? 第六章 线性变换
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2,把握 L(V)与 Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换
的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根，
特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的
象、核的关系。
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
?
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特
征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征
向量的求法及其应用。
说明：①定义中（ 1）（ 2）称为映射的线性性
质。②定义中（ 1）（ 2）成立
（加以说明）
）（有 );()(,,,,????????? babaVFba ????????
定义 6.1.1 是?
V W到 的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
VW,F设 是数域,设 上的两个向量空间，
V? 是 到 W 的一个线性映射：
,,( ) ( ) ( )V? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?(1)
,,( ) ( )a F V a a? ? ? ? ?? ? ? ? ?(2)
§ 6.1线性映射
性质 6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即,
性质 6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不
变，即：
( 0 ) 0? ?
)()()( 1111 nnnn aaaa ??????? ????? ??
之下的原象。在叫
的一个子集，是，则另一方面，设
‘
‘‘
?
???
W
VWVWW })(|{ ???
是 到 的一个线性映射，如果 'VV? 则：V
'V ?
定义 6.2.1 设 ? W
'{ ( ) | }VW? ? ? ??是 W 的一个子集,叫 在 之下
的象记作 '()V? 。
定理 6.1.1
空间,
而则 V的任意子空间在
的一个子之下的原象是的任一子空 间在
的一个子空 间,之下的象是 W
设 V和 W是 F上的向量空间，
V
W
?
? 是 V到 W的一个线性映射,
?
证明,
空间的子W)V( 是??现在证明,
,)(,)(,,),(,??????????? ????'??$?????? VV 则
V ?是 V设 的一个子空间,
:，有Fba,是 线性变换，∵ ???
)()()()( Vbababa ????????? ??????????
.)( 的子空间是 WV?\?
.)k e r (,)I m (, VW ?? ??注意
:说明
① 线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间，
则原象也是子空间。
)。()m(I即..)m(I记作
的象，的一个子空 间一个是之下的象在② ￠特 别
V
(V)V
???
?????
?
。0})(|V{=)ker(的核。 记核做
的一个子空 间一V之下的原象是在}0{的零子空 间W 另一方面,
?? ?????
?
它叫
定理 6.1.2：
( 1 ) I m ( ) ;W?? ??是 满 射
? k e r ( )? ={0}.? 是单射(2)
的 一个 线性映射，则：V是设 W??
证明：
.
,)(,,有,即 = 若I,
是满射
反之
?
?????
\
?????? VWWm
W
W
VW
=)Im(∴
,)Im(又
)Im(=)(,,
是 满满射。）若1（
?
?
??????
?
?
??'?$???
)0(0)( ??? ???又
),()k e r( 0 ???? ??\ 即
),()(，有是 单射，）若2（ ??????? ???? V
??
??
???
??????
?
?\
?
????
0-
，0 )-(则
，) ()(，且反之,V
矛盾。
是 单射∴ ?
与 已知
说明：
( ) ( ) { }0ker2
(V),)Im()(1
是双射
?
?
?
?
??
?
定理 6.1.3：
? 两个线性映射的乘积还是线性映射。
性映射。的 到 和 到 是分,,设 线别 WUUV??;:,:,WUUV ?? ??即
线性映射的一个 到,是, 则证明 WV??
( ) ( )唯一。.,有V, 则.事 实实上 ????????? ????令
性影射的一个 线 到 是 ∴ WV?
:V,,ba,有又 ??? ?F ( ) ( ) ( )??????? ba ??? ba
。的一个 到 是 ∴ 线性影射WV?
证明：
说明：
?推广：
( )
( ) 。)( 且
也是 线是线性映 则
都是 线是线性映,,若
??????
???
???
?????
??
定理 6.1.4
? 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
的一个映射,到 是,则
存在,的一个 线一个线性映 W到 是V 设
1-
-1
?
?? ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
的 线线性映射 到 是
a
:,
a
:,a:,:
F,ba,,,
1-
1-1-1-
1
11-
11-1-
VW
bab
bab
VbV
W
?
???????
?
???????
??????
??
\
???
???
???
???
?
?
?
得到两边同时施行
于是且则
又证明：
二、例子
的一个映射。 到 是 证明：显然 32 RR?
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
的一个 线一个线性 到是 ∴
a
,,,xxR,ba,
2
2121,
32
R R
babba
baba
Ryy
?
???????????
???????
??
?????
???
??????
由
又
?
( )
( ) ( ) 的一个 线一个线性到是则,x
，定 义每一个向量到．1例
2121
2
323
21
RRRxxx
xxR
???
?
????
??对于
例 2．
( )
.的一个 线 是 证明
射影。 上的ZH 在平面 表示
,的 每每一个向 对于,中 经经过原点的一个平 是H
性映射
令
面令
33
33
VV
VV
??
???
?
( ) ( ) ( )
( ) ( );;
????
???????
aa ?
???
证明：由射影性质：
性映射的一个 线V 是V ∴ 33 ??
例 3,
( ) 的一个 线一个线性 到, 定
，
.
.
x
= 向量的 每 列空 间 矩 阵阵，对 上一个F 是
1
nnn
n
n
FFF
x
FnnmA
是规
一令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
FbaF
y
y
x
x
n
nn
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,,
.
.
,
.
.
11
??
证明：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;abaa 由 ??????????? bb ?????
例 4,
性映射。的一 到 是, 则0,
即：,中的零向量与它 对 W,上向量空 间 和W 是
个线
应，令令
WV
VFV
???
?
?
??
( ) ( ) ( ) ;
:,,,,
???????
??
bab
VFba
???
????
a
有
证明：
0:,,记为是零向量称此时 ?
例５：
( ) ( )
的一个 线一个线性 到是 则
。 k 令,,上向量空 间是
VV
FkF V
?
??? ??取定令
证明,……
,上一个 上一个 线一个线 是 称,此 元线性函数时 nFF n?
例６：
( ) ? ? ( )( ) ( ) ? ? ? ?
个 线线性映射
的一 xF 到 xF 是, 则 xfxf 规定,xF xf ?? ????
证明,……
例７：
? ? ? ?
? ? ( ) ( ) ? ?
线性映射。
到象的一个ba,是, 则td tf
a
x
f:,ba,f 规定：
上向量空 间向R上一切 连一切连续函数 ba,是定 义ba,
CC
C
?? ????
在令
证明
( ) ( ) ( ) ( ),.,,, gbfadtbgaf
a
x
bgaf ??? ?????? ?
§ 6.2 线性变换的运算
.
,
的一个线性变换映射叫做
到自身的一个线性上一个向量空间是数域令
V
VFV
,),(,,)( VVLVVL ???? ???的一切线性变换表示令
????????? ?????? ),()(:令
)()(
))(())(()()(
????
?????????????????
????
????????则
的线性变换是 F?? ?\
可证 L(v)是 F上的线性空间。
定理 6.2.1
e?
?
??
???
???
0
n
σ:定 义
)个σ ( n.,,,σσσ
κ ( σ τ )σ ( κ τ )σ( κ κ σ
τρσρρτ)ρ( σ
ρτρστ)ρ( σ
:且
何非负整数幂都有意义从而一个线性变换的任
积
合成
的与做叫也
.映射上的向量空 间F成对于加法和纯量乘法作L(V)
??
??
,.,,)( 10 nn xaxaaxf ????设
:,,00 有代替代替用 aeax?
n
naaea ??,..10 ??
( )的值时这个线性变换叫做 xfx ??
,)(,00 ??? eaeaV ????
。a 作ea 从而可 00 简记将
即
n
naaaf ???,,,)( 10 ???
( )
)()()(
)()()(
)()(
)()()(
???
???
gfv
gfu
xgxfxv
xgxfxu
?
??
?
??
若
如果线性变量 ? 有逆映射
1??,
则 也线性变换?
叫做 ? 的逆变量, 着时 ? 就叫做可逆的或非奇异的。
我们有
11 t? ? ? ?????
§ 6.3 线性变换和矩阵
教学目标,渗透现代代数学同构、代数表示论的思
想，和化归的数学思想方法，让学生了解
向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的
关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握
线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下
的向量关于基的坐标的计算方法。
重 点,线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵
相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性
变换作用下的向量关于基的坐标的计算。
难 点,线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵
相似概念。
！
§ 6.3 线性变换和矩阵
一、不同线性变换关于同一个基的矩阵
问题,如何将抽象的线性变换直观化?
设 V是数域 F上的一个 n维向量空间。令 σ是 V的一
个线性变换。取定 V的一个基：
n???,,,21 ?
nnxxx ???? ???? ?2211
)(?? 仍是 V的一个向量，设
nnyyy ????? ???? ?2211)(
向量可以通
过标坐标来
刻画
问题：
),,,()( 21 nyyy ?的坐标如何计算 ??
?$??,,,,21 FxxxV,n??
§ 6.3 线性变换和矩阵
令
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
?????
?????
?????
????
????
????
?
??????????
?
?
2211
22221122
12211111
)(
)(
)(
。
njia niij
的坐标
关于基就是这里 ????? ??,,)(,,2,1,,21?
§ 6.3 线性变换和矩阵
令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
{ } 。,,,21 的矩阵关于基叫做线性变换阶矩阵 nAn ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nj
j
j
nj
a
a
a
?
?
2
1
21
,,,)( 的坐标为关于基 ?????
),,2,1( nj ?? (A的第 j列 )
§ 6.3 线性变换和矩阵
从而取定 F上 n维向量空间 V的一个基之后，对于
V的每一线性变换，有唯一确定的 F上的 n阶矩阵与它
对应,
)()( FMAVL n????
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
?????
?????
?????
????
????
????
?
??????????
?
?
2211
22221122
12211111
)(
)(
)(
Ann ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
结论 1：
§ 6.3 线性变换和矩阵
设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
2
1
21
2211
),,,( ???
????
则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
2
1
21
2211
))(,),(),((
)()()()(
??????
????????
§ 6.3 线性变换和矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
A
?
?
2
1
21
),,,()( ?????
nnyyy ????? ???? ?2211)(
1
2
12
(,,,)
n
n
y
y
y
? ? ?
??
??
???
??
????
??
§ 6.3 线性变换和矩阵
定理 6.3.1,令 V是数域 F上的一个 n维向量空间，
σ是 V的一个线性变换，而 σ是关于 V的一个基
的矩阵是},,,{
21 n??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
如果 V中向量 ?关于这个基的坐标 是,
而 σ (?)是 关于这个基的坐标 是,那么 ),,,( 21 nxxx ? ),,,(
21 nyyy ?
§ 6.3 线性变换和矩阵
结论 2：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
揭示了向量坐
标与它的像坐
标之间的关系
问题,对于结论 1，给定数域 F上的一个 n阶矩阵 A，
是否存在 F上的 n维向量空间 V的一个线性变换 σ，而
σ关于 V的一个给定的基的矩阵恰好是 A？
§ 6.3 线性变换和矩阵
引理 6.3.2,设 V是数域 F上的一个 n维向量空间,
是 V的一个基，那么对 V的任意 n个向量
，恰有 V的一个线性变换 σ，使得
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
( ),1,2,,ii in? ? ??? 证明
定理 6.3.2,设 V是数域 F上的一个 n维向量空间,
是 V的一个基。对 V的任一线性变换 σ,
令 σ是关于 基 的矩阵 A与它对应，这样
就得到 V的全体线性变换所成的集合 L(V)到 F上全体 n
阶矩阵所成的集合 Mn(F)的一个双射，并且如果对 σ,
τ∈ L(V)，而,那么
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
BA ?? ??,
FaaAaBA ???,,?? ???
AB???
证明
§ 6.3 线性变换和矩阵
推论 6.3.4,设数域 F上 n维向量空间 V的一个 线性
变换 σ关于 V的一个取定基的矩阵是 A。那么 σ可逆必
要且只要 A可逆，并且 σ-1关于这个基的矩阵就是 A-1.
例 1、例 2
二、同一个线性变换关于不同基的矩阵
与线性变换对应的矩阵是依赖于基的选择的，同
一个线性变换关于不同基的矩阵一般不同。那么同一
个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系？
结论 3：,FMVL n 这个同构映射保 持乘法。)()( @
§ 6.3 线性变换和矩阵
设 V是 数域 F上的 n维向量空间,σ是 V的 一个 线性
变换。假设 σ关于 V的两个基 和
的矩阵分别是 A和 B，即
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
Ann ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
Bnn ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
令 T 是由基 到基
的过渡矩阵，即
},,,{ 21 n??? ? },,,{
21 n??? ?
Tnn ),,,(),,,( 2121 ?????? ?? ?
§ 6.3 线性变换和矩阵
于是
ATT
AT
T
B
n
n
n
nn
1
21
21
21
2121
),,,(
),,,(
))(,),(),((
))(,),(),((),,,(
?
?
?
?
?
???
???
??????
?????????
?
?
?
??
因此
结论 4,ATTB 1??
说明了一个线性变换关
于两个基的矩阵的关系
设 A,B是 数域 F上的两个 n阶矩阵，如果存在 数
域 F上的 n阶可逆矩阵 T，使得,那么就说 A
与 B相似，记为 A∽ B。
ATTB 1??
！
矩阵的相似
关系是矩阵
代数中非常
重要的概念
§ 6.3 线性变换和矩阵
阶矩阵的相似关系具有下列性质：
a,自反性； b,对称性； c,传递性。
从而,n维向量空间的一个线性变换 ?关于两个
基的矩阵是相似的。
反之，设是数域 F上两个相似的 n阶矩阵, 则存在
数域 F上 n维向量空间 V的一个线性变换 σ，它关于 V的
一个基 的矩阵为 A，即},,,{
21 n??? ?
Ann ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
因为 A与 B相似，所以存在可逆矩阵 T，使得
ATTB 1??
§ 6.3 线性变换和矩阵
令
Tnn ),,,(),,,( 2121 ?????? ?? ?
则 也是一个基，且关于这个基的
矩阵就是。故相似的矩阵可以看成是同一个线性变换
关于两个基的矩阵。
},,,{ 21 n??? ?
最后有：
)(
)(
11
1
2
1
1
1
21
1
???
???????
??
????
ATTTAT
ATTATTATTAAAT rr ??
§ 6.4 不变子空间
?教学目标
了解不变子空间的定义并会判断一个
子空间是否为一个不变子空间,掌握不
变子空间与可对角化的关系,
?教学重点
不变子空间的定义及其判断,
?教学难点
不变子空间的性质及其应用,
一、基本概念
设 是数域 上 维向量空间 的一个
线性变换。我们自然希望取 的一个基，
使得 关于这个基的矩阵最简单。由于一
个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，
因此也可以说：在彼此相似的 阶矩阵中，
选出一个形式尽可能简单的矩阵来。这一
问题的讨论和不变子空间的概念有着密切
的联系。
? F n V
V
?
n
令 是数域 上的一个向量空间,是
的一个线性变换。
定义 6.4.1 的一个子空间 说是在线性
变换 之下不变（或稳定），如果,
V
F ? V
V W
?
WW ?)(?
如果子空间 之下不变，那么
W ?
在 W
?
就叫做 的一个不变子空间。
设是在线性变换 的一个不变子空
间。若只考虑 在 上的作用，就
得到子空间 本身的一个线性变换，
称为 在 上的限制。记作
这样,有,
?
? W
W
? W
W?
W?? ?
??? ?)(W
如果
W??
,就没有意义了。)(?? W
不变子空间与线性变换矩阵简化的关系：
.)(
)(
)(
)(
)(
11
1,1,1
1,11,11
2211
22221122
12211111
nnnrrnnn
nrnrr
rrrrr
rrrrrr
rr
rr
aaa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
?????
?
????
?????
?????
?????
?????
???
???
????
????
????
???
???
??
?
?
?
??????????
?
?
?
12,,,,r? ? ? 1 2 1,,,,,,.r r n? ? ? ? ??
)(,),(),( 21 r?????? ?
设 V是数域 F上一个 n维向量空间,是 V的一个线性变
换，假设 有一个非平凡不变子空间 W,那么取 W的一个基
再补充成为 V的一个基
由于 W在 之下不变，所以 仍在 W
内，因而可以由 W的基
12,,,,r? ? ?
线性表示。我们有：
因此，
?
关于该基的矩阵为：
???
?
???
??
2
31
0 A
AA
A
，这里
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rrr
r
aa
aa
A
?
???
?
1
111
1
?V 1W 2W?
平凡
W?
W r???,,,21 ?是 关于 的基 的矩阵。
由此可见，如果线性变换 ? 有一个非
不变子空间，那么适当选取 V 的基，可以
使与 ? 对应的矩阵中有一些元素为零。特
别，如果 V 可以写成两个非平凡不变子空
1W 2W
与 的直和：间
。
?那么选取 的一个基 与 的一个基
凑成 的一个基 当 与 都在 之
下不变时,关于这个基的矩阵为,
1W
12,,,r? ? ?
2W
1,,,rn??? V 12,,,.n? ? ? 1W
2W
? ?
???
?
???
??
2
1
0
0
A
A
A
阶矩阵，
这里
1A
是一个 r
1W?
阶矩阵，它是
r???,,,21 ?
的矩阵，
2A rn ?
是一个
它是
2W?
关于基
nr ??,,1 ??
的矩阵。
?因此，给定 维向量空间 的一个线性变
换,只要能够将 分解成一些在 之下不
变的子空间的直和，那么就可以适当选取
的基，使得 关于这个基的矩阵具有比较简
单的形状。显然这些不变子空间的维数越
小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，
如果能够将 分解成 个在 之下不变的一
维子空间的直和，那么 对应的矩阵就是对
角形。这就是我们今后将要解决的问题。
n V
? V ?
V
?
V n ?
?
二、例子
?一般，如果向量空间 可以写成 个子空间
的直和，并且每一子空间都在 之下不变，
那么在每一子空间上取一个基，凑成 的
一个基，则 关于这个基的矩阵为：
V
s
12,,,sW W W
?
V ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
A
A
A
0
0
2
1
?
其中
iA
是
iW? iW
关于 的基的矩阵。
都在( ),LV??? )(?Ker例 2,及 )Im(?
? 之下不变。
例 3,)(VL?? 满足 2,??? 证明：
（ 1）
{ }( ) ( ) ;K e r V? ? ? ? ?? ? ?
（ 2）
( ) I m ( ) ;V K e r ????
（ 3）如果
)(VL??,
那么
)(?K er 及 )Im ( ?
?都在 之下不变,? ? ? ???
V {}0
? ( ( ) )LV???
例 1、向量空间 本身和零空间 在
之下不变。
§ 6.5 特征值与特征向量
?教学目标
会求特征值与特征向量,并能够应用
?教学重点
特征值与特征向量的定义及其性质
?教学难点
特征值与特征向量的应用
一、定义、定理及性质
设 上的一个向量空间,是数域V F
( ),LV? ?
? F定义 6.5.1 设 是数域 中的一个数。
V? ?,使得若存在非零向量
（ 1） ???? ?)(
? ???
?
那么 就叫做 的一个特征值，而 是 的属于特
的特征向量。征值
Fa ??的特征向量，则?的属于特征值是,? ?若
有
都
)()()( ???????? aaaa ???
是
不变，
? ? ?从而如果 的一个特征向量，那么由 所
生成的一维子空间 { }
FaaU ?? ?
?
V U ?
在 之下不变。
的一个一维子空间 在 之下反过来，如果
U ?的每一个非零向量都是 的属于同一个那么
征值的特征向量。
特
设 V F n V
{ }n???,,,21 ? ?
是数域 上的一个 维线性空间。取定 的
。令线性变换 关于这个基一个基
阵为：
的 矩
?
( )ij nnAa?
nnxxx ???? ???? ?2211
?
如果 是线性变换 的属于特征值
的特征向量，则有：
AX
xxx
xxx
n
nn
nn
),,,(
),,,))((,),(),((
)()()()(
21
'
2121
2211
???
??????
????????
?
??
?
?
?
????
另外：
1 1 2 2
12
12
( ) ( )
(,,,)
(,,,)
nn
n
n
x x x
X
X
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
根据坐标的唯一性有, XAX ?? 。即：
（ 2） 0)( ?? XAI?
因为 0??,所以（ 2）有非零解。故：
（ 3）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
d e t ( ) 0
n
n
n n n n
a a a
a a a
IA
a a a
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
F??
),,,( 21 nxxx ?
反过来，如果 满足等式（ 3），那么（ 2）
，由非零解 nnxxx ???? ???? ?2211
? ?
因而 满足
是 的一个特征值。式（ 1），即
等
( )nijaA ?
F n
定义（特征多项式）：设 是数域
上的一个 阶矩阵。行列式
引入
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) d e t ( )
n
n
A
n n n n
a a a
a a a
f x I A
a a a
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
][)( xFxf A ?
A叫作矩阵 的特征多项式。由定义可知
A
?
V
?
?等式（ 3）表明，如果 是线性变换 关于
的一个基的矩阵。而 是 ?
A )(xf A 0)( ??
Af
的一个特征值，那么 是
的特征多项式 的根，即,。
? V B现在设线性变换 关于 的另一个基的矩阵是
则有：
ATTB 1??
TAxITATTITxTBxI )(111 ????? ???
IITT ?? 1因为,所以
故
)()d e t (
))(d e t ()d e t ()(
1
xfAxI
TAxITBxIxf
A
B
???
????
?
关于
从而，相似的矩阵具有相同的特征多项式。这样，
V 的线我们可以定义 ?
?
V
?
)( xf?
性变换 的特征多项式是
的任意一个基的矩阵的特征多项式，并且把
的 。特征多项式记作
线性变换。
? F n V
F?? ? ? ? ?
)(xf?
定理 6.5.1设 是数域 上 维向量空间 的一个
是 的一个特征值 是 的特征
的一个根。多项式
那么现在的问题就是来研究矩阵 A 的特征多项式
了。
（ 4）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
n
n
A
n n n n
a a a
a a a
fx
a a a
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
][xF
nx
将这个行列式展开，就得到 中一个多项式，它
，出现在对角线上元素的乘积中：的最高次项是
（ 5） )())(( 2211 nnaxaxax ??? ?
个 线主对角行列式的展开式其余的项至多含有 2?n
)(xf A
x 2?n )(xf A
2?n
是乘积（ 5）和一个至多是
的一个 次多项式的和。因此,中次数大于
的项只出现在乘积（ 5）里。所以：
上的元素。因此，
?? ?????? ? 12211 )()( nnnnA xaaaxxf
2?n这里没有写出的项的次数至多是 次。
0?x在（ 4）式中令 得：
中，)(xfA 1?nx trA A的系数乘以 -1就是 —— 矩阵在
的迹。
Af nA d e t)1()0( ??
][ xFV ? )(VL?? )()(,' xfxf ??
R???
xx ee ?? ?? ?)(
? ?
例１、１,令, 定义为：
则,有：
从而任意的实数 都是 的特征根。
二、例子
§ 6.6 可以对角化的矩阵
定义 6.6.1 设 ()LV? ?,如果存在 V 的一个基，使得 ?
关于这个基的矩阵具有对角形式：
1
n
?
?
??
??
??
??
（ 1）
则称 ? 可以对角化。
类似的,()
nA M F?
与对角阵相似，则称 A 可对角化。
设, ?
?
定理 6.6.1 ()LV? ? 可对角化 V? 中存在由
的特征向量组成的基。
证明,? ? 可对角化,\ $ 基
1 1 1,.,,,(,.,,,) (,.,,,)n n n A? ? ? ? ? ? ???
1
n
A
?
?
??
??
?
??
??
\
? ()i? =
i? i
? 1,,in?
，
故
n??,...,1
是
? 的特征向量,且是基。
反之：如果 ?
n n??,...,1
有 个线性无关的特征向量
n??,...,1 V
则取 为 的基，
?
\ ?
于是 关于这个基的矩阵是
可以对角化。
对角形式。
定理 6.6.2 属于不同特征根的特征向量线性无关。
n??,...,1 ?
n??,...,1
证明：设 是 属于不同特征根
的特征向量。（对特征根作数学归纳法）。
?推论 6.6.3 在 维向量空间 中，如果线性变换
的特征多项式 在 F内有个 不同的特征根，
则存在 中一个基，使得 关于这个基的矩阵
是对角形的。即 可以对角化。
证明：由定理 7.6.2直接推得。
?推论 6.6.4 令 A是 F上一个 阶矩阵，如果 A的
特征多项式 在 F内有 个单根（ 个不同
的根），则存在一个 阶可逆阵 T，使得
n V
?)( xf
?
n
?V
?
n
)(xf A n n
n
=
证明：由于 A是 F上 n阶矩阵，则对于给定 V的
一个基,存在一个线性变换,使得
关于这个基的矩阵是 A，故 的特征多项式
的，在 F内的根就是的 特征根。又
=,由于
的根全在 F内，且是单根。
ATT 1?
1
n
?
?
??
??
??
??
n??,.,,,1
?
?
? )( xf?
? )(xf? )(xf A
)(xf A
\ ? n有 个不同的特征根,由推论 1,? 可以对角
与对角阵相似。 故存在可逆阵 T，使得
1T A T? =（对角）
从而，如果 ? 的特征多项式
)( xf?
在 F内有 n 个不同
的根，则 ? 可以对角化，即：如果一个 n 阶矩阵 A的特
征多项式 )( xf
A
在 F内有 个不同的根，n 可以对角化，
但如果 )( xf
?
或 )( xf
A
在 F内有 n 个根，但有重根。
这时，要判断 ? 或 是否可以对角化问题就复杂多了。A
则 A
化，即 A
定义 6.6.2 设 ()LV? ?, ? ?是 的特征根，令
{ }/ ( ),VV? ? ? ? ? ? ?? ? ?，则 ?V 是 V 的一个子空间，称
为 ? 的属于
? 的特征子空间。
定理 6.6.5 的属于特征根? ? 的特征子空间的维数
不能大于 ? 的重数。
即 ?
? ?Vd im
的重数
?V
证明：设 )(VL?? ? 是 的特征根，则取? 的一个
余子空间 V?,于是
VVV ??? ?
设
s??,..1
的
?V
的一个基。
ns ??,..1?
是 V? 的基，
于是
1,,,,,,sn? ? ? 的基，V
凑成 由此得到
?
基的矩阵是
关于这个
??
?
?
??
?
?
?
2
1
0 A
AI
A S
?
( ) ( ) ( )sAf x x I A x g x?? ? ? ? ?
。
因此,至少是? )( xf A 的 S重数。
又 F?? 。 所以 ? 至少是 ? 的 S重特征根
即 ?
? ?Vd im
的重数
因此，如果 )( xf
?
在 F内有 n 个单根，即 ? 的每一个
特征子空间的维数都等于 1，即等于特征根的维数。这时
向量空间 V是 ? 的一切特征子空间的直和：
1,.,nV V V??? ? ?
且 ? 可对角化，此时对
iV?
中任意取非空
i?
，则
n??,...,1 为 V的一个基,? 关于基 n??,...,1 的矩阵是对角形的。
一般地：如果 ( ) 0fx
? ?
的根在 F内，且 V可以写成
1,.,tV V V??? ? ?
。
这里
tVV ??,.,,,1
是 ? 的所有特征子空间，
1,.,,,t??
是 ? 的互不相等的特征根，于是从每个特征子空间中
取出一个基，凑成 V的一个基，则 ? 关于这个基的矩
阵是对角形的：
1
1
0
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
即：如果 V 可以写成 ? 的所有特征子空间的直和，
则 ? 可以对角化。
定理 7.6.6 设
1( ),,.,, tL V F? ? ???
,是 ? 的互不相同的
特征根，则子空间的和：
1,.,tW V V??? ? ?
是直和。且 W在 之下不变。?
证明：（板书）
定理 6.6.7 设 ()LV? ?,则 ? 可以对角化 ?
( ) 0fx? ?
的根 ? 全在 F内； （ ii）
（ i）
?V
的维数等于 ? 的重数。
证明,?, 若（ i）（ ii）成立，令
t??,...1
是 ?
部不同的特征根，它们的重数分别是
的全
tss,...,1
，则：
1,.,tS S n? ? ?
d i m i iVS? ? 1,2,,in?
下面证明 V可以分解成 ? 的特征子空间的直和，
1,.,tV V V??? ? ?
即
? 由定理 4有：
1,.,tW V V??? ? ?
1 1d i m d i m,,, d i m,,,t tW V V S S??? ? ? ? ? ?
d i mnV??
WV\?
由
iV?
得基，然后凑成 V 的一个基，使 ? 关于这个基的
矩阵为：
1
1
0
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
即 ? 可以对角化。
?, 若 ?
可以对角化,则 V各由一个 ? 的特征向量
组成的基，适当排列这个基的次序，设这个基是：
ttsts
????,.,,,,.,,,,.,,,1111
1
（其中
iisi
??,.,,,1
是 ? 的属于特征根
i?
的特征子空间
iV?
的线性无关的向量，显然 d i m d i m
i iVS? ?
）
于是,
? 关于这个基的矩阵是
1
1
0
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
A= 1(,.,,,)t F?? ?
的特征多项式的根都在
于是 ? 的特征多项式
)( xf? 11( ( ),.,,,( ) )tss tX I A x x??? ? ? ? ?
1,.,,,t F?? ?
\ ? F 内 。且
i? i
S
的重数是
而 d i m
i iiVS? ???
的重数，但,d i m
i iV ? ??
的重数。
d i m i iV ? ?\?
的重数。
从而,A 可对角化
?
（ i） )( xf
A
=0的根 ? 全在 F内；
ii）对 A的每一特征根 ?,秩 ( ) ( I A n s s??? ? ? 是 的 重 数 ）
8、对角化的步骤：（包括判别）
（ I）设 A是上 n 阶矩阵，
)( xf A ?1、求 =0的根 （若不全在 F内，则不能对角化）。
0I A x? ??（ ）2、对每个特征根 ?,求出齐次线性方程组
的基础解系。 （若基础解系所含向量的个数不等于
?
的重数，则不能对角化）。
3、设全部特征根为：
t??,...,1
其重数为
tss,...,1
，则
B= 1T AT? =
1
1
0
...
...
...
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
其中 T 的第 1,2,…, n列依次为特征根
t??,...,1
的对应齐次线性方程组的基础解系所组成的
n
特征向量。
个
（ II）设 ()LV? ?,且 A是 ? 关于 V的一个基的矩阵，
1,2,3同左。
的矩阵4、令
11(,.,,,) (,.,,,)nn T? ? ? ??
，则关于基 { }
n??,...,1
是对角形矩阵 B。
例 1 11
01
A ??? ??
??
是否对角化。
1 1 2 2 nnx x x a? ? ?? ? ? ?
?
1 1 2 2() nnx x x? ? ? ? ?? ? ? ?
?
1 1 2 2 nny y y V? ? ? ?? ? ? ? ?
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )n n nx y x y x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n n n
n n n n
x y x y x y
x x x y y y
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
证：设
是 V中任意向量。定义 V到自身的一个映射
：
下面证明
是 V的一个线性变换。设
。
返回题目
aF?
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
()
()
nn
nn
nn
a a x a x a x
a x a x a x
a x x x
a
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
1( ),1,2,,i in? ? ???
设
这就证明了
是 V的一个线性变换。
满足定理所要求的条件：
如果
?
1( ),1,2,,i in? ? ???
1 1 2 2 nnx x x V? ? ? ?? ? ? ? ?
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
nn
nn
nn
x x x
x x x
x x x
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
???
是 V的一个线性变换，且
,ZZ
对于任意
，
从而
。 返回题目
?
12,,,n? ? ?
A
A?
()LV
()nMF
FaaAaBA ???,,?? ???
AB???
证,显然成立，下面证明
设线性变换
关于基 {
}的矩阵是
。那么
是
到
的一个映射。反过来，设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
F
n
1 1 2 2,1,2,,j j j n j na a a j n? ? ? ?? ? ? ? ?
()LV? ?
( ),1,2,,jja j n????
是
上任意一个
阶矩阵，令
。
由引理 7.3.2，存在唯一的
使
?
12,,,n? ? ?
A
()LV
()nMF
( ) ( )nL V A M F? ? ? ?
( ),( ),i j i jA a B b????
1 2 1 2
1 2 1 2
( ( ),( ),,( ) ) (,,,)
( ( ),( ),,( ) ) (,,,)
nn
nn
A
B
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
关于基 {
}的矩阵就是
。这就证明了如上建立的映射是
到
的双射：
设
我们有
?
11
( ) ( ),1,2,,nni j i i j i
ii
b b j n? ? ? ?
??
????
1 2 1 2
12
( ( ),( ),,( ) ) ( ( ),( ),,( ) )
(,,,)
nn
n
B
AB
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
12,,,n? ? ?
AB
由于
是线性变换，所以
因此
所以
关于基 {
}的矩阵就是
。 返回题目
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2,把握 L(V)与 Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换
的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根，
特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的
象、核的关系。
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
?
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特
征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征
向量的求法及其应用。
说明：①定义中（ 1）（ 2）称为映射的线性性
质。②定义中（ 1）（ 2）成立
（加以说明）
）（有 );()(,,,,????????? babaVFba ????????
定义 6.1.1 是?
V W到 的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
VW,F设 是数域,设 上的两个向量空间，
V? 是 到 W 的一个线性映射：
,,( ) ( ) ( )V? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?(1)
,,( ) ( )a F V a a? ? ? ? ?? ? ? ? ?(2)
§ 6.1线性映射
性质 6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即,
性质 6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不
变，即：
( 0 ) 0? ?
)()()( 1111 nnnn aaaa ??????? ????? ??
之下的原象。在叫
的一个子集，是，则另一方面，设
‘
‘‘
?
???
W
VWVWW })(|{ ???
是 到 的一个线性映射，如果 'VV? 则：V
'V ?
定义 6.2.1 设 ? W
'{ ( ) | }VW? ? ? ??是 W 的一个子集,叫 在 之下
的象记作 '()V? 。
定理 6.1.1
空间,
而则 V的任意子空间在
的一个子之下的原象是的任一子空 间在
的一个子空 间,之下的象是 W
设 V和 W是 F上的向量空间，
V
W
?
? 是 V到 W的一个线性映射,
?
证明,
空间的子W)V( 是??现在证明,
,)(,)(,,),(,??????????? ????'??$?????? VV 则
V ?是 V设 的一个子空间,
:，有Fba,是 线性变换，∵ ???
)()()()( Vbababa ????????? ??????????
.)( 的子空间是 WV?\?
.)k e r (,)I m (, VW ?? ??注意
:说明
① 线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间，
则原象也是子空间。
)。()m(I即..)m(I记作
的象，的一个子空 间一个是之下的象在② ￠特 别
V
(V)V
???
?????
?
。0})(|V{=)ker(的核。 记核做
的一个子空 间一V之下的原象是在}0{的零子空 间W 另一方面,
?? ?????
?
它叫
定理 6.1.2：
( 1 ) I m ( ) ;W?? ??是 满 射
? k e r ( )? ={0}.? 是单射(2)
的 一个 线性映射，则：V是设 W??
证明：
.
,)(,,有,即 = 若I,
是满射
反之
?
?????
\
?????? VWWm
W
W
VW
=)Im(∴
,)Im(又
)Im(=)(,,
是 满满射。）若1（
?
?
??????
?
?
??'?$???
)0(0)( ??? ???又
),()k e r( 0 ???? ??\ 即
),()(，有是 单射，）若2（ ??????? ???? V
??
??
???
??????
?
?\
?
????
0-
，0 )-(则
，) ()(，且反之,V
矛盾。
是 单射∴ ?
与 已知
说明：
( ) ( ) { }0ker2
(V),)Im()(1
是双射
?
?
?
?
??
?
定理 6.1.3：
? 两个线性映射的乘积还是线性映射。
性映射。的 到 和 到 是分,,设 线别 WUUV??;:,:,WUUV ?? ??即
线性映射的一个 到,是, 则证明 WV??
( ) ( )唯一。.,有V, 则.事 实实上 ????????? ????令
性影射的一个 线 到 是 ∴ WV?
:V,,ba,有又 ??? ?F ( ) ( ) ( )??????? ba ??? ba
。的一个 到 是 ∴ 线性影射WV?
证明：
说明：
?推广：
( )
( ) 。)( 且
也是 线是线性映 则
都是 线是线性映,,若
??????
???
???
?????
??
定理 6.1.4
? 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
的一个映射,到 是,则
存在,的一个 线一个线性映 W到 是V 设
1-
-1
?
?? ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
的 线线性映射 到 是
a
:,
a
:,a:,:
F,ba,,,
1-
1-1-1-
1
11-
11-1-
VW
bab
bab
VbV
W
?
???????
?
???????
??????
??
\
???
???
???
???
?
?
?
得到两边同时施行
于是且则
又证明：
二、例子
的一个映射。 到 是 证明：显然 32 RR?
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
的一个 线一个线性 到是 ∴
a
,,,xxR,ba,
2
2121,
32
R R
babba
baba
Ryy
?
???????????
???????
??
?????
???
??????
由
又
?
( )
( ) ( ) 的一个 线一个线性到是则,x
，定 义每一个向量到．1例
2121
2
323
21
RRRxxx
xxR
???
?
????
??对于
例 2．
( )
.的一个 线 是 证明
射影。 上的ZH 在平面 表示
,的 每每一个向 对于,中 经经过原点的一个平 是H
性映射
令
面令
33
33
VV
VV
??
???
?
( ) ( ) ( )
( ) ( );;
????
???????
aa ?
???
证明：由射影性质：
性映射的一个 线V 是V ∴ 33 ??
例 3,
( ) 的一个 线一个线性 到, 定
，
.
.
x
= 向量的 每 列空 间 矩 阵阵，对 上一个F 是
1
nnn
n
n
FFF
x
FnnmA
是规
一令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
FbaF
y
y
x
x
n
nn
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,,
.
.
,
.
.
11
??
证明：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;abaa 由 ??????????? bb ?????
例 4,
性映射。的一 到 是, 则0,
即：,中的零向量与它 对 W,上向量空 间 和W 是
个线
应，令令
WV
VFV
???
?
?
??
( ) ( ) ( ) ;
:,,,,
???????
??
bab
VFba
???
????
a
有
证明：
0:,,记为是零向量称此时 ?
例５：
( ) ( )
的一个 线一个线性 到是 则
。 k 令,,上向量空 间是
VV
FkF V
?
??? ??取定令
证明,……
,上一个 上一个 线一个线 是 称,此 元线性函数时 nFF n?
例６：
( ) ? ? ( )( ) ( ) ? ? ? ?
个 线线性映射
的一 xF 到 xF 是, 则 xfxf 规定,xF xf ?? ????
证明,……
例７：
? ? ? ?
? ? ( ) ( ) ? ?
线性映射。
到象的一个ba,是, 则td tf
a
x
f:,ba,f 规定：
上向量空 间向R上一切 连一切连续函数 ba,是定 义ba,
CC
C
?? ????
在令
证明
( ) ( ) ( ) ( ),.,,, gbfadtbgaf
a
x
bgaf ??? ?????? ?
§ 6.2 线性变换的运算
.
,
的一个线性变换映射叫做
到自身的一个线性上一个向量空间是数域令
V
VFV
,),(,,)( VVLVVL ???? ???的一切线性变换表示令
????????? ?????? ),()(:令
)()(
))(())(()()(
????
?????????????????
????
????????则
的线性变换是 F?? ?\
可证 L(v)是 F上的线性空间。
定理 6.2.1
e?
?
??
???
???
0
n
σ:定 义
)个σ ( n.,,,σσσ
κ ( σ τ )σ ( κ τ )σ( κ κ σ
τρσρρτ)ρ( σ
ρτρστ)ρ( σ
:且
何非负整数幂都有意义从而一个线性变换的任
积
合成
的与做叫也
.映射上的向量空 间F成对于加法和纯量乘法作L(V)
??
??
,.,,)( 10 nn xaxaaxf ????设
:,,00 有代替代替用 aeax?
n
naaea ??,..10 ??
( )的值时这个线性变换叫做 xfx ??
,)(,00 ??? eaeaV ????
。a 作ea 从而可 00 简记将
即
n
naaaf ???,,,)( 10 ???
( )
)()()(
)()()(
)()(
)()()(
???
???
gfv
gfu
xgxfxv
xgxfxu
?
??
?
??
若
如果线性变量 ? 有逆映射
1??,
则 也线性变换?
叫做 ? 的逆变量, 着时 ? 就叫做可逆的或非奇异的。
我们有
11 t? ? ? ?????
§ 6.3 线性变换和矩阵
教学目标,渗透现代代数学同构、代数表示论的思
想，和化归的数学思想方法，让学生了解
向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的
关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握
线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下
的向量关于基的坐标的计算方法。
重 点,线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵
相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性
变换作用下的向量关于基的坐标的计算。
难 点,线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵
相似概念。
！
§ 6.3 线性变换和矩阵
一、不同线性变换关于同一个基的矩阵
问题,如何将抽象的线性变换直观化?
设 V是数域 F上的一个 n维向量空间。令 σ是 V的一
个线性变换。取定 V的一个基：
n???,,,21 ?
nnxxx ???? ???? ?2211
)(?? 仍是 V的一个向量，设
nnyyy ????? ???? ?2211)(
向量可以通
过标坐标来
刻画
问题：
),,,()( 21 nyyy ?的坐标如何计算 ??
?$??,,,,21 FxxxV,n??
§ 6.3 线性变换和矩阵
令
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
?????
?????
?????
????
????
????
?
??????????
?
?
2211
22221122
12211111
)(
)(
)(
。
njia niij
的坐标
关于基就是这里 ????? ??,,)(,,2,1,,21?
§ 6.3 线性变换和矩阵
令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
{ } 。,,,21 的矩阵关于基叫做线性变换阶矩阵 nAn ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nj
j
j
nj
a
a
a
?
?
2
1
21
,,,)( 的坐标为关于基 ?????
),,2,1( nj ?? (A的第 j列 )
§ 6.3 线性变换和矩阵
从而取定 F上 n维向量空间 V的一个基之后，对于
V的每一线性变换，有唯一确定的 F上的 n阶矩阵与它
对应,
)()( FMAVL n????
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
?????
?????
?????
????
????
????
?
??????????
?
?
2211
22221122
12211111
)(
)(
)(
Ann ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
结论 1：
§ 6.3 线性变换和矩阵
设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
2
1
21
2211
),,,( ???
????
则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
2
1
21
2211
))(,),(),((
)()()()(
??????
????????
§ 6.3 线性变换和矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
A
?
?
2
1
21
),,,()( ?????
nnyyy ????? ???? ?2211)(
1
2
12
(,,,)
n
n
y
y
y
? ? ?
??
??
???
??
????
??
§ 6.3 线性变换和矩阵
定理 6.3.1,令 V是数域 F上的一个 n维向量空间，
σ是 V的一个线性变换，而 σ是关于 V的一个基
的矩阵是},,,{
21 n??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
如果 V中向量 ?关于这个基的坐标 是,
而 σ (?)是 关于这个基的坐标 是,那么 ),,,( 21 nxxx ? ),,,(
21 nyyy ?
§ 6.3 线性变换和矩阵
结论 2：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
揭示了向量坐
标与它的像坐
标之间的关系
问题,对于结论 1，给定数域 F上的一个 n阶矩阵 A，
是否存在 F上的 n维向量空间 V的一个线性变换 σ，而
σ关于 V的一个给定的基的矩阵恰好是 A？
§ 6.3 线性变换和矩阵
引理 6.3.2,设 V是数域 F上的一个 n维向量空间,
是 V的一个基，那么对 V的任意 n个向量
，恰有 V的一个线性变换 σ，使得
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
( ),1,2,,ii in? ? ??? 证明
定理 6.3.2,设 V是数域 F上的一个 n维向量空间,
是 V的一个基。对 V的任一线性变换 σ,
令 σ是关于 基 的矩阵 A与它对应，这样
就得到 V的全体线性变换所成的集合 L(V)到 F上全体 n
阶矩阵所成的集合 Mn(F)的一个双射，并且如果对 σ,
τ∈ L(V)，而,那么
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
BA ?? ??,
FaaAaBA ???,,?? ???
AB???
证明
§ 6.3 线性变换和矩阵
推论 6.3.4,设数域 F上 n维向量空间 V的一个 线性
变换 σ关于 V的一个取定基的矩阵是 A。那么 σ可逆必
要且只要 A可逆，并且 σ-1关于这个基的矩阵就是 A-1.
例 1、例 2
二、同一个线性变换关于不同基的矩阵
与线性变换对应的矩阵是依赖于基的选择的，同
一个线性变换关于不同基的矩阵一般不同。那么同一
个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系？
结论 3：,FMVL n 这个同构映射保 持乘法。)()( @
§ 6.3 线性变换和矩阵
设 V是 数域 F上的 n维向量空间,σ是 V的 一个 线性
变换。假设 σ关于 V的两个基 和
的矩阵分别是 A和 B，即
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
Ann ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
Bnn ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
令 T 是由基 到基
的过渡矩阵，即
},,,{ 21 n??? ? },,,{
21 n??? ?
Tnn ),,,(),,,( 2121 ?????? ?? ?
§ 6.3 线性变换和矩阵
于是
ATT
AT
T
B
n
n
n
nn
1
21
21
21
2121
),,,(
),,,(
))(,),(),((
))(,),(),((),,,(
?
?
?
?
?
???
???
??????
?????????
?
?
?
??
因此
结论 4,ATTB 1??
说明了一个线性变换关
于两个基的矩阵的关系
设 A,B是 数域 F上的两个 n阶矩阵，如果存在 数
域 F上的 n阶可逆矩阵 T，使得,那么就说 A
与 B相似，记为 A∽ B。
ATTB 1??
！
矩阵的相似
关系是矩阵
代数中非常
重要的概念
§ 6.3 线性变换和矩阵
阶矩阵的相似关系具有下列性质：
a,自反性； b,对称性； c,传递性。
从而,n维向量空间的一个线性变换 ?关于两个
基的矩阵是相似的。
反之，设是数域 F上两个相似的 n阶矩阵, 则存在
数域 F上 n维向量空间 V的一个线性变换 σ，它关于 V的
一个基 的矩阵为 A，即},,,{
21 n??? ?
Ann ),,,())(,),(),(( 2121 ????????? ?? ?
因为 A与 B相似，所以存在可逆矩阵 T，使得
ATTB 1??
§ 6.3 线性变换和矩阵
令
Tnn ),,,(),,,( 2121 ?????? ?? ?
则 也是一个基，且关于这个基的
矩阵就是。故相似的矩阵可以看成是同一个线性变换
关于两个基的矩阵。
},,,{ 21 n??? ?
最后有：
)(
)(
11
1
2
1
1
1
21
1
???
???????
??
????
ATTTAT
ATTATTATTAAAT rr ??
§ 6.4 不变子空间
?教学目标
了解不变子空间的定义并会判断一个
子空间是否为一个不变子空间,掌握不
变子空间与可对角化的关系,
?教学重点
不变子空间的定义及其判断,
?教学难点
不变子空间的性质及其应用,
一、基本概念
设 是数域 上 维向量空间 的一个
线性变换。我们自然希望取 的一个基，
使得 关于这个基的矩阵最简单。由于一
个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，
因此也可以说：在彼此相似的 阶矩阵中，
选出一个形式尽可能简单的矩阵来。这一
问题的讨论和不变子空间的概念有着密切
的联系。
? F n V
V
?
n
令 是数域 上的一个向量空间,是
的一个线性变换。
定义 6.4.1 的一个子空间 说是在线性
变换 之下不变（或稳定），如果,
V
F ? V
V W
?
WW ?)(?
如果子空间 之下不变，那么
W ?
在 W
?
就叫做 的一个不变子空间。
设是在线性变换 的一个不变子空
间。若只考虑 在 上的作用，就
得到子空间 本身的一个线性变换，
称为 在 上的限制。记作
这样,有,
?
? W
W
? W
W?
W?? ?
??? ?)(W
如果
W??
,就没有意义了。)(?? W
不变子空间与线性变换矩阵简化的关系：
.)(
)(
)(
)(
)(
11
1,1,1
1,11,11
2211
22221122
12211111
nnnrrnnn
nrnrr
rrrrr
rrrrrr
rr
rr
aaa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
?????
?
????
?????
?????
?????
?????
???
???
????
????
????
???
???
??
?
?
?
??????????
?
?
?
12,,,,r? ? ? 1 2 1,,,,,,.r r n? ? ? ? ??
)(,),(),( 21 r?????? ?
设 V是数域 F上一个 n维向量空间,是 V的一个线性变
换，假设 有一个非平凡不变子空间 W,那么取 W的一个基
再补充成为 V的一个基
由于 W在 之下不变，所以 仍在 W
内，因而可以由 W的基
12,,,,r? ? ?
线性表示。我们有：
因此，
?
关于该基的矩阵为：
???
?
???
??
2
31
0 A
AA
A
，这里
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rrr
r
aa
aa
A
?
???
?
1
111
1
?V 1W 2W?
平凡
W?
W r???,,,21 ?是 关于 的基 的矩阵。
由此可见，如果线性变换 ? 有一个非
不变子空间，那么适当选取 V 的基，可以
使与 ? 对应的矩阵中有一些元素为零。特
别，如果 V 可以写成两个非平凡不变子空
1W 2W
与 的直和：间
。
?那么选取 的一个基 与 的一个基
凑成 的一个基 当 与 都在 之
下不变时,关于这个基的矩阵为,
1W
12,,,r? ? ?
2W
1,,,rn??? V 12,,,.n? ? ? 1W
2W
? ?
???
?
???
??
2
1
0
0
A
A
A
阶矩阵，
这里
1A
是一个 r
1W?
阶矩阵，它是
r???,,,21 ?
的矩阵，
2A rn ?
是一个
它是
2W?
关于基
nr ??,,1 ??
的矩阵。
?因此，给定 维向量空间 的一个线性变
换,只要能够将 分解成一些在 之下不
变的子空间的直和，那么就可以适当选取
的基，使得 关于这个基的矩阵具有比较简
单的形状。显然这些不变子空间的维数越
小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，
如果能够将 分解成 个在 之下不变的一
维子空间的直和，那么 对应的矩阵就是对
角形。这就是我们今后将要解决的问题。
n V
? V ?
V
?
V n ?
?
二、例子
?一般，如果向量空间 可以写成 个子空间
的直和，并且每一子空间都在 之下不变，
那么在每一子空间上取一个基，凑成 的
一个基，则 关于这个基的矩阵为：
V
s
12,,,sW W W
?
V ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
A
A
A
0
0
2
1
?
其中
iA
是
iW? iW
关于 的基的矩阵。
都在( ),LV??? )(?Ker例 2,及 )Im(?
? 之下不变。
例 3,)(VL?? 满足 2,??? 证明：
（ 1）
{ }( ) ( ) ;K e r V? ? ? ? ?? ? ?
（ 2）
( ) I m ( ) ;V K e r ????
（ 3）如果
)(VL??,
那么
)(?K er 及 )Im ( ?
?都在 之下不变,? ? ? ???
V {}0
? ( ( ) )LV???
例 1、向量空间 本身和零空间 在
之下不变。
§ 6.5 特征值与特征向量
?教学目标
会求特征值与特征向量,并能够应用
?教学重点
特征值与特征向量的定义及其性质
?教学难点
特征值与特征向量的应用
一、定义、定理及性质
设 上的一个向量空间,是数域V F
( ),LV? ?
? F定义 6.5.1 设 是数域 中的一个数。
V? ?,使得若存在非零向量
（ 1） ???? ?)(
? ???
?
那么 就叫做 的一个特征值，而 是 的属于特
的特征向量。征值
Fa ??的特征向量，则?的属于特征值是,? ?若
有
都
)()()( ???????? aaaa ???
是
不变，
? ? ?从而如果 的一个特征向量，那么由 所
生成的一维子空间 { }
FaaU ?? ?
?
V U ?
在 之下不变。
的一个一维子空间 在 之下反过来，如果
U ?的每一个非零向量都是 的属于同一个那么
征值的特征向量。
特
设 V F n V
{ }n???,,,21 ? ?
是数域 上的一个 维线性空间。取定 的
。令线性变换 关于这个基一个基
阵为：
的 矩
?
( )ij nnAa?
nnxxx ???? ???? ?2211
?
如果 是线性变换 的属于特征值
的特征向量，则有：
AX
xxx
xxx
n
nn
nn
),,,(
),,,))((,),(),((
)()()()(
21
'
2121
2211
???
??????
????????
?
??
?
?
?
????
另外：
1 1 2 2
12
12
( ) ( )
(,,,)
(,,,)
nn
n
n
x x x
X
X
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
根据坐标的唯一性有, XAX ?? 。即：
（ 2） 0)( ?? XAI?
因为 0??,所以（ 2）有非零解。故：
（ 3）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
d e t ( ) 0
n
n
n n n n
a a a
a a a
IA
a a a
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
F??
),,,( 21 nxxx ?
反过来，如果 满足等式（ 3），那么（ 2）
，由非零解 nnxxx ???? ???? ?2211
? ?
因而 满足
是 的一个特征值。式（ 1），即
等
( )nijaA ?
F n
定义（特征多项式）：设 是数域
上的一个 阶矩阵。行列式
引入
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) d e t ( )
n
n
A
n n n n
a a a
a a a
f x I A
a a a
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
][)( xFxf A ?
A叫作矩阵 的特征多项式。由定义可知
A
?
V
?
?等式（ 3）表明，如果 是线性变换 关于
的一个基的矩阵。而 是 ?
A )(xf A 0)( ??
Af
的一个特征值，那么 是
的特征多项式 的根，即,。
? V B现在设线性变换 关于 的另一个基的矩阵是
则有：
ATTB 1??
TAxITATTITxTBxI )(111 ????? ???
IITT ?? 1因为,所以
故
)()d e t (
))(d e t ()d e t ()(
1
xfAxI
TAxITBxIxf
A
B
???
????
?
关于
从而，相似的矩阵具有相同的特征多项式。这样，
V 的线我们可以定义 ?
?
V
?
)( xf?
性变换 的特征多项式是
的任意一个基的矩阵的特征多项式，并且把
的 。特征多项式记作
线性变换。
? F n V
F?? ? ? ? ?
)(xf?
定理 6.5.1设 是数域 上 维向量空间 的一个
是 的一个特征值 是 的特征
的一个根。多项式
那么现在的问题就是来研究矩阵 A 的特征多项式
了。
（ 4）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
n
n
A
n n n n
a a a
a a a
fx
a a a
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
][xF
nx
将这个行列式展开，就得到 中一个多项式，它
，出现在对角线上元素的乘积中：的最高次项是
（ 5） )())(( 2211 nnaxaxax ??? ?
个 线主对角行列式的展开式其余的项至多含有 2?n
)(xf A
x 2?n )(xf A
2?n
是乘积（ 5）和一个至多是
的一个 次多项式的和。因此,中次数大于
的项只出现在乘积（ 5）里。所以：
上的元素。因此，
?? ?????? ? 12211 )()( nnnnA xaaaxxf
2?n这里没有写出的项的次数至多是 次。
0?x在（ 4）式中令 得：
中，)(xfA 1?nx trA A的系数乘以 -1就是 —— 矩阵在
的迹。
Af nA d e t)1()0( ??
][ xFV ? )(VL?? )()(,' xfxf ??
R???
xx ee ?? ?? ?)(
? ?
例１、１,令, 定义为：
则,有：
从而任意的实数 都是 的特征根。
二、例子
§ 6.6 可以对角化的矩阵
定义 6.6.1 设 ()LV? ?,如果存在 V 的一个基，使得 ?
关于这个基的矩阵具有对角形式：
1
n
?
?
??
??
??
??
（ 1）
则称 ? 可以对角化。
类似的,()
nA M F?
与对角阵相似，则称 A 可对角化。
设, ?
?
定理 6.6.1 ()LV? ? 可对角化 V? 中存在由
的特征向量组成的基。
证明,? ? 可对角化,\ $ 基
1 1 1,.,,,(,.,,,) (,.,,,)n n n A? ? ? ? ? ? ???
1
n
A
?
?
??
??
?
??
??
\
? ()i? =
i? i
? 1,,in?
，
故
n??,...,1
是
? 的特征向量,且是基。
反之：如果 ?
n n??,...,1
有 个线性无关的特征向量
n??,...,1 V
则取 为 的基，
?
\ ?
于是 关于这个基的矩阵是
可以对角化。
对角形式。
定理 6.6.2 属于不同特征根的特征向量线性无关。
n??,...,1 ?
n??,...,1
证明：设 是 属于不同特征根
的特征向量。（对特征根作数学归纳法）。
?推论 6.6.3 在 维向量空间 中，如果线性变换
的特征多项式 在 F内有个 不同的特征根，
则存在 中一个基，使得 关于这个基的矩阵
是对角形的。即 可以对角化。
证明：由定理 7.6.2直接推得。
?推论 6.6.4 令 A是 F上一个 阶矩阵，如果 A的
特征多项式 在 F内有 个单根（ 个不同
的根），则存在一个 阶可逆阵 T，使得
n V
?)( xf
?
n
?V
?
n
)(xf A n n
n
=
证明：由于 A是 F上 n阶矩阵，则对于给定 V的
一个基,存在一个线性变换,使得
关于这个基的矩阵是 A，故 的特征多项式
的，在 F内的根就是的 特征根。又
=,由于
的根全在 F内，且是单根。
ATT 1?
1
n
?
?
??
??
??
??
n??,.,,,1
?
?
? )( xf?
? )(xf? )(xf A
)(xf A
\ ? n有 个不同的特征根,由推论 1,? 可以对角
与对角阵相似。 故存在可逆阵 T，使得
1T A T? =（对角）
从而，如果 ? 的特征多项式
)( xf?
在 F内有 n 个不同
的根，则 ? 可以对角化，即：如果一个 n 阶矩阵 A的特
征多项式 )( xf
A
在 F内有 个不同的根，n 可以对角化，
但如果 )( xf
?
或 )( xf
A
在 F内有 n 个根，但有重根。
这时，要判断 ? 或 是否可以对角化问题就复杂多了。A
则 A
化，即 A
定义 6.6.2 设 ()LV? ?, ? ?是 的特征根，令
{ }/ ( ),VV? ? ? ? ? ? ?? ? ?，则 ?V 是 V 的一个子空间，称
为 ? 的属于
? 的特征子空间。
定理 6.6.5 的属于特征根? ? 的特征子空间的维数
不能大于 ? 的重数。
即 ?
? ?Vd im
的重数
?V
证明：设 )(VL?? ? 是 的特征根，则取? 的一个
余子空间 V?,于是
VVV ??? ?
设
s??,..1
的
?V
的一个基。
ns ??,..1?
是 V? 的基，
于是
1,,,,,,sn? ? ? 的基，V
凑成 由此得到
?
基的矩阵是
关于这个
??
?
?
??
?
?
?
2
1
0 A
AI
A S
?
( ) ( ) ( )sAf x x I A x g x?? ? ? ? ?
。
因此,至少是? )( xf A 的 S重数。
又 F?? 。 所以 ? 至少是 ? 的 S重特征根
即 ?
? ?Vd im
的重数
因此，如果 )( xf
?
在 F内有 n 个单根，即 ? 的每一个
特征子空间的维数都等于 1，即等于特征根的维数。这时
向量空间 V是 ? 的一切特征子空间的直和：
1,.,nV V V??? ? ?
且 ? 可对角化，此时对
iV?
中任意取非空
i?
，则
n??,...,1 为 V的一个基,? 关于基 n??,...,1 的矩阵是对角形的。
一般地：如果 ( ) 0fx
? ?
的根在 F内，且 V可以写成
1,.,tV V V??? ? ?
。
这里
tVV ??,.,,,1
是 ? 的所有特征子空间，
1,.,,,t??
是 ? 的互不相等的特征根，于是从每个特征子空间中
取出一个基，凑成 V的一个基，则 ? 关于这个基的矩
阵是对角形的：
1
1
0
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
即：如果 V 可以写成 ? 的所有特征子空间的直和，
则 ? 可以对角化。
定理 7.6.6 设
1( ),,.,, tL V F? ? ???
,是 ? 的互不相同的
特征根，则子空间的和：
1,.,tW V V??? ? ?
是直和。且 W在 之下不变。?
证明：（板书）
定理 6.6.7 设 ()LV? ?,则 ? 可以对角化 ?
( ) 0fx? ?
的根 ? 全在 F内； （ ii）
（ i）
?V
的维数等于 ? 的重数。
证明,?, 若（ i）（ ii）成立，令
t??,...1
是 ?
部不同的特征根，它们的重数分别是
的全
tss,...,1
，则：
1,.,tS S n? ? ?
d i m i iVS? ? 1,2,,in?
下面证明 V可以分解成 ? 的特征子空间的直和，
1,.,tV V V??? ? ?
即
? 由定理 4有：
1,.,tW V V??? ? ?
1 1d i m d i m,,, d i m,,,t tW V V S S??? ? ? ? ? ?
d i mnV??
WV\?
由
iV?
得基，然后凑成 V 的一个基，使 ? 关于这个基的
矩阵为：
1
1
0
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
即 ? 可以对角化。
?, 若 ?
可以对角化,则 V各由一个 ? 的特征向量
组成的基，适当排列这个基的次序，设这个基是：
ttsts
????,.,,,,.,,,,.,,,1111
1
（其中
iisi
??,.,,,1
是 ? 的属于特征根
i?
的特征子空间
iV?
的线性无关的向量，显然 d i m d i m
i iVS? ?
）
于是,
? 关于这个基的矩阵是
1
1
0
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
A= 1(,.,,,)t F?? ?
的特征多项式的根都在
于是 ? 的特征多项式
)( xf? 11( ( ),.,,,( ) )tss tX I A x x??? ? ? ? ?
1,.,,,t F?? ?
\ ? F 内 。且
i? i
S
的重数是
而 d i m
i iiVS? ???
的重数，但,d i m
i iV ? ??
的重数。
d i m i iV ? ?\?
的重数。
从而,A 可对角化
?
（ i） )( xf
A
=0的根 ? 全在 F内；
ii）对 A的每一特征根 ?,秩 ( ) ( I A n s s??? ? ? 是 的 重 数 ）
8、对角化的步骤：（包括判别）
（ I）设 A是上 n 阶矩阵，
)( xf A ?1、求 =0的根 （若不全在 F内，则不能对角化）。
0I A x? ??（ ）2、对每个特征根 ?,求出齐次线性方程组
的基础解系。 （若基础解系所含向量的个数不等于
?
的重数，则不能对角化）。
3、设全部特征根为：
t??,...,1
其重数为
tss,...,1
，则
B= 1T AT? =
1
1
0
...
...
...
0
t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
其中 T 的第 1,2,…, n列依次为特征根
t??,...,1
的对应齐次线性方程组的基础解系所组成的
n
特征向量。
个
（ II）设 ()LV? ?,且 A是 ? 关于 V的一个基的矩阵，
1,2,3同左。
的矩阵4、令
11(,.,,,) (,.,,,)nn T? ? ? ??
，则关于基 { }
n??,...,1
是对角形矩阵 B。
例 1 11
01
A ??? ??
??
是否对角化。
1 1 2 2 nnx x x a? ? ?? ? ? ?
?
1 1 2 2() nnx x x? ? ? ? ?? ? ? ?
?
1 1 2 2 nny y y V? ? ? ?? ? ? ? ?
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )n n nx y x y x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n n n
n n n n
x y x y x y
x x x y y y
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
证：设
是 V中任意向量。定义 V到自身的一个映射
：
下面证明
是 V的一个线性变换。设
。
返回题目
aF?
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
()
()
nn
nn
nn
a a x a x a x
a x a x a x
a x x x
a
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
1( ),1,2,,i in? ? ???
设
这就证明了
是 V的一个线性变换。
满足定理所要求的条件：
如果
?
1( ),1,2,,i in? ? ???
1 1 2 2 nnx x x V? ? ? ?? ? ? ? ?
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
nn
nn
nn
x x x
x x x
x x x
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
???
是 V的一个线性变换，且
,ZZ
对于任意
，
从而
。 返回题目
?
12,,,n? ? ?
A
A?
()LV
()nMF
FaaAaBA ???,,?? ???
AB???
证,显然成立，下面证明
设线性变换
关于基 {
}的矩阵是
。那么
是
到
的一个映射。反过来，设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
F
n
1 1 2 2,1,2,,j j j n j na a a j n? ? ? ?? ? ? ? ?
()LV? ?
( ),1,2,,jja j n????
是
上任意一个
阶矩阵，令
。
由引理 7.3.2，存在唯一的
使
?
12,,,n? ? ?
A
()LV
()nMF
( ) ( )nL V A M F? ? ? ?
( ),( ),i j i jA a B b????
1 2 1 2
1 2 1 2
( ( ),( ),,( ) ) (,,,)
( ( ),( ),,( ) ) (,,,)
nn
nn
A
B
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
关于基 {
}的矩阵就是
。这就证明了如上建立的映射是
到
的双射：
设
我们有
?
11
( ) ( ),1,2,,nni j i i j i
ii
b b j n? ? ? ?
??
????
1 2 1 2
12
( ( ),( ),,( ) ) ( ( ),( ),,( ) )
(,,,)
nn
n
B
AB
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
12,,,n? ? ?
AB
由于
是线性变换，所以
因此
所以
关于基 {
}的矩阵就是
。 返回题目
