们可以得出以下结论：
定理 5.4.3 n 维向量空间中任意多于 n
个向量一定线性相关。
证明略。（板书）
? 定理 5.4.4 设 是 维向量空
间 中一组线性无关的向量。那么总可
以添加 个向量, 使得
作成 的一个基。特
别,维向量空间 中任意 个线性无
关的向量都可以取作基。
r???,,,21 ? n
V
rn ? nr ??,,1 ??
nrr ?????,,,,,,121 ?? ? V
V
n V n
? 证明,是 维向量 空间中的
一个基，那么每一 都可以由
线性表示。又因为
线性无关，所以由替换定理，适当对
编号，可以用 替换前
个基向量,得到一个与
等价的向量组,
且这 个向量线性无关，从而向量组
? ?n???,,,21 ? n V
),,1( nii ???
? ?n???,,,21 ? r???,,,21 ?
,1?
n??,,2 ? r???,,,21 ?
r???,,,21 ?,,21 ??
n?,? nrr ?????,,,,,,121 ?? ?
n
是 的一个基。取
，则定理被证明。
将定理 5.4.4应用到向量空间的有限维子
空间上，我们得到：
定理 5.4.5 设 和 都是数域 上向量空
间 的有限维子空间。那么 也是有
限维的，并且
。
?,,,,21 r??? ? ?nr ??,,1 ?? V jj ?? ?
nrj,,1 ???
1W 2W F
V 21 WW ?
2121 d imd im)d im ( WWWW ??? )d im ( 21W ??
同时是
1W 2W
证：先设 0)d im (
21 ?? rWW ?
。令
r???,,,21 ?
是
21 WW ?
的一个基，那么
r???,,,21 ?
1W
和
2W
里线性无关的向量。将它分别 扩充
为 和 的基：
? ? 1121,,,,,,Wsr ?????? ??
? ? 2121,,,,,,Wtr ?????? ??
这里
1d im Wsr ??
,。子空间
2d im Wtr ??
21 WW ?
由向量：
r???,,,21 ?
，
s??,,1 ?, t?? ?,1
生成。现在我们证明这一组向量线性无
假设关。
?
?
r
i
iia
1
?
+
j
s
j
jb ??
?1
+
k
t
k
kc ??
?1
=0————（ 1）
那么
?? ?
?
k
t
k
kc ?
1
?
?
r
i
iia
1
?
+
j
s
j
jb ??
?1
这就表明
1
1
Wc k
t
k
k ??
?
?
，因而
??
?
k
t
k
kc ?
1
21 WW ?
k
t
k
kc ??
?1
?
?
r
i
iid
1
?所以 = Fddd n ?,,,21 ?，
即,
??
?
k
t
k
kc ?
1
?
?
r
i
iia
1
?
=0。
? 因为, 线性无关。所以
都等于零。于是,+ =0。
又因为 线性无关，所以
都等于零。这样：
是 +
的一个基。
r???,,,21 ? t?? ?,1
tccc,,,21 ? ?
?
r
i
iia
1
? k
t
k
kc ??
?1
sr ????,,,,,11 ??
sr bbaa,,,,,11 ??
?,,,,21 r??? ?,,,1 s?? ? ?t??,,1 ? 1W 2W
所以
21 d imd im WW ?
= )()()( tsrrtrsr ???????
= ?)d im (
21 WW ? )d im ( 21 WW ?
? 当 时，可 设，且
和 的基分别为,；
可证：, 线性无关，从而
它组成 + 的一个基。所以
= 。
0?r sWrW ?? 21 d im,d im 1W
2W r???,,,21 ? 1W? s??,,1 ? 2W?
r???,,,21 ? s??,,1 ?
1W 2W
)d im ( 21 WW ? 21 d imd im WW ?
的子空间。定义 5.4.3 设 W, 'W 是向量空间 V
如果有：
(ⅰ ) 'WWV ??
(ⅱ ) ? ?
0' ?WW ?
则 V 的子空间
'W
叫做
W 的一个余子空间，
此时称 V 是子空间 W 与 'W 的直和，并记作
'WWV ??
很明显，如果 'W 是 W 的一个余子空间，那么 W
也是 'W 的一个余子空间。（举例说明）
的直和定理 5.4.6 设向量空间 V 是子空间 W 与 'W
那么 V 中每一向量 ? 可以唯一的表成：
'??? ?? W?? '' W??，, 。
证明（反证法）
定理 5.4.7 n 维向量空间
V
的任意一个
子空间
W 都有余子空间。如果
如果
'W 是
的一个余子空间，那么,
'd imd imd im WWV ??
证：当 0di m ?W 或
n
时命题显然成立设
,d im rW ? nr ??0 。
令
r???,,,21 ?
是子空间
W
的一个基。由
,存在
定理
6.4.4 rn ? 个向量 V
nr ?? ??,,1 ?
使得
构成 V 的一个基。取 ),,(
1' nrLW ?? ???
,显然
'WWV ?? 容易证明 ? ?0' ?WW ? 所以 'W 是 W
的一个余子空间。
定理的第二个论断是 TH 关于直和的概念可以
推广到多于两个子空间的情形。设
tWWW,,,21 ?
是向量空间
V
的子空间。如果：
（ 1）
tWWWV ???? ?21
（ 2） ? ?0)(
111 ?????? ?? tiii WWWWW ??? ti,,1 ??
那么就说 V 是子空间
tWWW,,,21 ?
的直和，并且
记作：
?V tWWW ??? ?21
的直和可以证明，如果 V 是子空间
tWWW,,,21 ?
那么 V 中每一向量
?
可以唯一的表成：
t???? ???? ?21
的形式，这里
tiW ii,,1,????
并且，当 V 是
有限维向量空间时，
?Vdi m
tWWW d imd imd im 21 ??? ?
例 1,nF 中如下的
n
个向量：
,,,1),0,0,1,0,0( nii
i
??? ???
则 n
n Faaa ??? ),,,( 21 ??
均可由
n???,,,21 ?
线性表示。
因此
),,,( 21 nn LF ??? ?? 而
n???,,,21 ?
是
nF 的一组生成元。
二、例子
例 2、在 ][xF 里，有多项式 1，
nxx,,? 所生
生成的子空间是 ?? FaxaxaaxxL
innn ???? |),,,1( 10 ??
就是 F 上一切次数不超过
n
的多项式连同
零多项式所成的子空间。
例 3、在空间 2R 里，任意两个不共线的向量
??,都构成一个基；在 3R
里，任意三个不
共面的向量 ???,,都构成一个基。
例 4、令例 4是数域 F上一切 nm ? 距阵所成
的相连空间。考虑如下的
mn
个距阵：
j
iE
ij
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
00100
0
0
?
??
?
在
ijE
里，除了第 i 行和第 j 列位置上是 1
外，其余位置上都是 0，
.,,1;,,1 njmi ?? ??
根据距阵的加法和数与距阵的乘法，每一
个 nm ? 距阵都可以表成
? ?
? ?
??
m
i
n
j
ijijij EA
1 1
.)( ??
如果
? ?
? ?
?
m
i
n
j
ijij E
1 1
0?
，那么
)( ij?
是零距阵，从
而一切 0?
ij?
。
这就是说,? ?njmiE
ij,,1;,,1| ?? ??
是 M
的一组线性无关的生成元，因而可以取作 M
的一个基。
例 6,][xF 作为 F 上的向量空间，不是有限
生成的，因而是无限维的。
§ 5.5 坐标
? 教学目标
了解向量在基下的坐标的定义，会求向量
在不同基下的坐标之间的关系。
? 教学重点
掌握过渡矩阵与坐标之间的关系。
? 教学难点
向量在不同基下的坐标之间的关系是由过
渡矩阵实现的。
一、定义、定理与性质
nnxxx ???? ???? ?2211
令
于是，
F
的一个基。
定义 5.5.1 V n是数域 上一个 维向量空间,? ?
n???,,,21 ?
V
是 V??? ?,都可以唯一地表成：
叫做向量
并且给定基向量的顺序（简称有序基）之后，
n 维向量空间
这样一来,V ? ?n???,,,21 ?取定 的一个基
V
?
对于
的每一个向量,
n ),,,(
21 nxxx ?
有唯一的 元序列
? ? ?
n???,,,21 ?
关于基 的坐标。
V ?
设
的向量,
? ? ?
n???,,,21 ?
关于基
),,,( 21 nxxx ? ),,,(
21 nyyy ?
的坐标分别是
和
nnxxx ???? ???? ?2211 nnyyy ???? ???? ?2211
那么
nnn yxyxyx ????? )()()( 222111 ???????? ?
如果 中一个数,那么
a F
是数域
nnaxaxaxa ???? )()()( 2211 ???? ?
于是就有：
定理 5.5.1
? ?n???,,,21 ? 是
个
是数域
V
),,,( 21 nxxx ?
就是：。。
V F n )0( ?n设 上一个 维向量空间,
的一个基。 V???,,它们关于基 ? ?n???,,,21 ? 的坐标分别是
),,,( 21 nyyy ?
和 。 那么 ?? ? 关于这个基的坐标就
),,,( 2211 nn yxyxyx ??? ?
由设 Fa ?,那么
?a 关于这
基的坐标就是：
),,,( 21 naxaxax ?
V
的两
基来说，同一个向量的坐标一般是不同的。
一个向量的坐标自然依赖于基的选取。对于向量空间
个
那么一个向量关于不同基的坐标有什么关系哪？。
设
个基。
? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?和 n V是 维向量空间 的两
那么向量
njj,,1,???,
可以由
12,,,n? ? ?
线性
表示。
设
（ 1）
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
????
????
????
????
????
????
?
?????????
?
?
2211
22221122
12211111
的坐标。这里
以这
),,,( 21 njjj aaa ? j? ? ?n???,,,21 ?是
关于基
n n
个坐标为列，做一个 阶矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
T
?
????
?
?
21
22221
11211
过渡矩阵。
矩阵 T ? ?
n???,,,21 ?
叫做由基 到基 ? ?
n???,,,21 ?
的
则 (1)式可写为：
(2) T
nn ),,,(),,,( 2121 ?????? ?? ?；
(3)
? ?n???,,,21 ?
则一方面：
V?? ? ?n???,,,21 ? ),,,( 21 nxxx ?关于基 的坐标是
),,,( 21 nyyy ?关于基 的坐标是 。
X
xxx
n
nn
),,,(
21
2211
???
????
?
?
?
????
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X ?
2
1
另一方面，
(4)
Y
yyy
n
nn
),,,( 21
2211
???
????
?
?
?
???? 其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
Y ?
2
1
把 (2)代入 (4)，得：
(5)
))(,,,(
)),,,((
21
21
TY
YT
n
n
???
????
?
?
?
?
关于基
等式 (5)表明，向量 ? ? ?
n???,,,21 ?
TY
关于基 的坐标是
。 ? ? ?
n???,,,21 ?
而向量 的坐标是唯一
确定的。从而有：
(6) TYX ?
故得：
定理 5..5.2
? ?n???,,,21 ?? ?n???,,,21 ? 到基 的过渡矩阵。
那么
V 中向量 ? ?n???,,,21 ?
关于基 的坐标
与关于另一基
? ?n???,,,21 ? 的坐标
),,,( 21 nxxx ??
是由基
V F
设 是数域 上一个
n )0( ?n
维向量空间,T
),,,( 21 nyyy ?
由等式（ 6）给出。
二、例子
例 1、取 2R 中两个彼此正交（垂直）的单位向量
'
2
'
1,??2R
作成 的一个基。 分别由 与
21,??
令
1? 2?
旋转角
?
所得。 ?
21,??
已知向量 在基 下的坐标是
),( yx, 求向量 ),( yx?? '
2
'
1,??
在新基 下的坐标。
§ 5.6 向量空间的同构
? 教学目标
掌握同构定义及同构同维的关系。
? 重点
同构定义、性质及其应用
? 难点
同构同维的关系
§ 5.6 向量空间的同构
一、定义、定理与性质
在数域 F 上 n 维空间 V 内取定一个基之后，
V 的每一
上 n 元数列，因此属于 nF 。 这样一来，取定了 V 的一个基
? ?n???,,21 ?，, 对于 V 的每一个向量 ? 令它关于这个基的坐
标 ? ?
nxxx,,21 ?，
与它对应，就得到
V
到 nF 的一个映射。
个向量 ? 有唯一确定的坐标 ? ?
nxxx,,21 ?，
。 向量的坐标是 F
? ?nxxxf,| 21 ?，，,??
反过来，对于 nF 中任意元素 ? ?12,,,nx x x，
?
?
?
n
i
iix
1
??
是 中唯一定的向量，并且V
? ? ? ?nxxxf,,,21 ???
因此,f 是 V 到 nF 的双射。如果,,V??? 并且
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,nnf x x x f y y y????，,,那么由坐标的唯一性
得,? ? ? ? ? ? ? ????? ffyxyxyxf
nn ???????,,?2211 并且对
于 Fa ?
? ? ? ? ? ?12,,nf a a x a x a x a f????，
这就是说，映射 f,保持向量的加法和标量与向量的
乘法”，如果两个向量空间之间存在这样一个映射，就
是说它们是同构的，确切地说，我们给出以下
到定义 5.6.1 V W F V
W
设 和 是数域 上两个向量空间。
的一个映射叫做一个同构映射，如果
f V W（ 1） 是 到 的一一映射；
（ 2）对于任意 ? ? ? ? ? ?V f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ?，, ；
之间建立一个同构映射，
（ 3）对于任意 ? ? ? ?a F V f a a f? ? ?? ? ?，, 。
如果数域 F 上两个向量空间 V 和 W
那么就说 V W与 同构，并且记作
WV ?
我们知道：一个向量空间就是一个带有加法和标量与
向量的乘法的集合。而我们的着眼点主要在于运算，至
于这个集合的元素是什么对我们来说是无关紧要的,从
这个意义上来讲，同构的向量空间本质上可以看成是一
样的。从而有：
定理 5.6.1 F n nF数域 上任意一个 维向量 空间都与
现在我们来推导出同构映射的若干基本性质。同构。
V W F f
V W
和 是数域 上两个向量空间，
是 到
定理 5.6.2 设
的一个同构映射,那么,
0)0( ?f 。⑴
,V? ? )()( ?? ff ???⑵ 对于任意
⑷ V
n ????,,,21 ?
线性相关 ? Wfff
n ?)(,),(),( 21 ??? ?
线性相关。
⑶ )()()()(
22112211 nnnn fafafaaaaf ?????? ??????? ??，
这里,
iaF?,i V? ? 1,2,,in?
。
f 1?f W V⑸ 的逆映射 是 到 的同构映射。
证明：⑴、⑵略。（板书）
⑶ 直接由定义 1，利用数学归纳法即得⑶。
不全为零使得,
n???,,,21 ? Faa n ??,,1 ?
⑷ 若 线性相关,则
02211 ???? nnaaa ??? ?
那么
)()()( 2211 nn fafafa ??? ??? ?
1 1 2 2()
( 0 )
nnf a a a
f
? ? ?? ? ? ?
?
反之，如果 )(,),(),( 21 nfff ??? ?线性相关,也则
Faa n ??,,1 ?
不全为零使得,
0)()()( 2211 ???? nn fafafa ??? ?
由⑶,0)(
2211 ???? nnaaaf ??? ?
。 因为 f
射,又由⑴,有
是单
02211 ???? nnaaa ??? ?。
1?f⑸ 是 到
1ff?W V 的双射，并且 是 W 到自身的恒
等映射,1ff? ? 是 V 到自身的恒等映射。 设
'',W?? ?, 由于
f V W是 到 的同构映射,所以
1 ' ' ' ' 1 ' 1 '( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )f f f f f f? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?
1 ' 1 '( ( ) ( ) )f f f??????
同理，对于
f 1 ' ' 1 ' 1 '( ) ( ) ( )f f f? ? ? ?? ? ?? ? ?因为 是单射，所以 。
WFa ?? ',?,我们有
1 ' 1 '( ) ( )f a a f?????
定理 5.6.3 F W V
? W V
数域 上两个有限维空间 与 同构
与 有相同的维数。
证明略。（板书）。
根据这个定理，数域 F 上具有同一维数的向量空间本
质上是一样的 (因为向量空间的本质就是加法和数量乘法 )。
因为 F 上每一个 n 维向量空间都与 nF nF
F n
同构，因此，
可以作为 上的 维向量空间的代表。
二、例子
例 1,证明：向量空间 ][xF 与他的一个真子空间同
构。
同
证：取 ? ?niFaxaxaxaaxF
inn,,1,)()()(][ 1212222102 ?? ??????? ??
可以证明 ][ 2xF 是 ][xF 的一个真子空间，且 2[]Fx 与 ][xF
构。
? 教学目标
掌握矩阵的行、列空间与矩阵的秩的关系，会
求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用。
? 教学重点
掌握矩阵的行、列空间与矩阵的秩的关系，会
求齐次线性方程组的基础解系及应用。
? 教学难点
齐次线性方程组的基础解系及应用。
§ 5.7矩阵的秩，齐次线性方程组
的解空间
设
一、定义、定理与性质
首先我们看一下矩阵的几何意义。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
F是数域 上的一个 nm ? 矩阵 。
AA 中的向量 )。nF的行向量 ——矩阵 的每一行（
AA 的列向量 ——矩阵 的每一列。
Am???,,21 ?,表示 的行向量：
miaaa iniii ??,），，，，（ 121 ???
由
m???,,21 ?，
所生成的 nF 的子空间 ),,(
21 mL ??? ?，
个列向量叫做矩阵 A 的行空 间。类似地，由 A 的
n
所生成的 mF 的子空间叫做 A 的列空间。
引理 5.7.1 设 A 是一个 nm ? 矩阵
量空间的子空间，但这两个子空间具有相同的维数。
是不同的向当 nm ? 时，矩阵 的行空间和列空间A
为此，先证明
Q
，
A
，
1)如果 PAB ? P
与
m 阶可逆矩
阵，那么 B A 有相同的行空间。
是一个
2)如果 AQC ? 是一个
n
阶可逆矩
阵，那么 C 与 有相同的列空间。
证：我们只证明（ 1），因为（ 2）的证
明完
B 的行空间。则由 PAB ? 知,B 的第 i 行等于 P
的第 i 行右乘矩阵 A,
? ? ? ?imiiiniii pppbbb ??,，，，,2121 ???
，mimi ppA ?? ??? ?11
是
? ? ? ? ? ? mnijmmijmnij bBpPaA ???,，
令 ? ?m???,21 ?，,A 的行向量,? ?m???,21 ?，,是
所以 B 的每一个行向量
i?
都是 A 的行向量
i?
类似。
全
的线性组合，但 P 可逆,所以 BPA 1?? 。这就是说
A 的每一个行向量
i?
也都是 B 的行向量
i?
的 线性
组合，从而得出向量组 ? ?m???,21 ?，,与 ? ?m???,21 ?，，
等价，所以它们生成 nF 的同一个子空间。
(1)
，??
?
?
??
?
?
?
OO
OI
PAQ r
阶可因为任意一个 nm ? 矩阵 A,一定存在 m
逆矩阵 P 和
n
阶可逆矩阵 Q,使
这里 r 等于 A 的秩，两边各乘以 1?Q 得
行的元素都是零，
1?
???
?
???
?? Q
OO
OIr
PA
右端乘积中后 rm ? 而前 r
行就是 1?Q 的前 r 行，由 于 1?Q 可逆，所以它的行
向量线性无关因而它的前 r 行也线性无关，于 是
PA 的行空间的维数等于 r,由引理 6.7.1,A 的
行空间的维数等于 r, 另一方面，将等式（１） 左
乘以 1?P 得
。??
?
?
??
?
?
? ?
OO
OI
PAQ r1
由此看出,AQ 的列空间的维数等于 r,从而
A 的列空间的维数也等于 r,这就是,
定理 5.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空
间的维数。等于这个矩阵的秩。
由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它
的行向量组的极大无关组所含向量的个数，也定
义为 它的列向量组的极大无关组所 含向量的个数。
利用上面的结论，现在我们来讨论线性方程组,
(2)
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
令
n??? ?，,21
表示 (2)的系数矩阵的列向量，
? ? '21 mbbb,，,??? 由 (2)得,
???? ???? nnxxx ?2211
如果 (2)有解，那么
?
可以由
n???,，,?21
线性表示。因而
? ? ? ????????,，，,nn LL,,,2121 ?? ?
的列空间，因而秩
的列空间等于增广矩阵即 (2)的系数矩阵 A A
A ＝秩 A,反过来，如果秩
A ＝秩 A
，那么 A 的列空间于 A 的列空间 重
合，即 ? ?
nL ????,，,?21?
，故 ? 可以由
n???,，,?21
线性表示，所以方程组 (2)有解，这样，我们就得
到线性方程组有解的另一个判别法：
?数域 F 上线性方程组 ??AX 有解 )()( ARAR ?
设数域 F 上一个齐次线性方程组为,
(3)
0
0
0
2211
2222121
1112111
????
????
????
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
令 A 是这个方程组的系数矩阵，那么 (3)可以写成
( )
3?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
2
1
??
n
x
x
x
A
3)的每一个解都可以可看作 nF 的一个向量，叫做
做方程 (3)的一个解向量，设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
y
y
y
x
x
x
??
2
1
2
1
??,
是 (3)的两个解向量,Fba ??,，由（ 3? ）知,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
0
)(
2
1
2
1
???
nn
y
y
y
bA
x
x
x
aAbaA ??
所以 ?? ba ? 也是（ 3）的一个解向量。
上一个
另外，齐次线性方程组永远有解 ——零解。从
而数域 F
n 元齐 次线性方程组的所有解
向量作成 nF 的一个子空间，这个子空间就是该齐
次线性方程组的解空间。
现在设（ 3）的系数矩阵的秩等于 r,那么通
过行初等变换，必要时交换列，可以将系数矩阵
A 化为以下形式的一个矩阵：
，
，
??
?
?
??
?
? ?
00
rnrr
CI
与这个矩阵相当的齐次线性方程组是
（ 4）
，
，
，
，，
，
，
0
0
0
11
21122
11111
????
????
????
??
??
??
nnrrrrr
nnrr
nnrr
ycycy
ycycy
ycycy
?
?????????????
?
?
这里,，，,nkxy
ikk ?21??
是
nxxx,，,?21
的重新编号，方程组（ 4）有 rn? 个自由未知量 nr yy,,?1?
依次让它们取值（ 1,0…, 0），（ 0,1,0…, 0）
… （ 0,… 0,1），我们得（ 4）的 rn ? 个解向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
21
2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
nr
n
n
rr
r
r
rr
r
r
c
c
c
c
c
c
，
，
，
，
，
，
，，,???
? 这 个解向量显然线性无关，另一方面，设
是（ 4）的任意一个解，代入
（ 4）得
于是
rn?
? ?nkkk,，,?21
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
nn
rr
nnrrrrr
nnrr
nnrr
kk
kk
kckck
kckck
kckck
1
1
11
11
21122
11111
?
?
????
????
????
??
??
??
??
?????????????
?
????????????
?
?
nnrrrrn kkkkkk ??? ???? ???? ?? 2211
'
21 ),,,(
? 因此,(4)的每一个解向量都可以由这
个解向量 线性表示，则构成 (4)
的解空间的一个基，重新排列每一解向量 中坐
标的秩序，就得到齐次线性方程组 (3)的解空间的
一个基，于是我们有
? 定理 5.7.3 数域上一个 个未知量的齐次线性
方程组的一切解作成 上的一个子空间，如果所
给的方程组的系数矩阵的秩是,那么解空间的
维数等于 。
齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方
程组的一个基础解系。
rn ?
nrr ???,，,?21 ??
i?
n
nF
r
rn ?
是数域 上任意一个线性方程组，
是一个 矩阵，把（ 5）的常数项都换
成零，就得到一个齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
b
b
b
x
x
x
A
??
2
1
2
1
(5)
F A
nm ?
1
2
0
0
0
n
x
x
A
x
?? ??
?? ??
?? ???
?? ??
?? ??
????
(6)
? 齐次方程组（ 6）叫做方程组（ 5）的导出齐次方程组。
? 定理 5.7.4 如果线性方程组 (5)有解，那么 (5)的一个解
与导出齐次方程组 (6)的一个解的和是 (5)的一个解,(5)
的任意解都可以写成 (5)的一个固定的解与 (6)的一解的
和。
? 证：设 是 (5)的一个解，
是 (6)的一个解，则
? ?nccc,，,?21??
? ?nddd,，,?21??
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n n n n n
c d c d b
c d c d b
A A A
c d c d b
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
，
? 所以 是 (5)的一个解,
? 设 是 (5)的任意一个解，那么
? 故是 (6)的一个解，从而 。
? 二、例子
? 例 1、求齐次线性方程组
?? ?
? ?nlll,，,?21??
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
???????
mmnnnn
b
b
b
b
b
b
c
c
c
A
l
l
l
A
c
c
c
l
l
l
A
??? ?? ??? ??
的一个基础解系。
，
，
，
，
0793
083
032
05
4321
4321
4321
4321
????
????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
